1. No category

Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
Sandsynlighedsregning
0pg.1
I skal være to til fire deltagere i spillet. Der skal bruges 2 terninger.
I skal på skift kaste de 2 terninger.
Regler:
1. Kast en terning.
2. Derefter skal du vælge mellem tre muligheder, inden du kaster den næste terning.
3. Hvis du vælger:
+ Addition: Adder „øjnene" og noter tallet.
- Subtraktion: Subtraher „øjnenes" sum fra 12 og noter tallet.
* Multiplikation: Udregn produktet; hvis det er ulige så noter tallet. Hvis det er lige, giver det
ingen point.
4. Den spiller, der først når 100, har vundet.
a) Prøv spillet nogle gange, og dan jer et indtryk af, hvad der er bedst at vælge, hvis den
første terning viser 1, 2, 3, 4, 5 eller 6.
b) Gå mere systematisk frem. Skriv samtlige muligheder op og vurder eller beregn
chancerne.
c) Prøv spillet igen. Benyt denne gang jeres vurderinger og beregninger, når I skal vælge
addition, subtraktion eller multiplikation
d) Overvej om reglerne skal ændres for pointgivning, så spillet bliver mere retfærdigt?
e) Foreslå evt. nogle ændringer.
Opg.2.
Forestil dig, at du kaster med to terninger. Beregn sandsynligheden for at forskellen er:
a)
0.
b)
1.
c)
Hvilken forskel har den mindste sandsynlighedhed?
d)
Kast to terninger mindst 100 gange.
e)
Find sandsynligheden for forskellen 0 og forskellen 1.
f)
Passer forsøget med den teoretiske udregning? Hvorfor,
hvorfor ikke?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 2
Glamsdalens Idrætsefterskole
Opg.3.
Matematik
efterår/vinter 2013
Morsealfabetet er sammensat af streger og prikker, fx
a) Tegn et skema som det viste.
Antal
1 tegn
2tegn
3 tegn
4 tegn
5 tegn
pladser
*
**
***
****
*****
Antal
muligheder
b) Hvor mange pladser skal der mindst være i morsekoden, når alle bogstaver og tal skal have sin egen
kode?
Opg.4.
Hvor mange muligheder er der her, hvis der kan bruges disse 4 tegn?
©$¤£
Tegnene må kun bruges 1 gang, i hver sammenhæng, indsæt mulighederne i et tilsvarende
skema, som nedenunder.
Antal
pladser
Antal
muligheder
1
_
2
_._
3
_._._
4
_._._._
5
_._._._._
6
_._._._._._
Opg.5.
a) Tegn et skema som det viste.
Antal pladser
Antal
muligheder
Sandsynlighed & Kombinatorik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Side 3
Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
b) Hvor mange muligheder er der med tegnene 1, x, 2, når det enkelte tegn må bruges
mere end en gang.
c) Skriv kombinationerne for to pladser.
d) Hvad er sandsynligheden for udfaldet x 2 ?, set ud fra løsning i c)
e) Hvor mange muligheder er der, når der er 13 pladser?
f) Hvad er sandsynligheden for udfaldet
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
g) Hvad er sandsynligheden for dette udfald?
x x x x x x x x x x x x x
h) Eller
1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1
i) Tegn skemaet som nedenunder, denne gang må du bruge 4 tegn fx: 1, x, 2, y,
Antal pladser
1
2
3
4
5
Antal
muligheder
j) Hvad er sandsynligheden for udfaldet ?
x x x x
6
7
8
9
10
11
12
13
Opg.6.
Cykellåsen på figuren har seks taster. Hver tast kan trykkes ind, trækkes ud eller ikke røres.
Forestil dig en cykellås med 1 tast, 2 taster, 3 taster o.s.v.
a) Tegn et skema som dette og udfyld det.
Antal
1 2 3 4 5 6
taster
Antal
kombinationer
b)
I praksis er der en af kombinationerne, der ikke
bruges. Hvilken en er det?
c) Hvis man har glemt sin låsekode, hvad er så sandsynligheden for, at man finder koden, hvis man prøver
20 forskellige gange?
d) Hvis man ved, at den første tast skal trykkes ind, hvad
er så sandsynligheden for at finde koden, hvis der prøves 10 gange?
e) Hvis man kan huske fem taster, hvor mange forsøg behøver man så for at bryde koden?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 4
Glamsdalens Idrætsefterskole
Opg.7.
Matematik
efterår/vinter 2013
På en spilleplade, med fem forskellige tal, skal der i første
spil afkrydses ét tal, og i andet spil to tal.
a)
b)
c)
d)
På hvor mange forskellige måder kan et tal afkrydses?
Skriv kombinationerne for at afkrydse to tal ud af de fem.
Hvor mange kombinationer er der?
Hvad er sandsynligheden for talparret (2,5) og (5,2)?
På en spilleplade med 5 numre skal udvælges 2 numre. Det antal
måder eller kombinationer, det kan gøres på, kaldes K(5,2).
For at udregne K(5,2) bruges formlen:
K (n, r ) 
n!
r!*(n  r )!
n er det samlede antal numre
r er det antal, der udvælges.
K (5,2) 
5!
5 * 4 * 3 * 2 *1 120


 12
2!*(5  2)! 2 *1* (3 * 2 *1) 12
Opg.8.
Hvor mange muligheder er der for at vælge to numre ud af ti. Brug formel eller tabel.
Opg.9.
I en klasse skal der vælges tre repræsentanter. Der er 21 elever i klassen.
a) Hvor mange forskellige muligheder er der for at vælge de 3
repræsentanter?
b) Hvad er sandsynligheden for, at det bliver netop nr. 3, 7, og 15 på
klasselisten?
Opg.10.
På et håndboldhold er der syv spillere. Holdet består totalt af 16
spillere.
a) Hvor mange muligheder er der for at danne holdopstillingen?
b) Kun 14 spillere kan bruges i kampen. To, bruges kun som målmænd.
På hvor mange måder kan de sidste spillere udvælges?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 5
Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
Lotterier
(1)
Lotto
a) I Lotto skal der afkrydses 7 forskellige tal ud af 36 muligheder. Er det rigtigt,
at det kan gøres på 8.347.680 eller ca. 8,3 mio forskellige måder? Forklar,
hvordan man finder svaret.
b) Hvad er sandsynligheden for at få den rigtige kombination, hvis der
afkrydses en række?
c) En række koster 2 kr. Hvis der spilles for 100 kr., hvad er så sandsynligheden
for at vinde den store gevinst?
d) Hvor meget skal der spilles for, hvis man vil være
sikker på at vinde den store gevinst?
e) Hvis der spilles 10.000.000 gange, hvor mange
gange har man så vundet?
f) Hvor mange muligheder er der for at afkrydse 7 tal,
hvis der på spillepladen kun er 35 tal?
g) Lotto spillepladen er blevet ændret fra 35 tal til 36
tal. Hvor mange flere kombinationer gav det?
h) Hver uge spilles der for ca. 17 mio. kr. i Lotto. Se på „Sådan fordeles
17 millioner lottokroner hver uge". Hvor meget udbetales i præmie,
når der er spillet for 17 mio. kr.?
i) Hvad mon resten af Lotto-kronerne bruges til?
j)
Præmiesummen fordeles i fem præmiepuljer på følgende måde:
21 % som I. præmie til rækker, der indeholder de 7 vindertal,
10% som 2. præmie til rækker, der indeholder 6 vindertal og 1
tillægstal,
9% som 3. præmie til rækker, der indeholder 6 vindertal,
13% som 4. præmie til rækker, der indeholder 5 vindertal,
og 47% som 5. præmie til rækker, der indeholder 4 vindertal og
mindst 1 tillægstal.
Sandsynlighed & Kombinatorik
På den
Udtrukne tal
Uge
15
enkelte
Vindertal
række kan 15,17,19,22,23,27,24
Tillægstal
03 - 20
der kun
Uge 14
opnås
en 02,10,15,18,19,24,35
Vindertal
03-20
præmie.
Tillægstal 05-23
Hvor
stor
Uge 13
Vindertal
01,12,14,27,30,32,35
bliver
Tillægstal
præmien i 10-15
hver af de Dansk Tipstjeneste 2001
fem
grupper,
når
Side 6
spillesumm
en er på 17
mio.
Glamsdalens Idrætsefterskole
(2)
Matematik
efterår/vinter 2013
Gevinstopsparing
Banker, Sparekasser og Girobank har en speciel opsparingskonto med tilknyttet gevinstmulighed. Forskellen
mellem Gevinstopsparing og en almindelig opsparingskonto er, at en procentdel af renterne er opsamlet i
en præmiepulje, I denne præmiepulje udtrækkes en række lodder.
For at kunne deltage i præmielodtrækningen skal man have mindst 500 kr. stående på kontoen. For hver
hele 100 kr. man har stående på opsparingskontoen, får man et lod og dermed muligheden for at vinde en
af de udtrukne præmier. Et år var der i hver udtrækning mulighed for at vinde:
1 præmie på 1 mio. kr.
2 præmier på 250.000 kr.
5 præmier på 75.000 kr.
10 præmier på 10.000 kr.
Der foretages mindst en præmieudtrækning om måneden. Den samlede præmiesum udgør en procentdel
af saldoen på samtlige Gevinstopsparingskonti. Den procentdel af saldoen, som udgør præmiesummen,
kaldes udlodningsprocenten.
a) Hvad er det mindste beløb, der skal være indsat på gevinstopsparingskontoen, for at man kan
deltage i spillet?
b) Se på premieplanen. Hvor mange præmier er der?
c) den viste måned er udlodningsprocenten 1,02%. Hvor meget er den samlede saldo på alle gevinstopsparingskontiene, når præmiesummen er 4 mio. kr.?
d) Hvor mange lodder er der?
e) Hvor stor er chancen for at vinde en af præmierne?
f) Hvor stor er chancen for at vinde førstepræmien på 1.000.000 kr.?
g) Hvor stor er din chance for at vinde, hvis du har 10.000 kr. på din Gevinstopsparingskonto?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 7
Glamsdalens Idrætsefterskole
(3)
Matematik
efterår/vinter 2013
Mini Ouick3
Skrabespillet mini Quick består af en lille spilleplade med otte tildækkede tal. Spillepladen koster 10 kr. Det
øverste lag skrabes af pladen, og hvis der fremkommer tre ens tal, har man vundet. Antallet af gevinster
ændres proportionalt med spilleomsætningen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Forklar hvad det betyder, at antallet af præmier ændres proportionalt med spilleomsætningen.
Hvor stor er omsætningen i det viste eksempel?
Hvor meget bliver der udbetalt i præmie?
Hvor mange procent udbetales der i præmier?
Hvor mange gevinster er der?
Hvor stor er chancen for at få en gevinst?
Hvor stor er chancen for at vinde 100.000 kr.?
Hvor mange gevinster er der på 10 kr. og 50 kr.?
Hvor stor en del udgør de af det samlede antal gevinster?
Hvorfor tror du, at der er så mange gevinster på 10 kr. og 50 kr.?
Her er gevinstplanen ved salg af 1. mio lodder
mio. lodder.
25
2
600
6.000
15.000
45.000
125.000
gevinster a
gevinster a
gevinster a
gevinster a
gevinster a
gevinster a
5.000 kr.
100.000
1.000 kr.kr.
100 kr.
50 kr.
20 kr.
10 kr.
Der er gevinst på gennemsnitligt hvert 5,2 miniQuick-lod.
Tilbagebetalingsprocenten udgør i spillet 45% af
omsætningen (inkl. gevinstafgift),
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 8
Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
Koder
En kode kaldes også en kryptogram. Meningen med en kode er at
hemmeligholde en meddelelse for andre end de, der kender koden.
Eksempelvis når men anvender et password til at logge ind på sin
mail.
Ved at anvende sandsynlighedsregning kan man ofte danne sig et
indtryk af muligheden for at bryde en kode. Motiverne til at forsøge
at bryde en kode kan være forskellige.
At tippe tretten rigtige er egentlig at bryde en kode. Desværre er der ingen, der kender den på forhånd, så
den må siges at være yderst hemmelig! Med kendskab (og lidt held) til nogle „sikre" favoritter, bliver det
dog lidt lettere. En cykellås er en kode. Hvis man har glemt (helt eller delvist) kombinationen til låsen, kan
man ved at gå systematisk frem måske alligevel bryde koden. At fremstille sikre koder er nødvendigt for at
beskytte sin ejendom mod kriminalitet. Militæret sender som regel vigtige interne meddelelser i kodet
form. Datateknikken anvendes til at fremstille koder, og den anvendes også til at forsøge at bryde dem.
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 9
Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
Personnumre
Personnummer (CPR = Central Person Register) Personnumre blev indført i Danmark i slutningen af
tresserne.
Der var dengang meget diskussion for og imod.
Argumenterne for var, at det var langt lettere
og hurtigere for fx offentlige myndigheder at
behandle og kontrollere ind- og udbetalinger
fra borgerne, fx skat.
Kontrol og let adgang til viden om det enkelte
menneske kan også misbruges, og det var bl.a.
argumentet mod at nummerere mennesker.
Nu 35 år efter må man sige, at systemet har
vist sig yderst hensigtsmæssigt, og det ville
være umuligt at undvære.
Et personnummer kaldes også et CPR-nummer, hvor CPR står for det Centrale Personregister.
CPR-nummeret er en slags kode, som giver adgang til en masse oplysninger. Koden bør derfor ikke
udleveres, hvis der ikke er en bestemt begrundelse for det.
Opg.1.
Et CPR-nummer er som bekendt 10-cifret. De seks første cifre angiver fødselsdag, -måned og
år.
a) Hvor mange muligheder er der for at skrive de to første cifre?
b) De to næste?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 10
Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
c) Ciffer nr. 5 og 6?
d) På hvor mange måder kan man skrive de seks
første cifre, hvis de skal være en del af et
personnummer?
e) For at få resultatet af opgave d, kan man ikke
multiplicere resultaterne fra a, b og c. Hvorfor
ikke?
f) Der fødes ca. 65.000 børn om året i Danmark.
Hvor mange har i gennemsnit de seks første
cifre ens i deres CPR-nummer?
Opg.2.
De fire sidste cifre i et CPR-nummer er specielle for
den enkelte person. Hvis det sidste ciffer er ulige, er
det en dreng.
a) Hvor mange muligheder er der for at skrive disse
fire cifre, hvis de skal tilhøre en pige?
b) Hvor mange forskellige CPR-numre kan der
teoretisk skrives, hvis de skal tilhøre en pige?
Opg.3.
Det er dog ikke alle kombinationer af de fire sidste cifre, der rent faktisk bruges. Det sidste
ciffer er en funktion af de ni andre. På den måde er det muligt at kontrollere, om et 10-cifret
nummer er et CPR-nummer. Kontrolmetoden fremgår af skemaet
side 26.
a) Kontroller om 050211-0551 kan være et CPR-nummer.
b) De ni første cifre i et personnummer er 07 11 72 17 8. Tilhører
dette nummer en dreng eller en pige?
Opg.4.
I kontrolmetoden for CPR-numre skal summen divideres med 11, og
resten ved denne division skal så findes.
a) Hvilke rester kan fremkomme ved division med 11?
b) Disse rester skal så trækkes fra 11, og derved fremkommer det
sidste ciffer i CPR-nummeret. Hvilke cifre kan fremkomme på
denne måde?
c) Hvor mange muligheder er der rent faktisk for at skrive de fire
sidste cifre i et CPR-nummer?
d) Hvor mange af disse kan tilhøre piger?
e) Hvis der ikke var indbygget en kontrol på det sidste ciffer, hvor
mange muligheder ville der så være for at skrive et CPRnummer?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 11
Glamsdalens Idrætsefterskole
Matematik
efterår/vinter 2013
f)
På grund af kontrolcifret er der i praksis færre muligheder for at skrive et CPR-nummer.
Undersøg fx hos Folkeregisteret eller Danmarks Statistik hvor mange CPR-numre, der er
til rådighed i Danmark.
g) Undersøg, hvor mange numre, der allerede er optaget, og hvor mange der er ledige.
h) Skriv ti tilfældige cifre. Hvor stor er sandsynligheden for, at det er et CPR-nummer?
i) Skriv de seks første cifre således, at de kan være begyndelsen på et CPR-nummer og de
sidste fire cifre, så de muligvis er det.
j) Hvor stor er sandsynligheden for, at det bliver et brugbart nummer?
PIN-kode
Brugen af Dankort og andre kundekort som betalingsmiddel har været stærkt stigende siden indførelsen
omkring 1983. Mange ser faktisk ikke de penge, de tjener og derefter bruger. Vi nærmer os stærkt det
„pengeløse" samfund. Kun omkring 5% af alt, hvad vi betaler, foregår ved hjælp af kontanter.
Når man bruger Dankortet eller andre kundekort, har man en firecifret talkode som sikkerhed for, at ingen
andre kan bruge kortet. Denne kode svarer egentlig til ens underskrift, dvs. man godkender, at der må
trækkes penge på ens konto Koden kaldes også en PIN-kode, hvor PIN står for Personal ldentification
Nurober. Det er kun nogle få mennesker i firmaet, der administrerer kundekortene, som har adgang
til de hemmelige PIN-koderegistre. Banken kender dem ikke Hvis man glemmer PIN-koden, skal man
tildeles en ny kode. Det tager tid, og i mellemtiden kan kortet ikke benyttes. Bankerne har fremstillet en
„kodehusker", da mange mennesker efterhånden har flere kundekort og dermed flere koder at huske.
Opg.6.
a) Hvor mange forskellige PIN-koder kan der dannes?
b) Hvis man antager, at 2 millioner danskere har et Dankort, hvor mange har så den samme
PIN-kode?
c) Hvorfor kan man acceptere, at der er flere Dankort med samme PIN-kode?
d) Hvor mange forskellige mønstre, som hver består af fire
felter, kan „kodehuskeren" indeholde?
e) Tegn på kvadreret papir et rektangel på 5 x 8 tern.
f) Vælg et mønster bestående af fire kvadrater. Kontroller
om andre har tegnet det samme mønster.
g) Prøv med et andet mønster, idet kvadraterne alle skal
røre hinanden langs mindst en side. Er der nogen, der har
tegnet det samme mønster?
h) Prøv, hvor kvadraterne kun rører hinanden i hjørnerne.
i) Er der nogle mønstre, der er mere sikre end andre?
Sandsynlighed & Kombinatorik
Side 12