1. No category

Matematik
på AVU
Opgaver
til niveau F, E og D
Denne opgavesamling er lavet i forlængelse af
”Matematik på AVU - opgaver til niveau G”.
Opgavesamlingen omfatter derfor kun det fagstof,
som ikke er med på niveau G.
Niels Jørgen Andreasen
Om brug af denne opgavesamling
Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED.
Indtil sommeren 2009 hed niveauerne Basis, 1 og 2.
Denne opgavesamling er oprindelig skrevet til Matematik 2, men da der er sket en del
ændringer af, hvilke matematikområder der skal arbejdes med, er der også lavet en del
ændringer i opgavesamlingen.
Ud over de rent fag-faglige ændringer er det naturligvis vigtigt, at man som lærer med rødder
i de gamle fagbeskrivelser er opmærksom på, at der er sket store ændringer i kravene til,
hvordan man i den daglige undervisning skal arbejde med matematikken (fokus på kompetencer,
inddragelse af IT….).
Der hører en eksempelsamling til opgavesamlingen. Eksempelsamlingen er tænkt som en
opslagsbog, som kursisterne kan læse i, mens de arbejder med denne opgavesamling eller
på anden måde arbejder med faget.
På hjemmesiden, der hører til materialet (laerer.vucaarhus.dk/nja), kan man frit hente eksempelog opgavesamlinger til både niveau G og niveau FED, ligesom man kan hente undervisningsmateriale, der kan anvendes på Basis. Alt materialet er tilgængeligt i såvel PDF-format som
redigerbart Word-format. Man kan også finde små instruktioner i brug af regneark - både på
skrift og som video.
På hjemmesiden kan man ligeledes finde dataene til opgaverne i kapitlet om Statistik i
Excel-format, hvilket gør det langt lettere at anvende regneark.
Nogle af opgaverne er ”på kanten af”, hvad man forventes at arbejde med på matematik FED.
Det gælder bl.a. kapitlerne Formler, ligninger, funktioner og grafer og Procent og eksponentiel
vækst. Men jeg synes, at Formler, ligninger, funktioner og grafer giver et godt supplement til
kapitlerne Funktioner og Bogstavregning. Og jeg synes, at Procent og eksponentiel vækst givet
et godt supplement til afsnittet om Eksponentialfunktioner i kapitlet Funktioner.
Selv om der er mange opgaver i opgavesamlingen, vil jeg alligevel kraftigt anbefale, at man
regelmæssigt arbejder med opgaver fra det sidste kapitel Blandede og supplerende opgaver.
Her kan du finde opgaver, som er mindre disciplinorienterede og mindre stereotype end i
de andre kapitler. I forhold til emnet Geometri vil det også være nødvendigt for at opnå
tilstrækkelig sværhedsgrad på FED.
I det sidste kapitel finder man også opgaver om Lån og opsparing. Det er ikke obligatorisk
på Matematik FED men fint anvendeligt som supplerende emne.
Jeg hører meget gerne fra dig, hvis du har kommentarer, ris eller ros.
Venlig hilsen
Niels Jørgen Andreasen
[email protected]
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E, og D
Indholdsfortegnelse
Sammensætning af regnearterne ................................................... 1
Trigonometri ................................................................................. 7
Statistik........................................................................................ 11
Talfølger ...................................................................................... 20
Funktioner ................................................................................... 24
Formler, ligninger, funktioner og grafer ..................................... 38
Bogstavregning ........................................................................... 46
Procent og eksponentiel vækst.................................................... 51
Blandede og supplerende opgaver .............................................. 59
Udarbejdet af
Niels Jørgen Andreasen
VUC Århus
[email protected]
Indholdsfortegnelse
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Sammensætning af regnearterne
Potenser ......................................................................................... 2
Rødder ........................................................................................... 4
10-tals-potenser ............................................................................. 5
Sammensætning af regnearterne
Side 1
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Potenser
1: Afgør hvilke af udsagnene herunder der er sande?
Du skal så vidt muligt undlade at bruge regnemaskine.
Hvis et udsagn er sandt, skal du skrive
hvilken af regnereglerne til højre, der passer på udsagnet.
a: 2 3 ⋅ 2 5 = 2 8
k: 43 ⋅ 53 = 203
b: 45 + 46 = 411
l:
c: 4 ⋅ 4 = 4
m: 3 ⋅ 6 = 18
3
2
43 + 53 = 93
5
6
5
d: 62 ⋅ 63 = 65
n: 102 ⋅ 102 = 1002
e: 7 4 ⋅ 7 = 7 5
35
⎛3⎞
o: ⎜ ⎟ = 5
4
⎝ 4⎠
57
g: 3 = 54
5
p:
am
II:
= a m −n
n
a
III: a n ⋅ b n = (a⋅ b) n
35
= 0,755
5
4
an ⎛ a ⎞
IV: n = ⎜ ⎟
b
⎝b⎠
q: (42 )5 = 410
58
= 54
52
a m ⋅ a n = a m+n
I:
5
f: 104 ⋅ 102 = 106
h:
Regneregler for potenser
5
n
V: (a m ) n = a m⋅n
r: (42 )5 = 47
8
i:
10
= 103
5
10
s: (63 )3 = 69
t: (103 ) 2 = 106
j: 6 8 : 6 = 6 7
2: Regn (nogle af) disse regnestykker.
I nogle af regnestykkerne kan du med fordel bruge regnereglerne ovenfor.
a: 5 3 ⋅ 58
g: 10 3 ⋅ 10 6
b: (−9) 3 ⋅ (−9) 2
h: 10 2 ⋅ 10 4 + 10 3 ⋅ 10 2
c: 12 5 : 4 5
i:
d: 4 5 ⋅ 35
j: 0,5 4 ⋅ 0,2 4
e: (−2) ⋅ 5
3
3
o:
k: (3,5 )
l:
15 4
34
97
n: 2
9
0,75 3 ⋅ 0,75 2
4 2
f: 1312 : 135
m:
(10 2 ) 3 + (10 2 ) 2
512
+ 53 ⋅ 5 2
8
5
p: 2,5 4 + 25 2 − 0,25 3
3: Regn - og skriv facit som brøk:
⎛3⎞
a: ⎜ ⎟
⎝4⎠
2
⎛2⎞
b: ⎜ ⎟
⎝5⎠
3
Sammensætning af regnearterne
⎛ 2 3⎞
c: ⎜ ⋅ ⎟
⎝7 5⎠
2
2
⎛1⎞ ⎛1⎞
d: ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝2⎠
3
Side 2
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
4: Afgør om disse udsagn er sande:
(du må gerne regne efter på regnemaskinen)
a: 3 − 2 =
1
32
e: 4 −5 =
1
45
i: 10 −3 =
1
10 3
b: 3 − 2 =
1
3⋅3
f: 4 −5 =
1
4⋅4⋅4⋅4⋅4
j: 10 −3 =
1
10 ⋅ 10 ⋅ 10
c: 3 −2 = 1 : 3 2
g: 4 −5 = 1 : 4 5
k: 10 −3 = 1 : 10 3
d: 3 −2 = 1 : 3 : 3
h: 4 −5 = 1 : 4 : 4 : 4 : 4 : 4
l: 10 −3 = 1 : 10 : 10 : 10
5: Regn - helst uden regnemaskine:
a: 2 −1
c: 10 −1
e: 10 −3
g: 0,5 −1
b: 4 −1
d: 10 −2
f: 10 −6
h: 0,1−1
a: 5 −3
c: 2,8 −5
e: 0,9 −3
g: 1,03 −12
b: 24 −2
d: 0,25 −2
f: 0,05 −4
h: 1,25 −8
6: Regn:
7: Afgør om disse udsagn er sande:
(du må gerne regne efter på regnemaskinen)
a: 5 0 = 1
d: 6 3 ⋅ 6 −3 = 6 0
g: 7 6 ⋅ 7 −2 = 7 4
b: 2,30 = 1
e: 5 2 ⋅ 5 4 ⋅ 5 3 = 5 9
h: 38 + 3 −8 = 30
c: 0,010 = 1
f: 4 5 ⋅ 4 −8 = 4 −3
i:
8 3 : 8 −2 = 8 5
8: Regn:
a: 5 2
g: 4 0
m: 17 3,8
b: 5 2,5
h: 4 0, 2
n: 9,45 2, 43
c: 5 3
i:
4 0,8
o: 258 0,78
d: 5 3,3
j: 41
p: 0,78 0,6
e: 5 3,7
k: 41,6
q: 1,1123
f: 5 4
l:
42
Sammensætning af regnearterne
Det er svært at forklare
betydningen af potenser,
hvor eksponenten (det lille tal)
ikke er et helt tal.
Men opgaverne skal give
en fornemmelse af, at den
slags godt kan beregnes.
r: 1.2471,89
Side 3
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Rødder
9: Regn med regnemaskine:
a:
4
4.096
b:
5
248.832
9
c:
d:
8
1.679.616
10.000
g:
3
1.000.000
1
h:
3
1.000.000.000
512
10: Prøv om du kan klare disse opgaver uden regnemaskine:
a:
4
10.000
c:
3
0,001
e:
b:
5
100.000
d:
4
0,0001
f:
5
11: Regn med regnemaskine og afrund til et passende antal decimaler:
a:
3
53
c:
5
1.917
e:
8
257,5
g:
27
b:
6
2
d:
7
1,75
f:
19
2,213
h:
4
79.516.372
1,097
12: Undersøg om disse udsagn er sande:
a:
9 ⋅ 16 = 9 ⋅ 16
e:
25 + 100 = 25 + 100
b:
36 ⋅ 100 = 36 ⋅ 100
f:
9
=
4
c:
3
8 ⋅ 3 125 = 3 8 ⋅ 125
g:
36 − 4 = 36 − 4
d:
3
h: Nævne de regneregler for rødder,
som kan bruges til
at undersøge om
udsagnene er
sande?
9
4
1.000.000 3 1.000.000
= 3
1.000
1.000
13: Regn (prøv uden regnemaskine) - og skriv facit som brøk:
16
25
a:
b:
36
81
25
100
c:
d:
3
125
1.000
e:
4
1
16
14: Afgør om disse udsagn er sande:
(du må gerne regne efter på regnemaskinen)
1
1
25 = 25 2
a:
d:
5
243 = 243 5
6.561 = 6.561 4
e:
20
c:
4
8
43.046.721 = 43.046.7218
9.268 = 9.268 20
h:
40
98.712 = 98.712 40
16 = 16 0,5
f:
5
32.768 = 32.768 0, 2
i:
10
9.765.625 = 9.765.625 0,1
1
1
b:
1
g:
Sammensætning af regnearterne
1
Side 4
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
10-tals-potenser
15: Afgør om disse udsagn er sande:
a: 10 3 = 1.000
f: 6 ⋅ 10 5 = 60.000
k: 3,95 ⋅ 10 8 = 395.000.000
b: 10 7 = 10.000.000
g: 5 ⋅ 10 7 = 50 mio.
l:
c: 10 6 = 1 mio.
h: 4,8 ⋅ 10 6 = 4.800.000
m: 2,5 ⋅ 10 9 = 2,5 mia.
d: 10 −3 = 0,001
i:
e: 10 −5 = 0,0001
j: 2,5 ⋅ 10 −6 = 0,0000025
7 ⋅ 10 −4 = 0,0007
2 ⋅ 1012 = 20.000.000.000
n: 5 ⋅ 10 −11 = 0,0000000005
o: 1,46 ⋅ 10 −8 = 0,0000000146
16: Skriv som almindeligt tal (med en masse nuller):
a: 10 9
c: 3,75 ⋅ 10 8
e: 10 −10
g: 7,2 ⋅ 10 −7
b: 5 ⋅ 1012
d: 5,555 ⋅ 1011
f: 3 ⋅ 10 −4
h: 3,21 ⋅ 10 −9
17: Skriv som et antal millioner eller milliarder
a: 4 ⋅ 10 6
c: 8,2 ⋅ 10 7
e: 5 ⋅ 10 9
g: 3,1 ⋅ 10 9
b: 6 ⋅ 10 7
d: 4,31 ⋅ 10 8
f: 8 ⋅ 1010
h: 6,7 ⋅ 1011
18: Herunder er den samme tekst skrevet to gange, men i udgaven for neden mangler tallene.
Skriv tallene ind i den nederste tekst på ”normal” vis (med en masse nuller).
Der er langt fra Jorden til Månen. Der er faktisk 4 ⋅ 10 5 km.
Men det er ingenting imod afstanden fra Jorden til Solen, som er 1,5 ⋅ 10 8 km.
Afstanden fra Solen og ud til Pluto - den yderste planet - er hele 6 ⋅ 10 9 km.
Og afstanden fra Solen til den nærmeste stjerne er - hold nu fast - 4 ⋅ 1013 km.
Der er langt fra Jorden til Månen. Der er faktisk ___________ km.
Men det er ingenting imod afstanden fra Jorden til Solen, som er ______________ km.
Afstanden fra Solen og ud til Pluto - den yderste planet - er hele _________________ km.
Og afstanden fra Solen til den nærmeste stjerne er - hold nu fast - ____________________ km.
19: Skriv også tallene fra opgaven ovenfor som antal millioner eller milliarder km.
Sammensætning af regnearterne
Side 5
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
20: Herunder er den samme tekst skrevet to gange, men i udgaven for neden mangler tallene.
Skriv tallene ind i den nederste tekst på ”normal” vis (med en masse nuller).
Alle ting består af atomer, og atomer er meget små.
Det allermindste atom - brintatomet - måler kun 4 ⋅ 10 −10 cm.
Og et brintatom vejer kun 1,7 ⋅ 10 −24 gram.
Alle ting består af atomer, og atomer er meget små.
Det allermindste atom - brintatomet - måler kun _________________ cm.
Og et brintatom vejer kun ______________________________________ gram.
21: Skriv med 10-tals-potenser:
a: 100.000.000
d: 12,5 mio.
g: 318 mia.
b: 0,000005
e: 0,000000075
h: 67.800.000.000
c: 48 mia.
f: 0,00000000000432
i: 419.000.000.000.000
22: Regn - prøv både med og uden regnemaskine:
a: 10 4 ⋅ 10 8
e: 5 ⋅ 10 3 ⋅ 4 ⋅ 10 7
h: 10 −4 ⋅ 10 −5
b: 7 ⋅ 10 6 ⋅ 10 5
f: 7 ⋅ 10 9 ⋅ 3 ⋅ 10 −4
i:
c: 2 ⋅ 10 4 ⋅ 3 ⋅ 10 5
6 ⋅ 1012
g:
2 ⋅ 10 5
j: 3 ⋅ 10 −5 ⋅ 2 ⋅ 10 −7
d: 4 ⋅ 10 6 ⋅ 2 ⋅ 10 6
8 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 −2
k: 4 ⋅ 10 −4 ⋅ 6 ⋅ 1010
23: Regn - og du er sikkert nødt til at bruge regnemaskine:
a: 5,2 ⋅ 10 5 ⋅ 6,1 ⋅ 10 6
b: 9,8 ⋅ 10 7 ⋅ 2,2 ⋅ 10 5
c: 3,1 ⋅ 10 −3 ⋅ 4,8 ⋅ 10 −7
24: Regn på regnemaskinen og skriv resultatet som et tal (3 dec.) gange en 10-tals-potens:
a: 57.943 ⋅ 258.416
d: 22.555.999 2
g: 82 −6
b: 9.222.777 ⋅ 88.333
e: 0,0000078 : 594.900
h: 5,7 ⋅ 10 21 ⋅ 4,9 ⋅ 1019
c: 17 27
f: 0,05912
i: 1,8 ⋅ 10 −12 ⋅ 3,6 ⋅ 10 −17
Sammensætning af regnearterne
Side 6
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og G
Trigonometri
1: Til højre er tegnet
en kvart enhedscirkel
i et koordinatsystem.
1,00
90º
75º
60º
Der er indtegnet vinklerne
0º, 15º, 30º osv.
Cosinus og sinus
til vinklerne er markeret.
a: Aflæs så præcist som
muligt cosinus- og
sinus-værdierne.
Kontroller også tallene
på din regnemaskine..
45º
30º
0,50
b: Udfyld vha.
koordinatsystemet
tabellen herunder.
15º
c: Tabellen og tegningen
viser, at der er en vis
symetri. Der gælder:
0º
0,50
cos(v) = sin(90 – v)
sin(v) = cos(90 – v)
1,00
Prøv at forklare hvorfor!
Vinkel
0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
Cosinus
Sinus
2: Herunder er skitseret to retvinklede trekanter.
Beregn størrelsen på de sider og vinkler, som ikke er angivet.
B
50º
B
c = 6,8 cm
a
c = 6 cm
A
a
30º
C
b
Geometri
C
A
b
Side 7
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og G
B
3: Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC
c = 13 cm
a: Beregn sin(∠A)
a = 5 cm
b: Find ∠A (antal grader)
c: Find ∠B (antal grader)
A
C
b
d: Find længden af siden b
B
4: Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC
a: Beregn tan(∠A)
c
b: Find ∠A (antal grader)
a = 8 cm
c: Find ∠B (antal grader)
A
d: Find længden af siden c
C
b = 15 cm
5: Beregn de ukendte vinkler og sider
i de fem retvinklede trekanter.
n
O
A
M
45º
d
E
F
m
52º
o = 7,2 cm
c = 100 mm
b
e
f = 25,0 m
N
58º
C
a
B
A
B
D
c
c = 98 mm
a = 9,8 cm
b = 63 mm
A
C
Geometri
a
b =15,1 cm
C
B
Side 8
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og G
6: Tegningerne viser et stykke af to trapper.
Trappen til venstre stiger 25º, og trinene er 32 cm brede.
På trappen til højre er trinene 25 cm brede og 18 cm høje.
a: Hvor høje er trinene på trappen til venstre?
b: Hvor mange graden stiger trappen til højre?
c: En trappe skal have en trinbredde på 26 cm og en stigning på 30º.
Find trinhøjden.
d: En trappe skal have en stigning på 45º.
Giv et forslag til trinbredde og trinhøjde.
e: Mål trinene på en trappe
på din skole og beregn,
hvor mange graden
trappen siger.
18 cm
25º
32 cm
25 cm
7: Tegningen viser en stige, der står op ad en mur.
Stiger skal helst stå med en hældning på 75º.
a: En stige er 5 m lang. Hvor højt kan stigen nå op på muren,
med en hældning på 75º?
b: Hvor højt kan stigen på 5 m nå op, hvis den hælder 60º?
c: Hvor lang skal en stige være, hvis den skal kunne nå 4 m op
og have en hældning på 75º?
d: En stige er 420 cm lang, og den når 4 m op ad muren.
Hvad er hældning?
e: En stige når 3,5 m op ad muren,
og bunden af stigen står 95 cm fra muren.
Hvad er hældningen?
2,25 m
f: En A-stige (en Wiener-stige) har de viste mål.
Benenes længde er 2,25 m og afstanden mellem benene er 140 cm.
Find benenes hældning og stigens højde.
140 cm
525 cm
8: Tegningen viser gavlen på et hus.
a: Find husets højde
c: Hvor meget højere ville huset være,
hvis tagets hældning var 45º?
Geometri
860 cm
240 cm
35º
b: Hvor meget lavere ville huset være,
hvis tagets hældning var 25º?
Side 9
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og G
9: I har sikkert en tavlelineal på præcis 1 m i klasseværelset.
Stil linealen på skrå op ad en væg.
Mål vinklen med en vinkelmåler
som vist på tegningerne.
Mål også den vandrette afstand x
og den lodrette afstand y.
y
Stil linealen i en ny vinkel
og mål igen vinklen, x og y.
x
Fortsæt med flere vinkler.
Brug dine målinger til at lave at lave en cosinus- og sinus-tabel.
10: Tegningen viser en cyklist på vej
op ad en bakke.
Bakken er indtegnet som
en retvinklet trekant ABC.
B
Man kan angive en bakkes stigning
på to måder: Som et antal grader
og som et antal procent.
Antal grader er størrelsen af ∠A.
c
A
Antal procent er den lodrette stigning
som procent af den kørte strækning.
Altså a som procent af c.
b
a
C
a: Mål længden af a, b og c på tegningen
b: Find stigningen på tegningen målt i procent.
c: Find stigningen på tegningen målt i grader.
Du må gerne måle vinklen på tegningen men prøv også at beregne tallet.
d: Vurder om det er realistisk at cykle op ad en sådan stigning.
e: Omregn en stigning på 10% til grader.
f: Omregn en stigning på 8º til procent.
Geometri
Side 10
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Statistik
Grupperede observationer og summeret frekvens ...................... 12
Indekstal ...................................................................................... 14
Median, kvartiler og boksplot ..................................................... 17
Statistik
Side 11
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Grupperede observationer og summeret frekvens
1: Fritidsjobs
Fritidsjobs
a: Hvor mange unge har svaret?
b: Lav selv en tabel med frekvens
og summeret frekvens.
c: Lav et histogram eller et andet diagram
ud fra frekvenstallene.
Der er stor forskel på, hvad unge
kan tjene ved at have et fritidsjob.
Et rundspørge blandt elever fra
folkeskolens ældste klasser i
Udby gav dette resultat:
d: Find et cirkatal for den gennemsnitlige timeløn.
Tallene i tabellen er lidt upræcise. Hvor skal man
fx placere en person, der tjener præcis 50 kr. i timen?
Timeløn i kr.
Antal svar
30 - 40
5
e: Giv et eller flere forslag til hvorledes man kan
skrive løn-intervallerne med firkantede parenteser.
40 - 50
12
50 - 60
18
f: Giv et eller flere forslag til hvorledes man kan
skrive løn-intervallerne med "mindre end"og "større end"-tegn. (Det er svært).
60 - 70
11
70 - 80
7
80 - 90
4
90 - 100
3
g: Er der er mange på dit hold, som har arbejde
ved siden af undervisningen på VUC?
Så kan I lave jeres egen løn-undersøgelse.
2: TV-forbrug
a: Hvor mange personer har deltaget?
b: I hvilket interval skal man placere en person,
der har set TV i ¾ time hver dag?
c: I hvilket interval skal man placere en person,
der har set TV i så lang tid i løbet af ugens dage?
2 t. 50 m. 3 t. 15 m. 4 t. 5 m.
15 m.
50 m.
1 t. 55 m. 6 t. 35 m.
TV-forbrug
En gruppe personer har holdt
øje med, hvor mange timer
de har set TV på en uge.
Antal timer.
Antal svar
[0 ; 5[
5
[5 ; 10[
15
e: Lav selv en tabel med frekvens
og summeret frekvens.
[10 ; 15[
21
[15 ; 20[
14
f: Lav et histogram ud fra frekvens-tallene.
[20 ; 25[
11
g: Beregn et cirka-tal for det
gennemsnitlige TV-forbrug.
[25 ; 30[
5
[30 ; 35[
2
d: Hvor mange af personerne så højst TV
i cirka 2 timer i gennemsnit pr. dag?
h: Lav evt. en TV-undersøgelse på dit eget hold.
Statistik
Side 12
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Transporttid
Transporttid
a: Hvor mange medarbejdere deltog i undersøgelsen?
På Udby Margarinefabrik har
man undersøgt, hvor lang tid
medarbejderne bruger på at
komme på arbejde.
b: Beregn frekvens og summeret frekvens
c: Hvor mange personer bruger en time eller mere?
d: Hvor mange personer bruger under en halv time?
(Du kan ikke svare præcist, men prøv at komme
med et kvalificeret gæt)
Antal
minutter
e: Find et cirka-tal for den gennemsnitlige transporttid.
f: En person bruger præcis 20 min.
I hvilket minut-interval hører personen til?
g: Lav et diagram ud fra tallene.
Overvej selv, hvilken type der er bedst.
h: Kan du skrive intervallerne med
"mindre end"- og "større end"-tegn?
(Det er svært. Du skal starte sådan: 0 < x < 10)
Antal svar
]0 ; 10[
8
[10 ; 20[
10
[20 ; 40[
22
[40 ; 60[
9
[60 ; 90[
3
[90 ; 120]
2
4: Højdefordeling
De to histogrammer viser højdefordelingen i cm for to hold VUC-kursister fordelt på køn.
Højdefordeling – mandlige kursister
Højdefordeling – kvindelige kursister
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
150
0
150
160
170
180
190
200
160
170
180
190
200
a: Hvor mange mænd er der? Og hvor mange kvinder?
b: Lav to hyppighedstabeller. En for mændene og en for kvinderne.
c: Beregn frekvens og summeret frekvens for hver af de to grupper.
d: Lav også et histogram og en samlet tabel for alle kursisterne.
Tabellen skal indeholde både hyppighed, frekvens og summeret frekvens.
e: Beregn cirka-tal for gennemsnitshøjderne (mændene, kvinderne og alle kursisterne).
Overvej om dine tal kan blive realistiske. Er kursisterne mon jævnt fordelt på intervallerne?
f: Lav evt. en højde-statistik på dit eget hold.
Statistik
Side 13
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Indekstal
5: Lønudvikling
Tabellen viser lønudviklingen for en timelønnet margarinepakker og en månedslønnet
kontorassistent på Udby Margarinefabrik.
År
1996
Timeløn
Månedsløn
1998
2000
2002
2004
2008
2008
2010
88,15
91,25
94,15
98,75
103,35
105,05
107,85
109,95
19.545
20.135
20.675
21.215
21.995
23.285
24.385
25.965
a: Lav en tilsvarende indekstabel, hvor du bruger 1996 som basisår.
b: Lav et diagram, der viser udviklingen i indekstallene.
c: Hvad viser indekstallene om lønudviklingen for de to typer arbejde?
d: Lav en ny indekstabel, hvor du bruger 2000 som basisår.
6: Marmeladepriser
Tabellen viser udviklingen i prisen på et glas marmelade fra Udby Marmeladefabrik.
År
Pris
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
9,95 10,25 10,45 10,95
11,25
11,75 12,35 12,95 13,95 14,45 14,95
a: Lav en indekstabel med år 2000 som basisår.
b: Lav et diagram, der viser udviklingen i indekstallene.
c: Hvor sker den største stigning målt i kr.?
Udby Marmelade
gør alle mennesker glade.
d: Hvor sker den største stigning målt i procentpoint?
e: Hvor mange procentpoint stiger prisen fra 2000 til 2001?
f: Hvor mange procent stiger prisen fra 2000 til 2001?
g: Hvor mange procentpoint stiger prisen fra 2009 til 2010?
h: Hvor mange procent stiger prisen fra 2009 til 2010?
7: Forbrugerprisindeks
Tabellen viser udviklingen i forbrugerprisindekset:
År
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Pris
100,0 102,4 104,8 107,0 108,3 110,2 112,3 114,2 118,1 119,7 122,4
a: Sammenlign marmeladeprisen i opgaven ovenfor med forbrugerprisindekset.
b: Sammenlign lønningerne i opgaven ovenfor med forbrugerprisindekset.
Statistik
Side 14
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
8: Omsætning
Tabellen viser udviklingen i omsætningen på Udby Margarinefabrik.
År
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Mio. kr.
22,3
22,9
23,7
25,8
25,9
24,3
23,4
26,6
27,1
29,8
2010
a: Lav en indekstabel over udviklingen. Brug 2000 som basisår.
b: Lav et diagram, der viser udviklingen i indekstallene.
c: Firmaet forventer en omsætning i 2010 svarende til indeks 135,4.
Hvad svarer det til i kr.?
d: Hvor mange procentpoint steg omsætningen fra 2000 til 2001?
e: Hvor mange procent steg omsætningen fra 2000 til 2001?
f: Hvor mange procentpoint faldt omsætningen fra 2004 til 2006?
g: Hvor mange procent faldt omsætningen fra 2004 til 2006?
h: Opgave d og e ligner hinanden, og de giver samme svar.
Opgave f og g ligner hinanden, men de giver forskellige svar.
Kan du forklare hvorfor?
9: Buspris og timeløn
Tabellen øverst viser udviklingen fra 1990
til 2008 i prisen i kr. på et månedskort
til bussen mellem Udby og Bredballe.
a: Hvor mange procent er prisen steget fra
1990 til 2008?
Månedskort: Udby - Bredballe
1990
1992
1994
1996
1998
295
305
320
350
380
2000
2002
2004
2006
2008
415
465
500
550
600
Tabellen nederst viser Else Hansen timeløn.
Else bor i Udby og tager bussen
på arbejde i Bredballe.
b: Sammenlign udviklingen i buspris
og udviklingen i timeløn
ved at lave en indekstabel
med 1990 som basisår.
c: Lav et diagram ud fra indekstallene.
Else Hansens timeløn
1990
1992
1994
1996
1998
75
78
82
90
2000
2002
2004
2006
2008
103
108
114
120
125
97
Når du svarer på de sidste to opgaver,
er du nødt til at ”glemme”, at Else betaler skat.
d: Hvor lang tid skulle Else arbejde
for at tjene til et buskort i 1990?
e: Hvor lang tid skulle Else arbejde
for at tjene til et buskort i 2008?
Statistik
Vurder evt. hvor lang tid Else skal
arbejde, hvis man tager hensyn til,
at hun skal betale skat af sin løn
Side 15
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
10: Flere buspriser
Kontantbillet: Udby - Bredballe
Tabellen øverst viser udviklingen fra 1990
til 2008 i prisen på en kontantbillet til bussen
mellem Udby og Bredballe som indekstal.
I 1990 kostede en kontantbillet 15 kr.
a: Lav selv en tilsvarende tabel med
de rigtige priser?
1990
1992
1994
1996
1998
100,0
106,7
113,3
120,0
133,3
2000
2002
2004
2006
2008
146,7
166,7
193,3
213,3 233,3
Tabellen nederst viser udviklingen fra 1990
til 2008 i prisen på et 10-turs-kort til bussen
mellem Udby og Bredballe som indekstal.
10-turs-kort: Udby - Bredballe
I 2000 kostede et 10-turs-kort 175 kr.
b: Lav selv en tilsvarende tabel med
de rigtige priser?
c: Sammenlign udviklingen i priserne
på kontantbillet, 10-turskort og månedskort
(se også forrige opgave).
1990
1992
1994
1996
1998
100
108
116
124
132
2000
2002
2004
2006
2008
140
156
172
188
204
11: Tabellen viser udviklingen i salget af øl, vin og stærk spiritus i Danmark.
Tallene er opgivet i mio. liter.
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Øl
Vin
Spiritus
281
343
481
610
638
642
636
628
532
14
19
29
58
72
106
110
144
165
7
11
14
21
19
21
17
14
15
a: Lav en indekstabel ud fra tallene.
b: Hvad viser indekstallene om udviklingen i forbruget?
c: Inden for hvilken periode er der sket den største stigning i vin-salget målt i procentpoint?
d: Inden for hvilken periode er der sket den største stigning i vin-salget målt i procent?
12: Tabellen viser antal børn i Danmark født i og udenfor ægteskab.
1955
1965
1975
1985
1995
2005
Børn født af gifte forældre
73.191
78.626
56.891
30.898
37.664
35.231
Børn født af ugifte forældre
5.054
8.112
15.663
23.091
32.425
29.364
a: Beskriv udviklingen i tallene i tabellen vha. indekstal og grafer.
b: Beskriv også udviklingen i det samlede fødselstal vha. indekstal og grafer.
Statistik
Side 16
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Median, kvartiler og boksplot
13: Ølpriser
Tabellen viser prisen på en øl på de forskellige værtshuse i en by
Den røde ko
25
Hønsehuset
27
Overhuset
38
Guldkalven
35
Løveburet
30
Tronsalen
35
Hos Hans
24
Mødestedet
20
Underhuset
18
a: Hvor mange værtshuse er der?
b: Find medianen
c: Find 1. kvartil og 3 kvartil.
d: Find middelværdien
Guldkalven, Overhuset og Tronsalen sætter alle deres pris ned til 30 kr.
e: Hvad sker der med middelværdi og median?
14: Aldersfordeling
Tabellerne viser alderen på kursisterne på to forskellige VUC-hold
Allan
45
Ester
49
Mogens
41
Rania
24
Victor
21
Conny
32
Henry
62
Olga
56
Svend
70
Yrsa
61
Anton
21
Eskild
18
Jackie
18
Leon
42
Rami
18
Brian
27
Fartun
17
Kasper
19
Lisa
35
Rikke
31
Dagny
51
Goran
27
Kate
26
Matin
23
Sabrina
17
Ditte
22
Halima
20
a: Hvor mange kursister er der på hvert af de to hold?
b: Find median, 1. kvartil og 3. kvartil for det første hold
c: Find median, 1. kvartil og 3. kvartil for det andet hold
d: Tegn boksplot for begge hold.
e: Sammenlign aldersfordelingen på de to hold
15: Undersøg aldersfordelingen på dit eget hold. Find median, 1. kvartil og 3. kvartil.
Lav evt. også et boksplot.
Statistik
Side 17
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
16: Højde-sammenligning
Højdefordeling for basketball-spillere
De to boksplot viser
højde-fordeling i cm
på to forskellige grupper
af mandlige idrætsfolk.
En gruppe basketball-spillere
og en gruppe gymnaster.
a: Prøv at beskrive
de to grupper.
Hvorledes ville de se ud,
hvis de stod ved siden
af hinanden?
140
150
160
170
180
190
200
210
220
210
220
Højdefordeling for gymnaster
b: Aflæs mindste-værdi,
og største-værdi
for basketball-spillerne.
c: Aflæs mindste-værdi,
og største-værdi
for gymnasterne.
140
150
160
170
180
190
200
d: Aflæs medianen,
1 kvartil og 3. kvartil for basketball-spillerne.
e: Aflæs medianen, 1 kvartil og 3. kvartil gymnasterne.
f: Hvor mange cm er den højeste basketball-spiller højere end den laveste gymnast?
17: SMS-er
VUC-kursisterne fra opgave 14 har holdt øje med, hvor mange SMS-er de sendte på en dag.
Tallene er vist i tabellen.
Allan
1
Ester
1
Mogens
2
Rania
5
Victor
8
Conny
2
Henry
0
Olga
2
Svend
0
Yrsa
0
Anton
5
Eskild
19
Jackie
38
Leon
2
Rami
32
Brian
12
Fartun
22
Kasper
25
Lisa
0
Rikke
3
Dagny
1
Goran
7
Kate
41
Matin
6
Sabrina
10
Ditte
15
Halima
5
a: Beskriv tallene for det nederste hold vha. boksplot.
b: Lav evt. også et boksplot for det øverste hold – men overvej først om det giver mening.
Hvis det ikke giver mening, så overvej at lave et andet diagram for det øverste hold.
Statistik
Side 18
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
18: Fritidsaktiviteter
Hvor mange
timer bruger
du om ugen?
En klasse med skolebørn er blevet spurgt om,
hvor mange timer om ugen de bruger
på fritids-aktiviteter (sport, spejder, musik mv.).
Svarerne er vist i tabellen.
Så mange
a: Hvor mange børn er der?
Ahmed
0
Hans
0
Mads
1
Ronni
14
b: Find medianen
Asta
5
Hilda
6
Mette
2
Sidsel
4
c: Find 1. kvartil og 3 kvartil
Bent
3
Ismail
3
Mie
4
Søren
1
d: Sammenlign median og
middelværdi
Carl
0
Kirstin
2
Ninna
0
Tanja
0
Fatima
2
Lone
8
Peter
10
Torben
1
e: Lav et boksplot
19: Løn-sammenligning
Timelønnen på Poulsens Pølsefabrik
De to boksplot viser
timelønnen i kr. på to
forskellige virksomheder.
a: Aflæs mindste-værdi,
og største-værdi
på pølsefabrikken.
b: Aflæs mindste-værdi,
og største-værdi
på isfabrikken.
0
50
100
150
200
250
300
350
300
350
Timelønnen på Iversens Isfabrik
c: Aflæs medianen,
1 kvartil og 3. kvartil
på pølsefabrikken.
d: Aflæs medianen,
1 kvartil og 3. kvartil
på isfabrikken.
0
e: Vurder hvilke
af disse udsagn der er rigtige:
50
100
150
200
250
- 50% af medarbejderne på pølsefabrikken tjener over 150 kr.
- 50% af medarbejderne på isfabrikken tjener mellem 140 kr. og 200 kr.
- De dårligst lønnede 25% af medarbejderne på pølsefabrikken får under 95 kr.
- De bedst lønnede 25% af medarbejderne på isfabrikken får over 250 kr.
- 75% af medarbejderne på pølsefabrikken får mellem 95 kr. og 210 kr.
- 75% af medarbejderne på isfabrikken får mellem 140 kr. og 250 kr.
Skriv selv rigtige udsagn i stedet for de forkerte udsagn.
Statistik
Side 19
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Talfølger
1: Kik på figurerne under tabellen:
a: Tegn selv den næste figur i rækken.
(Din tegning behøver ikke at være særlig pæn eller præcis).
b: Udfyld de tomme pladser i tabellen.
Bemærk: Der skal være formler i kolonnen længst til højre.
Den ene er lavet – prøv at forklare den!!
Du skal selv lave de to andre.
Figur nr.
1
2
Antal grå firkanter
1
Antal hvide firkanter
4
Antal firkanter i alt
5
1
3
4
5
6
7
x
10
3x + 1
9
2
3
2: Kik på figurerne under tabellen:
a: Tegn selv den næste figur i rækken.
(Din tegning behøver ikke at være særlig pæn eller præcis).
b: Udfyld de tomme pladser i tabellen.
Du skal lave formler i kolonnen længst til højre.
Figur nr.
1
Antal grå sekskanter
1
Antal hvide sekskanter
6
Antal sekskanter i alt
7
1
Talfølger
2
3
4
5
6
7
x
14
12
2
3
Side 20
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Kik på figurerne under tabellen:
a: Tegn selv den næste figur i rækken.
b: Udfyld de tomme pladser i tabellen.
Du skal lave formler i kolonnen længst til højre.
Figur nr.
1
Antal firkanter i alt
1
Antal hvide firkanter
1
2
3
4
5
6
7
x
9
3
Antal grå firkanter
1
2
3
4
4: Kik på figurerne under tabellen:
a: Tegn selv den næste figur i rækken.
b: Udfyld de tomme pladser i tabellen.
Du skal lave formler i kolonnen længst til højre.
Figur nr.
1
Antal firkanter i alt
1
Antal grå firkanter
0
1
2
2
3
4
5
6
7
x
16
8
3
4
5
5: Lav selv nogle opgaver med geometriske mønstre og talfølger.
Byt opgaver med en klassekammerat og prøv at regne hinandens opgaver.
Talfølger
Side 21
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
6: Find systemet og udfyld de tomme pladser i tabellen.
1
2
3
4
5
6
7
a:
3
6
9
b.
0
10
30
c:
1
2
4
22
d:
1
2
4
64
e:
0
2
6
f:
1
2
5
14
g:
1
4
10
22
h:
1
6
31
8
9
10
24
360
56
122
766
3906
7: Find systemet og udfyld de tomme pladser i tabellen som vist i eksemplet.
Du skal prøve at lave formler i kolonnen længst til højre.
1
2
3
4
5
6
7
8
x
a:
2
4
6
8
10
12
14
16
2x
b:
3
6
18
21
c:
1
4
7
d:
1
4
9
e:
1
8
27
125
f:
1
4
27
3.125
6
7
8
x
10
8: Find systemet og udfyld de tomme pladser.
1
2
3
a:
2
6
12
b:
0
2
6
c:
2
10
30
d:
2
12
36
e:
1
5
13
Talfølger
4
5
56
30
350
80
576
61
Side 22
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
9: Kik på figurerne under tabellen:
a: Udfyld de tomme pladser i tabellen.
Du skal selv finde en formel for Antal hvide trekanter.
b: Kontroller at formlerne for Antal firkanter i alt og Antal grå firkanter passer.
Find evt. – sammen med din lærer – en forklaring på formlen.
Der er tale om såkaldte differensrækker.
Figur nr.
1
Antal hvide firkanter
1
Antal firkanter i alt
1
Antal grå firkanter
0
1
2
3
4
5
6
7
x
3
x2  x
2
10
x2  x
2
3
2
3
4
10: Kik på figurerne under tabellen:
a: Udfyld de tomme pladser i tabellen.
Du skal selv finde formler for Antal hvide trekanter og Antal grå trekanter.
b: Kontroller at formlen for Antal trekanter i alt passer.
Find evt. – sammen med din lærer – en forklaring på formlen.
Der er tale om en såkaldt differensrække.
Figur nr.
1
2
Antal hvide trekanter
1
Antal trekanter i alt
1
4
Antal grå trekanter
0
1
3
4
5
6
7
x
5
x2
1
2
3
4
Talfølger
Side 23
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Funktioner
Omvendt proportionalitet og hyperbler ...................................... 25
Eksponentialfunktioner ............................................................... 28
Eksponentialfunktioner og lineære funktioner............................ 31
Potensfunktioner ......................................................................... 33
Funktioner
Side 24
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Omvendt proportionalitet og hyperbler
I de to første opgaver skal du både arbejde med
omvendt proportionalitet og ligefrem proportionalitet
Buspriser
a: Hvad er udgiften pr. dag, hvis han:
- køber kontantbillet?
- køber klippekort?
Kontantbillet
10
15
20
Klippekort
m. 10 klip
80
120
160
200
300
400
Månedskort
b: Find også (cirka-tal) for Olferts udgift pr. dag
ved køb af månedskort.
3 zoner
Olfert går på VUC fem dage om ugen.
Han tager bussen (2 zoner) hver dag.
2 zoner
1 zone
1: Buspriser (1)
c: Udfyld for to zoner en tabel som denne:
Antal busture på en måned
10
20
30
40
50
60
Pris i alt ved kontantbillet
Pris i alt ved klippekort
Pris i alt ved månedskort
d: Lav grafer ud fra tallene i tabellen.
e: Opstil funktioner for graferne.
f: Hvilke funktioner og grafer viser ligefrem proportionalitet?
2: Buspriser (2)
a: Udfyld for to zoner en tabel som denne:
Antal busture på en måned
10
20
30
40
50
60
Pris pr. tur ved kontantbillet
Pris pr. tur ved klippekort
Pris pr. tur ved månedskort
b: Lav grafer ud fra tallene i tabellen.
c: Opstil funktioner for graferne.
d: Hvilken funktion og graf viser omvendt proportionalitet?
e: Lav også tabel og grafer der viser sammenhængen mellem:
- antal busture på en måned og prisen pr. tur ved en zone ved køb af månedskort.
- antal busture på en måned og prisen pr. tur ved tre zoner ved køb af månedskort.
Funktioner
Side 25
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Olfert skal lave en indhegning på
24 m2 til sine høns.
Indhegningen skal være firkantet
(rektangel eller kvadrat).
3: Olferts høns
a: Hvor bred bliver indhegningen,
hvis den skal være 6 m lang?
b: Hvor bred bliver indhegningen,
hvis den skal være 8 m lang?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
Den ene side i meter (x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Den anden side i meter (y)
d: Tegn en graf ud fra tallene i tabellen.
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 m
y-akse: 1 cm = 1 m
e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen:
24
x
y=
y=
y = 24 ⋅ x
x
24
f: Hvad bliver sidelængden, hvis indhegningen er kvadratisk?
Marker det sted på grafen, som svarer til en kvadratisk indhegning.
g: Er x og y omvendt proportionale?
h: Lav evt. også tabel og en graf, der passer til en indhegning på 15 m2.
4: Antons køretur
a: Anton overvejer at cykle. Hvor lang tid
tager turen, hvis han kører 20 km/time?
Anton bor i Udby.
Han skal besøge sin
mor i Smalballe.
Turen er på 120 km.
b: Hvor lang tid tager turen, hvis han kører i
bil med en gennemsnitsfart på 80 km/time?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
Km/time
20
30
40
50
60
o.s.v.
140
150
Antal timer
Antal min.
d: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.
Antal km/time skal være x-værdi.
Du bestemmer selv, om du vil bruge
antal timer eller antal min. som y-værdi.
e: Begge disse funktioner kan passe til grafen.
Forklar hvorledes:
120
y=
x
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 10 km/t
y-akse: 1 cm = 20 min.
eller 3 cm = 1 time
y=
120 ⋅ 60
x
f: Lav evt. også tabel og en graf, der passer til en gå- eller cykle-tur på 15 km.
Funktioner
Side 26
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Tegn grafen for denne funktion: y =
x
-8
-4
-2
4
. Start med at udfylde en tabel som denne:
x
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
y
Bemærk: Grafen består af to dele, som ikke hænger sammen.
6: Tegn graferne for disse funktioner:
1
2
y=
y=
x
x
y=
Alle graferne fra
opgave 5, 6 og 7
har symmetriakser.
Kan du finde akserne?
8
x
Du må gerne bruge det samme koordinatsystem som du brugte i opgave 5.
7: Tegn graferne for (nogle af) disse funktioner:
−1
−2
−4
y=
y=
y=
x
x
x
y=
−8
x
Henrys Hyrevogne
8: To taxa-firmaer tager de viste priser.
a: Hvad koster det at køre 4 km med Henry?
8 kr. pr. km
b: Hvad bliver prisen pr. km, når man kører 4 km med Henry?
35 kr. i startgebyr
c: Lav og udfyld en tabel, som denne:
Antal km
Pris pr. km hos Henry
2
3
o.s.v.
10
12 kr. pr. km
25,50
Pris pr. km hos Tom
Toms Taxa
13,50
15 kr. i startgebyr
d: Lav grafer i et koordinatsystem ud fra tallene i tabellen.
e: Hvilken af disse funktioner passer til Henry?
x er antal km og y er prisen pr. km.
8
35
x
y = + 35
y=
+8
y=
+8
x
x
35
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 km
y-akse: 1 cm = 2 kr.
f: Opstil selv en funktion for Toms Taxa.
g: Er x og y omvendt proportionale (undersøg begge funktioner)?
h: Hvor skærer graferne hinanden? …og hvad betyder skæringspunktet?
i: Forestil dig, at du kører en meget, meget, meget lang tur.
- hvor lav kan prisen pr. km blive hos Henrys Hyrevogne?
- hvor lav kan prisen pr. km blive hos Toms Taxa?
Funktioner
Side 27
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Eksponentialfunktioner
9: Lønstigning
Kurt arbejder på Udby Marmeladefabrik.
Han tjener 120 kr. i timen.
I tabellen herunder er vist Kurts timeløn i år og
de næste to år.
Han bliver lovet en lønstigning på 5%
hvert år de kommende år.
a: Vis hvorledes tallene er beregnet.
b: Lav hele tabellen og udfyld den.
(Det er helt urealistisk at regne med en fast lønstigning i 15 år, men find tallene alligevel).
Antal år (x)
Timeløn i kr. (y)
0
1
2
3
………
120,00 126,00 132,30
……....
c: Lav ud fra tallene en graf i et koordinatsystem.
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 år
y-akse: 1 cm = 10 kr.
d: Hvilken af disse funktioner beskriver Kurts løn?
y = 6 ⋅ x + 120
y = 120 ⋅ 1,50 x
15
y = 120 ⋅ 1,05 x
Nu skal du regne på Olferts løn.
e: Udvid tabellen med en række for Olfert.
Tilføj også en graf for Olfert.
Olfert arbejder på Udby Margarinefabrik.
Han tjener 150 kr. i timen.
f: Opstil en funktion for Olferts løn?
Han bliver lovet en lønstigning på 2%
hvert år de kommende år.
g: Hvor mange år skal der gå,
før Kurt og Olfert tjener det samme?
h: Hvor mange procent stiger Kurts løn i alt de første fem år?
Og hvor mange procent stiger Kurts løn de næste fem år (fra år 5 til år 10)?
10: Lønstigning (fortsat)
Forestil dig, at Kurt og Olferts lønninger fortsat stiger med de samme procenttal hvert år.
a: Tegn og udfyld en tabel som vist herunder:
Antal år
0
Kurts timeløn
120,00
Olferts timeløn
150,00
10
20
30
40
b: Lav ud fra tallene i tabellen grafer i et koordinatsystem.
c: Hvor længe varer det,
inden Kurt når en timeløn på 300 kr. i timen?
d: Og hvor længe varer det,
inden Olfert når en timeløn på 300 kr. i timen?
50
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 5 år
y-akse: 1 cm = 100 kr.
e: Hvor mange år går der, før Kurt tjener 1.000 kr. i timen?
Funktioner
Side 28
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
11: Fadøl
Kurt og Olfert drikker fadøl på ”Den Gyldne Giraf”.
For at spare penge drikker de øllet langsomt.
Den Gyldne Giraf
Stor Fadøl
500 ml............ 35 kr.
Kurt køber en stor fadøl.
Hver time drikker han halvdelen (50%) af det øl,
som er tilbage i glasset.
Lille Fadøl
200 ml............ 18 kr.
Olfert køber en lille fadøl.
Hver time drikker han en fjerdedel (25%) af det øl,
som er tilbage i glasset.
- en Fad gør glad -
a: Hvor meget øl har Kurt tilbage efter en time?
b: Hvor meget øl har Olfert tilbage efter to timer?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
Antal timer
0
Øl (ml) i Kurts glas
500
Øl (ml) i Olferts glas
200
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
125
84
d: Lav grafer i et koordinatsystem ud fra tallene i tabellen.
e: Hvilken af disse funktioner kan beskrive Kurts øl?
500
y = 500 − 250 ⋅ x
y = 500 ⋅ 0,50 x
y=
x
f: Opstil selv en funktion for Olferts øl
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 time
y-akse: 1 cm = 20 ml
g: Hvornår er der lige meget øl i Kurts og Olferts glas?
12: Biler
a: Hvor meget er en ny Renaudi dyrere end en ny Skoyota?
Giv både et svar i kr. og et svar i procent.
Udby Auto
Fabriksnye modeller
Begge biler taber 20% i værdi om året.
Skoyota ............. 150.000
b: Lav og udfyld en tabel som denne:
Renaudi ............. 225.000
Alder i år
0
1
Værdi – Skoyota
2
…
10
…
Værdi – Renaudi
c: Lav grafer i et koordinatsystem.
d: Opstil funktioner for begge biler.
e: Hvor mange procent er en 10 år gammel Renaudi
mere værd end en 10 år gammel Skoyota?
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 år
y-akse: 1 cm = 10.000 kr.
a: Hvor mange procent er hver af bilerne i alt faldet?
Funktioner
Side 29
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
13: Hvad passer sammen?
a: y = 25 ⋅ 1,02 x
A: En startværdi på 25 og et fald på 2% (fx om året).
b: y = 25 ⋅ 0,98 x
B: En startværdi på 25 og en stigning på 0,2% (fx om året).
c: y = 25 ⋅ 1,2 x
C: En startværdi på 25 og en stigning på 2 % (fx om året).
d: y = 25 ⋅ 0,8 x
D: En startværdi på 25 og en stigning på 20 % (fx om året).
e: y = 25 ⋅ 1,002 x
E: En startværdi på 25 og et fald på 20% (fx om året).
14: Tegn grafer for (nogle af) funktionerne i opgaven ovenover.
15: Tegn - for x ≥ 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = 4 ⋅ 1,2 x
g(x) = 8 ⋅ 1,1x
h(x) = 4 ⋅ 1,1x
Find også skæringspunktet (cirka-tal) mellem f og g.
16: Tegn - for x ≥ 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = 20 ⋅ 0,8 x
g(x) = 10 ⋅ 0,9 x
Find også grafernes skæringspunkt (cirka-tal).
Flere i arbejde i Udby
17: Flere i arbejde
a: Kontroller at der er blevet 15% flere ansatte
på Udby Margarinefabrik på et år.
b: Kontroller også at der er blevet 20% flere
ansatte på Udby Marmeladefabrik på et år.
Hvis stigningerne fortsætter med det samme
antal procent, kan antallet af ansatte på Udby
Margarinefabrik beregnes med denne funktion:
y = 47 ⋅ 1,15 x
x er antal år, og y er antal ansatte.
c: Lav selv en tilsvarende funktion
for antal ansatte på Udby Marmeladefabrik
På Udby Margarinefabrik er der nu
ansat 54 medarbejdere. Sidste år var
der kun 47 ansatte, så der er sket en
stigning på 15% på et år.
På Udby Marmeladefabrik er der nu
ansat 48 medarbejdere. Sidste år var
der kun 40 ansatte, så der er sket en
stigning på 20% på et år.
På begge fabrikker forventer man, at
stigningerne vil fortsætte med samme
takt de kommende år.
d: Lav tabel og grafer der viser antal medarbejdere på begge fabrikker 10 år frem i tiden.
Gå ud fra at tallene fortsat vokser med 15% og med 20%.
e: Hvornår vil der være flest medarbejdere på Udby Marmeladefabrik
Funktioner
Side 30
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Eksponentialfunktioner og lineære funktioner
18: Indbyggertallet i Gedebjerg
Indbyggertallet vokser voldsomt i
landsbyen Gedebjerg. Der bor lige
nu 800 mennesker i byen, og man
har to modeller til beregning af
befolkningen de kommende år.
Tallene i teksten til højre er fra år 2010.
a: Hvor mange indbyggere vil der være i år 2012,
hvis model 1 passer?
b: Hvor mange indbyggere vil der være i år 2011,
hvis model 2 passer?
Model 1: Indbyggertallet vokser
med 50 personer om året.
c: Hvor mange indbyggere vil der være i år 2012,
hvis model 2 passer?
Model 2: Indbyggertallet vokser
med 5% om året.
d: Lav og udfyld en tabel som den viste:
År (efter 2010)
0
Indbyggertal efter model 1
800
Indbyggertal efter model 2
800
1
2
10
e: Lav grafer ud fra tallene i tabellen.
f: Hvilken af disse funktioner passer til model 1
(x er antal år, og y er indbyggertallet)?
y = 50 ⋅ x + 800
y = 800 ⋅ 1,50 x
y = 800 ⋅ 1,05 x
g: Hvilken af disse funktioner passer til model 2?
y = 50 ⋅ x + 800
y = 800 ⋅ 1,50 x
y = 800 ⋅ 1,05 x
h: Beregn også vha. begge modeller indbyggertallene for årene 2025, 2035 og 2050.
i: Hvornår vil graferne skære hinanden, hvis man forlænger dem?
19: Trafikale problemer
En prognose siger, at antallet af biler på ringvejen vil
vokse med 8% om året. En anden prognose regner
med en stigning på 500 biler om året.
a: Lav ud fra prognoserne tabeller og grafer der
viser trafikken de kommende 10 år?
b: Undersøg for begge modeller hvornår trafikken
vil være fordoblet.
Trafikale problemer
Trafikken på Udby Ringvej stiger
støt. Der er ofte kødannelse, og
der kører ca. 5.000 biler i døgnet.
Vejvæsnet oplyser, at der først
kan blive tale om at udvide vejen,
når trafikken er fordoblet.
c: Hvor skærer graferne hinanden?
d: Opstil funktioner for begge modeller (x er antal år, og y er antal biler i døgnet)
Funktioner
Side 31
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
20: Afskrivning af pakke-maskine
Udby Margarinefabrik har Købt en
ny pakke-maskine til 500.000 kr.
Investeringer i den størrelse skal
afskrives over en årrække, og
direktør Regner Skab oplyser, at
man kan vælge imellem at:
a: Find maskinens værdi om et år, hvis den
nedskrives med 20% om året.
b: Find maskinens værdi om et år, hvis den
nedskrives med 50.000 kr. om året?
c: Find maskinens værdi om tre år, hvis den
nedskrives med 20% om året.
- nedskrive værdien med
20% om året
d: Find maskinens værdi om tre år, hvis den
nedskrives med 50.000 kr. om året?
- nedskrive værdien med
50.000 kr. om året
e: Tegn og udfyld en tabel som den viste:
Maskinens alder i år
0
1
2
10
Maskinens med 20% om året
500.000
værdi ved
afskrivning: med 50.000 kr. om året 500.000
f: Lav grafer for begge afskrivningsmodeller.
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 år
y-akse: 1 cm = 20.000 kr.
g: Hvor skærer graferne hinanden?
h: Hvornår er værdien halveret
ved hver af afskrivningsmetoderne?
i: Hvilken af disse funktioner passer til afskrivning med 20% om året?
y = 500.000 − 100.000 ⋅ x
y = 500.000 ⋅ 0,80 x
y = −100.000 ⋅ x + 500.000
j: Hvilke af disse funktioner passer til afskrivning med 50.000 kr. om året?
y = 500.000 − 50.000 ⋅ x
y = 500.000 ⋅ 0,90 x
y = −50.000 ⋅ x + 500.000
Forestil dig at man vælger afskrivning med 20% om året.
k: Hvor mange år går der, før maskinens værdi er nede på 100.000 kr.?
l: Hvor mange år går der, før maskinens værdi er nede på 0 kr.?
21: Tegn - for x ≥ 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = 1,5 ⋅ x + 5
g(x) = 5 ⋅ 1,2 x
Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal).
22: Tegn - for x ≥ 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = −0,8 ⋅ x + 12
g(x) = 12 ⋅ 0,85 x
Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal).
Funktioner
Side 32
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Potensfunktioner
23: Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: f(x) = x 2 og g(x) = 2 ⋅ x 2 .
Start med at lave og udfylde en tabel som denne:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
g(x)
Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder:
På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 10.
24: Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner:
f(x) = 4 ⋅ x 2 og g(x) = x 3 og h(x) = 0,25 ⋅ x 4 .
Start med at lave og udfylde en tabel som denne:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
g(x)
h(x)
Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder:
På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 20.
Noget af graferne for g og h vil dog ikke kunne være på papiret.
OBS: De tre grafer skærer hinanden i samme punkt.
Prøv at forklare hvorfor.
25: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y = b ⋅ x a .
Hvad er a og b i disse potensfunktioner?
a: y = 117 ⋅ x 2
b: y = x 6
c: y = 5 ⋅ x -2
1
d: y = x 3
2
26: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y = b ⋅ x a .
Skriv selv potensfunktioner med disse værdier af a og b:
a: a = 0,5
b=3
Funktioner
b: a = 10
b=
1
c: a = -1
d: a = 1
b=1
b=2
3
Side 33
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
27: Fliser
Forestil dig at du lægger fliser. Fliserne er kvadratiske,
og det område, som fliserne dækker, er også kvadratisk.
a: Hvor mange fliser skal du bruge i alt,
hvis du lægger 4 fliser på hver led?
b: Hvor mange fliser er der på hver led,
hvis der i alt er lagt 100 fliser?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
Antal fliser på hver led (x)
0
1
2
3
4
5
o.s.v.
Antal fliser i alt (y)
Det er lidt fjollet at regne med 0 fliser, men tallet er med for ”systemets skyld”
d: Lav i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen.
Grafen skal være en blød bue.
Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser.
e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen:
y = 2⋅x
y = x2
y= x
28: Fliser (fortsat)
50 cm
Fliserne er 50 cm på hvert led. Du skal stadig forestille dig,
at du lægger fliserne på et kvadratisk område.
a: Hvad er arealet (i m2) af en flise?
b: Hvor mange fliser skal der til en m2?
50 cm
c: Hvad er arealet af hele området,
hvis der er lagt 3 fliser på hver led?
d: Lav og udfyld en tabel som denne:
Antal fliser på hver led (x)
0
1
2
3
4
o.s.v.
10
Antal m2 med fliser (y)
e: Lav i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen.
Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser.
f: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen:
y = 4⋅ x2
y = 0,25 ⋅ x 2
y = x2 + 4
’
Funktioner
Side 34
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
29: Rumfanget af en terning
Rumfanget kan beregnes med formlen V = s3,
hvor V er rumfanget og s er terningens kant-længde.
Hvis s måles i cm, får man V i cm3 (eller ml).
a: Lav og udfyld en tabel som den viste:
s (cm)
0
1
2
3
4
5
osv.
10
V (cm3)
b: Lav en graf ud fra tabellen.
c: Rumfanget er en potensfunktion af kant-længden. Prøv at forklare hvorfor!
d: Hvad skal kantlængden være for at terningens rumfang bliver:
- 1 liter = 1.000 ml = 1.000 cm3?
- 1 dl = 100 ml = 100 cm3?
30: Bremselængde
Bremselængde
Kik på teksten og tabellen til højre.
a: Hvilken af disse funktioner kan beskrive
sammenhængen mellem hastighed (x)
og bremselængde (y):
10
y = 0,1 ⋅ x
y = 0,004 ⋅ x 2
y=
x
Når du har fundet den rigtige funktion,
skal du lave en graf i et koordinatsystem.
Start med at lave og udfylde en tabel som denne:
x
0
25
50
o.s.v.
- 1 cl = 10 ml = 10 cm3?
Bremselængden for en bil vokser, når
hastigheden vokser.
De helt præcise tal afhænger også af
bilen, vejen og vejret, men her er nogle
typiske tal:
Hastighed
i km/time
25
2,5
50
10
100
40
150
y
Bremselængde
i meter
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 10 km/t
y-akse: 1 cm = 10 m
b: Aflæs på din graf (cirka-tal):
- bremselængden når hastigheden er 90 km/time.
- hastigheden når bremselængden er 50 m.
c: Kan du kontrol-beregne svarerne fra b?
Bremselængderne i tabellen er for kørsel i tør-vejr.
Hvis det regner, kan bremselængderne godt være dobbelt så lange.
d: Lav i samme koordinatsystem som før en graf for bremselængden i regn-vejr.
Funktioner
Side 35
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
31: Side-længden på et kvadrat
A = 9 cm2
s = 3 cm
A = 4 cm2
s = 2 cm
Side-længden (s)
afhænger af arealet (A).
Tegningerne viser
et par eksempler.
a: Lav og udfyld en tabel som denne:
A (cm2)
0
1
2
3
4
s (cm)
5
6
7
8
2
9
osv.
3
b: Lav en graf ud fra tabellen.
c: Opstil en funktion for s. Altså en funktion hvor arealet er x, og side-længden er y.
d: Det er ikke sikkert, at din funktion ligner en potensfunktion, men det er den!
Prøv at forklare hvorfor.
Kik tilbage på opgave 29. Den med kant-længden og rumfanget for en terning
e: Lav og udfyld en tabel som denne:
V (cm3)
0
2
4
6
8
s (cm)
10
12
14
16
18
osv.
2
f: Lav en graf ud fra tabellen.
g: Opstil en funktion, hvor rumfanget er x, og kantlængden er y.
Prøv at forklare hvorfor det er en potensfunktion.
32: Dykning
Den tid, som en dykker højst må være under vand,
afhænger af vand-dybden.
Man kan bruge denne funktion til at beregne tiden:
Hvis dykkere er for lang tid
under vand, risikerer de at
få dykkersyge.
y = 23.000 ⋅ x -2,12
x er vand-dybden i meter,
og y er tiden i minutter.
a: I hvor lang tid må en dykker opholde sig
i en vanddybde på 15 m?
b: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
10
20
30
40
50
y
c: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.
d: Hvilken vand-dybde svarer til en tid på 25 min?
Funktioner
Der er også regler for, hvor
lang tid dykkere skal bruge
på at svømme ned og op.
Den tid skal lægges til, hvis
man vil finde den samlede
neddykningstid.
Side 36
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
33: Hestefoder og hundefoder
Foderenheder
Man kan med god tilnærmelse beregne
hestes behov for foder med denne funktion:
f(x) = 0,04 ⋅ x 0,75
x er hestens vægt i kg,
og f(x) er antal foderenheder pr. dag.
En foderenhed svarer fx til
ca. 1 kg korn eller ca. 2 kg hø
eller ca. 4 kg halm.
a: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
200
300
400
500
Der er ikke lige meget næring
i alle slags dyrefoder. Derfor
bruger man foderenheder.
600
f(x)
b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.
c: Hvor meget vejer en hest,
som har brug for 4 foderenheder pr. dag?
d: En hest på 375 kg får 400 g korn om dagen.
Resten af foderet er en blanding af hø og halm.
Lav et forslag til hvor meget hø og hvor meget halm hesten skal have.
e: En hest vejer 450 kg.
Hestens ejer køber 20 kg korn, 150 kg hø og 200 kg halm.
Hvor lang tid er der foder til?
For hunde gælder der en tilsvarende funktion. Den ser sådan ud:
h(x) = 523 ⋅ x 0,75
x er hundens vægt i kg,
og h(x) er energi-behovet pr. dag målt i kilojoule (kj).
f: Lav også en tabel og en graf for denne funktion.
g: Der er sikkert nogle kursister på jeres hold, som har hund.
Undersøg om funktionen passer på jeres hunde.
I kan finde antal kj vha. varedeklarationerne på den hundemad, som I bruger.
Funktioner
Side 37
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Omskrivning af ligninger og formler .......................................... 39
To ligninger med to ubekendte ................................................... 44
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 38
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Omskrivning af ligninger og formler
1: Claus og Christina skal dele 100 kr. De behøver ikke at få lige mange penge.
Claus’ beløb kaldes x. Christinas beløb kaldes y.
a: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
10
20
30
y
….
100
….
Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved ligningen x + y = 100
b: Omskriv ligningen til en lineær funktion.
c: Tegn en graf for funktionen.
Prøv også at forklare hvad de forskellige punkter på grafen betyder.
Brødkiosken
2: Lars vil købe kager og minirugbrød for 50 kr.
Antal kager kaldes x. Antal minirugbrød kaldes y.
a: Hvor mange kager kan han højst få?
Kager............... 10 kr.
b: Hvor mange minirugbrød kan han højst få?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
1
2
3
4
5
Minirugbrød ....... 5 kr.
y
d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion.
e: Tegn en graf for funktionen.
Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder.
Frugt og grønt
3: Mette skal købe æbler og pærer for 75 kr.
Antal kg æbler kaldes x. Antal kg pærer kaldes y.
Æbler
15 kr. pr. kg.
a: Hvor mange kg æbler kan hun højst få?
b: Hvor mange kg pærer kan hun højst få?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
1
2
3
osv.
Pærer
20 kr. pr. kg.
y
d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion.
e: Tegn en graf for funktionen.
Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder.
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 39
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
4: Hvilke formler passer sammen?
a: y = x + 2
A: x = y : 2
b: y = x − 2
B: x = y 2
c: y = 2 ⋅ x
C: x = y
d: y = x : 2
D: x = y + 2
e: y = x 2
E: x = 2 ⋅ y
f:
y= x
I formlerne med ”i anden” og
kvadratrod skal du kun tænke
på x og y som positive tal.
Hvis opgaverne er svære, kan du
starte med at tænke på R, S og T
som tal, der passer sammen.
Fx som tallene 12, 7 og 5 i a:
F: x = y − 2
5: Hvilke formler passer sammen?
R
T
a: R = S + T
A: S =
b: R = S − T
B: S = R ⋅ T
bb: T = R − S
c: R = S ⋅ T
C: S = R − T
cc: T =
S
R
d: R = S : T
D: S = R + T
dd: T =
R
S
aa: T = S − R
6: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
a: − 10x + 5y = 20
A: y = −4 x + 2
b: − 8x + 2y = −6
B: y = 4 x − 3
c: 2 x + 0,5y = 1
C: y = x − 2
d: 2x − 6y = 12
D: y = 2 x + 4
1
3
7: Omskriv disse ligninger til lineære funktioner:
a: 4x + 4y = −8
b: x − 2y = 3
c: 5y − 3x = x + 4y
Tegn evt. også graferne for funktionerne (ligningerne).
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 40
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
8: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
a: x ⋅ y = 24
b:
x
= 24
y
A: y = − x + 24
C: y =
24
x
c: x + y = 24
d: x − y = 24
B: y = x − 24
D: y =
x
24
e: y − x = 24
f:
y
= 24
x
E: y = 24 ⋅ x
F: y = x + 24
9: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
a: 3x − 6y + 8 = x − 5 y + 5
A: y = 0,5x − 3
b: y − 4x = 3y − 5x + 6
B: y = −2 x − 2,5
c: − x + 5y = x − y
C: y = 2 x + 3
d: 2 x + 5 = 2y + 6x + 10
D: y = x
1
3
10: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
1
2
a: 4 x + 2y − 7 = 5(2x − 3)
b:
A: y = − x + 2
6x + 12y
=8
3
B: y = 2 x + 6
c: 3(x + 2) = 2(y − 3) − x
d:
C: y = −3x
5x + 3y
= 2x + y
4
D: y = 3x − 4
11: Omskriv formlen for rumfanget (V) af en kasse V = l ⋅ b ⋅ h så..
a: …længden (l) står alene
b: …bredden (b) står alene
12: Omskriv formlen for arealet (A)
1
af en trekant A = ⋅ h ⋅ g så..
2
c: …højden (h) står alene
13: Omskriv formlen for arealet (A)
1
af et trapez A = ⋅ h ⋅ (a + b) så..
2
a: …højden (h) står alene.
a: …højden (h) står alene.
b: …grundlinien (g) står alene.
b: …siden a står alene.
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 41
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
14: Formlen for omkredsen (O)
af en cirkel O = 2 ⋅ π ⋅ r
skal omskrive,
så radius (r) står alene.
r=
O
2⋅π
r = O :2⋅π
r
r = O : (2 ⋅ π)
r = O:2:π
O = 2⋅π⋅r
a: Hvilke af formlerne til højre kan bruges?
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem radius og omkreds:
Radius (r) i cm
0
1
2
3
……
11
12
Omkreds (A) i cm
c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og omkreds.
d: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem omkreds og radius:
Omkreds (A) i cm
0
5
10
15
……
70
75
Radius (r) i cm
e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem omkreds og radius.
f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til:
- en cirkel med radius 3,5 cm
- en cirkel med omkreds 22 cm
15: Formlen for arealet (A) af en cirkel A = π ⋅ r 2
skal omskrive så radius (r) står alene.
r=
a: Hvilken af formlerne til højre kan bruges?
A
2⋅π
r=
A
π
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem radius og areal:
Radius (r) i cm
Areal (A) i cm
0
1
2
3
……
r
A = π ⋅ r2
9
10
2
c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og areal.
d: Lav og udfyld en tabel der sammenhængen mellem areal og radius:
Areal (A) i cm2
0
50
100 150 200 250 300
Radius (r) i cm
e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem areal og radius.
f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til:
- en cirkel med radius 5,5 cm
- en cirkel med areal 95 cm2
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 42
Opgaver til niveau F, E og D
16: Rektangel – længde, bredde og areal
Rektangel
a: Find arealet af et rektangel med
længden 8 m og bredden 5 m.
A = l⋅b
længde
b: Et rektangel har arealet 30 cm2 og længden 7,5 cm.
Hvad er bredden?
bredde
Matematik på AVU
c: Omskriv formlen således, at længden står alene.
d: Omskriv også formlen således at bredden står alene.
Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har arealet 24 cm2.
e: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde:
Længde (l) i cm
……
6
7
8
9
……
Bredde (b) i cm
f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b.
17: Rektangel – længde, bredde og omkreds
Rektangel
a: Find omkredsen af et rektangel med
længden 10 m og bredden 5 m.
O = 2⋅l + 2⋅b
længde
b: Formlen for omkredsen af et rektangel
skal omskrives, således at længden står alene.
Hvilke af disse formler er rigtige?
l=
O - 2⋅b
2
l = (O - 2 ⋅ b) : 2
l = O - 2⋅b : 2
l=
O
−b
2
l=O-
bredde
g: Lav en tilsvarende tabel og graf for et rektangel på 150 m2.
b
2
c: Omskriv selv formlen, således at bredden står alene.
Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har omkredsen 30 cm.
d: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde:
Længde (l) i cm
……
8
9
10
11
……
Bredde (b) i cm
e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b.
18: Omskriv disse formler
så x kommer til at stå alene:
a: y = 5 ⋅ x 2 + 4
b: y =
5
+4
x
Formler, ligninger, funktioner og grafer
19: Omskriv disse formler så x og y kommer til
at stå alene. Der er altså to svar pr. opgave:
a: z = 5 ⋅ x + 4 ⋅ y
b: y = 5 ⋅ x 2 + 4 ⋅ y
Side 43
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
To ligninger med to ubekendte
Fredes Frugtbod
20: Line skal købe 30 stykker frugt til sin klasse.
Hun må købe for 100 kr., og hun vil gerne have
flest mulige appelsiner.
Antal bananer kaldes x. Antal appelsiner kaldes y.
Bananer
3 kr. pr. stk.
Appelsiner
4 kr. pr. stk.
a: Sammenhængen mellem x og y kan beskrives
ved to af disse ligninger.
x + y = 30
x + y = 100
3x + 4 y = 30
3x + 4 y = 100
Find de rigtige ligninger:
b: Omskriv de rigtige ligninger til lineære funktioner
c: Lav x-y-tabeller og tegn grafer for funktionerne
d: Hvor mange appelsiner og hvor mange bananer kan Line købe?
21: Peter skal købe 40 flasker vin til en stor fest.
Han må købe for 1.500 kr., og han vil gerne have
flest mulige flasker af den dyre vin.
Fine vine
a: Opstil to ligninger, der kan bruges til at finde ud af
hvor mange flasker af hver slags, han kan købe.
b: Find ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe.
Château Henri
Pr. flaske kun 30 kr.
Château Superb
Pr. flaske kun 50 kr.
22: Mahmut er i byen. Det er blevet sent, den sidste bus er kørt, og han har meget langt hjem.
Han ringer hjem til sin kone, som lover at hente ham i bil, hvis han går hende i møde.
Konen begynder at køre samtidig med, at Mahmut begynder at gå.
Du skal finde ud af, hvor på turen de mødes. Den strækning, Mahmut når at gå, kaldes x.
Den strækning, Mahmuts kone når at køre, kaldes y.
5 km/t
75 km/t
20 km
a: Hvor mange min. tager det Mahmut
at gå en km?
b: Hvor lang tid tager det Mahmuts kone
at køre en km?
c: Find x og y ved at løse disse to ligninger:
x + y = 20
Den tid det tager at gå x km = Den tid det tager at køre y km
d: Hvor lang tid går der fra, at Mahmut begynder at gå, til at han er helt hjemme?
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 44
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
23: Løs (nogle af) disse ligningssystemer.
Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne.
a:
− x + y =1
b:
− x + 2y = 8
c: 3x + y = 7
−x+y=3
d: − x + y = 2
2x + y = 5
e:
3x + 2y = 16
x + 5y = 10
f:
− x + 4y = 4
g: − 2x + y = 3
2x − y = 3
x − 4 y = −20
2x − y = 2
h: − x + 2 y = 4
2 x − y = −3
i:
2x − y = 0
− x + 2y = 2
j:
2x + y = 8
2x + y = 7
8x − 2y = 1
24: Løs disse ligningssystemer.
Du kan kun løse dem ved at tegne grafer.
a: 2x + y = 16
b: 4x − y = 1
x ⋅ y = 24
y − x2 = 2
25: Løs (nogle af) disse ligningssystemer.
Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne.
a: x − 2y = 6
b: 2x + y = 2
2x + y = 2
c: 2x − 10 y = −10
x − 2y = −6
d: 4x − 4y = 3
3x + 5y = 35
e:
x + 3y + 7 = 4x + y − 7
x + 2y = 6
f:
2x + 5y + 1 = 3x + y + 3
g: 3x + 2y − 2 = 2(2x − 3)
3x + 2y = −12
Formler, ligninger, funktioner og grafer
2x + 6y = 4x + y + 1
2x + 2y + 3 = y + 10
h:
− x + 8y = 2(2x − y) + 2
5(x + 2 y) = −2,5x + 5y + 7
Side 45
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Bogstavregning
Formler ........................................................................................ 47
Reduktion .................................................................................... 48
Ligninger ..................................................................................... 50
Bogstavregning
Side 46
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Formler
1: Regn (nogle af) disse opgaver med formler:
a: Beregn:
b: Beregn:
R = 4 ⋅ p − 2,5 ⋅ p
4
2
når: p = 3
når: x = 5
c: Beregn:
d: Beregn:
c = 4,1 ⋅ d
e
når: d = 3,5 og e = 3
e: Beregn:
r = 0,9 ⋅ q
når: a = 5 og q = 117
g: Beregn:
når: a = 98
L = (4,8 m − n) 3 + m + 0,4 n
når: m = 9,2 og n = 12,7
h: Beregn:
0,2 x
3
8y
når: x = 2,4 og y = 1,6
i: Beregn:
A=
b = 2,8 ⋅ 3 a
f: Beregn:
p
z=
y = 0,25 ⋅ 3 x
B⋅ C
(B+ 1,7) ⋅ (C− 3,9)
når: B = 6,1 og C = 9,3
k: Beregn:
K = 3 ⋅ 4 j− 17
når: j = 189
m: Beregn:
T = 3 ⋅ u −2 − 2 ⋅ u −3
når: u = 8
o: Beregn:
L = 0,8 ⋅ M 3,8 − 4,7 ⋅ M 0,7
når: M = 6,7
Bogstavregning
U=
3,1 ⋅ v 2 + 14,7
5⋅ w
når: v = 9,2 og w = 158
j: Beregn:
D=
1
1
−
3,5 ⋅ F+ 2,2 2,7 ⋅ F 2
når: F = 5
l: Beregn:
T = 11,7(1 − r) s
når: r = 0,11 og s = 8
n: Beregn:
F = 2.704,8 ⋅ G − H
når: G = 6,5 og H = 4
p: Beregn:
B = 119 ⋅ 2,5 A
når: A = 106,5
Side 47
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Reduktion
2: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: 7a − a + 5a
b: 9b + 5 − 4b + 5b − 12
d: 398x − 144 − 102x + 54
e:
g: 4 ⋅ 6a + 5 ⋅ 2 + 8a − 12
h: 21x : 3 + 2 + 5x − 4 ⋅ 2
i:
z ⋅ z + 2z + 5z 2 − 3z + 7
j: 12y − z + (6z − 2y) − 3z
k: 7(2y + 3) + (9 y − 15) : 3
l:
24u − 16
+ 5u − 5
8
m: 12 − (2a + 7) + 4a
n: 27u − 3(2u + 5) + 14
o: 9c − 3(4d − 2c) + 10d
1
2
y + 4 + y −1
5
5
c: u − 2v + 5 + 4u + v + 1
f: 3,9a + 4,3b + 0,9a − 3,8b
3: Hvilke udtryk er ens?
a: (2 a + 4)(2 a − 4)
A: 4 a 2 + 30 a − 16
b: (2 a + 4)(2 a + 4)
B: 4 a 2 + 12 a − 16
c: (2 a − 4)(2 a − 4)
C: 4 a 2 + 16 a + 16
d: (4 a − 4)(a + 4)
D: 4 a 2 − 16
e: (4 a − 8)(a + 2)
E: 4 a 2 − 16 a + 16
f: (8 a − 4)(0,5 a + 4)
F: 4 a 2 − 16
4: Hvilke udtryk er ens?
a: 2 a 2 + 6 ab
A: 3(4 a − b)
b: 12 a − 4 b
B: 2 a(3 b+ 2)
c: 12 a − 3 b
C: 6(a + 2 b)
d: 6 a + 8 b
D: 2 a(a + 3 b)
e: 6 ab + 4 a
E: 2(3 a + 4 b)
f: 6 a + 12 b
F: 4(3 a − b)
Bogstavregning
Side 48
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Hvilke udtryk er ens?
a:
2x2 + 3x
x
b:
6 xy+ 4 y
2y
A: 3
B: 2 x + 3
c:
3 x+ 6
x+ 2
d:
6x 2 + 9x
3x
C: 2 x + 3
D: 3 x + 2
6: Hvilke af disse udsagn er sande?
a: (3 b) 2 = 3 b 2
b: (3 b) 2 = 9 b 2
c:
( a)
2
=a
d:
b2 = b
e:
a6 = a3
f:
16 b 2 = 8 b
g:
16 b 2 = 4 b
h:
4 b2 = 4 b
i:
2 b2 = 2 b
j:
a2 a
=
4
2
k:
a2 a
=
4
4
l:
a2
a
=
2
2
7: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: a 3 ⋅ a 6
d:
g:
a⋅ b⋅ a⋅ b
( a) ⋅
2
b2
b: a 3 ⋅ b 2 ⋅ a 4 ⋅ b 6
c:
a⋅ a⋅ a⋅ a
e: x 7 : x 4
f:
x 2 ⋅ y 3 ⋅ 2 ⋅ x 4 ⋅ y⋅ x
i:
(3 b) 2 ⋅ b 2
l:
25 ⋅ b 8
o:
b4
a2
h:
9 b2
j: 5 ⋅ (5 q) 2 ⋅ (2 p) 2
k: x 5 ⋅ y 6 : x : y 2
m9
m: 5
m
n:
p5 ⋅ q 4
p2 ⋅ q
8: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: a 7 ⋅ a −4
b: b 5 ⋅ c 6 ⋅ b −3 ⋅ c −2
d: x 3 ⋅ y 4 ⋅ x −5 ⋅ y −7
e:
m2
m9
f:
c4
c3 ⋅ c2
g: a 5 ⋅ a −7 ⋅ a 2
h:
x3
x5 ⋅ y2
i:
a 2 ⋅ c3
c2 ⋅ a 3
Bogstavregning
c: z 3 ⋅ z −8
Side 49
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Ligninger
9: Løs (nogle af) disse ligninger:
a: 12 ⋅ x − 94 = 110
d: 6 =
5x + 12
8
b: 47 = x : 19 + 16
e:
122 − x
= 15
5
c: 13x − 47 = 105 − 3x
f: 22 =
374
x
g: 3 + 6(x − 4) = 2 x + 1
h: 15 ⋅ x 2 = 735
i:
x + 2 = 11
j: 15 − 9 x = 5 − x
k: 1,5 + 5(x − 3) + 10x = 0
l:
x 2 : 3,25 = 13
m: 3,6 =
x
1,5
n:
4x − 7,9
= 8,3
3
o: 52,5 =
x2
2,1
10: Løs (nogle af) disse ligninger:
a:
3(x + 5)
=6
7
b: 40 =
8(4 + x)
3
c:
d:
17 + x
+ 12 = 17
5
e: 10 =
5(4 + 3x)
11
f: 16 +
4x + 17
= 21
9
i: 12 +
48 − 9x
= 15
7
g: 44 =
11(17 − x)
3
h:
33 − x
− 12 = 0
2
7(x − 9)
= 14
6
11: Løs (nogle af) disse ligninger:
a: x 2 − 13,8 = 123,1
b: 7 ⋅ x 2 + 19 = 82
c: x 2 = 0,0001
d: 2,5 x − 3 = 7
e: = 8 x + 9,6 = 60
f:
g:
3,75 ⋅ x 2
= 44,1
1,5
x
+ 1,3 = 2
5
h:
i:
x = 0,01
7,75 + x 2
= 16
5
12: Løs (nogle af) disse ligninger:
a: x 3 = 343
d:
6
x = 1,18
g: 2 ⋅ x 3 − 28 = 750
Bogstavregning
b: x 5 = 143,5
e:
3
x = −6
h: (x + 4) 5 = 16.807
c: 8 ⋅ x 4 = 40,5
f: 5 ⋅ 3 x = 26,45
i:
5 ⋅ x 11 + 21 = 1.100
Side 50
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Procent og eksponentiel vækst
Procent og decimaltal.................................................................. 52
Vækst-fomlen; Kn er ukendt........................................................ 54
Vækst-fomlen; K0 er ukendt........................................................ 56
Vækst-fomlen; r er ukendt .......................................................... 57
Vækst-fomlen; n er ukendt.......................................................... 58
Når du regner opgaverne fra side 54 og fremefter, skal du bruge vækstformlen.
Formlen skrives normalt på denne måde:
K n = K 0 (1 + r) n
Kn = slutværdi
r = vækstprocenten som decimaltal
K0 = startværdi
n = antal ændringer
Det er meget vigtigt, at du er klar over, at vækstformlen er i familie med
eksponentialfunktionen, der normalt skrives på denne måde: y = b ⋅ a x
Du kan finde opgaver med eksponentialfunktionen i et andet afsnit.
Det kan være lidt forvirrende, men de to formler/funktioner udtrykker
faktisk præcis det samme rent matematisk.
Procent og eksponentiel vækst
Side 51
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Procent og decimaltal
1: Nye ejere og højere løn
a: Yrsa Olsen arbejder hos Udby Data.
Hun plejer af få 23.250 kr. pr. måned.
Hvad bliver hendes nye løn?
b: Hvilken af disse regne-modeller passer:
Ny løn = Gammel løn ⋅ 0,10
Ny løn = Gammel løn ⋅ 1,10
c: Olfert Eriksen arbejder også hos Udby Data.
Han kommer nu til at få 29.535 kr. pr. måned.
Hvad var hans gamle løn?
Nye ejere og højere løn
Udby Data er netop blevet overtaget af
det amerikanske firma MicroBill A/S.
De nye ejere startede med at bevillige
alle ansatte en lønstigning på 10%.
Tilfredse medarbejdere arbejder mere,
så vi forventer hurtigt at tjene pengene
ind igen, siger en repræsentant for det
amerikanske firma.
2: Mindre eksport og lavere løn
a: Olga Isaksen arbejder på Knapfabrikken.
Hun plejer af få 21.240 kr. pr. måned.
Hvad bliver hendes nye løn?
b: Hvilken af disse regne-modeller passer:
Ny løn = Gammel løn ⋅ 0,95
Ny løn = Gammel løn ⋅ 0,05
c: Eskild Ugleby arbejder også på Knapfabrikken.
Han kommer nu til at få 22.268 kr. pr. måned.
Hvad var hans gamle løn?
3: Dyrere Biler
Mindre eksport og lavere løn
Alle medarbejdere på Knapfabrikken
har indgået en frivillig aftale med
firmaet om en lønnedgang på 5%.
Alternativet var desværre fyringer
pga. de svigtende eksportindtægter,
udtaler fællestillidsmanden.
Dyrere Biler
a: Kontroller at den nævnte pris-stigning
på Basis-modellen passer med
to stigninger på hver 5%.
Autogården i Skrubberup fortæller, at
priserne på alle Skoyota-modeller vil
blive sat op to gange i nær fremtid.
b: Hvilke af disse regne-modeller passer:
Ny pris = Gammel pris ⋅ 1,10
Priserne stiger i næste uge med 5%,
og til efteråret kommer der endnu en
prisstigning på 5%.
Ny pris = Gammel pris ⋅ 1,05 ⋅ 1,05
Ny pris = Gammel pris ⋅ 1,05 2
c: En XPL-model kommer efter sidste prisstigning til at koste 202.750 kr.
Hvad koster denne model nu?
Procent og eksponentiel vækst
Basis-modellen stiger fra 127.800 kr.
til 140.900 kr., og alle andre modeller
stiger tilsvarende.
Side 52
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lønaftale i hus på fjerkræslagteri
4: Lønaftale
a: Undersøg om det kan passe, at en timeløn
på 113,45 kr. ender med at stige til 127,60 kr.
b: Prøv at forklare denne regne-model:
Ny løn = Oprindelig løn ⋅ 1,04 ⋅ 1,03 ⋅ 1,05
På Andebjerg Fjerkræslagteri har man
netop aftalt, at alle lønninger i år skal
sættes op med 4%.
c: Find den nye løn (efter alle stigninger) for en
medarbejder, der i dag får 124,50 kr. i timen.
Man har desuden allerede nu aftalt, at
lønningerne næste år hæves med 3%
og året efter med yderligere 5%.
d: Undersøg om det kan passe, at den samlede
lønstigning bliver på næsten 12,5%.
(husk at 4% + 3% + 5% kun giver 12%)
Aftalen betyder, at de lavest lønnede
medarbejdere, der i dag får en timeløn
på 113,45 kr., kommer op på 127,60 kr.
I opgave e skal du regne baglæns.
Brug evt. regnemodellen fra opgave b.
Den samlede lønstigning for alle tre år
bliver således på næsten 12,5%
e: En medarbejder ender efter aftalen med en
timeløn på 145,15 kr.
Hvad er medarbejderens timeløn nu?
Både ledelse og medarbejdere er godt
tilfredse med den nye lønaftale.
f: En medarbejder vil efter det første års lønstigning få en timeløn på 122,72 kr.
Find både medarbejderens nuværende løn og medarbejderens løn efter alle tre stigninger.
5: Vurder om disse udsagn kan være rigtige:
a:
b:
c:
d:
e:
Hvis man først hæver en pris med 25% og
efterfølgende sænker prisen med 20%,
så er man tilbage ved den oprindelige pris
Rigtigt
Forkert
Hvis man først sænker en pris med 20% og
efterfølgende hæver prisen med 25%,
så er man tilbage ved den oprindelige pris.
Rigtigt
Forkert
Hvis man først sænker en pris med 50% og
efterfølgende sænker prisen med yderligere 50%,
så er den oprindelige pris faldet med 100%.
Rigtigt
Forkert
Hvis man først hæver en pris med 50% og
efterfølgende hæver prisen med yderligere 50%,
så er den oprindelige pris vokset med 125%.
Rigtigt
Forkert
Hvis man først hæver en pris med 100% og
efterfølgende hæver prisen med yderligere 100%,
så er den oprindelige pris vokset med 200%.
Rigtigt
Forkert
Find selv de rigtige svar de steder, hvor udsagnet er forkert.
Procent og eksponentiel vækst
Side 53
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Vækst-fomlen; Kn er ukendt
6: Børneopsparing
Der indsættes 5.000 kr. på et nyfødt barns opsparing.
Der indsættes kun penge den ene gang.
Omegnsbanken
Rentesatser på indlån
Anfordring ............... 0,5% p.a.
a: Hvor mange penge står der, når barnet fylder 15 år?
Aktionærkonto........ 2,5% p.a.
b: Hvor mange penge står der, når barnet fylder 18 år?
Børneopsparing........ 4,0% p.a.
Rentesatser på udlån
7: Boliglån
Du tager et boliglån på 40.000 kr. Du skal ikke betale
afdrag de første fire år, men der tilskrives rente.
Hvor stor er gælden efter fire år?
8: Aktionærkonto
Du vinder 73.219 kr. i Lotto (tillykke med det!).
Pengene indsættes på en aktionærkonto.
a: Hvor mange penge står der på kontoen efter tre år?
b: Hvor mange penge står der på kontoen efter ni år?
Billån .......................... 6,0% p.a.
Boliglån...................... 9,0% p.a.
Kassekredit.............12,0% p.a.
Resultatet af sådanne opgaver
passer kun præcist, hvis lånet
(opsparingen) oprettes på
"terminsdagen" (ofte til nytår).
Men selv om dette ikke er tilfældet, får du udmærkede
cirka-tal med "Kn-formlen".
9: Flere indbyggere i Udby
Tallene i teksten er fra år 2010
a: Hvor mange indbyggere forventer man,
at der vil være i Udby Kommune i år 2014?
b: Hvor mange af disse indbyggere forventes
at ville bo i selve Udby?
c: Find de forventede indbyggertal for Skrubberup
og Sildested i år 2013.
d: Vurder om disse udsagn er sande:
- den andel af kommunens indbyggere, der bor i
selve Udby forventes at falde de kommende år.
- hvis den forventede udvikling fortsætter, så vil
Sildested være større end Skrubberup i år 2025.
Forestil dig (og det er urealistisk) at stigningerne
kan forsætte som beskrevet i rigtig mange år.
e: Find kommunens indbyggertal i år 2060.
Procent og eksponentiel vækst
Flere indbyggere i Udby
Indbyggertallet er støt stigende, og
der bor nu 14.458 i Udby Kommune.
Heraf bor hele 8.647 i selve Udby.
De næststørste byer i kommunen er
Skrubberup med 1.257 indbyggere
og Sildested med 1.002 indbyggere.
Man forventer, at hele kommunens
indbyggertal de kommende år vil
stige med 1,7% pr. år. Stigningerne i
de nævnte byer bliver 1,5% i Udby,
0,9% i Skrubberup og hele 2,5% i
Sildested. Alle procenttal er pr. år.
Borgmester Frede Fixtofte glæder
over udsigten til flere skatteborgere.
Side 54
Matematik på AVU
10: En bil koster fra ny 190.000 kr.
Dens værdi falder med 15% om året.
Hvor meget er bilen værd,
når den er seks år gammel?
Opgaver til niveau F, E og D
11: En computer koster fra ny 8.000 kr.
Dens værdi falder med 35% om året.
Hvor meget er computeren værd,
når den er tre år gammel?
Færre indbyggere i små byer
12: Færre indbyggere i små byer
Tallene i teksten er fra år 2010.
a: Hvor mange indbyggere forventer man,
at der vil være i Gåsedal i år 2014?
b: Hvor mange indbyggere forventer man,
at der vil være i Andebjerg i år 2016?
c: Vurder om disse udsagn er sande:
- hvis udviklingen i Gåsedal fortsætter som
forventet, så vil indbyggertallet være
halveret i år 2041.
- hvis udviklingen i Andebjerg fortsætter som
forventet, så vil indbyggertallet først være
halveret om cirka 230 år.
Selv om indbyggertallet er stigende,
for Udby Kommune som helhed, så
bliver der færre menneske i Gåsedal
og Andebjerg.
Gåsedal har kun 202 indbyggere, og
tallet forventes at falde med 2,2% pr.
år. Det ser lidt bedre ud i Andebjerg,
hvor der lige nu bor 699 mennesker.
Dette tal forventes kun at falde med
0,3% pr. år.
Borgmester Frede Fixtofte undrer sig
lidt over tilbagegangen. Han siger:
"Det er skam nogle rare byer, hvor
solen ofte skinner".
13: Prisudvikling
Et hus i Sildested er vurderet til 1.200.000 kr.
a: Hvor meget vil huset være værd om fem år,
hvis prisudviklingen fortsætter?
b: Hvor mange procent stiger værdien på de fem år?
c: Hvorfor er svaret fra opgave b ikke 20%?
Et hus i Gåsedal er ligeledes vurderet til 1.200.000 kr.
d: Hvor meget vil huset være værd om fem år,
hvis prisudviklingen fortsætter?
Forskellig prisudvikling
Der er stor forskel på hvorledes
ejendomspriserne udvikler sig i
Udby Kommune. Yderpunkterne
er Sildested, hvor priserne typisk
stiger 4% om året, og Gåsedal,
hvor priserne omvendt falder
med 4% om året.
e: Hvor mange procent falder værdien på de fem år?
f: Hvorfor er svaret fra opgave e ikke 20%?
Rentesatser på kassekredit
14: Sammenlign de rentesatser, der er vist til højre.
Du kan f.eks. forestille dig, at du har et træk på
kreditten på 10.000 kr. i præcis et helt år.
Procent og eksponentiel vækst
Omegnsbanken.........12% pr. år
Lokalbanken...... 3% pr. kvartal
Vestbank............. 1% pr. måned
Side 55
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Vækst-fomlen; K0 er ukendt
I de fleste af opgaverne herunder (men ikke dem alle) skal du finde K0.
15: Stigende huslejer
Stigende huslejer
a: Kontroller ved beregning, at det passer,
at huslejen for en to-værelses lejlighed
er sat op med 3% om året.
b: Hvor mange procent er huslejen i alt vokset?
(tallet er større end 15%)
c: Hvad kostede en tre-værelses lejlighed i 2005?
d: Hvad kostede en fire-værelses lejlighed i 2005?
e: Hvad vil huslejerne på de nævnte lejligheder
være i 2013, hvis stigningen fortsætter?
a: Undersøg om det kan passe, at prisen på en
vuggestueplads er sat op med 8% om året.
b: Hvor mange procent er prisen i alt vokset?
(tallet er større end 32%)
c: Hvad kostede en børnehaveplads for fire år siden?
d: Hvad kostede en dagplejeplads for fire år siden?
e: Hvad ville priserne på de nævnte former for
børnepasning have været, hvis de havde fulgt
den almindelige prisudvikling i samfundet?
18: Hjorte i Vestskoven
a: Hvor mange hjorte var der i
Vestskoven for 3 år siden?
b: Er det rimeligt at påstå, at antallet er
blevet næsten halveret på 4 år?
Procent og eksponentiel vækst
Priserne på Boligselskabets tre- og
fire-værelses lejligheder er nu oppe
på hhv. 4.674 kr. og 5.940 kr.
Dyre børn i vores kommune
16: Dyre børn
17: Hvor mange trafikulykker med alvorlig
personskade skete der i 2000?
Udby Boligselskab har i perioden fra
2005 til 2010, hvert år hævet alle
huslejer med 3%. Det betyder fx, at
en to-værelses lejlighed, der i 2005
kostede 2.940 kr. om måneden, nu i
2010 koster 3.408 kr. om måneden.
Prisen på børnepasning er gennem
de sidste fire år sat op med hele 8%
om året. En vuggestueplads er på de
fire år steget fra præcis 2.200 kr.
pr. måned til 2.993 kr. pr. måned.
En børnehaveplads er kommet op på
1940 kr., mens en dagplejeplads nu
er helt oppe på 2.490 kr. pr. måned.
Den almindelige prisudvikling har i
samme periode været ca. 2% pr. år.
I år 2010 skete der i regionen 228 trafikulykker med
alvorlig personskade. Det lyder af mange, men tallet
er i gennemsnit faldet med 4% om året siden 2000.
Antallet af hjorte i Vestskoven er pga. sygdom
blandt dyrene faldet voldsomt de seneste år.
Ingen kender de præcise tal, men et gæt lyder
på, at der lige nu er ca. 90 hjorte. Faldet har i
en årrække været på omkring 15% om året.
Side 56
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Vækst-fomlen; r er ukendt
I de fleste af opgaverne herunder (men ikke dem alle) skal du finde r.
19: Hvor mange procent har Yrsa i gennemsnit
fået i årlig rente af pengene fra morfar?
Da Yrsa blev født forærede hendes morfar
hende 10.000 kr. Pengene blev indsat på
en opsparingskonto. Da Yrsa fyldte 18 år,
kunne hun hæve 33.852 kr. fra kontoen.
20: Trafikale problemer
Turister giver mere trafik
a: Hvor mange procent ar antallet af biler
i gennemsnit vokset pr. år?
b: Hvor mange biler vil der køre på vejen
om tre år, hvis udviklingen fortsætter?
(uændret årlig vækstprocent )
Læg nu din regnemaskine til side.
c: Kan du (uden at bruge regnemaskine) tænke dig til,
hvor mange biler der vil køre på vejen om 10 år?
Hvis du ikke kan, så må du bruge regnemaskinen.
21: Færre indbrud
I sommermånederne kører der nu
ca. 2.000 biler i døgnet på vejen
mellem Sildested og Skrubberup.
For ti år siden var tallet kun det
halve. Beboerne er glade for de
mange turister, men bekymrede
over trafikforholdene.
Markant fald i antallet af indbrud
a: Beregn det gennemsnitlige årlige fald
i antallet af indbrud målt i procent.
b: Hvor mange indbrud vil der ske i
2014, hvis udviklingen fortsætter?
Antallet af indbrud er faldet i Udby gennem de
senere år. I 2003 blev der anmeldt 215 indbrud.
I år 2010 modtog politiet kun 180 anmeldelser.
Flere bil-tyverier og færre cykel-tyverier
22: Bil- og cykeltyverier
a: Beregn den gennemsnitlige
årlige stigning i antallet af
bil-tyverier målt i procent.
Antallet af bil-tyverier i Udby er vokset gennem
de senere år. I 2005 blev der anmeldt 87 tyverier.
I år 2010 var antallet vokset til 125.
b: Beregn det gennemsnitlige
årlige fald i antallet af
cykel-tyverier målt i procent.
Antallet af anmeldte cykel-tyverier er til gengæld
blevet halveret i den samme periode. Helt præcist
fra 124 tyverier i 2005 til 62 tyverier i år 2010.
c: Hvor mange bil-tyverier vil der
ske i 2015, hvis udviklingen fortsætter?
d: Kan du (uden at bruge regnemaskine) tænke dig til, hvor mange cykel-tyverier
der vil ske om fem år, hvis udviklingen fortsætter? (ellers må du bruge regnemaskine)
Procent og eksponentiel vækst
Side 57
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Vækst-fomlen; n er ukendt
I de fleste af opgaverne herunder (men ikke dem alle) skal du finde n.
23: Opsparing i Omegnsbanken (I)
Der indsættes 10.000 kr. på en konto.
Hvor lang tid går der inden beløbet (med renter)
er vokset til 15.000 kr., hvis…
a: …pengene indsættes på en børneopsparing?
b: …pengene indsættes på en aktionærkonto?
c: …pengene indsættes på en anfordingskonto?
Omegnsbanken
Rentesatser på indlån
Anfordring ............... 0,5% p.a.
Aktionærkonto........ 2,5% p.a.
Børneopsparing........ 4,0% p.a.
Rentesatser på udlån
Billån .......................... 6,0% p.a.
Boliglån...................... 9,0% p.a.
24: Opsparing i Omegnsbanken (II)
Kassekredit.............12,0% p.a.
En glad bedstemor opretter en børneopsparing til sit
nyfødte barnebarn. Hun indsætter straks 15.000 kr.
a: Hvornår er beløbet fordoblet?
b: Hvor meget hurtigere blev beløbet fordoblet, hvis renten i stedet var 6% p.a.?
25: Kassekredit i Omegnsbanken
Du opretter en kassekredit og trækker straks 20.000 kr. Så glemmer du alt om kreditten,
indtil du får et brev fra banken. I brevet står der, at dit træk nu er oppe på 50.000 kr.
a: Hvor lang tid er der gået siden du oprettede din kassekredit?
Forestil dig, at du fortsat får lov at beholde kreditten uden at indbetale penge.
b: Hvor mange år går der yderligere, inden dit træk når 100.000 kr.?
26: Skarvø
Oplysningerne til højre er fra år 2010.
a: Hvornår vil indbyggertallet nå ned på 500,
hvis udviklingen bliver som forventet?
b: Hvornår vil indbyggertallet være halveret,
hvis udviklingen bliver som forventet?
c: Nogle folk tror imidlertid, at indbyggertallet
vil være halveret allerede om ti år.
Hvilken gennemsnitlig årlig vækstprocent
regner de med?
Procent og eksponentiel vækst
På Skarvø er indbyggertallet gennem
en årrække faldet. Der bor lige nu kun
684 mennesker på øen. Man forventer
at tallet i gennemsnit vil falde med 4%
om året de kommende år.
De fleste beboere er ældre mennesker,
der falder fra, som årene går, og det er
sjældent, at der flytter nye folk til øen.
Der bliver kun født få børn, og de unge,
der rejser fra øen for at få uddanne sig,
vender langt fra alle tilbage.
Side 58
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Blandede og supplerende opgaver
Sammensætning af regnearterne ................................................. 60
Geometri ...................................................................................... 61
Statistik ........................................................................................ 67
Talfølger ...................................................................................... 74
Funktioner (1): Formler og funktioner ........................................ 76
Funktioner (2): Andengradsfunktioner og parabler .................... 79
Funktioner (3): Blandede opgaver .............................................. 81
Bogstavregning ........................................................................... 87
Procent og eksponentiel vækst .................................................... 90
Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente..................... 91
Lån og opsparing (2): Serielån .................................................... 92
Lån og opsparing (3): Annuitetslån ............................................ 93
Lån og opsparing (4): Opsparing ................................................ 98
Blandede og supplerende opgaver
Side 59
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Sammensætning af regnearterne
1: Afgør om disse udsagn er sande:
Du skal så vidt muligt svare uden at bruge regnemaskine.
a: 34 ⋅ 32 = 38
4
2
i:
86
= 84
2
8
n:
9
=
25
j:
86
= 83
82
o:
25 − 9 = 25 − 9
6
b: 3 ⋅ 3 = 3
c: 3 2 + 4 2 = 7 2
d: 58 : 52 = 56
e: 58 : 52 = 54
2
2
f: 5 − 2 = 3
k:
2
l:
g: (62 )3 = 66
52  5 
= 
42  4 
1
2
p: 16 = 16
2
1
2
q: 16 =
5−3 = 1 − 53
2: Skriv tallet som
et almindeligt tal:
16
2
r: 747 0 = 1
1
m: 5 = 3
5
−3
h: (6 2 )3 = 65
9
25
s: 747 0 = 0
3: Skriv tallet som
en 10-tals-potens:
a: 7 ⋅ 1012
a: 3,5 mia.
b: 2,45 ⋅ 10 9
b: 35.000.000.000.000
c: 5 ⋅ 10 −8
c: 0,000000058
4: Regn regnestykkerne.
Helst uden regnemaskine
a: 3 ⋅ 10 4 ⋅ 4 ⋅ 10 3
b:
15 ⋅ 10 6
5 ⋅ 10 2
5: Prøv om du både kan regne disse opgaver ved at lave mellemregninger og ved at taste hele
regnestykket ind på regnemaskinen i ”et hug”. Afrund selv til et passende antal decimaler.
a: 5 ⋅ 310 + 4 ⋅ 6 7
h:
5.248 + 12 3
b:
45
i: 17 ⋅ (2,4 + 0,8)10
p: 5 ⋅ 3 2,8 + 4 ⋅ 9,11,8
j: 25 ⋅ (1 − 0,07)19
q: 2,5 −5 + 6,4 −2
c:
d:
6.943 −
4
9.358
22 2
4
f:
2.749.512
2,78 3
6.044,5 

g:  978,2 −

27,5 

2.717 + 1,2812
o:
6
59 2 − 133
k:
51.898
(1 + 0,27) 25
39 − 0,4 −5
r:
13 2,5
l:
3,576
(1 − 0,035)16
s:
898 + 6 32.616
e: 2 ⋅ 4 9 + 3 ⋅ 27 4 − 8,5 ⋅ 48 2
5
m:
9
317
−1
58
3
n: 1 − 5
Blandede og supplerende opgaver
22,3
48,1
2, 5
48 − 3 19
1,8
t:
u:
17,2
21,9
9.548 ⋅ 0,2
1 − 1,2 −5
Side 60
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
a: Undersøg om siderne i
sekskanten er lige lange.
b: Undersøg om siderne i
ottekanten er lige lange.
5,8 cm
8,2 cm
5,8 cm
4,5 cm
4,5 cm
1: Tegningerne
viser en sekskant
og en ottekant.
9,0 cm
Geometri
5,8 cm
7,8 cm
8,2 cm
7,8 cm
5,8 cm
c: Beregn areal og omkreds
af begge figurerne.
d: Beregn vinklerne i de to figurer. Brug trigonometri.
e: Vurder om figurerne er helt regulære.
v=
I en regulær polygon (mangekant) men n sider
kan man beregne vinklerne med formlen til højre.
(n − 2) ⋅ 180 o
n
f: Undersøg om de vinkler, som du kan beregne med trigonometri,
passer med de vinkler, som du kan beregne med formlen.
2: Tegningen viser en pap-æske med sekskantede ender.
Æsken er 12 cm lang.
a: Vis at siderne i sekskanterne
er (næsten) lige lange.
d: Beregn rumfanget af æsken.
Der er 250 g chokolade i æsken.
Det fylder 75% af æskens rumfang. Resten er luft.
1,5 cm
1,5 cm
c: Beregn overfladearealet af hele æsken.
3,0 cm
b: Beregn arealet af sekskanten.
2,6 cm
3
e: Hvor mange cm fylder chokoladen?
f: Hvad er chokoladens massefylde.
2,6 cm
Lav opgave g og h sammen med en klassekammerat,
således at I laver en æske hver.
g: Tegn en udfoldning af æsken i naturlig størrelse.
Tilføj evt. nogle ”limflapper”.
Klip udfoldningen ud og fold æsken.
h: Tegn, klip og fold også æsken i dobbelt størrelse.
Længdeforhold 2 : 1 .
i: Sammenlign rumfang og overfladeareal af de to æsker.
Blandede og supplerende opgaver
Side 61
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter.
a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter.
b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m2.
Du kan fx gøre det således:
- beregn så mange vinkler som muligt
- beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter
- beregn arealerne af de retvinklede trekanter
7,50 dm
- læg arealerne sammen
65º
65º
70º
125 cm
5,00 m
110º
3,60 m
146,3º
67,4º
6,50 m
4: Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede.
Højden fra jorden og op til tagets underkant er 2,50 m på begge huse.
Taget på huset til venstre har en hældning på 25º.
Taget på huset til højre har en hældning på 45º.
a: Sammenlign højden fra jorden
og op til tagryggen på de to huse.
b: Sammenlign arealet af tagene på de to huse.
25º
45º
Blandede og supplerende opgaver
Side 62
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Bordkompagniet
Bordkompagniet
De tre øverste borde er regulære polygoner
(mangekanter). I en polygon med n sider
er vinkelsummen (n − 2) ⋅180o
Moderne borde til moderne mennesker
Tre- og seks-kantede borde
Begge borde
a: Find vinkelsummen i hver polygon.
har plads til
b: Find størrelsen af den enkelte vinkel
i hver af polygonerne.
Model Hexagona
Sidelængde 60 cm
c: Find diameteren af det runde bord.
6 personer
d: Find tegningernes målestoksforhold.
e: Tegn selv på mm-papir (nogle af)
bordene i målestoksforholdet 1:10.
f: Beregn først højden i den
ligesidede trekant.
Find derefter arealet af
det trekantede bord.
Der findes nogle (lidt spøjse) areal-formler
for regulære tre-, seks- og otte-kanter:
Trekant: A =
Sekskant: A =
3 2
⋅s
4
plads til 8 personer
hvor s er den halve omkreds, og
a, b og c er sidelængderne
Begge borde har
A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)
Otte-kantede og runde borde
g: Beregn også arealet af
det trekantede bord med Herons formel:
Model Triangula
Sidelængde 120 cm
Model Octagona
Sidelængde 60 cm
3⋅ 3 2
⋅s
2
Ottekant: A = 2 ⋅ (1 + 2) ⋅ s 2
hvor s er sidelængden i alle formlerne.
h: Kontroller først arealet af trekanten
med den øverste formel.
Find derefter arealerne af
de seks- og otte-kantede borde.
Model Circula
Omkreds 480 cm
i: Sammenlign bordarealet pr. person
ved de forskellige borde.
Alle bordpladerne er 26 mm tykke
og lavet af træ med en massefylde på 0,85 g pr. cm3.
j: Beregn vægten af (nogle af) bordpladerne.
Blandede og supplerende opgaver
Side 63
Matematik på AVU
6: Affaldskompagniet
Model A har form som en keglestub.
Model B har form som en pyramidestub.
a: Vurder om disse udsagn er rigtige:
- Model A rummer ca. ¼ kubikmeter.
- Model B rummer ca. ⅔ kubikmeter.
b: Find de præcise rumfang af begge
affaldsbeholdere målt i liter.
Firmaet laver også en "Model C"
Modellen har form som en keglestub,
men er noget større end Model A.
Diameter foroven er 82 cm, diameter
forneden er 68 cm og højden er 112 cm.
Opgaver til niveau F, E og D
Affaldskompagniet
Alt inden for affaldsbeholdere
Model A
Diameter top:
65 cm
Diameter bund: 55 cm
Højde:
90 cm
Model B
Mål top: 120 cm x 80 cm
Mål bund: 90 cm x 60 cm
Højde:
90 cm
c: Find rumfanget af Model C.
Giv svaret i både m3 og liter.
Firmaet laver også en "Model D"
Modellen har form som en pyramidestub,
hvor både top og bund er kvadrater.
Sidelængden foroven er 110 cm.
Sidelængden forneden er 85 cm.
Højden er 105 cm.
d: Find rumfanget af Model D. Giv svaret i både m3 og liter.
7: ABC-skålen
a: Vis at en ABC-skål med en radius
på 6,2 cm kan rumme ca. 0,5 liter.
ABC-skålen - et velformet produkt
Vores berømte ABC-skåle fås i mange
størrelser fra 0,5 liter op til 4 liter.
b: Vis at en ABC-skål med en radius
på 12,4 cm kan rumme ca. 4 liter.
c: Find diameteren i en ABC-skål der
kan rumme 1 liter.
d: Find radius i en ABC-skål der
kan rumme 2 liter.
Forestil dig en kæmpe-ABC-skål der kan
rumme ½ kubikmeter.
e: Hvad er radius i skålen?
Alle skålene er halvkugleformede og
udført i de absolut bedste materialer.
f: Undersøg om disse udsagn er rigtige (brug tallene for 0,5-liter-skålen og 4-liter-skålen):
- når man fordobler radius, så fire-dobler man overfladearealet.
- når man fordobler radius, så otte-dobler man rumfanget.
Blandede og supplerende opgaver
Side 64
Matematik på AVU
298 kr.
698 kr.
Maxi 100 cm x 62,5 cm x 25 cm
Køb alle tre på en gang for kun
d: Vis med et par eksempler, som
du selv finder på, at udsagnene
også gælder for andre figurer.
248 kr.
- når man forøger længdemålene
med 25%, så bliver rumfanget
næsten fordoblet.
80 cm x 50 cm x 20 cm
- når man forøger længdemålene
med 25%, så vokser overfladearealet med over 50%.
Midi
c: Vis ud fra resultaterne ovenfor at
disse udsagn er rigtige:
198 kr.
b: Find også overfladearealet af
hver af de tre forskellige
kufferter (regn i dm2).
64 cm x 40 cm x 16 cm
a: Find rumfanget af hver af de tre
forskellige kufferter (regn i liter).
☺☺☺
Mini
8: Kuffertkompagniet
Opgaver til niveau F, E og D
Kuffertkompagniet
Den, der bærer godt, rejser godt
e: Vis med eksempler at disse udsagn er rigtige:
- hvis man vil fordoble rumfanget, skal man forøge alle længdemål med 26%
- hvis man vil fordoble overfladearealet, skal man forøge alle længdemål med godt 41 %.
f: Prøv (det er svært!!) at give en forklaring på, hvorfor de forskellige udsagn er rigtige?.
9: Dåsekompagniet
a: Kontroller, at en "Lille" dåse kan
rumme ca. 1 dl.
b: Hvor høj er en "Mellem" dåse?
c: Hvad er radius i en "Stor" dåse?
De dejligste dåser fra Dåsekompagniet
Lille
Radius 24,1 mm
Højde 54,8 mm
Rumfang
1 dl
De mål, der er vist til højre, er
indvendige mål. Dåserne er lavet af
metal med en tykkelse på ca. ½ mm
og en massefylde på 2,8 g pr. cm3
Mellem
d: Find rumfang og vægt af det metal
der bruges til en "Lille" dåse.
Stor
e: Hvor mange dåser ("Lille") kan
man fremstille af:
- en kubikmeter metal?
- et ton metal?
Blandede og supplerende opgaver
Radius 30,4 mm
Højde
cm
Rumfang
2 dl
Radius
mm
Højde 87,0 mm
Rumfang
4 dl
Side 65
Matematik på AVU
10: Drikkeglas
Alle glassene har form som keglestubbe.
Målene er indvendige mål.
Opgaver til niveau F, E og D
Drikkeglas til enhver drik
Sodavand - rummer 25 cl
b: Hvor mange cl rummer "Øl"?
Radius foroven
Radius forneden
Højde
c: Hvor høj er "Det store"?
Øl - rummer
d: Lav et selv forslag til mål på et mindre glas
der kan rumme ca. 15 cl.
Radius foroven
2,7 cm
Radius forneden
Højde
3,8 cm
9,8 cm
a: Er det rigtigt at "Sodavand" rummer 25 cl?
e: Lav et selv forslag til mål på et (meget)
stort glas der kan rumme ca. 75 cl.
11: Oles olietanke
150 cm
Vi har også en tank
der passer til dig.
Kuglen
b: Find det udvendige rumfang af
hver af tankene?
130 cm
c: Til hvilken tank er der brugt mindst
materiale sammenlignet med, hvor
meget tanken kan rumme?
Ægget
50 cm
Firmaet laver også en "Kæmpekugle", der kan
rumme 3.500 liter. Den er lavet af samme slags
materiale som de viste tanke.
3,2 cm
4,4 cm
cm
Oles Olietanke
Alle målene er indvendige mål. Alle tankene
er lavet af materiale med en tykkelse på 6 cm.
d: Tegn på mm-papir tværsnit af de tre tanke
i målestoksforholdet 1:20 (husk "skallen").
cl
Det store - rummer 50 cl
Radius foroven
Radius forneden
Højde
a: Find rumfanget af hver af de viste olietanke
("Ægget" er sammensat af to halvkugler og
et cylinder-formet rør).
2,5 cm
3,5 cm
8,8 cm
120 cm
e: Find den indvendige radius
af "Kæmpekuglen"
g: Kæmpekuglen rummer ca.
dobbelt så meget som "Kuglen".
Er materialeforbruget også dobbelt så stort?
Blandede og supplerende opgaver
160 cm
f: Hvor meget materiale skal der bruges til
at fremstille "Kæmpekuglen"?
Røret
Side 66
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Statistik
1: Leverpostej
Lenes Leverpostej
Der står 500 g på alle bakker med Lenes Leverpostej.
Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker:
498 g
491 g
481 g
480 g
499 g
472 g
486 g
487 g
504 g
512 g
500 g
469 g
508 g
462 g
470 g
492 g
485 g
475 g
479 g
496 g
493 g
516 g
497 g
501 g
488 g
500 g
KUN 16,95 kr.
0498 g
Vægt i gram
a: Hvor mange bakker er blevet vejet?
[460 ; 470[
b: Find mindsteværdi, størsteværdi
og variationsbredde.
[470 ; 480[
Hyppighed
Frekvens
[480 ; 490[
c: Find evt. middelværdien.
[490 ; 500[
d: Find medianen, 1. kvartil og 3. kvartil.
[500 ; 510[
e: Lav et boksplot.
[510 ; 520[
f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed
og frekvens som den viste?
I alt
g: Lav et histogram.
h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke.
Hastighed i km/time
2: Hastigheds-kontrol
Boksplottet viser resultatet
af en hastigheds-kontrol.
Hastigheds-grænsen er 80 km/t.
a: Aflæs den laveste
og den højeste hastighed.
b: Aflæs median, 1. kvartil
og 3. kvartil.
70
80
90
100
110
120
130
140
c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen.
d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t.
Ved en senere kontrol overholdt 50% af bilerne hastigheds-grænsen,
og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 105 km/t.
e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot?
f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger.
Blandede og supplerende opgaver
Side 67
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Husleje
Den øverste af tabellerne viser udviklingen
i huslejen i Udby Ungdomsboliger.
Den nederste tabel viser
forbrugerprisindekset.
a: Sammenlign udviklingen i huslejen
med udviklingen i forbrugerprisindekset i årene 2004 - 2006.
Efter 2006 er huslejen blevet reguleret i takt
med udviklingen i forbrugerprisindekset.
b: Beregn de manglende huslejer.
4: Cooper-test
Husleje pr. måned i Udby Ungdomsboliger
2004 2005 2006 2007 2008 2009
2.650 2.675 2.700
Forbrugerprisindeks (2000 = 100)
2004 2005 2006 2007 2008 2009
108,3 110,2 112,3
114,2
118,1
119,7
En Cooper-test er en kondi-test,
hvor deltagerne skal løbe så langt
som muligt på 12 minutter.
Tabellen herunder viser resultaterne
fra en Cooper-test på et idrætshold:
2.380 m
1.890 m
2.030 m
2.310 m
3.110 m
2.750 m
1.920 m
2.430 m
2.520 m
2.870 m
1.630 m
3.320 m
1.690 m
2.050 m
2.370 m
2.240 m
2.600 m
2.190 m
2.920 m
1.770 m
1.840 m
2.570 m
2.200 m
2.150 m
a: Hvor mange personer deltog i testen?
b: Find mindsteværdi, størsteværdi
og variationsbredde.
Distance i m
c: Find evt. middelværdien.
[1.600 ; 1.800[
d: Find medianen, 1. kvartil og 3. kvartil.
[1.800 ; 2.000[
e: Lav et boksplot.
[2.000 ; 2.200[
f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed
og frekvens som den viste?
[2.200 ; 2.400[
g: Lav et histogram.
[2.600 ; 2.800[
h: Sammenlign boksplot og histogram.
[2.800 ; 3.000[
i: Udvid din tabel med en kolonne med
summeret frekvens.
[3.000 ; 3.200[
j: Sammenlign hastighederne i km/t
for den langsomste og den hurtigste deltager.
Blandede og supplerende opgaver
Hyppighed
Frekvens
[2.400 ; 2.600[
[3.200 ; 3.400[
I alt
Side 68
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Æg
Olfert har 40 høns. De lægger normalt ca. 160 æg om ugen.
Han bruger selv ca. fem æg om dagen og sælger resten.
Han vejer hver dag de æg, som hønsene lægger.
Her er resultatet for en dag:
48 g
75 g
51 g
63 g
58 g
70 g
67 g
64 g
56 g
60 g
45 g
69 g
61 g
73 g
65 g
57 g
58 g
54 g
62 g
53 g
76 g
77 g
47 g
71 g
74 g
Æg sorteres og sælges
efter disse størrelser:
Størrelser
for æg
Smal
Vægt i
gram (x)
x < 53
Medium
53 ≤ x < 63
Large
63 ≤ x < 73
XLarge
73 ≤ x
a: Hvor mange æg lægger hønsene normalt pr. dag?
b: Hvor mange æg lægger en høne i gennemsnit pr. dag?
c: Hvor mange procent af æggene sælges?
d: Hvor mange æg har hønsene lagt den dag,
hvor der er talt op?
e: Hvad vejer æggene i gennemsnit?
f: Lav en tabel, der viser æggenes fordeling,
på de forskellige størrelser.
Tabellen skal vise både hyppighed og frekvens.
g: Lav et diagram ud fra tabellen.
h: Lav et boksplot over æggenes vægtfordeling.
i: Olfert sælger en bakke medium-æg for 15 kr.
Hvad er kg-prisen? (cirkatal).
j: Hvad skal en bakke large-æg koste,
hvis kg-prisen skal være den samme?
k: Lav også en tabel, der viser æggenes fordeling
på de gamle størrelser (den nederste tabel).
Du behøver ikke at beregne frekvenser.
l: Kan du skrive nogle af intervallerne
i de to tabeller med firkantede parenteser ([ og ])
i stedet for med større end- og mindre end-tegn.
Blandede og supplerende opgaver
Æg blev tidligere
sortere således:
Størrelse
Vægt (x)
1
x < 45
2
45 ≤ x < 50
3
50 ≤ x < 55
4
55 ≤ x < 60
5
60 ≤ x < 65
6
65 ≤ x < 70
7
70 ≤ x
Side 69
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
6: Histogram → tabel → sumkurve
Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.
30%
20%
10%
10
20
30
40
50
60
a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de
forskellige aldersintervaller og skriv tallene
ind i tabellen til højre.
70
80
90
Alder
100 110
Frekvens
Sum. Fre.
[0 ; 15[
[15 ; 30[
b: Udregn de summerede frekvenser og skriv
tallene ind i tabellen til højre.
[30 ; 45[
c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve
i koordinatsystemet herunder.
[60 ; 75[
[45 ; 60[
d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og 3. kvartil.
[75 ; 90[
e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen.
[90 ; 105[
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
10
20
30
Blandede og supplerende opgaver
40
50
60
70
80
90
100 110
Side 70
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
7: Sumkurve → tabel → histogram
Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
10
20
30
40
50
60
a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal)
for de forskellige aldersintervaller og skriv
tallene ind i tabellen til højre.
70
80
Alder
90
100 110
Frekvens
Sum. Fre.
[0 ; 15[
[15 ; 30[
b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind.
[30 ; 45[
c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i
koordinatsystemet herunder.
[45 ; 60[
d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave
med aldersfordelingen i sidste opgave.
Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit.
[60 ; 75[
[75 ; 90[
[90 ; 105[
30%
20%
10%
10
20
30
Blandede og supplerende opgaver
40
50
60
70
80
90
100 110
Side 71
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
8: Løn og flødeboller
Udby Flødebollefabrik har fem ansatte.
a: Find gennemsnitslønnen for
kvinderne på Udby Flødebollefabrik.
Der er to kvinder, som får 19.554 kr.
og 23.736 kr. om måneden.
b: Find gennemsnitslønnen for
mændene på Udby Flødebollefabrik
Der er tre mænd, som får 18.111 kr.,
24.422 kr. og 34.312 kr. om måneden.
c: Find gennemsnitslønnen for
alle ansatte på Udby Flødebollefabrik
Resten af spørgsmålene drejer sig om
lønningerne på Flødebollekompagniet.
Flødebollekompagniet har 180 ansatte.
Den seneste lønstatistik ser således ud:
d: Lav og udfyld en tabel med frekvens og
summeret frekvens, som nederst på siden.
Månedsløn i kr.
Kvinder
Mænd
e: Find et cirka-tal for både kvindernes
og mændenes gennemsnitsløn.
[15.000 ; 20.000[
24
7
[20.000 ; 25.000[
48
11
f: Hvor mange procent (cirka-tal) af de samlede
lønninger går til de kvindelige ansatte?
[25.000 ; 30.000[
22
16
[30.000 ; 35.000[
16
17
g: Hvor mange procent af de ansatte er kvinder?
[35.000 ; 40.000[
6
7
h: Tegn - i samme koordinatsystem - sumkurver
for både kvindernes og mændenes lønninger.
[40.000 ; 50.000[
2
4
i: Aflæs de to medianer på sumkurverne.
Månedsløn i kr.
Kvinder
Frekvens
Sum. fr.
Mænd
Frekvens
Sum. fr.
I alt
Frekvens
Sum. fr.
[15.000 ; 20.000[
[20.000 ; 25.000[
[25.000 ; 30.000[
[30.000 ; 35.000[
[35.000 ; 40.000[
[40.000 ; 50.000[
I alt
j: Hvordan man kan man se på sumkurverne, at kvindernes løn er lavere end mændenes?
k: Kan du forklare, hvorfor gennemsnits-tallene er større end median-tallene?
Blandede og supplerende opgaver
Side 72
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
9: Fravær
Kursisterne på et matematik-hold har haft 160 lektioner på et skoleår.
Tabellen viser, hvor mange lektioner de enkelte kursister har været fraværende:
12
16
29
28
43
19
54
17
26
62
45
31
27
8
5
33
21
18
48
9
11
22
a: Hvor mange kursister var der på holdet?
b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.
c: Hvor mange kursister har været væk mere end en tredjedel af lektionerne?
d: Hvor mange procent af kursisterne har været væk mere end 25% af lektionerne?
e: Hvor mange procent af kursisterne har højst været væk 10% af lektionerne?
f: Hvor mange kursister har
i gennemsnit været til stede?
g: Find medianen, 1. kvartil
og 3. kvartil.
Fravær
Hyppighed
Frekvens
Summeret
frekvens
[0% ; 10%[
h: Lav et boksplot.
[10% ; 20%[
i: Lav og udfyld en tabel med
hyppighed, frekvens og
summeret frekvens
som den viste?
[20% ; 30%[
[30% ; 40%[
I alt
j: Lav et histogram.
k: Sammenlign evt. fraværet i opgaven med fraværet på dit eget hold.
10: Antal kursister
Tabellerne viser udviklingen
i antallet af kursister
på VUC Udby.
Indekstabellen er komplet,
med der mangler nogle
af tallene i den øverste tabel.
Antal kursister på VUC Udby fordelt på køn
2005
Mænd
128
Kvinder
2007
2008
114
177
2009
2010
135
184
247
Antal kursister på VUC Udby (indekstal)
a: Beregn de manglende
tal i den øverste tabel.
b: Lav selv tabeller for det
samlede antal kursister.
Både antal og indekstal
2006
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Mænd
100,0
94,5
89,1
96,9
105,5 112,5
Kvinder
100,0
89,4
81,3
92,9
111,6 124,7
c: Lav to diagrammer:
Et der viser antal kursister, og et der viser indekstallene.
Blandede og supplerende opgaver
Side 73
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Talfølger
1: Differensrækker (1)
I en differensrække er der altid er samme forskel (differens) mellem to nabotal.
Hvilke af disse talrækker er differensrækker?
a: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
b: 1, 2, 4, 8, 16, …
c: 1, 3, 7, 15, 31, …
d: 0, 3, 6, 9, 12, …
e: 1,10, 100, 1000, …
f: –20, –10, 0, 10, 20, …
2: Differensrækker (2)
a 1 + a 2 + a 3 + ......a n −1 + a n =
Man kan finde summen af de første led
i en differensrække med formlen til højre.
n ⋅ (a 1 + a n )
2
a: Kontroller at formlen passer for summen af disse to rækker:
1, 3, 5, 7, 9, 11
–20, –10, 0, 10, 20
Beregn disse summer vha. af formlen:
b: 1 + 2 + 3 + … + 10
c: 1 + 2 + 3 + …. + 100
d: 100 + 200 + …+ 1000
Kurt øver sig i at tage armbøjninger hver dag i en uge.
Første dag tager han 10 armbøjninger, anden dag
tager han 15 armbøjninger, tredje dag tager han 20 osv.
e: Hvor mange armbøjninger tager Kurt den sidste dag (dag nr. 7)?
f: Hvor mange armbøjninger tager Kurt i alt i løbet af ugen?
3: Differensrækker (3)
Formlen ovenfor er ikke så svær at forklare. Start med at tænke:
(Første led + sidste led) + (Andet led + næstsidste led) + ….
Prøv om du kan forklare formlen.
4: Talrækken 1, 1, 2, 3, 5…… kaldes Fibonacci-tal.
Man finder det næste tal ved at lægge de to foregående tal sammen: Fn = Fn −2 + Fn −1 .
Lav og udfyld en tabel som denne.
Hvad sker der med tallene i den nederste række?
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fn
Fn-1
Fn
Fn −1
Blandede og supplerende opgaver
Side 74
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Kvotientrækker (1)
En kvotientrække er en række tal på for formen: 1, a, a2, a3, …..
Undersøg selv hvad
ordet kvotient betyder!
Hvilke af disse talrækker er kvotientrækker?
a: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
b: 1, 2, 4, 8, 16, …
c: 1, 3, 7, 15, 31, …
d: 1, 3, 9, 27, 81, ….
e: 1, 10, 100, 1000, …
f: 1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,375 - …
6: Kvotientrækker (2)
Man kan finde summen af de første led
i en kvotientrække med formlen til højre
2
1 + a + a + ......a
n −2
+a
n −1
an −1
=
a −1
a: Kontroller at formlen passer for disse to rækker:
1, 2, 4, 8, 16, 32
1, 10, 100, 1000
En telefonkæde på et hold kan fx bygges op som vist:
Læreren ringer til tre personer, som hver ringer
til tre personer, som hver…
b: Forklar hvorfor kæden svarer til en kvotientrække.
c: Hvor mange personer vil der i alt være i den viste kæde,
hvis den udvides til fem led (læreren er første led)?
d: Undersøg hvor mange led, der skal være i kæden, for at den omfatter:
- mindst 1.000 personer
- mindst hele Danmarks befolkning (ca. 5,5 mio.)
I en anden telefonkæde ringer hver person kun til to andre personer.
e: Hvor mange mennesker er med i kæden, hvis den er på fem led?
f: Hvor mange led skal kæden være på, hvis den skal omfatte mindst 100 mennesker?
7: Kvotientrækker (3)
En indisk legende fortæller om, at man lægger et riskorn på første felt af et skakbræt,
to riskorn på andet felt, fire riskorn på tredje felt, otte riskorn på fjerde felt osv.
a: Hvor mange riskorn er der på sidste felt (felt nr. 64)?
b: Hvor mange riskorn er der i alt?
1
2
4
8
8: Kvotientrækker (4)
a: Forklar hvorfor rækken 1,
1 1 1
, , ,…. er en kvotientrække
2 4 8
b: Hvad bliver summen af tallene i rækken, hvis man gør rækken meget, meget lang?
Prøv både at bruge formlen ovenfor og at tænke praktisk.
Blandede og supplerende opgaver
Side 75
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
1: Rektangel – længde, bredde og areal
Rektangel
a: Find arealet af et rektangel med
længden 6 m og bredden 2 m.
A = l⋅b
længde
Forestil dig nogle forskellige rektangler
med længden 6 m og forskellige bredder.
Tegn evt. nogle af rektanglerne på papir i målestoksforhold 1:100.
bredde
Funktioner (1): Formler og funktioner
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem bredde og areal
for et rektangel med længden 6 m:
Bredde (b)
……
1
2
3
4
……
Areal (A)
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem b og A.
2: Cylinder – højde, radius og rumfang (1)
Cylinder
a: Find rumfanget af en cylinder med
radius 4 cm og højden 8 cm.
radius
højde
V = π ⋅r2 ⋅h
Forestil dig nogle forskellige cylindre
med radius 4 cm og forskellige højder.
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem højde og rumfang for en cylinder med radius på 4 cm:
Højde (h)
……
4
5
6
7
8
9
10
11
12
……
Rumfang (V)
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem h og V.
d: Hvad kaldes sammenhængen mellem h og V, når radius er fast?
Forestil dig også nogle forskellige cylindre med højden 8 cm og forskellige radiusser.
e: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem radius og rumfang for en cylinder med højden 8 cm:
Radius (r)
……
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
Rumfang (V)
f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og V.
g: Hvad sker der med rumfanget, når man halverer radius. Fx fra 4 cm til 2 cm.
h: Hvad sker der med rumfanget, når man fordobler radius. Fx fra 4 cm til 8 cm.
Blandede og supplerende opgaver
Side 76
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Hastighed, afstand og tid
a: Find hastigheden på en cyklist der kører 20 km på 50 min.
Hastighed
Forestil dig nogle forskellige cyklister, der alle
cykler så langt, som de kan, på 50 min.
v=
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem s og v for en cykeltur på 50 min.:
v er hastighed i km/t
s
⋅ 60
t
s er afstanden i km
Afstand (s)
10
15
20
25
30
t er tiden i minutter
Hastighed (v)
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem s og v.
Forestil dig også nogle forskellige cyklister, der alle cykler 20 km, men bruger forskellig tid.
d: Lav en tabel der viser sammenhængen mellem t og v for en cykeltur på 20 km:
Tid (t)
……
30
40
50
60
70
80
90
……
Hastighed (v)
e: Lav også en graf
f: Beskriv hvad der sker med hastigheden, når man fordobler tiden. Fx fra 40 min til 80 min.
g: Hvad kaldes sammenhængen mellem t og v?
4: BMI, vægt og højde (1)
BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for,
om en person evt. er under- eller overvægtig.
BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca. 24.
a: Find BMI for en person med vægten 70 kg
og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m.
Body Mass Indeks
BMI =
V
H2
V er vægt i kg
H er højde i m
Forestil dig en række forskellige personer,
der alle vejer 70 kg men har forskellig højde.
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og BMI:
Højde (m) ……
1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95
……
BMI
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og BMI.
Bemærk: Grafen ligner måske en ret linje, men hvis du tager meget små og store
(og dermed urealistiske) højder med, så vil du se, at grafen buer en hel del.
Forestil dig også en række forskellige personer, der alle er 175 cm høje men har forskellig vægt.
d: Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem H og BMI.
e: Hvad kaldes sammenhængen mellem V og BMI, når højden er fast?
Blandede og supplerende opgaver
Side 77
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Cylinder – højde, radius og rumfang (2)
Cylinder
a: Find rumfanget af en cylinder med
radius 5,7 cm og højden 9,8 cm.
radius
højde
V = π ⋅r2 ⋅h
b: En cylinder har rumfanget 333 cm3,
og radius 3,1 cm. Hvad er højden?
c: Formlen for rumfanget af en cylinder skal omskrives,
således at højden står alene, og således at radius står alene.
Hvilke af disse formler er rigtige?
h=
V
π ⋅r2
h=
π ⋅r2
V
h = V : π : r2
r=
V
π ⋅h
r=
2⋅V
r=
π ⋅h
V
2⋅ π ⋅h
Forestil dig nogle forskellige cylindre med rumfanget 500 cm3.
d: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem radius og højde:
Radius (r) i cm
……
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
……
Højde (h) i cm
e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og h.
f: Lav en tilsvarende tabel og graf for en cylinder med et rumfang på 1 liter.
6: BMI, vægt og højde (2)
Body Mass Indeks
BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for,
om en person evt. er under- eller overvægtig.
BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca. 24.
BMI =
V
H2
V er vægt i kg
a: Find BMI for en person med vægten 70 kg
og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m.
H er højde i m
b: Formlen for BMI skal omskrives,
således at V står alene, og således at H står alene.
Hvilke af disse formler er rigtige?
V = BMI ⋅ H 2
V = 2 ⋅ BMI ⋅ H
H=
V
2 ⋅ BMI
H=
V
BMI
H=
BMI
V
Forestil dig nogle forskellige personer med BMI = 19
c: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem vægt og højde:
Vægt (V) i kg
……
50
60
70
80
90
100
……
Højde (H) i m
d: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og H.
e: Lav i samme koordinatsystem en graf for personer med BMI = 24.
f: Hvilke kombinationer af vægt og højde svarer området mellem de to grafer til?
Blandede og supplerende opgaver
Side 78
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Funktioner (2): Andengradsfunktioner og parabler
7: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = x2
y = x2+ 3
y = x2− 5
y = x 2 − 2x − 5
Inden du tegner skal du - for hver funktion - lave og udfylde en x-y-tabel som denne:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
8: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = 2x2
y = 2x2+ 2
y = 2x2− 6
y = 2 x 2 + 4x − 6
Start med at lave x-y-tabeller som i opgaven ovenover.
9: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = −x2
y = − x 2 + 2x + 3
y = −2 x 2
y = −2 x 2 − 4x + 6
Start med at lave x-y-tabeller som i opgaverne ovenover.
10: Funktioner på formen y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c kaldes andengradsfunktioner.
b og c kan godt være 0, men a må ikke være 0!
Find a, b og c i (nogle af) funktionerne i opgaverne ovenfor.
11: Graferne for andengradsfunktioner er symmetriske buer, som kaldes parabler.
Graferne har et toppunkt.
Man kan finde toppunktets x-koordinat med formlen til højre:
x top =
−b
2⋅a
a: Find toppunkterne for disse andengradsfunktioner:
y = 2 x 2 − 4 x− 6
y = 2 x 2 + 8 x+ 6
y = −2 x 2 + 12 x − 10
b: Lav x-y-tabeller for hver funktion. Toppunkterne skal være midt i tabellerne.
xtop
x
y
c: Lav grafer for funktionerne. Helst i samme koordinatsystem.
Læg mærke til, at de alle har samme form men forskellig placering.
d: Find funktionernes nul-punkter (skæringspunkter med x-aksen)
Blandede og supplerende opgaver
Side 79
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
12: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = x 2 + 2 x− 3
y = x 2 + 6 x+ 8
y = − x 2 + 8 x− 7
Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave).
Find også nul-punkterne.
13: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = 0,5 x 2 + 2 x − 2,5
y = 0,5 x 2 − 4 x + 7
y = −0,5 x 2 + x + 4
Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave).
Find også nul-punkterne.
14: Kasteparabler
Kasteparabler
Forestil dig at du kaster en sten.
Hvis du kan kaste med en fart på 20 m/s
og i en vinkel på 45°,
så vil stenen følge denne parabel:
y = −0,025 x 2 + x
Hvis man kaster en sten (eller en
anden genstand), vil stenen følge en
bane, der (stort set) er en parabel-bue.
a: Tegn i et koordinatsystem en graf
der svarer til stenens bane. Start med at
tegne og udfylde en tabel som denne:
x
0
5
10
o.s.v.
40
y
Hvis man kaster for stejlt opad, så
kommer stenen højt op, men den når
ikke så langt væk
Hvis man kaster for fladt, kommer
stenen heller ikke så langt væk.
Det længste kast fås ved at kaste
stenen i vinkel på 45°.
b: Hvor højt kommer stenen op i luften?
c: Prøv at indsætte en x-værdi større end 40.
Giver resultatet mening?
d: Indtegn også grafen for denne parabel:
y = −0,07 x 2 + 2,1 x
Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 65°.
e: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast?
f: Indtegn også grafen for denne parabel:
y = −0,015 x 2 + 0,45 x
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 2 m
y-akse: 1 cm = 2 m
Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 25°.
g: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast?
Blandede og supplerende opgaver
Side 80
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Funktioner (3): Blandede opgaver
15: Tegn - for x ≥ 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
g(x) = 25 − 1,5 ⋅ x
f(x) = 2 ⋅ x
h(x) =
x 1,5
2,5
Aflæs også skæringspunkterne (cirka-tal) mellem graferne.
16: Vinglas
r = 4 cm
1
3
V = ⋅ π⋅ r 2 ⋅ h
a: Vis at glasset kan rumme ca. 150 ml, når det er fyldt.
Husk at 1 cm3 = 1 ml (milliliter).
x
h = 9 cm
Tegning til højre viser et kegleformet vinglas.
Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel:
Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med
denne funktion:
y = 0,207 ⋅ x 3
hvor x er ”vinstanden” i cm og y er rumfanget i ml.
b: Hvor meget vin er der i glasset, når x = 6 cm?
c: Lav og udfyld en tabel som den viste:
Højde i cm (x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vin i ml (y)
d: Lav ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem.
e: Undersøg vha. grafen:
- hvor højt står vinen, når glasset rummer 100 ml?
- hvor højt står vinen, når glasset rummer 50 ml?
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 cm
y-akse: 1 cm = 10 ml
- hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt?
f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e.
g: Vurder om disse påstande er rigtige:
- når man fordobler x, bliver y otte-doblet.
- når man tre-dobler x, bliver y 27-doblet?
…og hvis ”ja” hvorfor?
Blandede og supplerende opgaver
Side 81
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
17: Spand
Tegning til højre viser en spand med form som en keglestub.
Rumfanget af en keglestub kan findes med denne formel:
R = 15 cm
1
3
a: Vis at spanden kan rumme ca. 20 liter, når den er fyldt.
Husk at 1 liter = 1.000 cm3 = 1.000 milliliter.
Når spanden er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med
denne funktion:
y = 0,00769 ⋅ x 3 + 3,23 ⋅ x 2 + 452 ⋅ x
x
h = 35 cm
V = ⋅ π⋅ h⋅ (R 2 + r 2 + R ⋅ r)
r = 12 cm
hvor x er ”vandstanden” i cm og y er rumfanget i liter.
b: Hvor meget vand er der i spanden, når x = 20 cm?
c: Tegn og udfyld en tabel som den viste:
Højde i cm (x)
0
5
10
15
20
25
30
35
Vand i ml (y)
d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem.
1 cm (på papiret) = 2 cm (på spanden) på x-aksen og 1 cm = 1 liter =1.000 ml på y-aksen.
OBS: Grafen kan godt ligne en ret linie, men den buer lidt.
e: Hvor højt står vandet, når spanden er halvt fyldt?
18: Tegn - for x > 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) =
12
x2
g(x) =
12
x
h(x) =
12
x
x må ikke være 0, men prøv at komme så tæt på x = 0 som muligt, når du tegner.
Find også grafernes skæringspunkter.
19: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = 5 ⋅ 1,2 x
g(x) = 2 ⋅ 1,4 x
Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal).
I opgave 5 og 6 skal
du også medtage
negative x-værdier.
20: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = x 2
g(x) = x 2 + 25
Overvej om graferne kan skære hinanden.
NB: Disse funktioner er lidt spøjse - tænk dig godt om når du regner og tegner!
Blandede og supplerende opgaver
Side 82
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
21: Standselængde
(fortsættelse af en tidligere opgave).
Standselængden for en bil består af en reaktionslængde og en bremselænge.
Reaktionslængden er den strækning, som bilen når at køre, fra bilisten ser en forhindring,
til han/hun begynder at bremse. Den afhænger af hastigheden og bilistens reaktionstid.
Bremselængde
Reaktionslængde
Disse reaktionslængder svarer til en reaktionstid på 1 sekund:
Hastighed i km/time:
25
50
75
Reaktionslængde i meter:
7
14
21
o.s.v.
Bremselængden er den strækning, som bilen når at bevæge sig, fra bilisten begynder
at bremse til bilen holder helt stille. Bremselængden afhænger af hastigheden, men den
afhænger også af bilen, vejret og vejen. Man kan finde en typisk bremselængde med
funktionen g(x) = 0,004 ⋅ x 2 , hvor x er hastigheden i km/t og g(x) er bremselængden i m.
a: Kan du vise, hvordan reaktionslængderne i tabellen ovenfor er beregnet?
Og kan du evt. opstille en funktionsforskrift for reaktionslængden?
Ellers gå blot videre til næste spørgsmål.
b: Lav og udfyld en tabel som denne:
Hastighed i km/time (x)
0
25
50
o.s.v.
150
Reaktionslængde i meter f(x)
Bremselængde i meter g(x)
Standselængde i meter h(x)
c: Ved hvilken hastighed (cirka-tal) bliver bremselængden længere end reaktionslængden?
d: Kontroller at standselængden kan beregnes ved denne funktion:
h(x) = 0,004 ⋅ x 2 + 0,28 ⋅ x
e: Lav en graf for standselængden.
f: Aflæs på din graf (cirka-tal):
- hastigheden når standselængden er 50 m.
- hastigheden når standselængden er 120 m.
g: Husk at tabellen og grafen svarer til en reaktionstid på 1 sekund.
Kan du lave en ny tabel og en ny graf der svarer til en reaktionstid på ½ sek.?
h: Opstil evt. også en funktion for den nye graf.
Blandede og supplerende opgaver
Side 83
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
22: Olferts høns
Olfert skal lave en indhegning på
24 m2 til sine høns.
Indhegningen skal være firkantet
(rektangel eller kvadrat).
(fortsættelse af en tidligere opgave).
a: Hvor bred bliver indhegningen,
hvis den skal være 6 m lang?
b: Hvad bliver omkredsen,
hvis indhegningen er 6 m lang?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
Den ene side i meter (x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 24 
Den anden side i meter  
 x 
Omkreds i meter (z)
d: Lav en graf der viser sammenhængen mellem x og z.
(Når du tegner grafen, skal du ikke bruge tallene i den midterste række).
Sammenhængen mellem x og z kan beskrives med denne funktion: z = 2 ⋅ x + 2 ⋅
24
x
e: Prøv at forklare hvorledes funktionen er bygget op.
f: Hvilken sidelængde (x-værdi), giver den mindste omkreds (z-værdi)?
23: Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: y = x 0,5 og y = x 1 og y = x 1,5 .
Start med at lave og udfylde en tabel som denne:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y = x 0,5
y = x1
y = x 1,5
Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem.
OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt ”mystisk” for små x-værdier.
Hvis du har godt tid eller bruger computer, kan du også udfylde denne tabel:
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
y = x 0,5
y = x1
y = x 1,5
Lav også grafer ud fra tallene i den sidste tabel.
Blandede og supplerende opgaver
Side 84
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
24: Tegn - i forskellige koordinatsystemer - graferne for (nogle af) disse funktioner:
Bemærk at: - der er x-y-tabeller til de fleste af funktionerne.
- x-værdierne er ikke ens i alle tabeller (tænk over hvorfor).
- alle graferne skal ligne hinanden men dog være lidt forskellige.
4
x
x
b: y =
-4
x
x
c: y =
4
+2
x
x
d: y =
4
−2
x
x
e: y =
4
x-2
x
4
x+2
x
4
+2
x-2
x
a: y =
f:
y=
g: y =
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-6
-2
0
1
1,5
2,5
3
4
6
10
-10
-6
-4
-3
-2,5
-1,5
-1
0
2
6
-6
-2
0
1
1,5
2,5
3
4
6
10
y
y
y
y
y
y
y
h: Kan du - uden at beregne støttepunkter - tænke dig til, hvorledes graferne for disse
funktioner vil se ud:
4
4
4
y=
−2
y=
+2
y=
−2
x-2
x+2
x+2
Blandede og supplerende opgaver
Side 85
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
25: Vindmøller
En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt.
For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion:
y = 0,6 ⋅ x 3,3
x er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s),
y er elektricitets-mængden målt i kiloWatt (kW).
y kaldes også effekten.
a: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
2
4
6
osv.
20
y
b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.
Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen,
da der sjældent blæser mere end 12-15 m/s.
NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk
er i Danmark.
Vindmøllen i denne
opgave står i en
vindmøllepark med
i alt 20 vindmøller.
c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er 1.000 kW?
d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken
går til lavenergi-pærer.
Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til,
hvis vindhastigheden er 8 m/s
Effekt kan måles i
kW eller i W.
1 kW = 1.000 W.
En lavenergi-pære
bruger typisk 9 W.
26: Buket-priser
En dame sælger blomster-buketter.
Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 100 buketter pr. dag.
Hun har prøvet at sætte prisen ned til 50 kr. Så solgte hun ca. 110 buketter pr. dag.
Hun har også prøvet at sætte prisen op til 75 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag.
Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger,
at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 775 ⋅ x -0,5 .
x er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag.
Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen.
Blandede og supplerende opgaver
Side 86
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Bogstavregning
1: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a:
1
1
c− c+ 2 c
2
4
b:
a a
−
4 6
c:
1 2
+
x x
d:
3 3
+
z 2z
2: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: (3x + 5)(3x + 5)
b: (3x + 5)(3x − 5)
c: (3x − 5)(3x − 5)
d: (15d + 12)(2d − 3)
e: (2 + 4b)(3b − 6)
f: (8y + 0,5)(6y + 10)
3: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: (5a + 6)(2a − 3) + 4a + 8
b: 9b 2 + (3b + 5)(2b − 1) − 5b + 2
c: 2(y − 4) + (9y − 2)(y + 2) − y 2
d: (2a + 4)(3b − 4) − 5ab
4: Sæt mest muligt uden for parentes i disse udtryk:
a: 24 p − 8 q
b: 10 ⋅ x⋅ y + 20 ⋅ x⋅ z
c: 4 ⋅ b 2 + 8 ⋅ b⋅ c
d: 3 m + 15 n
e: 2 ab + 6 ac − 4 ad
f: 4 b 2 − 4 ab − 4 bc
5: Reducer disse udtryk:
6a2 + 9a
a:
3a
b:
6 xy− 4 xz + 2 x
2x
18 m 2 − 24 mn
c:
6m
d:
12 pq − 8 q 2 − 4 q
4q
6: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: z⋅ (2 z) 3 ⋅ 3
b:
a8
c:
d: x 5 ⋅ y 6 : x : y 2
e:
25 ⋅ b 8
f:
2
1
3
g:  a  + a 2
2
4
 
h:
Blandede og supplerende opgaver
12 ⋅ m 5
(2 m) 2
i:
( a)
8
3
c12
a2
9
Side 87
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
7: Løs (nogle af) disse ligninger - nogle af resultaterne er negative tal.
6,5 ⋅ (3,3 + 3x)
5,4
c:
3,36(x − 0,22)
= 0,84
2,4
3,2 + 4 x
2,4
f:
47,8 − x
+ 17,2 = 23,7
4,8
i:
7=
3(x + 4)
=7
2
c:
6(x + 2)
−1 = 0
17
2x
5
c:
9x
= 5 + 3x
2
a:
3,2 ⋅ (x + 4,4)
= 2,6
8
b: 9,75 =
d:
9,7 + x
− 3,6 = 0
3,5
e: 21,7 = 15,2 +
g:
22 + 3x
=2
5
h:
5,4 + x
− 1,6 = 0,4
0,8
1,75 ⋅ (84 + 10 x)
8
8: Løs disse ligninger - skriv resultatet som en brøk.
a: 10x + 8 = 3x + 12
b:
9: Løs (nogle af) disse ligninger:
a:
5x
= 6+x
3
b: 3 − 2 x =
d:
2x
3x
−2=
5
10
e:
3x
5x
+6=
−x
4
2
f:
2x
7x
+2=
− 2x
3
2
g:
3+ x 6-x
=
4
2
h:
14 − 5x 3x 3x + 1
+
=
3
2
2
i:
6x − 7 x 13 - 2x
− =
4
2
3
j:
27
=6
x
k: 2 =
l:
34,5
−5 = 0
3x
18
5x
10: Løs (nogle af) disse ligninger:
a: (x + 2) 2 = 49
b:
x+4 =7
c: (x − 5) 2 − 21 = 43
d: 4(x - 2) 2 = 169
e:
x + 84
=2
11
f:
9,8
=5
x2
h: 15 = 3,75 + 2,5 ⋅ 4 x
i:
(2,5 - x) 6 + 4 = 7
l:
x5
− 159 = 84
32
g:
3
j:
1,5 ⋅ x 3
= 148
5
x −7 =5
4
k:
Blandede og supplerende opgaver
x
+ 1,6 = 2,1
7
Side 88
Matematik på AVU
11: Brug denne formel
Opgaver til niveau F, E og D
12: Brug denne formel
2
y = 5,2 ⋅ x + 17,3
m = 3,2 ⋅ n − 7,5
til…
til…
a: …at finde y når: x = 4,8
a: …at finde m når: n = 15,4
b: …at finde x når: y = 92,4
b: …at finde n når: m = 13,1
13: Brug denne formel
14: Brug denne formel
3
f=
g
9,8
p=
q
+ 22,1
0,85
til…
til…
a: …at finde f når: g = 2,7
a: …at finde p når: q = 212
b: …at finde g når: f = 119,1
b: …at finde q når: p = 34,2
15: Brug denne formel
16: Brug denne formel
3
s=
r
+ 19,1
12,7
G=
6,8 ⋅ 4 f
9,1
til…
til…
a: …at finde s når: r = 5,2
a: …at finde G når: f = 146,2
b: …at finde r når: s = 50,9
b: …at finde f når: G = 7,6
17: Brug denne formel
18: Brug denne formel
R = P ⋅ (Q + 2,5) 2
W = U ⋅ 1,2 + V
til…
a: …at finde R når: P = 5,4 og Q = 2,4
til…
b: …at finde P når: R = 195 og Q = 6,3
b: …at finde U når: W = 13,5 og V = 15,9
c: …at finde Q når: R = 352 og P = 7,8
c: …at finde V når: W = 6,4 og U = 1,8
19: Brug denne formel
123
s = 2 + 17
r
til…
a: …at finde s når: r = 4,2
b: …at finde r når: s = 27,8
Blandede og supplerende opgaver
a: …at finde W når: U = 4,2 og V = 6,5
20: Brug denne formel
G = 1,9 ⋅ f 5 + 66,8
til…
a: …at finde G når: f = 3,2
b: …at finde f når: G = 876
Side 89
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Procent og eksponentiel vækst
1: Buspriser
1990
Tabellen viser udviklingen i priserne i kr. på
en kontantbillet, et 10-turs-kort og et månedskort
til bussen mellem Udby og Bredballe.
Kontantbillet
Månedskort
2010
15
10-turs-kort
a: Udfyld de tomme pladser i tabellen
ud fra disse oplysninger:
2000
38
175
295
275
415
- Fra 1990 til 2000 voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit med 3,9% om året.
- Fra 1990 til 2000 voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit med 3,4% om året.
- Fra 1990 til 2010 voksede prisen på et månedskort i gennemsnit med 3,9% om året.
b: Hvor mange procent voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit fra 2000 til 2010?
c: Hvor mange procent voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit fra 2000 til 2010?
d: Sammenlign prisudviklingen på et månedskort i første og anden halvdel af perioden.
e: Prisen på en kontantbillet forventes at stige med 3,5% i årene efter 2010.
Hvornår vil prisen nå 50 kr., hvis stigningen fortsætter?
2: Fugle på Sælø
a: Hvilken art er gået mest frem i antal?
b: Hvilken art er gået mest frem i procent?
(find procent-tallet)
c: Hvilken art er gået mest tilbage i antal?
d: Hvilken art er gået mest tilbage i procent?
(find procent-tallet)
Hvert 5. år tælles fuglene i reservatet på
Sælø. Det er umuligt at tælle præcist men
ved at tælle i mindre områder, kan man
regne ud, hvor mange fugle der cirka må
være på hele øen. Tabellen viser nogle
eksempler på ændringer i bestandene.
e: Hvor mange procent er antallet af
skalleslugere vokset i gennemsnit pr. år?
2005
2010
Klyde
90
75
f: Hvor mange procent er antallet af terner
vokset i gennemsnit pr. år?
Terne
120
140
g: Hvor mange procent er antallet af klyder
faldet i gennemsnit pr. år?
50
60
Edderfugle
240
210
Skallesluger
h: Hvor mange procent er antallet af edderfugle
faldet i gennemsnit pr. år?
Nu skal du gå ud fra, at udviklingen for hver art fortsætter (selv om det ikke er helt realistisk).
i: Hvor mange fugle vil der være af hver art i 2015?
j: Hvornår vil bestandene af hhv. terner og skalleslugere være fordoblede?
k: Hvornår vil bestandene af hhv. klyder og edderfugle være halverede?
Blandede og supplerende opgaver
Der er to svar
i hver opgave.
Side 90
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente
1: Ebberød Bank (I)
Du skal gå ud fra, at der er 365 rentedage i et år,
og at alle de nævnte perioder er inden for samme år.
Find renterne når…
a: …der står 4.500 kr. på en anfordringskonto i 12 dage.
b: …der står 147.000 kr. på en guldkonto i 228 dage.
c: …der står 91.316 kr. på en sølvkonto i 4 dage.
d: …der står 12.490 kr. på en konto med
3 mdrs. opsigelse i 149 dage.
2: Ebberød Bank (II)
Ebberød Bank
Rentesatser på indlån
Anfordring .................. 0,5% p.a.
3 mdr. opsigelse ........ 1,5% p.a.
Sølvkonto................... 2,5% p.a.
Guldkonto .................. 4,0% p.a.
Alle konti har helårlig rentetilskrivning
Bemærk: For at opnå de nævnte høje
rentesatser skal der mindst indsættes:
- 20.000 kr. på en sølvkonto
- 50.000 kr. på en guldkonto
Regn med 365 rentedage i et år og find renterne når…
a: …der står 22.000 kr. på en sølvkonto i fra 12/6 til 29/6.
b: …der står 4.316 kr. på en anfordringskonto i fra 6/4 til 18/6.
c: …der står 60.000 kr. på en guldkonto i fra 31/10 til 15/1 året efter.
(gå ud fra at der er rentetilskrivning 31/12)
3: Ebberød Bank (III)
Olga Olsen - en lettere senil ældre dame - solgte for 6 år siden sit hus.
Overskuddet var 500.000 kr., som hendes bankrådgiver i Ebberød Bank
hjalp hende med at placere på en anfordringskonto.
a: Hvor meget står der nu på kontoen?
(regn med at pengene har stået i 6 hele kalenderår og brug sammensat rentesregning)
b: Hvad havde Olga fået i rente, hvis pengene var blevet placeret på en guldkonto?
c: Hvor meget har Olga mistet i rente
ved at vælge anfordringskontoen?
4: Forestil dig, at du optager et lån på 10.000 kr.
Lånet optages til nytår, og alle pengene betales
tilbage på en gang med renter efter præcis 3 år.
a: Beregn det beløb, som du skal betale tilbage,
hos hver af de långiverne, der er nævnt
i sammenligningen til højre.
b: Find den årlige nominelle rente hos Frisk.
c: Find den årlige nominelle rente hos Kapitalbutikken.
Blandede og supplerende opgaver
Sammenligning af
rentesatser på lån og kredit
Omegnsbanken ............... 16% pr. år
Renten tilskrives en gang årligt
Frisk Finansiering ......... 15% pr. år
Renten tilskrives hvert kvartal
Kapitalbutikken ............. 15% pr. år
Renten tilskrives hver måned
Side 91
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (2): Serielån
5: Benny låner 15.000 kr. Lånet er et serielån over 3 år med en
årlige rente på 10%. Han skal betale en ydelse om året.
a: Beregn det årlige afdrag.
b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
0
I virkeligheden betaler
man ofte hver måned.
Restgæld
15.000,00
1
2
I de første opgaver er
der helårlige terminer.
6.500,00
1.000,00
3
0,00
c: Hvor meget betaler Benny i alt på de 3 år? ..…og hvor meget udgør renterne?
d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
6: Gurli låner 40.000 kr. Lånet er et serielån over 4 år med en årlig rente på 15%.
a: Find det årlige afdrag.
b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
0
Ydelse
Restgæld
40.000,00
1
2
3
4
c: Hvor meget betaler Gurli i alt på de 4 år? …..og hvor meget udgør renterne?
d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
7: Et lån på 200.000 kr. afvikles som et serielån over 10 år med en årlig rente på 8%.
a: Beregn det årlige afdrag.
b: Beregn det første års rente.
c: Hvad er restgælden efter den 9. termin (den næstsidste)?
d: Beregn det sidste års rente.
e: Kan du beregne den samlede rente (betalt over alle 10 år) ud fra de tal, som du har?
Blandede og supplerende opgaver
Side 92
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (3): Annuitetslån
8: Oluf låner 25.000 kr. Lånet er et annuitetslån, med en årlig rente på 10%.
Han skal betale en ydelse om året. Ydelsen er på 10.000 kr.
a: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
0
1
Restgæld
25.000,00
2.500,00
7.500,00 10.000,00 17.500,00
2
10.000,00
3
10.000,00
Oluf skylder
stadig et lille
beløb efter 3 år
b: Hvor meget skylder Oluf efter 3 år?
Hvis Oluf lige præcis skal kunne betale sin gæld på 3 år, skal ydelsen sættes lidt op.
c: Vis - brug ydelsesformlen - at ydelsen skal være 10.052,87 kr.
d: Udfyld de tomme pladser i denne amortiseringstabel.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
0
1
Restgæld
25.000,00
2.500,00
10.052,87
2
10.052,87
3
10.052,87
e: Hvor meget betaler Oluf i alt på de 3 år? …..og hvor meget udgør renterne?
f: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
9: Gertrud låner 20.000 kr. Lånet er et annuitetslån over 4 år med en årlig rente på 15%.
a: Find den årlige ydelse - brug ydelsesformlen.
b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
0
1
Ydelse
Restgæld
20.000,00
3.000,00
2
3
4
c: Hvor meget betaler Gertrud i alt på de 4 år? …..og hvor meget udgør renterne?
d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
Blandede og supplerende opgaver
Side 93
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
10: Kurt køber bil.
Udby og Omegns Bank
Kurt køber en brugt bil til 68.000 kr.
Han kan lægge en udbetaling på 25%. Resten lånes.
Billån ............................ 6,0% p.a.
a: Hvor stor er udbetalingen?
Boliglån ....................... 9,0% p.a.
b: Hvor stort bliver lånet?
Oprettelsesgebyret lægges oven i lånet.
Forbrugslån ............. 12,0% p.a.
Kurt får lånet over 5 år til den vejledende rentesats.
c: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse).
Rentesatser på udlån
Rentesatserne er vejledende.
Oprettelsesgebyr:
1% af lånet. Dog mindst 500 kr.
d: Hvor meget betaler Kurt i alt tilbage?
11: Olfert køber også bil.
Selv om renten er oplyst
pr. år (p.a.), betaler man
sjældent en årlig ydelse.
Man betaler et beløb hver
måned.
Olfert køber en brugt bil til 49.000 kr.
Fordi han ingen udbetaling har, forlanger banken
en rente på 8,0% p.a. for et lån over 5 år.
a: Hvor stort bliver lånet med oprettelsesgebyr?
b: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse).
De præcise beregninger
er indviklede, men man
får udmærkede cirka-tal,
ved at regne med en årlig
ydelse.
c: Hvor meget betaler Olfert i alt tilbage?
12: Flere lån
Du tager et lån på 150.000 kr. i banken over 10 år.
Sammenlign den årlige ydelse på et boliglån og et forbrugslån.
Regn med de vejledende rentesatser.
13: Larsen Lån
a: Kontroller vha. ydelsesformlen
nogle af ydelserne på Larsen Lån.
Med et Larsen
b: Hvor meget kommer man i alt til at betale
tilbage, hvis man låner 8.000 kr. over 48 mdr.?
….og hvor meget udgør renterne?
Ydelse pr.
måned
Du skal låne 15.000 kr. over 6 år.
d: Sammenlign udgifterne ved et Larsen Lån
og et forbrugslån i Banken. Ved banklånet
skal du bruge den vejledende rentesats
og regne med en årlig ydelse.
Husk oprettelsesgebyr.
Blandede og supplerende opgaver
kan du købe alt det, du ikke har råd til.
Lånebeløb i kr.
c: Hvad koster det at låne 5.000 over 24 mdr.?
Lån
Antal måneder
12
24
2.000 183 100
36
72
4.000 367 200 145
48
59
60
51
117 102
6.000 550 300 217 176 152
8.000 733 399 289 235 203
10.000 917 499 362 294 254
Rente: 1,5% pr. måned - Ingen gebyrer
Side 94
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
14: Oluf og Gertrud køber hus.
Oluf og Gertrud køber et hus til 1.495.000 kr.
De kan få et realkreditlån på 80% af prisen.
Resten af pengene låner de i banken.
a: Hvor stort bliver realkreditlånet?
b: Hvor stort bliver banklånet?
Regn først på realkreditlånet over 20 år.
c: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet.
d: Det er næsten umuligt at lave hele
amortiseringstabellen i hånden, men udfyld
de første rækker i tabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
De kan vælge mellem to realkreditlån:
- et lån over 30 år til en rente på 7% p.a.
- et lån over 20 år til en rente på 6% p.a.
Banklånet er over 15 år. Renten er 9% p.a.
Restgæld
0
1
2
e: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 20 år?
…og hvor meget udgør renterne?
Regn nu på realkreditlånet over 30 år.
f: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet.
Men man får et
godt billede af
lånets afvikling
ved at regne med
en årlig ydelse og
se bort fra gebyrer
og kurstab.
g: Udfyld de første rækker i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
Rigtige realkreditlån er indviklede.
Man betaler hver
måned eller hvert
kvartal, man
betaler gebyrer,
og der er ofte et
såkaldt kurstab.
Restgæld
0
1
2
h: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 30 år?
…og hvor meget udgør renterne?
Nu skal du også regne på banklånet.
i: Beregn den årlige ydelse på banklånet?
j: Hvor meget udgør renterne af denne ydelse?
k: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån),
hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 20 år?
Når man betaler renter,
får man et skattefradrag.
l: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån),
hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 30 år?
Det betyder, at man skal
betale mindre i skat.
m: Sammenlign de årlige ydelser det første år,
når man indregner skattebesparelsen
(dette kaldes nettoydelse).
Skattebesparelsen er på
ca. 30% af renterne.
Blandede og supplerende opgaver
Side 95
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
15: Fix og Fidus
b: Prøv også at kontrollere et par ydelser
hos Fidus Finans - det er svært!
Man kan også låne andre beløb end dem,
som er nævnt i tabellerne.
c: Find den månedlige ydelse, hvis man
låner 7.000 kr. over 30 måneder
hos Fix Finans.
Fix Finans - vi fixer dig et lån
- og vi ta'r slet ingen gebyrer Ydelse pr.
måned
Lånebeløb i kr.
a: Kontroller vha. ydelsesformlen nogle af
ydelserne hos Fix Finans.
Antal måneder
12
24
2.000 189 106
4.000 378
36
78
48
60
65
58
211 157 130
115
6.000 567 317 235 196 173
8.000 756 423 314 261 230
10.000 946 529 392 326 288
Rente: 2% pr. måned
16: Med Fix og Fidus hos El-Kolossen
Du vil købe en Ida symaskine og låne
pengene over 12 måneder.
a: Hvor (Fix eller Fidus) er det billigst
at låne pengene?
Lån hos Fidus
b: Hvor meget kommer man i alt til
at betale tilbage hos Fix Finans?
…og hvor meget udgør renterne?
Ydelse pr.
måned
Du vil købe en WX computer og låne
pengene over 48 måneder.
d: Sammenlign omkostningerne ho
Fix Finans og Fidus Finans.
Du skal låne penge til både en Vaks
vaskemaskine og en Vaks tørretumbler.
- renten er kun 1% pr. måned -
Lånebeløb i kr.
c: Hvor meget kommer man i alt til
at betale tilbage hos Fidus Finans?
Finans - en fed fidus
Antal måneder
12
24
36
2.000 238 138 105
48
60
88
78
4.000 416 232 171 141 123
6.000 594 326 238 194 167
8.000 771 420 304 246 212
10.000 949 515 370 299 256
Oprettelsesgebyr: 400 kr. (tillægges lånet)
Adm.-gebyr: 25 kr. pr. md. (tillægges ydelsen)
e: Hvor er det billigst at låne pengene,
hvis du kan betale tilbage hurtigt?
f: Hvor er det billigst at låne pengene,
hvis du vil betale tilbage langsomt?
Du vil købe et Colora TV og låne pengene
over 24 måneder.
g: Hvad bliver den månedlige ydelse
hos Fix Finans?
h: Hvad bliver den månedlige ydelse
hos Fidus Finans?
Blandede og supplerende opgaver
EL-KOLOSSEN - kolossalt billigt
G7-phone
Ida Symaskine
Kun ........... 1.499 kr. Kun ........... 1.999 kr.
Colora TV
Vaks Vaskemaskine
Kun .......... 2.499 kr. Kun .......... 4.999 kr.
WX Computer
Vaks Tørretumbler
Kun .......... 5.999 kr. Kun .......... 2.999 kr.
Side 96
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
17: Fix Finans (fortsættelse af opgaverne på forrige side)
Tabellen herunder viser sammenhængen mellem lånebeløb og den månedlige ydelse,
hvis man låner penge hos Fix Finans og betaler tilbage over 12 måneder.
Renten er 2% pr. måned.
Lånebeløb i kr. (x)
Månedlig ydelse i kr. (y)
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
189
378
567
756
946
a: Sammenlign tallene i tabellen med tallene fra sidste side.
b: Tegn ud fra tallene en graf i et koordinatsystem.
1 cm = 1.000 kr. på x-aksen og 1 cm = 100 kr. på y-aksen.
c: Undersøg ud fra grafen:
- hvor meget skal man betale pr. måned, hvis man låner 5.000 kr.?
- hvor meget kan man låne, hvis man vil betale 650 kr. pr. måned?
d: Undersøg hvilken af disse funktioner, der kan beskrive tabellen og grafen:
y = 0,9456 ⋅ x
y = 10,58 ⋅ x
y = 0,09456 ⋅ x
e: Brug den rigtige funktion til at finde den månedlige ydelse på et lån på 15.000 kr.
(Forlæng evt. din graf.)
f: Integn også grafer for lån over 24 mdr., 36 mdr., 48 mdr., og 60 mdr.
Brug tallene fra sidste side. Tegn alle graferne i samme koordinatsystem.
g: Opstil funktioner for (nogle af) de grafer, som du lige har tegnet.
I opgaverne herunder skal du bruge gældsformlen og nogle af oplysninger fra de forrige sider.
18: Udby og Omegns Bank
Regn med de vejledende rentesatser.
a: Hvor stort et billån kan man få, hvis man
kan betale 12.000 kr. om året i 3 år?
b: Hvor stort et billån kan man få, hvis man
kan betale 30.000 kr. om året i 6 år?
c: Hvor stort et boliglån kan man få, hvis
man kan betale 18.000 kr. om året i 12 år?
d: Hvor stort et forbrugslån kan man få, hvis
man kan betale 6.000 kr. om året i 2 år?
Bemærk: De tal som du har beregnet ovenfor
er nok lån incl. oprettelsesgebyr.
Kan du finde ud af at trække
gebyrerne fra? Det er lidt drilsk!
Blandede og supplerende opgaver
19: Fix Finans
Hvor stort et lån kan man få hos
Fix Finans, hvis man kan betale…
a: …200 kr. om måneden i 60 mdr.?
b: …1.000 kr. om måneden i 2 år?
20: Realkreditlån
a: Hvor stort et lån (7% over 30 år)
kan man få, hvis man kan betale
48.000 kr. om året?
b: Hvor stort et lån (6% over 20 år)
kan man få, hvis man kan betale
36.000 kr. om året?
Side 97
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (4): Opsparing
21: Anton indbetaler hvert år til nytår 10.000 kr. på en opsparingskonto.
Den 1. indbetaling sker i
Kontoen giver en rente på 5% p.a. Renten tilskrives til nytår.
starten af det 1. år.
a: Udfyld de tomme pladser i tabellen herunder.
Den 2. indbetaling sker i
starten af det 2. år o.s.v.
Indbetaling
Rente
Indsat
Opsparing
1
0,00
10.000,00
10.000,00
2
500,00
10.000,00
20.500,00
.
3
4
43.101,25
5
b: Hvor meget står der på kontoen efter 5 indbetalinger (kik i tabellen)?
c: Hvor stor en del af beløbet er renter?
d: Kan du også beregne tallet fra opgave b v.h.a. opsparingsformlen?
e: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger?
f: Hvor meget kan Anton hæve fra kontoen ved slutningen af det 10. år?
Der foretages ikke en 11. indbetaling - se evt. forklaring.
22: Agnes indbetaler hvert år til nytår 8.000 kr. på en opsparingskonto.
Kontoen giver en rente på 4% p.a. Renten tilskrives til nytår.
a: Udfyld de tomme pladser i denne tabel.
Indbetaling
Rente
Indsat
1
0,00
8.000,00
2
320,00
8.000,00
Opsparing
8.000,00
Hvis du f.eks.
indbetaler
penge i 5 år,
lader pengene
stå til
slutningen
af det 5. år .....
….og hæver pengene
(uden at foretage en
6. indbetaling), så skal
du selv lægge renterne
for det sidste år til.
3
4
b: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger?
c: Hvor stor en del af dette beløb er renter?
23: Det er helt urealistisk at spare op i så lang tid, men beregn alligevel…
a: …hvor mange penge vil Anton (ovenfor) have efter 100 indbetalinger?
Du kan
ikke direkte
beregne
det hævede
beløb med
opsparingsformlen.
b: …hvor mange penge vil Agnes (ovenfor) have efter 100 indbetalinger?
c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter.
Blandede og supplerende opgaver
Side 98
Matematik på AVU
24: Du indbetaler 6.000 kr. på en konto hvert år til nytår.
Hvor meget vil der stå på kontoen efter 5 indbetalinger,
hvis….
a: …det er en anfordringskonto?
Opgaver til niveau F, E og D
Udby og Omegns Bank
Rentesatser på indlån
Anfordring.................... 0,5% p.a.
3 mdr. opsigelse .......... 1,5% p.a.
b: …det er en konto med 3 mdr. opsigelse?
Aktionærkonto(*) ........ 2,5% p.a.
c: …det er en aktionærkonto?
(gå ud fra, at du har de nødvendige aktier)
Børneopsparing(**) ....... 4,0% p.a.
(*)
Du skal have aktier for mindst
5.000 kr. (pålydende værdi).
25: Der indbetales årligt 12.000 kr. på en aktionærkonto.
Beløbet indbetales hvert år i 8 år ved årets start.
(**)
Du kan højst indsætte
3.000 kr. pr. år.
a: Hvor mange penge står der på kontoen efter den
sidste indbetaling?
I virkeligheden laver
man sjældent en
indbetaling om året.
Man indbetaler et
beløb hver måned.
Pengene står til slutningen af det 8. år, hvorefter de
hæves. Der laves ikke en 9. indbetaling.
b: Hvor mange penge kan der hæves?
26: Hvor mange penge ender der med at stå på en børneopsparing, hvis…
a: …der indsættes det maksimale beløb hvert år i 18 år?
b: …der indsættes 1.200 kr. hvert år i 14 år?
c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter.
De præcise
beregninger er mere
indviklede, men man
får udmærkede cirkatal, ved at regne med
en årlig indbetaling.
27: Studielån
Et studielån optages typisk over en årrække.
Man låner langsomt flere og flere penge, og der
tilskrives renter på samme måde som ved en opsparing.
Knud går først 4 år på VUC og
derefter 5 år på seminarium.
a: Hvor meget får Knud udbetalt i studielån,
mens han er under uddannelse?
Han tager hvert år et studielån
på 24.000 kr. Renten er 4% p.a.
b: Hvor stor er hans gæld da uddannelsen er slut?
Gå ud fra, at han får udbetalt penge en gang om året
og ved årets begyndelse.
Når uddannelsen er slut stiger renten til 5% p.a.
Man behøver ikke at betale tilbage det første år efter at
uddannelsen er slut, men der tilskrives naturligvis renter.
Derefter afvikles gælden som et annuitetslån.
c: Find den årlige ydelse, hvis annuitetslånet afvikles
over 9 år (sammenlign med det udbetalte lånebeløb).
Blandede og supplerende opgaver
Side 99