1. No category

Matematik
på Åbent VUC
Trin 1
Eksempler
Matematik på Åbent VUC
Indledning til kursisterne
Indledning til kursisterne
Dette undervisningsmateriale består af i alt 10 moduler med opgaver. I hvert modul er der en
bestemt type opgaver. Der er fx et modul med Procentregning og et modul med Geometri.
Du kan se navnene på alle modulerne i indholdsfortegnelsen.
Til hvert opgave-modul hører et modul med eksempler. Hvis du døjer med at regne en opgave,
kan du næsten altid finde et eksempel, der ligner.
Til hvert opgave-modul hører også en facit-liste. Når du arbejder med opgaverne, er det en
god ide regelmæssigt at kikke i facit-listen. Du får ikke noget ud af at regne en masse opgaver
på en forkert måde.
Du kan sikkert ikke nå at regne alle opgaverne.
Derfor er:
- nogle opgaver mærket med
- nogle opgaver mærket med
- nogle opgaver mærket med
Jo mere farve der er i mærket, jo sværere er opgaven (synes jeg).
Hvis du ikke har haft den slags matematik før - eller er usikker - skal du:
- især regne mange af de opgaver, som er mærket med
- regne nogle af de opgaver, som mærket med
- måske prøve at regne et par af de opgaver, som er mærket med
Hvis du har haft noget af den slags matematik før - eller har nemt ved at lære det - skal du:
- regne nogle af de opgaver, som er mærket med
- især regne mange af de opgaver, som er mærket med
- regne nogle af de opgaver, som er mærket med
Hvis du kun har brug for at få den slags matematik genopfrisket, kan du
måske nøjes med, at regne de opgaver, som er mærket med
Du må altid hoppe over en opgave eller noget af en opgave, hvis opgaven
ligner de foregående, og du er sikker på, at du kan regne den.
God fornøjelse med opgaverne!
Niels Jørgen Andreasen
Lektion 00 - Indledning til kursisterne
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Indholdsfortegnelse for eksempelsamling
Eksempelsamlingen er inddelt i disse 10 moduler:
Grundliggende regning og talforståelse ........................................ 1
Omregning..................................................................................... 6
Sammensætning af regnearterne ................................................. 13
Brøker og forholdstal .................................................................. 19
Procent......................................................................................... 28
Bogstavregning ........................................................................... 37
Funktioner og koordinatsystemer................................................ 47
Geometri...................................................................................... 57
Statistik........................................................................................ 71
Kombinatorik og sandsynlighedsregning ................................... 79
Hvert modul er inddelt i en række afsnit, og alle modulerne starter med en
indholdsfortegnelse over disse afsnit.
Eksemplerne er lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus.
Arbejdet med eksemplerne er afsluttet i sommeren 2001.
Jeg vil meget gerne høre fra dig, hvis du opdager fejl i eksemplerne
eller på anden måde har kommentarer hertil.
Med venlig hilsen
Niels Jørgen Andreasen
[email protected]
Lektion 00 - Indholdsfortegnelse til eksempelsamling
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Grundliggende regning
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ....................................................................... 0
Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine ............... 1
Talsystemets opbygning - afrunding af tal.................................... 2
Store tal og negative tal................................................................. 3
Lig med, større end og mindre end ............................................... 3
Regning med papir og blyant ........................................................ 4
Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v................................. 5
Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler
Side 0
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine
Mælk, pr. liter ..........7 kr. Kager, pr. stk. ...........5 kr.
I eksemplerne herunder skal
du bruge prislisten til højre.
Rugbrød ....................12 kr. Slik, kæmpepose ... 20 kr.
Eksemplerne er enkle, men ideen er at vise,
hvordan man bruger regnemaskinen.
Eksempler på opgaver
Hvad koster en liter mælk
og et rugbrød?
Hvor meget får man tilbage,
når man køber et rugbrød
og betaler med 50 kr.?
Hvad koster 5 liter mælk?
Man får:
Man får:
Man får:
Mælk
7 kr.
Betalt
50 kr.
7 · 5 kr. = 35 kr.
På regnemaskinen tastes:
Rugbrød
12 kr.
Rugbrød
12 kr.
I alt
19 kr.
Tilbage
38 kr.
Eller blot:
7 kr. + 12 kr. = 19 kr.
På regnemaskinen tastes:
7 + 12 =
Eller blot:
50 kr. - 12 kr. = 38 kr.
På regnemaskinen tastes:
7 x 5 =
Man skriver gange med
en prik, men på regnemaskinen
skal man taste et kryds.
50 - 12 =
Eksempler på opgaver
Hvor mange kager kan
man få for 20 kr.?
5 børn deler en kæmpepose slik.
Hvor meget skal de betale hver?
Man får:
Man får:
20 kr. : 5 kr. = 4
På regnemaskinen tastes:
20 ÷ 5 =
20 kr. : 5 = 4 kr.
På regnemaskinen tastes:
20 ÷ 5 =
Man skriver division med to prikker, men på regnemaskinen ser tegnet anderledes ud.
I eksemplet til venstre spørger man: ”Jeg har 20 kr. Hvor mange gange kan jeg få 5 kr.?”
I eksemplet til højre deler man 20 kr. i 5 lige store dele. Men regnestykket er det samme.
Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler
Side 1
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Talsystemets opbygning - afrunding af tal
Herunder er tegnet 24 firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få.
Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem.
24 betyder nemlig 2 ⋅ 10 + 4 , eller to 10’ere og fire 1’ere.
325 betyder på samme måde 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 5 ,
eller tre 100’ere, to 10’ere og fem 1’ere.
Forestil dig, at du har tre 100-krone-sedler,
to 10-kroner og fem 1-kroner.
2,4 betyder to 1’ere (to hele) og fire 10.ende-dele. Det er et tal mellem 2 og 3.
De enkelte tal i et tal kaldes cifre. 24 har to cifre. 325 har tre cifre.
Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler.
Eksempler på opgaver
Afrund 3,46 til en decimal.
Afrund 254.312 til helt antal tusinde.
3,46 er et tal mellem 3,4 og 3,5
men tættest på 3,5.
254.312 er et tal mellem 254.000 og 255.000
men tættest på 254.000.
Derfor bliver resultatet: 3,5
Derfor bliver resultatet: 254.000
254.312
3,46
3,4
3,5
254.000
255.000
Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad. 3,45 afrundes til 3,5.
I store tal ( som f.eks. 254.312) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert 3. ciffer
regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen.
Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum · Det er ret forvirrende!
Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler
Side 2
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Store tal og negative tal
Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem.
Her er et par eksempler:
Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives 5.000.000.
Nogle gange skriver man blot fem mio. eller 5 mio.
En million skrives 1.000.000. Altså et et-tal med seks nuller bagefter.
Det er det samme som 1.000 ⋅ 1.000 .
Der bor omkring seks milliarder mennesker på jorden. Tallet seks milliarder skrives 6.000.000.000.
Nogle gange skriver man blot seks mia. eller 6 mia..
En milliard skrives 1.000.000.000. Altså et et-tal med ni nuller bagefter.
Det er det samme som tusind millioner eller 1.000 ⋅ 1.000.000 eller 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000
Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå,
hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto.
10
Eksempler på opgaver
5
Udregn: 5 − 8
Udregn: - 3 + 10
Man får:
Man får:
5 − 8 = −3
0
-5
− 3 + 10 = 7
-10
Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten.
-10
-5
0
5
10
Lig med, større end og mindre end
Du kender sikkert lighedstegnet. Man skriver 2 + 2 = 4 , fordi 2 + 2 er lig med 4.
Man kan også skrive 5 + 1 = 8 − 2 eller 117,2 = 117,2 .
Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud:
7 > 5 betyder at
3 < 8 betyder at
7 er større end 5
3 er mindre end 8
Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej.
Tegnet åbner sig altid imod det største tal.
Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler
Side 3
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Regning med papir og blyant
Når man regner med papir og blyant skal man ”sætte i mente” og låne”
Eksempler på opgaver
Udregn:
Udregn:
346 + 52
378 + 256
346
+ 52
8
378
+ 256
4
1
Tallene skrives op over
hinanden og 1’erne lægges
sammen.
1’erne lægges sammen og
giver 14, men ti af 1’ere
sættes i mente som en 10’er
11
346
+ 52
98
378
+ 256
34
Derefter lægges 10’erne
sammen.
10’erne lægges sammen og
giver 13, men ti af 10’ere
sættes i mente som en 100’er
11
346
+ 52
398
378
+ 256
634
Til sidst lægges 100’erne
sammen. Den tomme plads
opfattes som 0.
100’erne lægges sammen og
giver 6.
Eksempler på opgaver
Udregn:
Udregn:
278 - 47
625 - 458
10
278
47
1
Tallene skrives op over
hinanden og 1’erne trækkes
fra hinanden
625
- 458
7
Man må låne en 10’er for
at kunne trække 1’erne fra
hinanden.
10 10
278
47
31
Derefter trækkes 10’erne fra
hinanden.
625
- 458
67
278
47
231
Til sidst trækkes 100’erne fra
hinanden. Den tomme plads
opfattes som 0.
625
- 458
167
Man må låne en 100’er for
at kunne trække 10’ere fra
hinanden.
10 10
Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler
100’erne trækkes fra
hinanden. Der er fem
100’er i øverste række.
Side 4
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempler på opgaver
Udregn:
Udregn:
3 · 42
4 · 296
2
3 · 42
6
4 · 296
4
Tallene skrives op, og 3 og 2
ganges med hinanden.
32
3 · 42
126
4 · 296
84
3 og 4 ganges med hinanden.
32
4 · 296
1184
4 gange 6 giver 24, men
2-tallet sættes i mente.
4 gange 9 giver 36. Hertil
lægges 2-tallet. Man får 38,
men 3-tallet sættes i mente.
4 gange 2 giver 8. Hertil
lægges 3-tallet. Man får 11.
Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v.
Eksempler på opgaver
10 ⋅ 12
2,4 ⋅ 100
150 : 10
230 : 1.000
10 ⋅ 12 = 120
2,4 ⋅ 100 = 240
150 : 10 = 15
230 : 1.000 = 0,23
Man ganger et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at sætte 0’er på tallet eller rykke kommaet til højre.
Man dividerer et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at fjerne 0’er eller rykke kommaet til venstre.
Eksempler på opgaver
80 ⋅ 300
Man må se bort fra 0’erne i første omgang.
Man får: 8 ⋅ 3 = 24
Derefter sættes de tre 0’er bagpå.
I alt fås:
12.000 : 400
Man må fjerne 0’erne parvis på denne måde:
12.000 : 400 = 12.000 : 400 = 120 : 4 = 30
I den sidste beregning bruger man, at: 12 : 4 = 3
80 ⋅ 300 = 24.000
Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler
Side 5
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Omregning
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ....................................................................... 6
Kg-priser........................................................................................ 7
Tid og hastighed............................................................................ 9
Valuta .......................................................................................... 11
Rente og værdipapirer ................................................................. 12
Lektion 02 - Omregning eksempler
Side 6
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Kg-priser
De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder.
Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder:
Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man
bruger den ene eller den anden skrivemåde.
Eksempel på opgave
Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars.
Man får: 1,7 ⋅ 59 = 100,30 kr.
Eksempel på opgave
Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 450 g oksefars.
Opgaven kan regnes på flere måder:
- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige:
1.000 g koster 59 kr.
59
1 g koster
= 0,059 kr.
1.000
450 g koster 450 ⋅ 0,059 = 26,55 kr.
- Man kan i en beregning sige:
59 ⋅ 450
= 26,55 kr.
1.000
- Eller man kan (fordi 450 g = 0,450 kg) sige:
0,450 ⋅ 59 = 26,55 kr.
Eksempel på opgave
Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 40 kr?
Opgaven kan regnes på flere måder:
- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige:
1.000 g koster 59 kr.
59
1 g koster
= 0,059 kr.
1.000
40
For 40 kr. kan man få:
= 678 g.
0,059
Lektion 02 - Omregning eksempler
- Eller man kan i en beregning sige:
40 : 59 = 0,678 kg eller 678 g
Side 7
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
2,5 kg kartofler koster 9,95 kr. Find kg-prisen.
Man får: 9,95 : 2,5 = 3,98 kr. pr. kg.
Eksempel på opgave
325 g leverpostej koster 11,75 kr. Find kg-prisen.
Opgaven kan regnes på flere måder:
- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige:
325 g koster 11,75 kr.
11,75
1 g koster
= 0,03615… kr.
325
1.000 g koster 0,03615 ⋅ 1.000 = 36,15 kr.
- Man kan i en beregning sige:
11,75 ⋅ 1.000
= 36,15 kr.
325
- Eller man kan (fordi 325 g = 0,325 kg) sige:
11,75 : 0,325 = 36,15 kr.
Eksempel på opgave
225 g leverpostej koster 7,95 kr. Hvad vil 325 g koste?
Opgaven kan regnes på flere måder:
- Man kan sige:
225 g koster 7,95 kr.
7,95
1 g koster
= 0,03533… kr.
225
325 g koster 0,03533 ⋅ 325 = 11,48 kr.
- Eller man kan i en beregning sige:
7,95 ⋅ 325
= 11,48 kr.
225
Eksemplerne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men
regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver.
Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de
efterfølgende afsnit om tid og valuta.
Lektion 02 - Omregning eksempler
Side 8
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Tid og hastighed
Opgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem.
Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 100 cm i en meter, og det er let at regne
med kg og gram, fordi der er 1.000 gram i et kg. Men når der er 60 sekunder i et minut og
60 minutter i en time, kan man let lave fejl.
Eksempler på opgaver
Hvor mange minutter er
4 timer og 17 minutter?
Omregn 310 sekunder
til minutter og sekunder.
Man får:
4 ⋅ 60 + 17 =
Man siger først: 310 : 60 = 5,16...
240 + 17 = 257 minutter
Det betyder, at der er 5 hele minutter,
som svarer til 5 ⋅ 60 = 300 sekunder.
Derfor er:
310 sekunder = 5 minutter og 10 sekunder
Eksempler på opgaver
Det koster 45 kr. i timen at leje en båd.
- Hvad koster det at leje båden i
2 timer og 30 minutter?
- Hvor længe har man haft båden,
når man skal betale 105 kr?
Man kan sige:
2 t. og 30 min. = 2 ⋅ 60 + 30 = 150 minutter
Man kan sige:
45
= 0,75 kr.
60
2 t. og 30 min. koster: 150 ⋅ 0,75 =112,50 kr.
1 min. koster
45
= 0,75 kr.
60
105
For 105 kr. kan man få:
=140 min.
0,75
1 min. koster
140 min. = 2 t. og 20 min.
Eksempel på opgave
En håndværker tager 780 kr. for 3 timer og 15 minutter. Hvad er timelønnen?
Man kan sige:
3 t. og 15 min. = 3 ⋅ 60 + 15 = 195 minutter
Prisen pr. minut er: 780 : 195 = 4 kr.
Prisen pr. time er: 4 ⋅ 60 = 240 kr.
Lektion 02 - Omregning eksempler
Side 9
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempler på opgaver
Omregn 2 timer og 50 minutter
til decimaltal.
Omregn 1,2 time
til timer og minutter.
Man får:
Man får:
2 t. og 50 min. = 2,83 time.
Det er fordi 50 min. =
1,2 time = 1 t. og 12 min.
50
time = 0,83
60
time.
Det er fordi 0,2 t. = 0,2 ⋅ 60 min. = 12 min.
Du må aldrig sige at:
Du må aldrig sige at:
1,2 time = 1 t. og 20 min.
2 t. og 50 min. = 2,50 time.
En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går….) pr. tidsenhed.
Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km.
Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund.
Eksempler på opgaver:
En bil kører 240 km
på 3 timer.
Hvad er bilens hastighed?
Hvor langt kan du gå
på 2 timer, når din
hastighed er 5 km/time?
Hvor lang tid tager det
at cykle 60 km, når man
kører 15 km/time?
Man får:
240
= 80 km/time
3
Man får:
Man får:
60
= 4 timer
15
5 ⋅ 2 = 10 km
Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre.
Formlen kan omskrives som vist herunder.
Afstand = Hastighed ⋅ Tid eller Tid =
Hastighed =
Afstand
Tid
Afstand
Hastighed
Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen.
Eksempel på opgave
Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler 36 km på 1 time 30 minutter?
- Da 1 time og 30 min. = 1,5 time,
kan man sige:
36
= 24 km/time
1,5
Lektion 02 - Omregning eksempler
- Eller man kan finde hastigheden i km/min. og
gange med 60. Det kan gøres i en beregning:
36 ⋅ 60
= 24 km/time
90
Side 10
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Valuta
Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta.
I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 2001,
men valutakurser ændrer sig hele tiden.
Kursen på svenske kr. er 83,91. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 83,91 danske kr.
En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,8391 kr. eller 83,91 øre.
Kursen på US-dollars er 856,91. Det betyder, at 100 US-dollars koster 856,91danske kr.
En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,5691 kr. eller 856,91 øre.
Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel:
D=
F⋅K
100
D = Antal danske kroner
F = Antal fremmed valuta
K = Valutakursen
Formlen kan også skrives således:
F=
D ⋅ 100
K
eller
K=
D ⋅ 100
F
Eksempler på opgaver:
Hvor meget koster
250 US-dollars,
når kursen er 856,91?
Hvor mange svenske kr. kan
man få for 800 danske kr.,
når kursen er 83,91?
Hvad er kursen på pesetas,
når 70.000 pesetas,
koster 3.139 kr.?
Man får:
250 ⋅ 856,91
= 2.142 kr.
100
Man får:
800 ⋅ 100
= 953 sv. kr.
83,91
Man får:
3.139 ⋅ 100
= 4,484
70.000
Eller blot:
Eller blot:
250 ⋅ 8,5691 = 2.142 kr. fordi
800
= 953 sv. kr.
hver dollar koster 8,5691 kr.
0,8391
fordi hver svensk krone
koster 0,8391 dansk krone.
100 pesetas koster altså kun
cirka 4,50 kr.
Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at
vurdere, om resultatet er rimeligt.
I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet.
I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr.
I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal pesetas
er langt større end antal kr.
Lektion 02 - Omregning eksempler
Side 11
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Rente og værdipapirer
Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter.
Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene står
sjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage.
For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 30 dage i alle måneder og
360 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal.
Man bruger denne formel (evt. med 365 i stedet for 360):
R=
K⋅r⋅d
100 ⋅ 360
R = beregnet rente i kr.
r = renten pr. år i procent
K = kapital i kr.
d = antal dage (kaldet rentedage)
Eksempler på opgaver
Der står 5.000 kr. fra 1. april til 1. juni på en konto med en rente på 3% pro anno.
Beregn renten, hvis man regner…
- …med 30 dage i hver måned.
- …med det præcise antal dage.
Der går 2 måneder ≈ 60 dage, så man får:
Der går 61 dage (tæl selv efter), så man får:
5.000 ⋅ 3 ⋅ 60
= 25,00 kr.
100 ⋅ 360
5.000 ⋅ 3 ⋅ 61
= 25,07 kr.
100 ⋅ 365
Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer.
Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejerne del i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kan
være højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går.
Kursen på en aktie er handelsprisen for
hver 100 kr. i pålydende værdi.
Formlen viser sammenhængen:
Kursværdi =
Pålydende værdi ⋅ Kurs
100
Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode.
Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemt
procentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetalt
penge svarende til den pålydende værdi.
Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - til
sidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år),
mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme måde
som handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vil
kursen på obligationen være høj - og omvendt.
Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien).
Lektion 02 - Omregning eksempler
Side 12
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Sammensætning af regnearterne
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 13
Plus, minus, gange og division.................................................... 14
Negative tal ................................................................................. 15
Parenteser og brøkstreger............................................................ 17
Potenser og rødder....................................................................... 18
Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler
Side 13
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Plus, minus, gange og division
Eksempler på opgaver
Udregn: 8 − 5 + 6 − 4 + 2
Udregn: 6 − 4 + 8 + 2 − 5
Man regner forfra og får:
8−5+6−4+2 =
Man regner forfra og får:
6−4+8+2−5 =
3+6−4+ 2 =
9−4+2 =
2+8+2−5
10 + 2 − 5
5+2 = 7
12 − 5 = 7
Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.
Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal
følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” plus foran det forreste tal).
Forestil dig at:
- du skal have 8 kr., 6 kr. og 2 kr.,
- du skal af med 5 kr. og 4 kr.
Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i.
(I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har).
Man kan også tænke således: 8 − 5 + 6 − 4 + 2 = 8 + 6 + 2 − 5 − 4 = 16 − 9 = 7 .
Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket.
Eksempler på opgaver
Udregn: 4 ⋅ 6 : 3 ⋅ 5 : 2
Udregn: 5 ⋅ 4 : 2 ⋅ 6 : 3
Man regner forfra og får:
4⋅6 : 3⋅5 : 2 =
24 : 3 ⋅ 5 : 2 =
8⋅5 : 2 =
40 : 2 = 20
Man regner forfra og får:
5⋅ 4 : 2⋅6 : 3 =
20 : 2 ⋅ 6 : 3 =
10 ⋅ 2 : 3 =
60 : 3 = 20
Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.
Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene
skal følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” gange foran det forreste tal).
Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler
Side 14
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
I lange regnestykker skal man gange og dividere før man plusser og minusser.
Eksempler på opgaver
Udregn: 4 ⋅ 5 + 8 : 2
Udregn: 7 − 12 : 4 + 8 ⋅ 3 : 6 − 5
Man får:
4⋅5 + 8: 2 =
20 + 4 = 24
Man får:
7 − 12 : 4 + 8 ⋅ 3 : 6 − 5 =
7 −3+ 4−5 = 3
På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står.
En mindre god regnemaskine vil typisk give 14, hvis man indtaster opgaven til venstre.
Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således:
7 − 12 : 4 + 8 ⋅ 3 : 6 − 5 =
7 − 3 + 4 − 5=3
Så kan man f.eks. let se, at 4-tallet i anden linie er resultatet af 8 ⋅ 3 : 6 .
Negative tal
Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå,
hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto.
Der findes specielle regneregler for negative tal.
Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler.
Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder.
5
0
-5
Eksempler på opgaver
Udregn: 5 − 8
Udregn: 5 + ( −8)
Man får:
Man får:
5 + (−8) = −3
5 − 8 = −3
10
-10
Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt.
I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt.
Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet.
Så vil der være -3 kr. på kontoen (overtræk).
I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen.
Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto.
Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen.
Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler
Side 15
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempler på opgaver
Udregn: 6 − (−4)
Udregn: − 3 − (−7)
Man får:
6 − (−4) = 10
Man får:
− 3 − (−7) = 4
fordi 6 − (−4) svarer til 6 + 4
fordi − 3 − (−7) svarer til − 3 + 7
Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til,
fordi to minusser efter hinanden giver plus.
-5
0
Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal.
Tegningen til højre viser, at forskellen på -4 og 6 er 10.
5
10
Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler
+ ⋅ − = −
+ : − = −
− ⋅ − = +
og
og
− ⋅ + = −
− : + = −
− : − = +
Eksempler på opgaver
Udregn: 3 ⋅ ( −5) =
Udregn: (−24) : 4
Man får:
3 ⋅ (−5) = −15
Man får:
(−24) : 4 = −6
på grund af regnereglen:
+ ⋅ − = −
Forestil dig, at der på 3 forskellige
bankkonti alle ”står” -5 kr. (overtræk).
I alt ”står” der -15 kr. på de 3 konti.
på grund af regnereglen:
− :+ = −
Forestil dig, at en gæld på 24 kr.
deles i 4 lige store gælds-portioner.
Hver portion bliver en gæld på 6 kr.
Eksempler på opgaver
Udregn: - 4 ⋅ ( −2) =
Udregn: ( −20) : ( −5)
Man får:
− 4 ⋅ ( − 2) = 8
Man får:
(−20) : (−5) = 4
på grund af regnereglen:
− ⋅ − = +
Dette eksempel er svært at forklare.
på grund af regnereglen:
− : − = +
Forestil dig, at en gæld på 20 kr. skal
deles i mindre gælds-portioner på 5 kr.
Der bliver 4 gælds-portioner.
Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler
Side 16
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Parenteser og brøkstreger
Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først.
Eksempler på opgaver
Udregn: 4 ⋅ (8 − 3)
Udregn: 6 + (4 ⋅ 3 − 2) : 5
Man får:
4 ⋅ (8 − 3) = 4 ⋅ 5 = 20
Man får:
6 + (4 ⋅ 3 − 2) : 5 = 6 + (12 − 2) : 5 =
6 + 10 : 5 = 6 + 2 = 8
En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn.
Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer.
Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først.
Eksempler på opgaver
Udregn:
5+7
Udregn: 3 +
9−6
Man får:
5 + 7 12
=
=4
9−6 3
8⋅3
−5
6
Man får:
3+
8⋅3
24
−5 = 3+
−5 = 3+ 4−5 = 2
6
6
Opgaven i eksemplet svarer til at skrive
(5 + 7) : (9 − 6) = 12 : 3 = 4 ,
men brøkstregen er mere ”fiks”.
Eksempler på opgaver
Skriv
6⋅ 4 ⋅2
3⋅8
uden brøkstreg.
Man får:
6⋅4⋅2
= 6⋅4⋅2:3:8
3⋅8
Skriv 8 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 : 10 på en brøkstreg.
Man får:
8 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 : 10 =
Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler
8⋅5⋅ 2
4 ⋅ 10
Side 17
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Potenser og rødder
Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens.
Eksempler på opgaver
Skriv 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 som en potens.
Skriv 5 7 som et almindeligt gangestykke.
Udregn også resultatet.
Udregn også resultatet.
Man får:
Man får:
6⋅6⋅6⋅6 = 6
4
Man siger seks i fjerde.
5 7 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 78.125
Man siger fem i syvende.
På regnemaskinen trykkes 6 ^ 4 = for at
beregne resultatet. Man får: 1.296.
Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store.
Bemærk at ”potens-knappen” også kan se således ud: yx på regnemaskinen.
Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens.
De fleste regnemaskiner har en ”i anden-knap”. Den ser således ud: x2 .
For at finde 5 ⋅ 5 = 5 2 tastes 5 x2 og man får 25.
Rødder er det modsatte af potenser.
Eksempler på opgaver
Find
16
16 kaldes for kvadratroden af 16.
Man får
16 = 4
fordi 4 2 eller 4 ⋅ 4 er 16.
Find
3
8
3
8 kaldes både for den tredje rod af 8
og for kubikroden af 8.
Man får
3
8=2
3
fordi 2 eller 2 ⋅ 2 ⋅ 2 er 8.
Man skulle tro, at 16 også kan være − 4 , fordi (−4) 2 er 16 (husk regnereglen:
− ⋅ − = + ).
Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 16 . Og − 16 betyder − 4 .
Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x .
Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine.
Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler
Side 18
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Brøker og forholdstal
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 19
Hvad er brøker - nogle eksempler............................................... 20
Forlænge og forkorte................................................................... 21
Udtage brøkdele .......................................................................... 22
Uægte brøker og blandede tal ..................................................... 23
Brøker og decimaltal ................................................................... 23
Regning med brøker - plus og minus .......................................... 23
Regning med brøker - gange og division.................................... 23
Forholdstal................................................................................... 23
Lektion 04 - Brøker eksempler
Side 19
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Hvad er brøker - nogle eksempler
Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade.
Lagkagen er inddelt i 4 lige store stykker – eller brøkdele.
Hver brøkdel kaldes
1
(en fjerde-del).
4
Chokoladen til venstre er inddelt i 16 lige store stykker.
Ligesom en Rittersport.
Hver del kaldes
1
16
(en sekstende-del).
Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker.
Hver del kaldes
1
6
(en sjette-del).
Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af.
Der er spist
3
4
af lagkagen til venstre. Der er
Der er spist
5
8
af lagkagen til højre. Der er
Der er spist
7
16
af chokoladen til venstre. Der er
9
16
tilbage.
Der er spist
7
12
af chokoladen til venstre. Der er
5
12
tilbage.
3
8
Tallet over brøkstregen kaldes tæller.
Tallet under brøkstregen kaldes nævner.
1
4
tilbage.
tilbage.
Tæller
2
3
Nævner
En brøkstreg er også et divisionstegn.
2
kan
3
betyde to ting, som reelt er det samme:
- en hel deles i 3 dele - vi tager de 2
- resultatet af 2 divideret med 3
Lektion 04 - Brøker eksempler
Side 20
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Forlænge og forkorte
Der findes mange ”navne” for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte.
Eksempel på opgaver
Forlæng brøken
2
3
Forkort brøken
med 4.
Man skal gange både tæller og nævner med 4:
Man får:
2
3
2⋅4
3⋅ 4
=
=
8
12
2
8
og
er ens.
3
12
med 4.
Man skal dividere tæller og nævner med 4:
Man får:
Tegningen viser, at brøkerne
4
16
4
16
=
4:4
16 : 4
=
1
4
Tegningen viser, at brøkerne
2
2⋅4
8
=
=
3
3⋅ 4
12
4
1
og er ens.
16
4
4
4:4
1
=
=
16
16 : 4
4
Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken.
Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal.
Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken.
Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal.
Man forkorter normalt mest muligt.
Eksempel på opgave
Hvor stor en brøkdel udgør 15 ud af 20?
Man skal forkorte brøken
Man får:
15
20
=
15 : 5
20 : 5
=
15
mest mulig:
20
3
4
Tegningen viser resultatet.
Lektion 04 - Brøker eksempler
Side 21
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Udtage brøkdele
Eksempel på opgave
Find
2
3
af 12.
Man kan finde
2
af 12 på 2 måder.
3
- Man kan enten:
først sige:
1
af 12 = 12 : 3 = 4
3
og derefter sige:
2
af 12 = 2 ⋅ 4 = 8
3
- Eller man kan sige:
2 ⋅ 12
2
⋅ 12 =
= 8.
3
3
På regnemaskinen tastes 2 × 12 ÷ 3 =
De tre skriveformer
2
3
af 12 og
2
⋅ 12
3
og
2 ⋅ 12
betyder det samme.
3
Eksempel på opgave
18 svarer til
3
4
af et tal. Find tallet.
Man kan finde tallet - det hele - på to måder:
3
= 18
4
1
=6
4
4
= 24
4
- Man kan enten:
først sige:
1
4
af det hele er 18 : 3 = 6
og derefter sige: Det hele må være 6 ⋅ 4 = 24
- Eller man kan sige:
18 ⋅ 4
= 24 .
3
På regnemaskinen tastes 18 × 4 ÷ 3 =
Lektion 04 - Brøker eksempler
Side 22
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Uægte brøker og blandede tal
Brøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren,
og brøken kaldes en ægte brøk.
3
4
og
1
5
er eksempler på ægte brøker.
Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer:
Man kan både sige, at der er
og at der er 2
Altså:
9
4
=2
1
4
9
4
lagkage,
lagkage.
1
4
Brøken
9
4
kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner.
Tallet 2
1
4
kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk.
Tegningen til højre viser, at
11
6
5
6
=1 .
Eksempel på opgaver
Omskriv
13
5
til blandet tal.
1
3
til uægte brøk.
Man får:
Man får:
13
5
Omskriv 2
=2
3
5
1
3
2 =
7
3
Der bliver 2 hele, fordi 13 : 5 = 2 , rest 3.
Det er fordi 2 ⋅ 3 + 1 = 7
Lav evt. selv en tegning,
der viser omregningen.
Nogle gange skrives regnestykket således:
Lektion 04 - Brøker eksempler
1
3
2 =
2 ⋅ 3 +1 7
=
3
3
Side 23
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Brøker og decimaltal
Decimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøker
Første ciffer efter kommaet er 10.-dele, andet ciffer er 100.-dele o.s.v.
Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved:
- enten at forlænge til 10.-dele, 100.dele o.s.v.
- eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen.
Eksempel på opgaver
Omskriv
1
2
til decimaltal.
- Man kan enten forlænge:
1
2
=
5
10
= 0,5
- eller taste 1 ÷ 2 = på regnemaskinen.
Så får man:
1
2
= 0,5
Omskriv
1
4
til decimaltal.
- Man kan enten forlænge:
1
4
=
25
100
= 0,25
(
25
100
=
2
5
+
)
10 100
- eller taste 1 ÷ 4 = på regnemaskinen.
Så får man:
1
4
= 0,25
Eksempel på opgave
Omskriv
1
3
til decimaltal.
Man kan ikke forlænge til hverken 10.-dele eller 100.dele eller …..
1
3
Man får: = 0,333.... ved at taste 1 ÷ 3 = på regnemaskinen, og afrunder til fx:
1
3
= 0,33
Eksempler på opgaver
Omskriv 0,3 til brøk.
Man får: 0,3 =
3
10
Lektion 04 - Brøker eksempler
Omskriv 0,75 til brøk.
Man får: 0,75 =
75
100
=
3
4
Side 24
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Regning med brøker - plus og minus
Hvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen ved
at lægge tællerne sammen og beholde nævneren.
Man trækker brøker fra hinanden på samme vis.
Eksempler på opgaver
2
9
+
5
7
4
9
Man får:
2
9
+
4
9
6
9
2
3
= , som kan forkortes til .
−
3
7
Man får:
5
7
−
3
7
=
2
7
Tegningen viser beregningen til venstre:
2
9
4
9
+
6
9
=
2
3
=
Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden,
skal man først finde en fællesnævner.
Eksempler på opgaver
1
2
+
1
3
Man får:
1
2
1
2
+
1
3
=
3
6
+
2
6
=
5
6
−
3
8
Man får:
1
2
3
8
− =
4
8
3
8
− =
1
8
Tegningen viser beregningen til venstre:
1
2
+
1
3
Lektion 04 - Brøker eksempler
=
3
6
+
2
6
=
5
6
Side 25
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Regning med brøker - gange og division
Man ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren.
Eksempel på opgave
3
4
⋅ 8 (eller 8 ⋅
-
- rækkefølgen er ligegyldig)
3⋅8
3
⋅8 =
4
4
24
=6
4
3
Det kan både betyde af 8 hele (til højre)
4
3
Og betyde 8 portioner på (her under)
4
Man får:
-
3
4
=
Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 3 × 8 ÷ 4 =
Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.
Eksempel på opgave
2 3
⋅
3 4
Man får:
2 3
⋅
3 4
=
2⋅3
3⋅ 4
=
6
12
=
1
2
Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå)
2 3
⋅
3 4
er det samme som
2
3
af
3
4
eller
2
3
af
eller
eller
eller
3
4
af
eller
eller
eller - da rækkefølgen er ligegyldig:
3 2
⋅
4 3
er det samme som
3
4
af
Lektion 04 - Brøker eksempler
2
3
Side 26
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet.
Eksempel på opgave
3
4
:2
Man får:
3
4
:2 =
3
4⋅2
=
3
8
Tegningen til højre viser regnestykket
3
4
:
2
3
8
=
Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel:
6
7
:2 =
6:2
7
=
3
7
Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.
Eksempel på opgave
4:
2
3
Man får: 4 :
2
3
= 4⋅
3
2
=
4 ⋅3
2
=
12
2
=6
Tegningen til højre viser, at når man
har 4 hele, kan man 6 gange få
2
3
Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.
Eksempel på opgave
1
2
:
1
3
Man får:
1 1
:
2 3
=
1 3
⋅
2 1
=
1⋅ 3
2 ⋅1
=
3
2
=1
1
2
Tegningen er svær at forstå
Tegningen skal vise, at hvis man
har
få
1
3
1
2
plade chokolade, kan man
plade 1
1
2
:
=
:
=1
1
2
gang
Lektion 04 - Brøker eksempler
Side 27
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Forholdstal
Eksempel på opgave
Del 1.000 kr. mellem to personer i forholdet 2 : 3 .
Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi 2 + 3 = 5 .
2
⋅ 1.000 = 400 kr.
5
3
person får ⋅ 1.000 = 600 kr.
5
Den ene person får
Den anden
Eksempel på opgave
En læskedrik skal blandes med vand i forholdet 1 : 6 .
Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter).
Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske?
Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik?
Der skal bruges 6 ⋅ 500 = 3.000 ml vand til 500 ml koncentreret drik.
I alt får man 3.500 ml = 3,5 liter færdigblandet drik.
Fordi 1 + 6 = 7 skal der bruges
1
7
liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik
Det svarer til 0,143 liter eller 143 ml.
Et forhold kan forkortes ligesom en brøk.
Forholdet 20 : 30 kan forkortes til 2 : 3 . Man dividerer begge tal med 10.
Lektion 04 - Brøker eksempler
Side 28
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Procentregning
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 29
Find et antal procent af…............................................................ 30
Procent, brøk og decimaltal ........................................................ 31
Hvor mange procent udgør…..?.................................................. 32
Find det hele…............................................................................ 33
Promille ....................................................................................... 33
Moms........................................................................................... 34
Ændring i procent........................................................................ 35
Forskel i procent.......................................................................... 36
Lektion 05 - Procent eksempler
Side 29
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Ordet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner
med 100-dele - eller prøver at regne om til 100-dele. En procent er
1
100
. Man skriver 1%.
Find et antal procent af….
Eksempel på opgave
På et VUC er der 735 kursister. Heraf er 40% mænd.
Hvor mange procent af kursisterne er kvinder?
Hvor mange mænd er der?
De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 100% tilsammen.
Derfor er der 100% - 40% = 60% kvinder.
Antallet af mænd kan findes på flere måder.
- Man kan - se tegningen - sige:
100% = 735 kursister
100% = 735 kursister
1% =
735
= 7,35 kursist
100
1% = 7,35 kursist
40% = 7,35 ⋅ 40 = 294 kursister
40% = 294 kursister
Denne måde er nem at forstå
men besværlig at skrive.
- Eller man kan - i en beregning - sige:
735 ⋅ 40
40% af 735 =
= 294 kursister
100
Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder
40
af 735.
100
På regnemaskinen tastes 735 x 40 ÷ 100 =
Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde:
Del =
Det hele ⋅ Antal procent
100
- Endelig kan man - i en beregning - sige:
40% af 735 = 0,40 ⋅ 735 = 294 kursister.
Her bruger man, at 40% er det samme som decimal-tallet 0,40 (se næste side).
Lektion 05 - Procent eksempler
Side 30
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Procent, brøk og decimaltal
Procent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag.
Således er 50% både det samme som
1
og det samme som 0,5.
2
Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 100-dele. Nogle gange kan man forkorte.
Eksempel på opgave
Omskriv disse procent-tal til brøker: 7% , 80% og 250%
Man får:
7% =
Tegningen viser at 80% =
7
100
80% =
4
5
80
4
=
100 5
250% =
250 5
1
= =2
100
2
2
En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 100-dele.
Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 100-dele (se næste side).
Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre.
Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre.
Eksempel på opgave
Omskriv disse procent-tal til decimal-tal: 5% , 60% og 147%
Man får:
5% = 0,05
60% = 0,60 (eller blot 0,6)
147% = 1,47
Eksempel på opgave
Omskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,005 ; 0,75 og 4,3
Man får:
0,005 = 0,5%
Lektion 05 - Procent eksempler
0,77 = 75%
4,3 = 430%
Side 31
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
En brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævner
og rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultat
Eksempel på opgave
2
3
og
3
4
Omskriv disse brøker til procent-tal:
Man får:
3
= 0,75 = 75%
4
2
= 0,66666... = 67%
3
I opgaven med
3
3
75
kan man også sige =
= 75% .
4
4 100
I opgaven med
2
er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%….
3
Hvor mange procent udgør…..?
Eksempel på opgave
På et VUC er der 395 kursister. Heraf er 257 kvinder.
Hvor mange procent af kursisterne er kvinder?
Procent-tallet kan findes på flere måder.
- Man kan sige:
100% = 395 kursister
395
1% =
= 3,95 kursist
100
257
Kvinderne udgør
= 65% af kursisterne.
3,95
- Eller man kan - i en beregning - sige:
Kvinderne udgør
Man omregner brøken
257 ⋅ 100
= 65% af kursisterne.
395
257
395
til procent-tal. På regnemaskinen tastes 257 ÷ 395 x 100 =
Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde:
Antal procent =
Lektion 05 - Procent eksempler
Del ⋅ 100
Det hele
Side 32
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Find det hele…..
Eksempel på opgave
51 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 15% af medlemmerne.
Hvor mange medlemmer er der i alt?
Tallet kan findes på flere måder.
- Man kan sige:
15% = 51 personer
51
1% =
= 3,4 person
15
I alt er der 3,4 ⋅ 100 = 340 medlemmer af sportsklubben.
- Eller man kan - i en beregning - sige:
I alt er der
51⋅ 100
= 340 medlemmer af sportsklubben.
15
På regnemaskinen tastes 51 ÷ 15 x 100 =
Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde:
Det hele =
Del ⋅ 100
Antal procent
Promille
Promille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altså
1
1.000
og skrives 1‰.
Promille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver.
Eksempel på opgave
Find 2‰ af 60.000 kr.
Man får:
2‰ af 60.000 kr. =
60.000 ⋅ 2
= 120 kr.
1.000
Læg mærke til, at der divideres med 1.000 i stedet for med 100.
Lektion 05 - Procent eksempler
Side 33
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Moms
Alle priser tillægges 25% moms.
Eksempel på opgave
Et par bukser koster 156 kr. uden moms. Find prisen med moms.
Opgaven kan besvares på mange måder:
- Eller man kan sige:
1
4
eller af prisen uden moms.
- men momsen udgør
25
125
eller
1
5
eller 20% af prisen med moms.
25%
Pris med moms
- momsen udgør 25%
25%
Tegningen til højre viser, at:
Pris med moms: 1,25 ⋅156 = 195 kr.
Moms
Pas på når du skal regne baglæns og
finde prisen uden moms.
195 kr.
- Eller man kan - i en beregning - sige:
Pris uden moms
- Eller man kan - i en beregning - sige:
156 ⋅ 125
= 195 kr.
Pris med moms:
100
I alt
100%
195 kr.
156 kr.
39 kr.
25%
I alt
39 kr.
Pris uden moms:
Moms: 0,25 ⋅ 156 =
100%
156 kr.
25%
Pris uden moms:
156 ⋅ 25
=
Moms:
100
100%
- Man kan sige:
Eksempel på opgave
En boremaskine koster 499 kr. med moms. Find prisen uden moms.
Man får:
Pris uden moms:
499 ⋅ 100
= 399,20 kr.
125
Lektion 05 - Procent eksempler
Side 34
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Ændring i procent
En ændring kan her både betyde en stigning og et fald.
Eksempler på opgaver
En togbillet koster 160 kr.
En computer koster 9.995 kr.
Prisen stiger med 15%.
Prisen falder med 20%.
Find prisen efter stigningen.
Find prisen efter faldet.
Begge opgaver kan regnes på flere måder:
- Man kan sige:
- Man kan sige:
Gammel pris:
160 ⋅ 15
Stigning:
=
100
160 kr.
Ny pris
184 kr.
24 kr.
Gammel pris:
9.995 ⋅ 20
Fald:
=
100
Ny pris
9.995 kr.
1.999 kr.
7.996 kr.
- Eller man kan - i en beregning - sige:
160 ⋅ 115
Ny pris:
= 184 kr.
100
- Eller man kan - i en beregning - sige:
9.995 ⋅ 80
Ny pris:
= 7.996 kr.
100
- Eller man kan - i en beregning - sige:
- Eller man kan - i en beregning - sige:
Ny pris: 1,15 ⋅160 = 184 kr.
Ny pris: 0,80 ⋅ 9.995 = 7.996 kr.
Man finder en ændring i procent på denne måde: Ændring i procent =
Ændring i tal ⋅ 100
Starttal
Eksempler på opgaver
Prisen på en busbillet er
vokset fra 18 kr. til 22 kr.
Prisen på et TV er faldet
fra 2.999 kr. til 1.999 kr.
Find stigningen i procent.
Find faldet i procent.
Man får:
Man får:
Stigning i tal: 22 - 18 = 4 kr.
Stigning i procent:
4 ⋅ 100
= 22,2%
18
Fald i tal: 2.999 - 1.999 = 1.000 kr.
Fald i procent:
1.000 ⋅ 100
= 33,3%
2.999
Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst.
Lektion 05 - Procent eksempler
Side 35
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Forskel i procent
Du skal finde en forskel i procent, når der i en opgave bliver spurgt om, hvor meget et tal
er større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller...
Man finder en forskel i procent på denne måde: Forskel i procent =
Forskel i tal ⋅ 100
" End"-tal
Man kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver næsten
altid brugt i spørgsmålene.
Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater.
Hold tungen lige i munden!!!
Eksempler på opgaver
En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Køb
og 7,50 kr. i Nær-Kiosken.
En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Køb
og 7,50 kr. i Nær-Kiosken.
Hvor mange procent er Nær-Kiosken
dyrere end Super-Køb?
Hvor mange procent er Super-Køb
billigere end Nær-Kiosken?
Man skal dividere med prisen i Super-Køb,
fordi der blive spurgt ”end Super-Køb”.
Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken,
fordi der blive spurgt ”end Nær-Kiosken”.
Man får:
Man får:
Forskel i tal: 7,50 - 6,00 = 1,50 kr.
Forskel i tal: 7,50 - 6,00 = 1,50 kr.
1,50 ⋅ 100
= 25%
6,00
Forskel
Pris i Nær-Kiosken
Pris i Super-Køb
Pris i Super-Køb
1,50 ⋅ 100
= 20%
7,50
Forskel
Lektion 05 - Procent eksempler
Forskel
Tegningen viser, at forskellen fylder mere
sammenlignet med Super-Køb
end sammenlignet
med Nær-Kiosken.
Forskel i procent:
Pris i Nær-Kiosken
Forskel i procent:
Side 36
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Bogstavregning
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 37
Formler ........................................................................................ 38
Reduktion .................................................................................... 39
Ligninger ..................................................................................... 40
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 37
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal.
Formler
En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget
skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer.
Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt
regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også.
Eksempler på opgaver
Beregn:
Beregn:
R = 5⋅S + 7
F = (2,5 ⋅ g − 12) : h
når S = 3
når g = 9 og h = 6
Man får:
R = 5 ⋅ S+ 7
Man får:
F = (2,5 ⋅ g − 12) : h
= 5⋅3 + 7
= (2,5 ⋅ 9 − 12) : 6
= 15 + 7 = 22
= (22,5 − 12) : 6 = 10,5 : 6 = 1,75
I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte.
Eksempler på opgaver
Beregn:
Beregn:
n−5
M = 5n +
−8
3
når n = 11
når x = 3 og y = 25
Man får:
Man får:
n− 5
−8
3
11 − 5
= 5 ⋅ 11 +
−8
3
= 55 + 2 − 8 = 49
M = 5 n+
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Z = 4x 2 − y
Z = 4x2 − y
= 4 ⋅ 3 2 − 25
= 4 ⋅ 9 − 5 = 36 − 5 = 31
Side 38
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Reduktion
Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler)
på en kortere måde. Man regner med bogstaver.
Eksempler på opgaver
Reducer:
5⋅a −2⋅a + a
Bogstavet a symboliserer et tal.
Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal.
Når a står alene, er det det samme som 1⋅ a
Man får:
5 ⋅ a − 2 ⋅ a + a = 4 ⋅ a eller blot 4a
Reducer:
2x + 5y − 3 + x − 3y − 4
Man kan regne x’er sammen, man kan regne y’er
sammen, og man kan regne tal sammen.
Man får:
2 x + 5 y− 3 + x − 3 y− 4 =
2 x + x + 5 y− 3 y− 3 − 4 =
3 x + 2 y− 7
Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at:
- eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - 2 agurker + 1 agurk = 4 agurker
- eksemplet til højre til: 2 æbler + 5 pærer - 3 + 1 æble - 3 pærer - 4 = 3 æbler + 2 pærer - 7
Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på.
Eksempler på opgaver
Reducer:
4 ⋅ 2a − 6a : 2 + a
Man får:
4 ⋅ 2 a− 6 a : 2 + a =
8 a− 3a+ a = 6 a
Læg mærke til at 6a : 2 bliver til 3a.
Det svarer til det halve af 6a
Reducer:
3x 2 + 4x − x 2 − 3x
Man får:
3 x 2 + 4 x− x 2 − 3 x =
3 x 2 − x 2 + 4 x− 3 x = 2 x 2 + x
Man kan ikke regne x2’er og x’er sammen
Prøv at udskifte a med 3 i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt).
Man får: 4 ⋅ 2 ⋅ 3 − 6 ⋅ 3 : 2 + 3 = 24 − 9 + 3 = 18 . Det er det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 3 .
Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt).
Man får: 4 ⋅ 2 ⋅ 5 − 6 ⋅ 5 : 2 + 5 = 40 − 15 + 5 = 30 . Det er stadig det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 5 .
Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid 6 ⋅ tallet. Det er ideen i bogstavreduktion.
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 39
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
De sidste eksempler med reduktion er stygge:
Eksempler på opgaver
Reducer:
5a + (4 − 2a) + 3
Man får:
Reducer:
Reducer:
3b − (b − 5 + 3a) + 6a
5 ⋅ (4 + 2a) + (8a − 6) : 2
Man får:
Man får:
5 a + (4 − 2 a) + 3 =
3 b− (b− 5 + 3 a) + 6 a =
5 ⋅ (4 + 2 a) + (8 a − 6) : 2 =
5a+ 4 - 2 a+ 3 =
3 b− b + 5 − 3 a + 6 a =
5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 a+ 8a : 2 − 6 : 2 =
5 a- 2 a + 4 + 3 =
20 + 10 a + 4 a − 3 =
3 a + 2 b+ 5
14 a + 17
3a+ 7
Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes.
Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen.
Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet.
Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet.
Ligninger
En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav.
Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe.
Eksempler på opgaver
Løs ligningen:
12 = x + 5
Løs ligningen:
3x + 2 = 20
Du må gerne gætte eller prøve dig frem.
Du må gerne gætte eller prøve dig frem.
Du kan sikkert straks se, at x må være 7.
Man skriver
Du kan måske se, at x må være 6.
Man skriver
x=7
Det kaldes at gætte en løsning.
x=6
For at være sikker kan man regne efter:
3 ⋅ 6 + 2 = 20
18 + 2 = 20
20 = 20
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 40
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når
ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende.
Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler.
Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at blade videre til de næste sider.
Eksempler på opgaver
Løs ligningen:
5 ⋅ x − 6 = 15
Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder:
”Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 15?”
Tænk også på x som et tal der er ”pakket ind” i nogle beregninger.
Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved.
Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over.
5 ⋅ x − 6 = 15
5 ⋅ x − 6 + 6 = 15 + 6
5 ⋅ x = 15 + 6
5 ⋅ x = 21
Når 5 x − 6 er lig med 15, kan man lægge 6 til
på begge sider af lighedstegnet.
Der kommer til at stå noget andet på begge sider,
men lighedstegnet gælder stadig.
Man lægger 6 til for at ophæve -6.
Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5 x − 6 ,
og x er blevet pakket delvist ud.
5 ⋅ x 21
=
5
5
Senere dividerer man med 5 på begge sider af
lighedstegnet for at ophæve, at der står 5 ⋅ foran x.
21
5
Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud,
at x er 4,2.
x = 4,2
Når man løser en ligning af denne type, nøjes man
ofte med at skrive som vist til højre.
x=
5 ⋅ x − 6 = 15
5 ⋅ x = 15 + 6
5 ⋅ x = 21
x=
21
5
x = 4,2
Når du løser ligninger kan du også tænke på en gammeldags skålvægt.
Der står lodder på begge skåle og vægten er i balance.
På lodderne står der, hvor meget de vejer,
men tallet mangler på det mørke lod (x).
Ved at flytte rundt på lodderne, og ved at tilføje og
fjerne lodder, skal man få det mørke lod (x) til at stå
alene på den ene vægtskål, uden at vægten tipper.
Når det mørke lod står alene, kan man regne ud, hvad det vejer
ved at kikke på lodderne på den anden vægtskål.
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 41
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Når man løser ligninger, må man:
- lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.
- trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
- gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet.
- dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet.
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
x−7 = 9
x− 7 = 9
x− 7 + 7 = 9 + 7
x =9+7
Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet
for at ophæve -7.
Når man løser en ligning af denne type, nøjes man
ofte med at skrive som vist til højre.
x = 16
x− 7 = 9
x =9+7
x = 16
Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man
flytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal.
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
37 = x + 19
37 = x + 19
37 − 19 = x + 19 − 19
37 − 19 = x
18 = x
x = 18
Man trækker 19 fra på begge sider af lighedstegnet
for at ophæve +19.
Når man løser en ligning af denne type, nøjes man
ofte med at skrive som vist til højre.
Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre
side, er kun til ”pynt”.
37 = x + 19
37 − 19 = x
18 = x
x = 18
Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man
flytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal.
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 42
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
12 =
x
3
12 =
12 ⋅ 3 =
x
3
Man ganger med 3 på begge sider af lighedstegnet
for at ophæve at x bliver divideret med 3.
12 =
x⋅ 3
3
Når man løser en ligning af denne type, nøjes man
ofte med at skrive som vist til højre.
12 ⋅ 3 = x
Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre
side, er kun til ”pynt”.
36 = x
12 ⋅ 3 = x
x
3
x = 36
36 = x
x = 36
Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man
flytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal.
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
4 ⋅ x = 32
4 ⋅ x = 32
4 ⋅ x 32
=
4
4
x=
32
4
Man dividerer med 4 på begge sider af lighedstegnet
for at ophæve, at x bliver ganget med 4.
Når man løser en ligning af denne type, nøjes man
ofte med at skrive som vist til højre.
4 ⋅ x = 32
x=
32
4
x =8
x =8
Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man
flytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal.
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 43
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Her kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud:
Eksempler på opgaver
Løs ligningen:
Løs ligningen:
15 =
13 = 29 - x
13 = 29 − x
15 =
45
x
45
x
13 + x = 29
15 ⋅ x = 45
x = 29 − 13
x=
x = 14
45
15
x=3
Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegn
eller under en brøkstreg. Derfor laver man disse ”tricks”:
- til venstre fjerner man - x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet.
- til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x på
begge sider af lighedstegnet.
Her kommer nogle mere indviklede eksempler:
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
3 ⋅ x − 9 = 21
3 ⋅ x − 9 = 21
3 ⋅ x = 21 + 9
3 ⋅ x = 30
x=
30
3
Først lægger man 9 til på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om -9 flyttes over på den anden side og ændres til +9).
Derefter dividerer man med 3 på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om 3 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 3 .
Husk at brøkstregen betyder divisionstegn).
x = 10
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 44
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
5 ⋅ x − 11
=7
4
5 ⋅ x − 11
=7
4
Først ganger man med 4 på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om : 4 flyttes over på den anden side og ændres til ⋅ 4 ).
5 ⋅ x − 11 = 7 ⋅ 4
5 ⋅ x − 11 = 28
Derefter lægger man 11 til på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om -11 flyttes over på den anden side og ændres til +11).
5 ⋅ x = 28 + 11
5 ⋅ x = 39
x=
39
5
Til sidst dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om 5 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 5 .
Husk at brøkstregen betyder divisionstegn).
x = 7,8
Eksempel på opgave
Løs ligningen:
6x − 6 = 4x + 1
6 x− 6 = 4 x+ 1
6 x = 4 x+ 1 + 6
6 x− 4 x = 1 + 6
Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om -6 flyttes over på den anden side og ændres til +6).
Derefter trækker man 4x fra på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om 4x flyttes over på den anden side og ændres til - 4x).
2x = 7
Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet.
7
x=
2
x = 3,5
Til sidst dividerer man med 2 på begge sider af lighedstegnet.
(Det ser ud som om 2 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 2 .
Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn).
Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man:
6 ⋅ 3,5 − 6 = 4 ⋅ 3,5 + 1
21 − 6 = 14 + 1
15 = 15
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 45
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Til sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder:
Eksempler på opgaver
Løs ligningen:
Løs ligningen:
x 2 = 49
x =4
x 2 = 49
x =4
x = ± 49
x = 42
x = ±7
x = 16
I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.
Tænk på at x 2 må være x.
I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens.
Tænk på at ( x ) 2 må være x.
Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder:
Eksempler på opgaver
Løs ligningen:
Løs ligningen:
4 ⋅ x 2 = 121
x −3 = 8
4 ⋅ x 2 = 121
x −3=8
x2 =
121
4
x =8+3
x = 11
x 2 = 30,25
x = 112
x = ± 30,25
x = 121
x = ±5,5
Man skal først have x2 eller
x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler.
Lektion 06 - Bogstavregning eksempler
Side 46
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Funktioner og koordinatsystemer
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 47
Brug af grafer og koordinatsystemer .......................................... 48
Lineære funktioner ...................................................................... 51
Andre funktioner ......................................................................... 55
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 47
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Brug af grafer og koordinatsystemer
Eksempel på opgave
Billige kartofler
Et supermarked sælger kartofler for 2 kr. pr. kg.
Lav en graf i et koordinatsystem.
Kun 2 kr. pr. kg
- Vej selv af -
Først beregnes nogle priser:
- 1 kg kartofler koster 2 ⋅ 1 = 2 kr.
- 2 kg kartofler koster 2 ⋅ 2 = 4 kr.
- og så videre…..
og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr.
Man kan lave en tabel som denne:
Antal kg kartofler
0
1
2
3
4
5
Pris i kr.
0
2
4
6
8
10
Pris i kr
Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Prikkerne på tegningen svarer til tal-parrene
i tabellen.
2,5 kg koster 5 kr
Men man behøver ikke at købe et helt
antal kg kartofler. Det viser den skrå streg
gennem prikkerne. Man kan f.eks. se,
at 2,5 kg kartofler koster 5 kr.
0
1
2
3
4
5
Antal kg kartofler
Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system.
Prikkerne kaldes punkter.
Den skrå streg kaldes en graf.
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 48
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Et koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse.
Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse.
Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse.
Herunder er vist to koordinatsystemer.
I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter.
Det ene punkt ligger lige over 1-tallet på x-aksen
og lige ud for 2-tallet på y-aksen.
Derfor hedder punktet (1,2).
5
(3, 4)
4
Tallene 1 og 2 kaldes punktets koordinater.
3
Det andet punkt har koordinaterne 3 og 4.
Derfor hedder punktet (3,4).
Tallet 3 kaldes x-koordinat eller første-koordinat.
(1, 2)
2
1
Tallet 4 kaldes y-koordinat eller anden-koordinat.
(2, 0)
0
Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (2,0)
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer.
Den skrå graf går igennem alle de punkter,
hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens.
5
4
For eksempel (0,0) og (1,1).
3
Den vandrette graf går igennem alle de punkter,
hvor y-koordinaten er 3,5.
2
For eksempel (0 ; 3,5) og (1 ; 3,5).
1
Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), når
der er komma (,) i koordinaterne
0
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 49
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
I koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til 5, men tal-akserne kan indrettes på
mange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler:
100
1,0
80
0,8
60
0,6
40
0,4
20
0,2
0
0,0
0
20
40
60
80
100
0
2
4
6
8
10
Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med.
Det er vist herunder:
5
4
3
(-3, 2)
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
(-2, -4)
(3, -3)
-4
-5
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 50
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Lineære funktioner
En funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser.
Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden.
Her er et par eksempler:
Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører.
En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang.
Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde.
Prisen er en funktion af antal km.
Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer.
Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt.
En funktion kan beskrives ved hjælp af:
- en tabel
- en graf i et koordinatsystem
- en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktion
Grafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion.
Eksempel på opgave
Andersens Foto
Tre foto-butikker tager forskellige priser når de
fremkalder film og laver billeder.
2 kr. pr. billede
30 kr. for fremkaldelse
Sammenlign priserne ved at:
- lave tabeller
- tegne grafer i et koordinatsystem
- opstille funktioner
Først udregnes prisen for nogle forskellige film hos
Andersens Foto:
Billed-Ringen
4 kr. pr. billede
Prisen er med fremkaldelse
City-Film
- ved 10 billeder bliver prisen: 2 ⋅ 10 + 30 = 20 + 30 = 50 kr.
90 kr. pr. film
- ved 20 billeder bliver prisen: 2 ⋅ 20 + 30 = 40 + 30 = 70 kr.
Prisen er med fremkaldelse
og uanset antal billeder
- og så videre…..
Tallene samles i en tabel.
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 51
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Tabellen ser således ud:
Antal billeder på en film:
0
10
20
30
40
Pris hos Andersens Foto:
30
50
70
90
110
Det er måske ikke så realistisk med 0 billeder, men tallet er taget med for ”systemets skyld”.
Derefter udregnes priser hos Billed-Ringen:
- hvis der er 10 billeder på en film, bliver prisen: 4 ⋅ 10 = 40 kr.
- hvis der er 20 billeder på en film, bliver prisen: 4 ⋅ 20 = 80 kr.
- og så videre…..
Hos City-Foto er prisen 90 kr. uanset antal billeder. Nu kan tabellen udviddes:
Antal billeder på en film:
0
10
20
30
40
Pris hos Andersens Foto:
30
50
70
90
110
Pris hos Billed-Ringen:
0
40
80
120
160
Pris hos City-Film:
90
90
90
90
90
Pris i kr
Ud fra tallene i tabellen laves disse grafer:
160
140
120
City-Film
100
80
Andersens Foto
60
40
20
Billed-Ringen
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Antal billeder på en film
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 52
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Graferne viser bl.a. at:
- at Billed-Ringen er billigst, hvis der er under 15 billeder på en film.
- at Billed-Ringen og Andersens Foto er lige dyre ved 15 billeder.
- at Andersens Foto er billigst, hvis der er mellem 15 og 30 billeder på en film.
- at Andersens Foto og City-Film er lige dyre ved 30 billeder.
- at City-Film er billigst, hvis der er over 30 billeder på en film.
Da de fleste film er på enten 24 eller 36 billeder, vil der være mest fornuft i at vælge
Andersens Foto eller City-Film.
Nu kaldes antallet af billeder på en film for x,
og prisen kaldes for y.
y er en funktion af x, og y kaldes for
funktionsværdien af x.
Sammenhængen mellem x og y kan beskrives
med disse funktions-forskrifter:
Foto-butik
Funktion
Andersens Foto y = 2 ⋅ x + 30
y = 4⋅x
Billed-Ringen
City-Foto
y = 90
Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier.
Lineære funktioner kan generelt skrives på formen:
y = a⋅x +b
I funktionen y = 2 ⋅ x + 30 er a = 2 og b = 30.
I funktionen y = 4 ⋅ x er a = 4 og b = 0. Men man skriver ikke nullet.
I funktionen y = 90 er a = 0 og b = 90. Men man skriver ikke nullet.
Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal.
Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl.
Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad.
Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen ”starter”.
Hvis b = 0, er x og y ligefrem proportionale. De vokser i takt.
Hos Billed-Ringen er prisen ligefrem proportional med antallet af billeder.
Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes.
Man kan beregne, hvor grafen for Andersens Foto og grafen for Billed-Ringen
skærer hinanden ved at løse ligningen:
2 ⋅ x + 30 = 4 ⋅ x
Man finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden.
Kontroller selv, at man får x = 15. Det betyder, at priserne bliver ens ved 15 billeder.
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 53
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Det er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter,
men andre bogstaver kan bruges også.
Funktionerne kan have selv bogstav-navne.
Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y.
Eksempel på opgave
Tegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner:
g(x) = 2 ⋅ x + 1
f(x) = 0,5 ⋅ x + 4
Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x).
- hvis x = 0: f(x) = 0,5 ⋅ 0 + 4 = 0 + 4 = 4
- hvis x = 1: f(x) = 0,5 ⋅ 1 + 4 = 0,5 + 4 = 4,5
- hvis x = 2: f(x) = 0,5 ⋅ 2 + 4 = 1 + 4 = 5
10
og så videre. Tallene sættes ind i en tabel:
x
0
1
2
3
4
f(x)
4
4,5
5
5,5
6
8
Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g.
Regn selv efter:
x
0
1
2
3
4
g(x)
1
3
5
7
9
6
4
Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem.
y = 2x+1
Grafen
går 1 hen
og 2 op.
2
Læg mærke til, at:
- grafen for f går 1 hen og 0,5 op
- grafen for g går 1 hen og 2 op
y = 0,5x+4
Grafen
går 1 hen
og 0,5 op.
0
-2
0
2
4
6
- grafen for f skærer y-aksen i 4
- grafen for g skærer y-aksen i 1
-2
Mange funktioner, beskriver virkelige (eller realistiske) ting. Som i eksemplet med foto-priserne.
Andre funktioner er ren ”tal-gymnastik”. Som eksemplet herover.
Ofte giver det kun mening at kikke på de positive tal. Som i eksemplet med foto-priserne.
Nogle gange tager man negative tal med. Som på graferne herover.
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 54
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Andre funktioner
Mange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner.
Men du kan også støde på grafer og funktioner, hvis grafer ikke er rette linier.
Her er et par eksempler:
Et skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat).
Arealet skal være 12 m2.
- Lav en tabel og en graf over mulige mål.
- Opstil også en funktion
Den ene side
(længde)
Den anden side
(bredde)
Eksempel på opgave
12 m2
Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder:
12
= 2m
- hvis den ene side er 6 m, så bliver den anden side
6
12
- hvis den ene side er 5 m, så bliver den anden side
= 2,4 m
5
og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede):
Den ene side i m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Den anden side i meter
12
6
4
3
2,4
2
1,7
1,5
1,3
1,2
1,1
1
I virkeligheden vil man næppe lave et skur,
hvor den ene side er 1 m og den anden side
er 12 meter, men muligheden er med
for ”systemets skyld”.
15
Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre.
Grafen er ikke en ret linie men en blød bue.
12
Man kan opstille denne funktion: y =
,
x
10
hvor x er den ene side, og y er den anden side.
5
Læg mærke til at graf og tabel er ”symetriske”.
Når er x = 3 så er y = 4, og omvendt når x = 4, så
er y = 3.
Man siger, at x og y er omvendt proportionale.
0
0
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
5
10
15
Side 55
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
Tegn en graf for funktionen f(x) = x 2 − 6x + 8 .
Start med at udfylde denne tabel:
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x).
- hvis x = 0: f(x) = 0 2 − 6 ⋅ 0 + 8 = 0 − 0 + 8 = 8
- hvis x = 1: f(x) = 12 − 6 ⋅ 1 + 8 = 1 − 6 + 8 = 3
- hvis x = 2: f(x) = 2 2 − 6 ⋅ 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0
og så videre. Tabellen ser således ud:
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
8
3
0
-1
0
3
8
Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før.
10
8
6
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
-2
Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler
Side 56
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Geometri
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 57
Længdemål og omregning mellem længdemål........................... 58
Omkreds og areal af rektangler og kvadrater.............................. 59
Omkreds og areal af andre figurer .............................................. 60
Omregning mellem arealenheder ................................................ 63
Nogle geometriske begreber og redskaber.................................. 64
Målestoksforhold......................................................................... 65
Rumfang ...................................................................................... 66
Omregning mellem rumfangsenheder......................................... 67
Massefylde .................................................................................. 68
Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)........ 69
Regne baglæns ............................................................................ 70
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 57
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang.
På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne.
Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling.
Længdemål og omregning mellem længdemål
Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men
standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i:
- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del.
- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del.
- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del.
(millimeter er ikke med på tegningen - der var ikke plads)
1 m = 10 dm
1 cm
1 dm = 10 cm
Her er sammenhængen mellem
måleenhederne stillet op i en tabel:
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
1 dm =
10 cm =
100 mm
1 cm =
10 mm
Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer.
- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde.
Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.
Eksempler på opgaver
Omregn 97,5 cm til mm.
Omregn 1.250 m til km.
I skemaet står der ” ⋅ 10 ” fordi,
hver cm svarer til 10 mm.
I skemaet står der ” : 1.000 ” fordi,
hver km svarer til 1.000 m.
Man får:
97,5 cm = 97,5 mm ⋅ 10 = 975 mm
Man får:
1.250 m = 1.250 km : 1.000 = 1,250 km
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 58
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Omkreds og areal af rektangler og kvadrater
Et rektangel er en firkant, hvor:
- siderne er parvis lige lange
- hjørnerne er rette vinkler
Et kvadrat er en firkant, hvor:
- alle sider er lige lange
- hjørnerne er rette vinkler
Eksempler på rektangler:
Eksempler på kvadrater:
Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangel
Eksempler på opgaver
Find omkreds og areal af et rektangel med
længden 4 m og bredden 3 m.
Find arealet af et rektangel med
længden 350 cm og bredden 2,50 m.
Omkredsen findes ved:
- enten at sige: 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m
Man kan ikke regne med både m og cm, så
350 cm laves om til 3,50 m.
- eller at sige: 2 ⋅ 4 m + 2 ⋅ 3 m = 14 m
Man får: A = 3,50 m ⋅ 2,50 m = 8,75 m 2
Arealet findes ved at bruge formlen:
Tegningen viser, at resultatet er rimeligt.
Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte
kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m2.
Areal = længde ⋅ bredde eller blot A = l ⋅ b
Man får: A = 4 m ⋅ 3 m = 12 m 2
3m
Lektion 08 - Geometri eksempler
350 cm = 3,50 m
2,50 m
Tegningen viser, at rektanglet svarer til
12 kvadrater, som måler 1 m på hver led.
Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m2)
4m
Hvis du er usikker på, hvorledes man
omregner længdemål, så blad en side
tilbage. Der er et par eksempler.
Side 59
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Omkreds og areal af andre figurer
Eksempel på opgave
12 m
For at finde arealet må huset opdeles i rektangler.
Det kan f.eks. gøres således:
10 m
6m
Tegningen til højre er en skitse af et hus.
Find husets areal.
7m
Der mangler tilsyneladende
nogle mål for det nederste rektangel,
men ved at kikke på tallene på skitsen
kan man regne ud at:
- arealet af det øverste rektangel må være: A = 12 m ⋅ 6 m = 72 m 2
- arealet af det nederste rektangel må være: A = 5 m ⋅ 4 m = 20 m 2
I alt er huset derfor:
92 m 2
Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder.
Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder
Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler.
I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud.
Eksempel på opgave
Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm.
Man får: A =
1
⋅h ⋅g
2
=
1
⋅5
2
cm ⋅ 3 cm = 7,5 cm 2
Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen
af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm.
A=
1
⋅h ⋅g
2
højde
grundlinie
Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”.
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 60
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm.
Man får: A = h ⋅ g = 4 cm ⋅ 3 cm = 12 cm 2
A = h ⋅g
Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til
arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm.
Du klipper venstre ende af
og flytter stykket mod højre.
højde
grundlinie
Eksempel på opgave
Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cm
og højden er 4 cm.
Man får: A =
1
⋅ h ⋅ (a + b)
2
1
2
= ⋅ 4 cm ⋅ (6 cm + 3 cm) = 18 cm 2
Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om
til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm.
A=
1
⋅ h ⋅ (a + b)
2
a
højde
b
Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”.
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 61
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
Find omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm.
(Det svarer til en diameter på 3 cm)
O = π⋅d
Man får:
- enten O = π ⋅ d = π ⋅ 3 cm = 9,4 cm
eller
- eller O = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 1,5 cm = 9,4 cm
O = 2⋅π⋅r
radius
diameter
Tegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”.
Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren.
Dette tal kaldes π (læses pi).
radius
diameter
π er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14…
Mange regnemaskiner har en π -knap.
radius
diameter
omkreds
Eksempel på opgave
Find arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm.
Man får: A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 2,5 2 = 19,6 cm 2
På regnemaskinen tastes: π
X
A = π ⋅ r2
2,5 x2 =
radius
På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”.
Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere.
Resultatet vil ligne et rektangel.
Længden bliver en halv omkreds - altså π ⋅ 2,5 cm
Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cm
Arealet bliver derfor π ⋅ 2,5 ⋅ 2,5 = π ⋅ 2,5 2 = 19,6 cm 2
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 62
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Omregning mellem arealenheder
Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder.
Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm2 til en m2,
men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 = 100 dm2 til en m2.
1 m2 = 100 dm2
1 cm2
1 dm2 = 100 cm2
Her er sammenhængen mellem
arealenhederne stillet op i en tabel:
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
1 dm2 =
100 cm2 =
10.000 mm2
1 cm2 =
100 mm2
Bemærk at den mindste af enhederne (mm2) ikke er med på tegningen
Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.
Eksempler på opgaver
Omregn 2500 cm2 til m2.
Omregn 3,5 cm2 til mm2.
I skemaet står der ” : 10.000 ” fordi,
hver m2 svarer til 10.000 cm2.
I skemaet står der ” ⋅ 100 ” fordi,
hver cm2 svarer til 100 mm2.
Man får:
Man får:
2
2
2500 cm = 2500 m : 10.000 = 0,25 m
Lektion 08 - Geometri eksempler
2
3,5 cm 2 = 3,5 mm 2 ⋅ 100 = 350 mm 2
Side 63
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Nogle geometriske begreber og redskaber.
Når man arbejder med geometriske figurer, har man ofte brug for
en passer og en vinkelmåler.
Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan
også anvendes til andre tegneopgaver.
Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler.
De to redskaber er vist til højre.
En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen
af et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant.
En cirkel måler 360°
(læses 360 grader)
hele vejen rundt.
Et ”lige” hjørne
måler 90° og kaldes
en ret vinkel.
Det er en kvart cirkel.
En vinkel på mindre
end 90° kaldes
en spids vinkel.
Den viste vinkel er 60°
En vinkel på mere
end 90° kaldes
en stump vinkel.
Den viste vinkel er 120°
I en trekant er de tre vinkler altid 180° tilsammen.
Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne:
I en ligesidet trekant er
alle siderne lige lange, og
alle vinklerne er 60°.
I en ligebenet trekant er
to af siderne lige lange og
to af vinklerne lige store.
I en retvinklet trekant er en
af vinklerne ret - altså 90°.
Særligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler:
Regulær
sekskant
Lektion 08 - Geometri eksempler
Symmetrisk figur med
vandret symmetriakse
(eller spejlingsakse).
Side 64
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Målestoksforhold
Eksempel på opgave
Tegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200.
Find husets længde og bredde.
Find også husets areal.
Grundrids af hus
1:200
Først måles længde og bredde på tegningen.
Man får 7,5 cm og 4,0 cm.
Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200.
Man får:
- længde: 7,5 cm ⋅ 200 = 1500 cm = 15,00 m
- bredde: 4,0 cm ⋅ 200 = 800 cm = 8,00 m
Arealet beregnes til:
15 m ⋅ 8 m = 120 m 2
På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden.
Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen.
Det er definitionen på et målestoksforhold. Tegningen er en formindsket kopi af huset.
Men arealet af det rigtige hus er 200 ⋅ 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen.
Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor!
Eksempel på opgave
En byggegrund har form som et rektangel.
Længden er 30 m og bredden er 20 m.
Lav en tegning i målestoksforhold 1:500
Tegningens mål findes ved at dividere med 500.
20 m
Man får:
- længde: 30 m : 500 = 0,06 m = 6 cm
- bredde: 20 m : 500 = 0,04 m = 4 cm
1:500
Tegningen ser ud som til højre
Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal
det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål.
30 m
Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede
kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede.
Men selv om man forstørrer/formindsker længdemålene,
så er er vinklerne uforandrede.
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 65
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Rumfang
Eksempel på opgave
Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen.
Hvor mange m3 (kubikmeter) kan det rumme?
7m
Rumfang = længde ⋅ bredde ⋅ højde eller blot V = l ⋅ b ⋅ h
2m
Rumfanget findes ved at bruge formlen:
2m
(Bogstavet V bruges for rumfang)
Man får: V = 8 m ⋅ 2 m ⋅ 2 m = 28 m 3
Det betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser,
som måler 1 m på hver led.
En sådan terning kaldes en kubikmeter (m3).
28 X 1 m3
Eksempel på opgave
3
Liter er det samme som kubikdecimeter (dm ).
(se evt. næste side om rumfangsenheder)
Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen.
40 cm
En kasse har de mål, som er vist på skitsen.
Hvor mange liter kan den rumme?
30 cm
75 cm
Man får: V = 7,5 dm ⋅ 3 dm ⋅ 4 dm = 90 dm 3 eller 90 liter
Eksempel på opgave
5 cm
9 cm
En lille dåse har de mål, som er vist på skitsen.
Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme?
Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm3)
og dåsen har form som en cylinder.
Man får: V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 5 2 ⋅ 9 = 707 cm 3 eller 707 ml
På regnemaskinen tastes: π
X
5 x2 X 9 =
Lektion 08 - Geometri eksempler
højde
Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder.
Der findes en række andre formler, som du også
kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang.
V = π ⋅ r2 ⋅ h
radius
Side 66
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Omregning mellem rumfangsenheder
Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder.
Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1.000 dm3 til en m3.
1 dm3 = 1.000 cm3
1 m3 = 1.000 dm3
Her er sammenhængen mellem
rumfangsenhederne vist i en tabel:
1 cm3
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = 1.000.000.000 mm3
1 dm3 =
Man måler også rumfang med liter-enheder:
liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml).
Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang.
1.000 cm3 =
1.000.000 mm3
1 cm3 =
1.000 mm3
1 liter
Det er vigtigt at vide, at:
1 dl
1 cl
1 ml
- 1 dm3 er det samme som en liter (l)
- 1 cm3 er det samme som en milliliter (ml)
1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml
Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne:
1 dl =
10 cl =
100 ml
1 cl =
10 ml
Eksempel på opgave
Omregn 3,5 m3 til liter.
En liter er det samme som en dm3. Derfor skal man gange med 1.000.
Man får:
3,5 m 3 = 3,5 dm 3 ⋅ 1.000 = 3.500 dm 3 = 3.500 liter
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 67
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Massefylde
Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang.
Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed.
Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen
kan også omskrives som vist herunder:
Vægt = Rumfang · Massefylde eller
Massefylde =
Vægt
Rumfang
Vægt
Massefylde
Rumfang =
Hvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm3, betyder det,
at en cm3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g.
Massefylde er vægt
pr. rumfangsenhed.
Fx vægt pr. cm3.
Vand har en massefylde på 1 g pr. cm3.
Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm3.
Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller),
har en massefylde på over 1 g pr. cm3.
Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have
styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og
vægtenhederne.
1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g
1 kg =
1 ton
1.000 g
1 kg
1g
Eksempler på opgaver
En metalklods vejer 323 g
og har et rumfang på 85 cm3.
Hvad er massefylden?
Hvor meget vejer 5 m3 grus,
når massefylden for gruset
er 2,3 tons pr. m3?
Hvor meget fylder 0,5 kg
alkohol, når massefylden
er 0,8 kg pr. liter?
Man får:
Man får:
Man får:
Massefylde =
323 g
85 cm 3
Vægt = 5 m 3 ⋅ 2,3 tons pr. m 3
= 3,8 g pr. cm 3
= 11,5 tons
Rumfang =
0,5 kg
0,8 kg pr. liter
= 0,625 liter
I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit.
Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp.
Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret!
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 68
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)
c = 5 cm
A
a = 3 cm
Det mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant.
Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm,
4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet.
Det gælder naturligvis også, hvis man bruger
andre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m.
b = 4 cm
C
Man navngiver hjørner
med store bogstaver og
sider med små bogstaver.
Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte
regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen.
Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden.
B
Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder:
a 2 + b2 = c2
Hvis du regner efter, får du at: 3 2 + 4 2 = 5 2 eller 9 + 16 = 25,
og det er jo ganske rigtigt.
Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter.
Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel.
Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b.
Eksempler på opgaver
Tegningen viser en retvinklet trekant.
c=
a = 12 cm
B
b = 5 cm
A
C
Find den manglende sidelængde c.
Man sætter ind i formlen a 2 + b 2 = c 2
og løser en ligning:
12 2 + 5 2 = c 2
Skitsen viser en stige,
der er stillet op ad
en høj mur.
Stigens længde
er 4,50 m.
110 cm
Hvor højt når
stigen op?
Stigen, muren og jorden danner en retvinklet
trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider
er 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a.
Siden langs muren kaldes b og findes således:
144 + 25 = c 2
1,10 2 + b 2 = 4,50 2
169 = c 2
1,21 + b 2 = 20,25
c = 169 = 13 cm
b 2 = 20,25 − 1,21 = 19,04
b = 19,04 = 4,36 m
Lektion 08 - Geometri eksempler
Side 69
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Regne baglæns
Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang.
Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang
og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning).
Eksempler på opgaver
Find bredden af et rektangel med
arealet 12 m2 og længden 4,8 m.
Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m3
og har længden 145 cm og bredden 80 cm.
Formlen for arealet af et rektangel er: A = l ⋅ b
Man sætter de kendte tal ind i formlen og
regner baglæns (løser en ligning):
Rumfangs-formlen lyder: V = l ⋅ b ⋅ h
For at enhederne kan passe sammen laves 145 cm
om til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m
A = l⋅b
12 = 4,8 ⋅ b
12
=b
4,8
2,5 = b
b = 2,5 m
V = l⋅b⋅h
0,87 = 1,45 ⋅ 0,80 ⋅ h
0,87 = 1,16 ⋅ h
0,87
=h
1,16
0,75 = h
h = 0,75 m = 75 cm
Eksempler på opgaver
Find arealet af en cirkel der har
en omkreds på 44 cm.
Find radius i en cylinder der er
60 cm høj og kan rumme 118 liter.
Der er ingen formel, der direkte forbinder
omkreds og areal, men man kan finde radius
med denne formel: O = 2 ⋅ π ⋅ r
Rumfangs-formlen lyder: V = π⋅ r 2 ⋅ h
For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm
om til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm3).
44 = 2 ⋅ π ⋅ r
44 = 6,283 ⋅ r
44
=r
6,283
r = 7,0 cm
Nu findes arealet med formlen: A = π ⋅ r 2
A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 7,0 2 = 153,9 cm 2
Lektion 08 - Geometri eksempler
V = π⋅ r 2 ⋅ h
118 = π⋅ r 2 ⋅ 6
118 = 18,85 ⋅ r 2
118
= r2
18,85
6,26 = r 2
r = 6,26 = 2,5 dm = 25 cm
Side 70
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Statistik
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 71
Middelværdi med mere ............................................................... 72
Hyppigheds- og frekvens-tabeller............................................... 73
Diagrammer................................................................................. 74
Hvilket diagram er bedst? ........................................................... 76
Grupperede observationer ........................................................... 77
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 71
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel
at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik.
Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV.
Du skal:
- kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer.
- selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger.
Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at:
En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i
en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige:
I gennemsnit er temperaturen meget behagelig.
Middelværdi med mere
Eksempel på opgave
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger.
Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag o.s.v
Her er alle svarene:
3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1
Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.
Find typetal og middelværdi.
Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag.
Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag.
Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 − 1 = 4 fag.
Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag.
Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får:
3 + 5 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 4 + 1 57
=
= 3,2 fag pr. kursist.
18
18
Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme.
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 72
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Hyppigheds- og frekvens-tabeller
Eksempel på opgave (fortsat)
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.
Svarene er:
3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1
Lav en tabel over hyppighed og frekvens.
Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 o.s.v.
Man får:
Antal fag
1
2
3
4
5
I alt
Hyppighed
4
1
4
6
3
18
I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister.
Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.
Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er
4 ⋅ 100
= 22% .
18
Tabellen udviddes og man får:
Antal fag
1
2
3
4
5
I alt
Hyppighed
4
1
4
6
3
18
22%
6%
22%
33%
17%
100%
Frekvens
I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med,
men lad være med at skrive hele rækken af decimaler.
I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent.
Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 73
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Diagrammer
Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve.
Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC.
Eksempel på opgave (fortsat)
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.
Svarene er vist i tabellen:
Antal fag
1
2
3
4
5
I alt
Hyppighed
4
1
4
6
3
18
Lav et pindediagram over hyppighederne.
Pindediagrammet kan se således ud:
7
Hyppighed
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Antal fag
Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden.
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 74
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
Transportmiddel
Til fods
Cykel
Bus
Bil
I alt
Et hold med 18 nystartede VUC-kursister bliver
spurgt om, hvorledes de kommer til VUC.
Svarene er vist i tabellen.
Lav et cirkeldiagram over tallene
Antal
personer
4
6
3
5
18
En hel cirkel er 360º (360 grader).
Cirklen skal inddeles i 4 ”lagkagestykker”. En for hver transportform.
4 ⋅ 360
4
Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 360º: Man får:
= 80º
18
18
De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter.
Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser).
Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler.
Til fods
Cykel
Til fods
33%
22%
Bus
17%
Bil
28%
Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over.
Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene.
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 75
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave
I august starter der 18 kursister på et VUC-hold.
I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe.
Tabellen viser antal kursister måned for måned.
Måned
Antal
kursister
Aug.
Sept.
Okt.
Nov.
Dec.
Jan.
Feb.
Marts
April
Maj
18
21
20
17
16
22
18
17
16
14
Lav en kurve over tallene.
Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud:
Antal kursister
25
20
15
10
5
0
Maj
April
Marts
Feb.
Jan.
Dec.
Nov.
Okt.
Sept.
Aug.
Måned
Hvilket diagram er bedst?
Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer.
Men her er et par tommelfinger-regler.
Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tiden.
Pinde- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt.
Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden.
Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele.
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 76
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Grupperede observationer
Hvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i
”grupper”. Det kaldes intervaller.
Eksempel på opgave
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC.
Der er 18 kursister.
Svarene er:
10, 1, 18, 6, 14, 4, 22, 3, 19, 8, 13, 4, 1, 10, 0, 2 4, 1
Grupper svarene i intervallerne 0 - 4 km, 5 - 9 km o.s.v.
Lav en tabel over hyppighed og frekvens.
Lav et diagram over frekvensfordelingen:
Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist.
Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0, 1, 2, 3 eller 4 km.
Så tæller man op, hvor mange der har svaret 5, 6, 7, 8 eller 9 km. O.s.v.
Tabellen ser således ud:
Antal km
Hyppighed
Frekvens
0-4
5-9
10 - 14 15 - 19 20 - 24
I alt
8
2
5
2
1
18
44%
11%
28%
11%
6%
100%
Diagrammet kan se således ud:
50%
Frekvens
40%
30%
20%
10%
0%
20 - 24
15 - 19
10 - 14
5 -9
0-4
Antal km
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 77
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Tabellen og diagrammet her over ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV.
Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på.
Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn.
Her er nogle eksempler:
Lukket interval
Åbent interval
[0 ; 5]
] 0 ; 5[
[0 ; 5[
] 0 ; 5]
0≤x≤5
0<x<5
0≤x<5
0<x≤5
0
5
0
0
5
0-5
eller
Halvåbent interval Halvåbent interval
1-4
0,0 - 5,0
eller
5
0
5
0-4
0,1 - 4,9
eller
0,0 - 4,9
1-5
eller
0,1 - 5,0
eller 0,00 - 5,00
eller 0,01 - 4,99
eller 0,00 - 4,99
eller 0,01 - 5,00
eller….
eller….
eller….
eller….
Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således:
Antal km
Hyppighed
Frekvens
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 20[
[20 ; 25[
I alt
8
2
5
2
1
18
44%
11%
28%
11%
6%
100%
Diagrammer for grupperede observationer laves ofte således:
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0
5
10
15
20
25
Det kaldes et søjlediagram eller et histogram.
Lektion 09 - Statistik eksempler
Side 78
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Sandsynlighed og kombinatorik
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ..................................................................... 79
Simpel sandsynlighed.................................................................. 80
Kombinatorik .............................................................................. 81
Sandsynlighed og kombinatorik.................................................. 83
Kombinatorik og kugletrækning ................................................. 83
Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler
Side 79
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Sandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen.
Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning.
Men man kan dog:
- både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik.
Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed.
- og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning.
Simpel sandsynlighed
Sandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed =
Antal gunstige udfald
Antal mulige udfald
Eksempler på opgaver
Du kaster med en almindelig terning.
- hvad er sandsynligheden for
at få en 6’er?
Terningen kan lande på 6 måder,
så der er 6 mulige udfald.
Men kun et 1 af udfaldene (6’er) er gunstigt.
Man får:
1
som kan omregnes til 0,17 = 17%
6
- hvad er sandsynligheden for
at få et lige tal?
Der er stadig 6 mulige udfald.
Nu er 3 af udfaldene (2, 4 og 6) gunstige.
Man får:
3 1
= som kan omregnes til 0,5 = 50%
6 2
Eksempel på opgave
Hvad er sandsynligheden for, at en bus er
forsinket over 5 min?
En optælling viser at:
- 29 busser kørte præcis til tiden
- 42 busser var forsinket 1 - 5 min.
Man får:
- 16 busser var forsinket over 5 min.
16
16
=
= 0,18 = 18%
29 + 42 + 16 87
Eksemplerne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed.
Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed.
Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler
Side 80
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Kombinatorik
Eksempel på opgave
Du kaster med en sort og en hvid terning.
På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande?
Begge terninger kan lande på 6 måder.
Man får:
6 ⋅ 6 = 6 2 = 36 kombinationsmuligheder.
Mulighederne er vist som 36 felter i skemaet til højre.
Pilen peger på kombinationen af en sort 3’er og en hvid 2’er.
Der er også 36 kombinationsmuligheder, når terningerne er ens.
Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man få
kombinationen en 5’er og en 6’er (eller en 6’er og en 5’er)
dobbelt så ofte som kombinationen to 6’ere.
Eksempel på opgave
Forret
Hovedret
Dessert
På en restaurant kan man frit sammensætte
en 3 retters-menu ud fra det viste menu-kort.
Salat
Suppe
Bøf
Steg
Pizza
Lasagne
Is
Kage
Frugt
Hvor mange kombinationsmuligheder er der?
Man får:
2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 kombinationsmuligheder.
Bøf
Mulighederne er vist på tegningen til højre.
Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man:
- først vælger mellem 2 forretter
Is
Kage
Frugt
Steg
Pizza
Suppe
Lasagne
- derefter vælger mellem 4 hovedretter
- til sidst vælger mellem 3 desserter
Hver ”grenspids” svarer til en kombinationsmulighed,
men der er ikke plads til at skrive tekst over alt.
Salat
Den øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kage
Den nederste pil peger på: Salat - steg - frugt
Tælletræer er gode til at vise kombinatorik, men
de er svære at tegne. De bliver let for store.
Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler
Side 81
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksemplerne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige.
Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene.
Eksempler på opgaver
En alarm har de viste tryk-knapper.
For at slå alarmen fra skal man indtaste
en kode på 4 bogstaver.
- Hvor mange kombinationsmuligheder
er der, hvis hvert bogstav må
bruges flere gange ?
F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB.
- Hvor mange kombinationsmuligheder
er der, hvis hvert bogstav kun må
bruges en gang?
F.eks. FEAB.
6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 64 =
Det første bogstav kan vælges på 6 måder, men
det andet bogstav kan kun vælges på 5 måder,
da der allerede er valgt et bogstav.
Det tredje bogstav kan vælges på 4 måder og
det fjerde bogstav på 3 måder.
1.296 kombinationsmuligheder
Man får:
Det første bogstav kan vælges på 6 måder,
det andet bogstav kan vælges på 6 måder,
og så videre…..
Man får:
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 kombinationsmuligheder
Eksempler på opgaver
På et VUC-hold med disse 12 kursister
skal der vælges 2 personer
til skolens kursistråd.
- Hvor mange kombinationsmuligheder
er der, når der:
- først vælges et medlem til rådet
- derefter vælges en suppleant?
Anna Carl
Ida
Kaj
Mie
Pia
Bo
Jens Lis
Ole
Ulf
Else
- Hvor mange kombinationsmuligheder
er der, når begge personer skal
være medlemmer af rådet?
Medlemmet kan vælges på 12 måder.
Suppleanten kan kun vælges på 11 måder,
da der allerede er valgt en person.
Det første medlem kan vælges på 12 måder.
Det andet medlem kan kun vælges på 11 måder,
da der allerede er valgt en person.
Man får:
Men man får kun:
12 ⋅ 11
= 66 kombinationsmuligheder
2
fordi mulighederne er parvis ens.
Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først.
12 ⋅ 11 = 132 kombinationsmuligheder
F.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant,
eller Bo som medlem og Ida som suppleant,
eller…..
Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler
Side 82
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Sandsynlighed og kombinatorik
Eksempel på opgave
Ved en fodboldturnering kan man
gætte på resultatet af nogle kampe.
Man skal udfylde den viste tipskupon.
Hvad er sandsynligheden for at gætte alle
resultaterne rigtigt?
Man skal først finde antal kombinationsmuligheder.
Den første kamp kan ende på 3 måder
(sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg).
Den næste kamp kan også ende på 3 måder o.s.v.
1
Der er i alt 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35 = 243 muligheder,
fordi der er 5 kampe.
X
Sandsynligheden for at ramme den rigtige er:
1
= 0,004 = 0,4%
243
2
Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, men
det er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt
Kombinatorik og kugletrækning
Alle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til,
at man et antal gange skal trække en kugle
fra en pose med et antal kugler.
(Men det kan være svært at oversætte)
Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellem
et antal valgmuligheder.
Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man 13 gange (ud for hver kamp) vælge
mellem 3 valgmuligheder (1, X eller 2). Det svarer til, at man 13 gange trækker en kugle
fra en pose med 3 kugler.
Hvis man kaster 2 terninger, skal terningerne 2 gange "vælge" mellem 6 valgmuligheder.
Det svarer til, at man 2 gange trækker en kugle fra en pose med 6 kugler.
På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller".
Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler
Side 83
Matematik på Åbent VUC
Eksempler
Eksempel på opgave:
Poserne er forskellige:
På hvor mange måder kan man sammensætte
en 3-retters menu ud fra et menukort med
3 forretter, 4 hovedretter og 2 desserter?
Opgaven svarer til, at man har 3 forskellige poser,
med forskellige antal kugler. Der er:
3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 kombinationsmuligheder
Eksempel på opgave:
Hvor mange kombinationsmuligheder er der på en
cykellås med 6 trykknapper, der kan stå i 3 positioner?
Posen kan genbruges.
Kuglerne lægges tilbage.
Opgaven svarer til, at man har 6 ens poser,
med 3 kugler i hver pose, eller at man bruger
den samme pose 6 gange og lægger den trukne
kugle tilbage efter hver trækning. Der er:
3 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ 3 = 3 6 = 729 kombinationsmuligheder
Eksempel på opgave:
I en bestyrelse med 5 medlemmer skal der vælges
en formand, en næstformand og en kasserer.
På hvor mange måder kan det gøres?
Posen kan genbruges.
Kuglerne lægges ikke tilbage.
Rækkefølgen har betydning.
Opgaven svarer til, at man 3 gange fra den samme
pose trækker en kugle. Man starter med 5 kugler i
posen, og der må ikke lægges tilbage. Der er:
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 kombinationsmuligheder.
Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig.
Eksempel på opgave:
Eksempel på opgave:
På hvor mange måder, kan man ud
af en bestyrelse på 5 medlemmer finde
2 personer til en arbejdsgruppe?
På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på
5 medlemmer finde en arbejdsgruppe på 3 personer?
Der er
5⋅4
= 10 kombinationsmuligheder.
2
Man kunne tro, at der var
5 ⋅ 4 = 20 muligheder, men mulighederne
er parvis ens. (De samme 2 personer
fundet i forskellig rækkefølge).
Der er
5⋅ 4⋅3
= 10 kombinationsmuligheder.
3 ⋅ 2 ⋅1
Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 muligheder, men mulighederne kan
samles i grupper af muligheder med de samme
3 personer fundet i forskellige rækkefølger.
Og 3 personer kan findes på 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 måder.
Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler
Side 84