1. No category

Matematik
Matematik
Indhold
Matematik .......................................................................................................................................................................... 1
Bilag M1 Bilag: Genrekatalog matematik hhx - fageksempler ............................................................................................ 2
Bilag M2 Matematik - vejledende opgavesæt efter 2011 og forår 2012 MatematikB samt eksamen juni 2012 ............... 4
Kommunikationskompetence ........................................................................................................................................ 4
Ræsonnementskompetence: ......................................................................................................................................... 5
Databehandlingskompetence ........................................................................................................................................ 6
Symbol og formalismekompetencen ............................................................................................................................. 9
Hjælpemiddelskompetence (redskab) ......................................................................................................................... 11
Tankegangskompetence............................................................................................................................................... 12
Problembehandlingskompetence ................................................................................................................................ 13
Repræsentationskompetence ...................................................................................................................................... 14
Modellering .................................................................................................................................................................. 15
Bilag M3Forsøg på genrebeskrivelse i matematik - omfattende omend kun påbegyndt? .............................................. 16
Bilag M4 Kompetencerepræsentation i eksamensopgaver .............................................................................................. 25
Kompetencerepræsentation efterår 2011 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 1 mat B ................................. 25
Kompetencerepræsentation forår 2012 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 2 mat B .................................... 30
Kompetencerepræsentation juni 2012 i eksamensopgaver matematik ...................................................................... 35
Bilag M5 Udkast Oversigt over matematiske faglige genrer - formidlingsskrivning ........................................................ 39
Bilag M6 - stillads generelt til ”Den gode besvarelse af opgaver i matematik.”............................................................ 41
Den gode besvarelse af opgaver i matematik. ................................................................................................................ 41
Bilag M7 Udklip vedrørende baggrunden for matematikopgaverne til eksamen - med fokus på ”Ny Skriftlighed” ........ 44
Bilag M8 Om opgaveskrivning i matematik og naturvidenskabelige fag ....................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.
Bilag M9 Matrixoversigt - kompetencer i eksamensopgaver matB .................................................................................. 45
Bilag M10 Eksempel på udvidet kompetenceoversigt til matematik ............................................................................. 46
Bilag M11 Sammenhæng mellem kompetenceblomst og mål for matematik ................................................................. 49
Bilag M12 Kompetencebeskrivelse i matematik jf. Komrapporten .................................................................................. 50
.......................................................................................................................................................................................... 50
Bilag M13 Eksempel på skrivedidaktiske øvelser oplæg opstart ...................................................................................... 51
Bilag M14 Matematik - diskursbegreb - oplæg Fællesmøde ............................................................................................ 52
Bilag M15 Matematik - genrebegreb - oplæg Fællesmøde .............................................................................................. 53
Bilag M16 Matematik - ændrede rettestrategier - oplæg Fællesmøde ........................................................................... 54
Bilag M17 Skriftlighed i matematik .................................................................................................................................. 55
.......................................................................................................................................................................................... 55
Bilag M18 Eksempler på ændrede rettepraksis ................................................................................................................ 56
Bilag M19 Eksempler på elev ”selvretter” ........................................................................................................................ 57
Bilag M20 Eksempler på elev ”selvretter” ........................................................................................................................ 58
Bilag M21 Eksempler på samarbejde - elevkommentarer og -repsons ............................................................................ 59
Bilag M22 Stilladsering - Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik B – med brug af CAS-værktøj ........................... 60
1 TEKST ..................................................................................................................................................................... 61
2 NOTATION og LAY-OUT ......................................................................................................................................... 61
3 REDEGØRELSE og DOKUMENTATION .................................................................................................................... 63
4 FIGURER ................................................................................................................................................................ 64
5 KONKLUSION VEDR. BESVARELSE TIL EKSAMEN ................................................................................................... 64
6 Gør det gode bedre ............................................................................................................................................... 65
Bilag M23 - Stillads - bedømmelse pixi fra mat-it ............................................................................................................. 67
Bilag M24 - htx råd og vink ............................................................................................................................................... 68
Bilag M25 De 8/9 kernekompetencer i matematik - uddybende forklaring (Komrapport) .............................................. 69
Bilag M26 Eksempler på eksamensopgaver i relation til kompetencerne ........................................................................ 72
Tankegangskompetence............................................................................................................................................... 72
Learnmark Horsens 2012 IØ AØ VØ og MAT
Side 1
Matematik
Problembehandlingskompetence ................................................................................................................................ 72
Modelleringskompetence ............................................................................................................................................ 73
Ræsonnementskompetence ........................................................................................................................................ 73
Repræsentationskompetence ...................................................................................................................................... 74
Symbol- og formalismekompetence ............................................................................................................................ 74
Kommunikationskompetence ...................................................................................................................................... 74
Hjælpemiddelkompetence ........................................................................................................................................... 75
Databehandlingskompetence ...................................................................................................................................... 75
Bilag M1 Bilag: Kort stillads skr. matematik til elever
Når du skriftligt løser en stillet opgave fag, kan du med fordel benytte følgende opskrift til din besvarelse:
Introduktion
Argumentation
Konklusion
Uddybende bemærkninger
Du bør starte din besvarelse med en kort introduktion til opgaven – skriv ganske kort, hvad det er opgaven
drejer sig om.
Efterfølgende skal du ”lave arbejdet” under argumentationen, hvor du reelt set løser selve opgaven. Det er
vigtigt at du skriver en passende mængde forklarende tekst til dine beregninger (også hvis det er en
Learnmark Horsens 2012 IØ AØ VØ og MAT
Side 2
Matematik
regneopgave), idet din tankegang bag argumentationen skal fremgå klart af din besvarelse. Det er altså
vigtigt, at du husker på, at beregninger ikke må stå alene – de skal (næsten) altid forklares.
Til slut er det vigtigt, at du skriver en konklusion på opgaven. Her skal du være kort og præcis, så læseren
ikke kan være i tvivl om, hvad du svarer på opgaven.
Learnmark Horsens 2012 IØ AØ VØ og MAT
Side 3
Matematik
Bilag M2 Matematik - vejledende opgavesæt efter 2011 og forår 2012 MatematikB samt eksamen juni
2012
Kommunikationskompetence
Der hersker imellem fagfæller nogen uenighed om, i hvor høj grad denne kompetence skal være i spil (i alle opgaver) i matematik. Skal besvarelsen af
de enkelte opgaver være kontekstuafhængige (altså kunne rettes og bedømmes alene ud fra det, eleven afleverer) eller er dette ikke påkrævet, da
modtageren (læreren) kender opgaven i forvejen? Redegør - kræver dette ord eller er en beregning tilstrækkeligt?
Deltageren i projektet lægger selv op til kontekstuafhængige opgaver, og at der skal knyttes nogle ord og konklusioner til de enkelte besvarelser; men
i censorsituationen slækkes på dette krav!
Eksempel 8 forår 2012
Genrebeskrivelse / stilladsering (Skriv et notat om)
I opgaven skal demonstreres forståelse af de beregninger, der er foretaget (evt. af et CASprogram). Det kan være konfidensinterval, ulighed i modellering, ekstrema ved
modellering, statistiske deskriptorer.
Samtidig skal vises, at man kan oversætte matematik til hverdagssprog (der dog skal stiles
en bestemt modtager)
Der skal ikke digtes noget ind - men alene konkluderes på beregningerne; men samtidig skal
Eksempel 7 efterår 2011
man sørge for at teksten skrives, så det passer med målgruppen, der ikke er matematikere.
1. Skriv evt. først hvad der er tale om:
Hermed følger konklusion på min undersøgelse af..
Indlæg til vort blad vedr. undersøgelse..
Eksempel eksamen juni 2012
2. Skriv så, hvad der er undersøgt/beregnet.
En spørgeskemaundersøgelse af n medarbejdere har vist at…
En analyse af virksomhedens omsætningsforløb viser at… Det største DB opnås
derfor hvis…
3. Skriv opsamlende konklusion, som alle (også de der ikke kan matematik) kan forstå
uden brug af indforståede fagudtryk:
Ud fra disse beregninger/data kan konkluderes, at flertallet af medarbejderne.. 25
% af de ansatte har højest … I gennemsnit er …
En analyse af virksomhedens omsætning viser, at nulpunktsomsætningen ligger ved
en produktion på hhv.? og? Det betyder, at vi har overskud, når vi afsætter
mellem…
Side 4 af 76
Matematik
Ræsonnementskompetence:
Opgavegenren angår primært forklaring/uddybning af matematiske beregninger.
Det kan være i forhold til ligningsløsning, men man kan også forestille sig det fx er redegørelse for de enkelte trin i beregning af en funktions ekstrema, beregning af
forskrift for en given funktion gennem to punkter og lignende. Løsningen er givet - opgaven går ud på at redegøre for de enkelte trin i løsningen.
Eksempel 6b efterår 2011
Eksamen Juni 2012 opgave 6b
Genrebeskrivelse / stilladsering
I opgaverne skal vises, at man kan anvende matematiske formler, definitioner,
sætninger og lign. i forklaringer eller redegørelser. Det kan være en del af et bevis,
ligningsløsning eller evt. reducering af udtryk eller isolering af en parameter i en formel
1. Ved hvert enkelt trin angives hvilke regneregler, der benyttes
2. Anvendte formler vises evt.
3. Vær opmærksom på, det ikke er løsningen der er interessant (den er måske
givet); men dine argumenter. Demonstrer hvad du ved og kan omkring emnet
Brug fagbegreber og fagudtryk
Det er ikke nok at skrive, hvis en løsning skal begrundes, hvad man kan se af
beregningen - det er matematikken, der ligger til grund herfor, der skal nævnes
Forestil dig, at du gennemgår opgaven for en, der aldrig har set opgavetypen før - det
er vigtigt, du ikke tager den matematiske viden for givet.
Du må fx ikke skrive: der reduceres. Det er hvordan, der reduceres, der skal forklares.
Hvis du skriver ”nulreglen benyttes” - så skriv evt., hvad nulreglen går ud på!
Lav evt. en note, hvor du nævner, de omvendte funktioner, der reelt er spil ved
ligningsløsning
sum - differens -> differens- sum (+ til -, - til plus)
produkt - division -> division - produkt (. - :, : - .)
logaritme - eksponentiel -> eksponentiel - logaritme (ln(x) - ex, ex - ln(x))
kvadrere - kvadratrod -> kvadratrod - kvadrere ( x2 - √ , √ , - x2)
kvadratsætninger. (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab (a+b)(a-b) = a2 - b2
Side 5 af 76
Matematik
Databehandlingskompetence
Typiske opgaver, hvor redskab/hjælpemiddel er afgørende, er opgaver med diverse data, der skal anvendes til enten statistik, chi i anden test eller
modelopstilling med xy-plot.
Der tegner sig her en tendens med, at der er tale om tre bestemte undergenrer (sandsynlighedsregning - binomialfordeling, normalfordeling,
konfidensintervaller og lign. kunne også placeres her; men her er valgt at sige den hører hjemme under hjælpemidler):
Eksempel 8 forår 2012 (7 efterår 2011)
Genrebeskrivelse / stilladsering (Statistik)
I opgaven skal demonstreres, at data kan sorteres/tælles
enten i regneark eller CAS-program.
Præsenter opgaven!
1. Argumenter for hvorvidt det er hensigtsmæssig at
arbejde med diskrete eller grupperede observationer
2. Foretag optælling/gruppering - beskriv kort
teknikken, der er anvendt
3. Konkluder hvilke diagrammer der er aktuelle (jf. pkt.
1) Disk: pinde/trappe (cirkel)
Grup: histogram, sumkurve (cirkel).
Tegn disse (med CAS-program/Excel/Graph)
Eksamen Juni 2012 opgave 7
Husk korrekte akser!
4. Udvælg de deskriptorer, du ønsker (og som du kan
forklare i forhold til eventuel redegørelse)
Hertil anvendes smartest CAS/Excel.
Vis formler, der anvendes ved beregning af fx
gennemsnit, hvis beregningen foretages manuelt.
Vær opmærksom på, alle deskriptorer er ligeværdige,
så det giver ikke mere, at vælge deskriptorer, der er
”avancerede. Det kan tvært imod resultere i
mangelfulde forklaringer på, hvad disse viser.
Side 6 af 76
Matematik
Eksempel Opgave 9 efterår 2011 (opgave 10 forår 2012)
Eksamen Juni 2012 opgave 10
Genrebeskrivelse / stilladsering (Chi i anden-test)
I opgaven skal demonstreres, at data kan sorteres/tælles enten i
regneark eller CAS-program. Desuden skal dokumenteres kendskab til
opstilling af hypoteser, beregning af forventede værdier, chi i anden
bidrag, p-værdi
1. Skriv kort om der pivoteres i regneark eller om sortering foregår
i CAS. Detaljer om metoden skal ikke med
2. Lav skema - husk at lave det præcis, som det er vist i opgaven.
3. Opstil H0 hypotese (uafhængighed) og H1 hypotese afhængighed;
men med ord i forhold til den konkrete opgave. (Køn har ingen
betydning for… Alderen er ikke afgørende for… Politisk holdning
har ikke…)
4. Anvend enten regneark (med skabelon til forventede værdier og
chi i anden bidrag) eller CAS-program til bestemmelse af
forventede værdier. Notér den anvendte ”celle”- formel hertil og
vis evt. eksempel (
)
5. Vis (bestem) chi i anden værdierne. Vis formel hertil og evt.
eksempel på en beregning.
6. Noter evt. antal frihedsgrader og formel (rækkesum-1)(søjlesum1)
7. Slå enten p-værdien op (Excel) eller aflæs værdien i CAS.
8. Konklusion: Hvis der er tale om et bestemt signifikansniveau
vurderes i forhold hertil. Ofte er det 5 %. Hvis p-værdien er lille,
altså under 5 %, siger vi, at forskellen er signifikant på
signifikansniveauet 5 %. Det betyder: Hvis p-værdien er under 5
%, så forkastes H0 hypotesen. Der er altså ikke uafhængighed.
Hvis p-værdien er over 5 %, så accepteres H0, og der kan
konkluderes, at der er uafhængighed
Side 7 af 76
Matematik
Opgave 11 forår 2012 (opgave 8 forår 2011)
Eksamen Juni 2012 opgave 9
Genrebeskrivelse / stilladsering (xy-plot)
I opgaven skal demonstreres, at data fra regneark kan vises som xy-plot i Excel, CASprogram eller Graph
Ofte følger herefter bestemmelse af en lineær, eksponentiel eller potensmodel
1. Skriv kort hvilket program du har anvendt til xy-plottet (Det kan være
hensigtsmæssigt at anvende CAS, idet der kan efterfølgende være tale om
nogle beregninger, hvor resultaterne fremkommer ved en enkelt kommando i
programmet)
2. Se på vinduet! Er akserne i orden? Hvis der kun er tale om punkter i 1.
kvadrant, så sørg for, at de øvrige kvadranter er minimerede. Sørg for enheder
og benævnelser på akserne er ok.
3. Vis plottet - ikke som et frimærke; men stort og tydeligt. Undlad at spare på
papiret
4. Med det valgte programmel bestemmes bedste model. Vær opmærksom på,
at i matematik er kravene markant skrappere end i IØ og samfundsfag
5. Noter værdien af r2 og kommenter herpå:
1 - perfekt model. 0.99 - glimrende. 0.95 - acceptabel
6. Modellen kommenteres - hvad viser denne? Her er det ikke den matematiske
generelle model, der skal kommenteres; men i forhold til modellen. (Der er
tale om en konstant tilvækst i omsætningen på… og oprindelig var værdien…)
(her har væksten relativt (procentvis) været ens - der er tale om et fald på…)
7. Hvis der skal beregnes fx forventede værdi, kan dette enten gøres manuelt ud
fra den valgte funktionsforskrift eller i CAS hvor funktionen defineres og
værdien fastlægges.
8. Husk konklusion på opgaven
Side 8 af 76
Matematik
Symbol og formalismekompetencen
På B niveau er opgaver med symbol- og formalismekompetencen nedtonet i forhold til tidligere. Der accepteres notationer, der fra et strengt fagligt
synspunkt ikke er helt efter bogen. Eleverne skal kende de basale funktioners forskrifter, regler for differentiation af polynomium og lign., hvilket bl.a.
også testes i prøven uden hjælpemiddel
Med CAS og IT- programmel flyttes denne kompetence mere og mere over på hjælpemiddelkompetencen, hvor fx rente og annuitetsopgaver ikke
nødvendigvis løses ved brug af formler
Genrebeskrivelse / stilladsering (Differentiationsregler,
Opgave 11C forår 2012
forskrift for lineære og eksponentielle funktioner,
renteformler )
I opgaven skal demonstreres, at de mest simple formler kendes
og kan anvendes. Ofte vil der fx kunne indgå et negativt tal,
Juni 2012 opgave 1
hvor der skal demonstreres, at der skal sættes parentes om
denne værdi.
Der er tale om paratviden, fx med
f(x) = a.xn
f’(x) = n.a.xn-1
√
Opgave 2 forår 2012
√
Forkortelser Dm(f) Mængdeklammer ]2;∞[
Matematiske tegn: σ μ ˄ ∆ ̅
1. Skriv opgaven op
2. Notér evt. den regel/formel, der skal anvendes, hvis
den 100 % sikkert er korrekt. Alternativt anvendes
formlen blot og løsningen skrives op
3. Forklar hvad formel/symbol står for (også selvom det
virker indlysende. Tallet er ikke med, da… Det er
bredden … Gennemsnittet … )
4. Husk konklusion på opgaven
Side 9 af 76
Matematik
Efterfølgende opgavetype er på længere sigt næppe relevant; men da rente- og annuitetsregning er C-stof, vil elever på valghold nok i en
overgangsperiode anvende de formler, der blev præsenteret på første år
Opgave 12A efterår 2011
Genrebeskrivelse / stilladsering (Rente og annuitetsregning)
Her skal ofte vises, man kan vælge en bestemt formel og indsætte heri.
Bemærk det er markant lettere at anvende enten regneark eller CAS-program
Husk regneark kan anvendes til restgældsbestemmelse
n
Kn = k0 . (1+r)
r= n
Opgave 11C forår 2012
Kn
K0
K0 =
.
(1  r )
= Kn (1+r)
Kn
K0
n=
ln(1  r )
-1
1  1  r 
y
r
i=
r
y = An.
(1  r ) n  1
n
y=
-n
n
ln
(1  r ) n  1
An= y .
r
A0 =
Kn
A0 * r
1  (1  r ) n
:
1  r n  1
 A r

ln  n  1

n=  y
ln 1  r 
 A r
 ln 1  0 
y 

n=
ln 1  r 
n
.
n
Rg = Kn –An = k0 (1+r) - y . (1  r )  1
r
Eksamen juni 2012 11B
1. Skriv de relevante oplysninger fra opgaven
2. Redegør for om der er tale om rentesregning (I bank en gang dvs. K)
eller annuitetsregning (i bank hver termin dvs. A)
3. Vurder om det er en nutidsværdi K0 eller A0
eller fremtidsværdi Kn eller An
4. De aktuelle formler noteres og oplysninger indsættes på de
respektive pladser. (Husk fx 5 % = 0,05)
5. Beregningerne udføres.
Side 10 af 76
Matematik
Hjælpemiddelskompetence (redskab)
Opgave 12B efterår 2011
Opgave 8 forår 2012
Genrebeskrivelse / stilladsering
(sandsynlighedsregning/konfidensintervaller mv.)
I opgaven skal demonstreres, at der kan anvendes enten Excel
eller CAS-værktøj til bestemmelse af sandsynligheder, fraktiler
etc. , samt at du behersker et værktøj
1. Skriv først hvilket program du har anvendt til
beregningerne
2. Konkluder dernæst, hvad det er, der er i ”spil”
Taler vi om sandsynligheder ved binomialfordeling?
Taler vi om fraktiler ved en normalfordeling? Er det
konfidensinterval, der skal beregnes? Er der tale om en
normalfordeling - standardiseret?
Hvis test: Noter om standardafvigelsen er
kendt ((Z) eller ukendt (T)
Er det chi i anden test?
3. Skriv eventuelle formler, der skal anvendes, op. (Også
gerne selv om der anvendes CAS. Notér da, at formlen
kunne anvendes)
4. Brug herefter CAS -program til beregningen.
Skriv hvad der beregnes og testen så som
P(x>7000)
H0: Der er uafhængighed mellem køn og rygevaner
H0: = 0 = 25
5. Vurdér om beregningen ser korrekt ud - kommenter
herpå og konkludér med ord.
Det er ikke nok at aflevere indtastninger
6. Se på opgaveformuleringen. Skriv svar på spørgsmålet.
Side 11 af 76
Matematik
Tankegangskompetence
Eksamen Juni 2012 opgave 11B
Genrebeskrivelse / stilladsering (rente- og annuitetsregning)
I opgaven skal demonstreres, at der ud fra teksten kan bestemmes hvilke formler
(rente eller annuitet) der skal i spil.
Der skal indledningsvist to spørgsmål, hvor svaret er afgørende for valget.
Ofte følger herefter bestemmelse af en lineær, eksponentiel eller potensmodel
1. Notér først, de oplysninger, der skal anvendes fra opgaven, så som r=…
2. Skriv kort, hvilken formel der er aktuel. Argumentér evt. i to trin:
a. Er der tale om et beløb der indsættes en gang? (Kapital) eller beløb,
der indsættes hver termin? (annuitet)
Eller: Indgår der en ydelse (annuitet) eller ej (Kapital)
b. Det beløb, der er aktuelt, er det en fremtidsværdi (n) eller en
nutidsværdi (0)
Der kan nu konkluderes: K0, Kn, A0, An
Hvis det er restgælden midt i et forløb, der skal bestemmes, kan enten
anvendes amortiseringsplan i regneark eller restgældsformlen.
Kn = k0 . (1+r)
n
K0 =
(1  r ) n  1
An= y .
r
Kn
.
(1  r )
A0 =
= Kn (1+r)
-n
n
y
1  1  r 
r
n
n
.
n
Rg = Kn –An = k0 (1+r) - y . (1  r )  1
r
3. Den valgte formel skrives op, og de oplyste værdier indsættes i formlen,
hvorefter beregningen udføres.
Husk: r i formlerne skal skrives som tal. Dvs. ½ % = 0.005 og 4 % = 0.04
Det er OK at anvende CAS-programmer og/eller regneark.
4. Konkludér på beregningen. Det er ikke nok ”bare” at sætte ind i formlen.
Side 12 af 76
Matematik
Problembehandlingskompetence
Eksamen Juni 2012 opgave 5
Genrebeskrivelse / stilladsering - opgaven knyttes ofte til andre kompetencer også
I opgaverne skal man vise, at man kan opstille og løse problemer, samt forholde sig til
løsningen af problemer, det kan være såvel i modelleringsopgaver som i ”ren”
matematik. Til eksamen vil det ofte være modellering
1. Notér først de nødvendige oplysninger fra opgaveteksten
2. Rids herefter op, hvad der skal bestemmes, beregnes, løses.
3. Hvis det fx er lineær programmering, så notér evt. om der skal minimeres eller
maksimeres. Skriv herefter, der er tale om en bestemt løsningsmetode. (Husk
dog, at det optimale punkt kan bestemmes såvel ved Niveaulinjer som
hjørneinspektion. Sidstnævnte er især aktuelt, hvis polygonområder ER tegnet
op)
Er det funktionsundersøgelse (fx til bestemmelse af maksimalt DB,
nulpunktsomsætning eller lign.) så skriv, der er reelt er tale om bestemmelse
af nulpunkter/ekstrema. Dette gøres ved at opstille ligninger og løse disse.
(Det er OK at anvende CAS hertil, hvis det er med hjælpemiddel)
Det kan også være en hypotesetest, der er i spil. Kan en virksomhed fx købe et
bestemt produkt, når en stikprøve viser…)
4. Det er vigtigt at huske, det IKKE er svaret, der er interessant; men argument
for løsningen.
5. Husk konklusion på opgaven
Side 13 af 76
Matematik
Repræsentationskompetence
Eksamen Juni 2012 opgave 2
Opgavesæt 2 forår 2012
Genrebeskrivelse / stilladsering (grafer-tabeller-forskrifter)
I disse opgaver skal man demonstrere forståelse for og anvendelse af forskellige
repræsentationer af fx funktionsudtryk (tabel, graf, forskrift) og kunne forbinde
repræsentationerne og oversætte i mellem dem. Samt afgøre hvilke styrker og
svagheder en repræsentation har.
1. Som altid noteres først de nødvendige oplysninger fra opgaveteksten og dermed en kategorisering af opgavetypen. Det er oftest enten
deskriptiv statstik eller funktioner.
2. Hvis statistik: En tabel (data i regneark) kan vises i et diagram. Her er det
afgørende at vælge et diagram, der viser noget - og det korrekte
diagram. Husk vi arbejder primært med 2 diagrammer indenfor hver
type (diskrete-grupperede)
Hvis funktion, så skal man vise, man kan fx tegne en graf ud fra en
forskrift - i et ”fornuftigt” koordinatsystem. Eller at man kan ræsonnere
sig frem til, hvordan grafen for en given funktions afledte
(differentierede) ser ud.
Det kan også være, der skal kobles mellem en graf og fx fordoblingstid.
Endelig kan det være man bare skal tegne en graf ud fra givne
oplysninger
3. Det afgørende er som altid ikke svaret - men argumentationen for
svaret.
4. Skriv en præcis konklusion - har du svaret på spørgsmålet?
Side 14 af 76
Matematik
Modellering
Eksamen Juni 2012 opgave 8
Genrebeskrivelse / stilladsering tekstopgaver i relation til andre fag
Her skal man vise, der kan kobles fra
virkeligheden til matematik - og retur.
Principielt er der tale om en firefasemodel
Opgaven går ud på at lave en korrekt
kobling Det er i disse opgavetyper, hhx
profilen ses, så der er tale om problemtikker i relation til vø, iø, afsætning,
samfundsfag. Der anvendes ofte også fagbegreber fra disse fag (DB,
Ginikoefficient, Lorenzkurve, ligevægtspris, elasticitet..) Det er IKKE nødvendigt
at kende begreberne da alle nødvendige informationer fremgår af teksten.
1. Skriv de relevante informationer fra opgaven
2. ”Diagnosticer” evt. opgaven - hermed menes: Skriv hvilken matematik,
der skal i spil.
Det kan være: Lineær programmering, funktionsanalyse,
differentialregning, ligningsløsning…
3. Skriv kort, hvad der skal til for at løse problemet - altså oversæt til
matematik.
4. Definer: hvad er x? Hvad er f(x)? Hvorfor differentieres (ekstrema - dvs.
f’(x) = 0, nulpunkt dvs. f(x) = 0, skæringspunkt: dvs. to ligninger med to
ubekendte etc.)
5. Løs opgaven
6. Vurdér om løsningen ser fornuftig ud! Kan der produceres 5000 biler?
Går der 55 år? Hvis ikke, så kommenter herpå, frem for kritikløst at
skrive løsningen.
7. Kontroller gerne med graf?
8. Konkluder med et tekstsvar. En tekstopgave kræver et tekstsvar.
Side 15 af 76
Matematik
Bilag M3Forsøg på genrebeskrivelse i matematik - omfattende omend kun påbegyndt?
Opgavegenrer i matematik - udkast:
1
2
3
Skrivehandling
Løse (ligning) +
formelindsætning
Differentiere
Analysere +
Differentiere +
Løse ligning +
Formelanvendelse
Opgavegenre
Ligningsløsning
Formelanvendelse og
beregning
Funktionsanalyse og
beregning
(Nulpunkter
Fortegnsvariation
Ekstrema
Monotoniforhold
Punkt med vendetangent
Tangentligninger)
4
Bevise+
Ligningsløsning +
Differentiere+
ræsonnere
Bevis
5
Formelanvendelse+ Finansiel analyse og
Forklare +
beregning
Ræsonnere
6
Formelanvendelse+ Modellering m.
Beregning+
funktionsanalyse og
Ræssonnere+
beregning
Forklare
7
Ræsonnere+
Beregne+
Forklare+
Statistisk analyse og
beregning
Eksempel
a) x2-x-2=0
b) ln(2x-1)(x+3)=0
a) f(x) = 2x3-x2+5x-4
a) Bestem ekstremaer for
funktionen f(x) = -2x3-x2+5x-4
b) Bestem tangentligning for
funktionen f(x) = x3-2x2+2ex i
punktet (1, f(1))
a) Bevis x- koordinaten for
toppunktsformlen for en
parabel, f(x) = ax2 +bx + c, idet
differentialkvotienten for f(x)
ikke skal udledes
a) Gennem 10 år indbetales kr.
800,- om året på en konto.
Renten er på 2 % p.a. Bestem
det opsparede beløb efter 10 år
a) En virksomhed afskriver efter
saldometoden med 30 % p.a.
Inventarets nyværdi er kr.
180.000. Bestem bogført værdi
efter 4 år.
a) En analyse viser, at 45 % læser
sms under bilkørsel. 50 billister
stoppes. Hvor stor er
sandsynligheden for at det er
Side 16 af 76
Matematik
færre end 20, der læser sms’er?
NB: IT anvendelsen kan være vanskelig at se i efterfølgende. Hvis elektronisk så vælg 200 %.
Der findes cas- og it-filer hertil
Side 17 af 76
Matematik
G Skabelon hånd
1
L
I
G
N
I
N
G
S
L
Ø
S
N
I
N
G
2
Forklarende tekst
Skriv ligningen op
Isolér x med anvendelse af
gældende regneregler
(notér benyttede regler)
Ex:
a) Givet ligningen: x2-x-2=0
x2-x-2=0 
√
√
x=
x=-1 V x = 2
L = {-1, 2}


HUSK:
Hvis irr. funktion: Undersøg
grundmængde
Skriv hvilken teknik/formel der
anvendes for at isolere x
Forklar de enkelte trin i
ligningsløsningen
Konkluder: Skriv løsningen op
a)
Der er tale om en
andengradsfunktion, hvorfor
nulpunktsformlen anvendes
√
Skabelon IT
Skriv ligningen op
Anvend programmets løsningsfaciliteter
b) Givet ligningen:
ln(2x-1)(x+3)=0
2x-1>0  x>½
ln(2x-1)(x+3)=0 for x>½
ln(2x-1) = 0 V x+3 = 0 
2x-1 = e0=1 V x = -3 
2x = 1 + 1= 2 V x = -3 
X = 1 V x = -3
L = {1}
Skriv funktionsforskriften
Angiv evt. funktionstype og
Angiv hvilket program, der anvendes
Skriv hvad programmets notation
betyder i matematisk og almindeligt
sprogbrug
Skriv konklusion - løsning
a)
Ligningen løses med Nspire Der
anvendes ligningsløsning, solve.
Der oplyses der er to løsninger
Da diskriminanten er positiv er
der to løsninger til ligningen
b)
Der er tale om en funktion med ln,
dvs grundmængden skal
fastlægges
Der er tale om en
produktfunktion, så nulreglen
anvendes - dvs. hver side løses for
sig
Omvendte til ln er ex
Ethvert tal i 0’te giver 1
-3 er ikke indeholdt i
grundmængden så den løsning
forkastes
Forklarende tekst
b)
Ligningen løses med Nspire
Der anvendes ligningsløsning, solve.
Der er tale om en funktion med ln, dvs
grundmængden skal fastlægges
-3 er ikke indeholdt i grundmængden,
så den løsning forkastes
Skriv funktionsforskriften op
Angiv hvilket program, der anvendes
Side 18 af 76
Matematik
F
O
R
M
E
L
A
N
V
E
N
D
E
L
S
E
Differentier funktionen
a)
f(x) = 2x3-x2+5x-4
f’(x) = 6x2 - 2x + 5
differentieringsregler
(polynomium, irr. funktion,
produktfunktion):
a)
Der er tale om et polynomium,
hvor hvert led differentieres for
sig f(x)=axn f’(x) =naxn-1
Definér funktionen i programmet
Anvend programmets
differentieringsfacilitet - eller beregn det
selv (hvis det er en simpel funktion)
Skriv hvad programmets notation
betyder i matematisk og almindeligt
sprogbrug
Skriv konklusion
a)
Nspire anvendes
f(x) defineres i programmet
Nspire anvender skabelonen
til differentiering
f’(x) er hermed bestemt
Side 19 af 76
Matematik
3
F
U
N
K
T
I
O
N
S
A
N
A
L
Y
S
E
Skriv funktionsforskriften
Undersøg og notér hvilket
element i funktionsanalysen, der
er aktuelt
Nulpunkter : løs ligning f(x) = 0
Fortegnsvariation: Bestem
fortegn for f(x) ved først at
bestemme nulpunkter
Ekstrema: differentier funktion
og løs ligningen f’(x) = 0
Monotoniforhold: differentier
funktionen og løs ligningen f’(x)
= 0 Fastlæg fortegn for f’(x)
Husk angives i intervaller hvor f
er voksende og/eller aftagende
Vendetangent: Bestem f’’(x) og
løs ligningen f’’(x) = 0
a) Bestem ekstremaer for
funktionen f(x) =- 2x3-x2+5x4
f’(x) = -6x2-2x+5
f’(x = 0
-6x2-2x+5 = 0 
√
x=
√
x=
Angiv evt. funktionstype og
differentieringsregler
(polynomium, irr. funktion,
produktfunktion).
Skriv tydeligt hvad det er, der skal
bestemmes/beregnes - og hvilke
analyseelementer, der indgår heri
Notér anvendte formler til
beregning
a)
Ekstremaer findes evt. hvor der er
vandret tangent - dvs. hvor f’(x) =
0.
Funktionen skal derfor
differentieres hvorefter ligningen
f’(x) = 0 løses
Der er tale om et polynomium,
hvor hvert led differentieres for
sig f(x)=axn f’(x) =naxn-1
Til løsning af andengradsligninger
anvendes nulpunktsformlen:
√
b)
Skriv funktionsforskriften op
Definér funktionen i programmet
Anvend programmets løsnings- og
differentieringsfaciliteter eller evt.
graffaciliteter (gerne kombination)
Grafen viser beregningen er korrekt
Angiv hvilket program, der anvendes
Skriv hvad programmets notation
betyder i matematisk og almindeligt
sprogbrug
Skriv konklusion
a)
Nspire anvendes
f(x) defineres i programmet
Nspire anvender skabelonen
til differentiering
Til løsning af ligninger anvendes solve
f’(x) er hermed bestemt
f’(x) = 0 løses
Da vi har en 3. gradsfunktion med to
ekstremaer og en negativ a-værdi ved
vi funktionens monotoniforløb er:
Aftage - vokse - aftage
Første ekstrema er derfor minimum og
det næste maksimum
b) Nspire anvendes
I Nspire er der en speciel menu til
beregning af tangenters ligning
Side 20 af 76
Matematik
b)
Bestem tangentligning for
funktionen f(x) = x3-2x2+2ex i
punktet (1, f(1))
f’(x)= 3x2 - 4x + 2ex
f’(1) = 3.12 - 4.1 + 2.e1 =
f(1) = 13 -2.12 +2e1 =
Vi får da:
T1: y=
Tangentligningen kan findes på
flere måder.
En af metoderne er ved
indsættelse i forlen til tangentligninger:
Tx0: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)
Vi skal derfor beregne::
f’(x), f’(1) samt f(1) da disse
værdier skal indsættes i formlen
f’(ex) = ex
TangentLinie(f(x),x,x0)
Hvis f er defineret er tangentens
ligning derfor meget let at bestemme
Tangentens ligning I(1,f(1)) er derfor:
y=4.43645x eller y = (2e-1)x
Side 21 af 76
Matematik
4
B
E
V
I
S
Skriv, hvad der skal bevises
Hvilken sætning, formel ….
Angiv hvilke regneregler og
formler, der benyttes når beviset
skal udledes
Fortæl hvordan beviset vil blive
grebet an
a)
Bevis for, at x-værdien for
toppunktsformlen for en parabel
er givet ved x =
a)
Toppunktets for en parabel kan
bevises på flere måder. Man kan
fx finde midtpunktet mellem
nulpunkterne for en parabel, idet
toppunktet ligger på den lodrette
symmetriakse.
Her vil blive anvendt at
toppunktet ligger hvor
tangenthældningen (altså f’(x))
giver 0.
Funktionen differentieres derfor dvs f’(x) beregnes.
Herefter løses ligningen f’(x) = 0
Den fundne værdi angiver
toppunktets x-koordinat
Vi anvender følgende
differentieringsregler:
Hvis f(x) = g(x) + h(x) så er
f’(x) = g’(x) + h’(x)
samt f(x) =axn så er f’(x)=naxn-1
f(x) = ax2 + bx + x
f’(x) = 2ax + b
f’(x) = 0:
2ax + b = 0 
2ax = - b 
x=
Dette er netop formlen for
toppunktets x-værdi
QED (Quod erat demonstrandum)
Hermed bevist
W5 (Which was what we wanted)
Angiv hvilket program, der anvendes
Forklar hvad programmets notation
betyder i matematisk og almindeligt
sprogbrug
a)
Beviser foretages ved tavlen; men man kan
principielt godt anvende cas-værktøj i
processen
Der skal så de samme forklaringer til som
ved ”håndarbejde”
a)
Nspire anvendes
f(x) defineres i programmet
Nspire anvender skabelonen
til differentiering
Til løsning af ligninger anvendes solve
f(x) differentieres
f’(x) sættes lig med 0
Ligningen f’(x) = 0 løses, dvs
x isoleres
Side 22 af 76
Matematik
5
F
I
N
A
N
S
I
E
L
A
N
A
L
Y
S
E
Skriv de nødvendige
informationer op (termin, rente,
beløb)
Indsæt i formlen (husk 3%=0,03)
Redegør først for om det er
1) Rente (K) eller annuitet(A)
2) Nutid (0) eller fremtid (n)
Notér de formler, der er aktuelle
Principielt er der tre:
Kn = K0  (1 + r)n
n
An = y  (1  r )  1
r
Husk konklusion
a)
Givet: opspares hvert år et beløb
r = 2% = 0,02, n = 10, y = 800
An =
10
800  (1,02)  1  8759,78
0,02
Det opsparede beløb vil således
være på ca. kr 8759,78 efter 10 år
A0 =
y  1  (1  r )  n
r
a)
Skriv informationerne fra opgaven op
Redegør for, om der anvendes
1) Program med N, I, NV, PMT, FV
og hvad disse står for
2) Formler - som ved ”håndværk” og
dermed lignignsløsning. (Forklar
dette)
3) Funktionsudtryk tvm..
Husk konklusion
a)
Angiv hvilket program, der anvendes
Forklar, hvad programmets notation
betyder i matematisk og almindeligt
sprogbrug
a)
CAS-programmet Nspire anvendes.
I finansmenuen anvendes tvm(FV)
Time value money - future value
Da der er tale om en ydelse hvert
år, har vi annuitetsregning.
Det er en fremtidsværdi, der skal
beregnes - dvs til tiden n.
An skal derfor anvendes.
De respektive værdier indsættes i
formlen.
Ved indsættelse i menuen
fremkommer svaret
Principielt ville det være ligeså hurtigt
”bare” at indsætte i formlen for An
Side 23 af 76
Matematik
6
M
O
D
E
L
L
E
R
I
N
G
F
U
N
K
T
I
O
N
S
A
N
A
L
Y
S
E
Notér de nødvendige
informationer og argument for
eventuelle
funktionsforskrifter/formler.
Husk tekstsvar
Påpeg der er tale om modellering
- og angiv hvilke(n) funktion, der
evt. er i spil.
Hvis formler anvendes noteres
disse også.
Forklar eventulle
mellemregninger
Notér de nødvendige informationer fra
opgaven.
Skriv eventuelle funktionen og definer i
programmet
Anvend programmets løsnings- og
differentieringsfaciliteter eller evt.
graffaciliteter (gerne kombination).
Angiv hvilket program, der anvendes
Forklar, hvad programmets notation
betyder i matematisk og almindeligt
sprogbrug
a)
Afskrivning efter saldometoden
med 30 % p.a. Nyværdi kr.
180.000.
Bogført værdi efter 4 år?
a)
Der er tale om et udviklingsforløb
med en procentvis ændring, dvs.
en eksponentiel funktion
f(x) = b.ax
f(x): bogført værdi til tiden x
b: begyndelsesværdi
a: frem- afskrivningsfaktor (1+%)
a)
a) Programmet Nspire er anvendt.
Her kan man definere en funktion f(x),
hvorefter fx grafer kan tegnes
automatisk og funktionsværdier kan
beregnes.
Der kan ligeledes opstilles en tabel, der
vedrører funktionen
Der kan opstilles følgende
funktion:
f(x) = 180.000.0,7x , x>0
nyprisen =b, a=100%-30%=70%
x=tid efter køb
De oplyste værdier indsættes i
forskriften
Vi får:
f(4) = 180000..74=
Vi beregner f(4), der netop er den
bogførte værdi efter fire år
Her vises to metoder til fastlæggelsen
af den bogførte værdi
Forskrift og f(4) samt
Graf og tabel. I tabellen fremgår
resultatet ud for x = 4
Den bogførte værdi af inventaret
er efter 4 år på kr.
Side 24 af 76
Matematik
Bilag M4 Kompetencerepræsentation i eksamensopgaver
Kompetencerepræsentation efterår 2011 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 1 mat B1
Bemærk:
Opgavesættene er opbygget sådan, at hvert delspørgsmål indgår med samme vægt
Opgave 1 til 5 er fra delprøven uden hjælpemiddel (1 time) og de resterende opgaver fra delprøven med hjælpemiddel.
I delprøven med hjælpemiddel er sidste opgave en valgfri opgave, hvor der kan vælges mellem 2 - 3 opgaver
Opgave 1 (5 %)
Funktionen f - 3. gradspolynomium, er givet. Bestem f’(x)
Symbol- og formalismekompetence, da eleverne skal demonstrere, de kender formlen til differentiation af polynomier (paratviden)
Opgave 2 (5 %)
Omkostningerne ved en produktion af en vare kan beskrives ved en lineær funktion, hvor x angiver mængde i stk. og f(x) omkostningerne i kr.… Det
oplyses - tabel med talpar
Modellering og repræsentationskompetence, da eleverne skal kunne se sammenhæng mellem en funktionsforskrift og en tabel. Samtidig er opgaven
knyttet til viden fra erhvervsøkonomi
Opgave 3 (5 %)
Undersøg om x = 1 er løsning til ligningen..( 3. grad)
Tankegang repræsentationskompetence, da eleverne skal vide at man kan dokumentere at en løsning er korrekt ved at indsætte den oplyste løsning.
Eleverne kan ikke løse ligningen manuelt.
Opgave 4 (5 %)
Prisen på en vare vokser eksponentiel, som vist på figuren (Graf med tydelige enheder)
Bestem fordoblingstiden for varens pris
Modellering og repræsentationskompetence2, da opgaven er en tekstopgave, der relaterer sig til VØ og samtidig skal eleverne kunne tolke grafen i
forhold til forståelse af begrebet fordoblingstid
1
Se i øvrigt Bilag vedrørende ”Tanker med de vejledende opgavesæt”
Side 25 af 76
Matematik
Opgave 5 (5 %)
For en vare A er sammenhængen mellem efterspørgsel og stykpris bestemt ved funktionen … Sammenhængen mellem udbud og stykpris er bestemt
ved funktionen… Sammenhængene vises såvel ved funktionsforskrifter som grafer.
Bestem ligevægtsprisen
Modellering, repræsentations- og tankegangskompetence, da opgaven angår en problematik i relation til VØ, der er vist såvel forskrifter som grafer
og endelig skal der foretages beregning af skæringspunkt (der ikke kan aflæses præcist)
2
Dette skal vendes med kolleger… Man kan koble opgaven sammen med flere andre kompetencer
Side 26 af 76
Matematik
Opgave 6 (10 %)
a. Reducer udtrykket… ved hjælp af et CAS-værktøj
Hjælpemiddelskompetence, da eleverne skal demonstrere, at de kan anvende et CAS-værktøj
b. Ligningen .. er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives.
Kommunikations- og ræsonnementskompetencen idet der ikke skal regnes, men forklares. Samtidig skal angår redegørelsen de ræsonnementer, der
ligger bag de enkelte trin i ligningsløsningen
Opgave 7 (15 %)
a. Forsikringsselskabet har 88 sælgere… Nedenstående tabel viser udsnit af data, som findes i filen kundebesøg..
Lav en grafisk præsentation, som beskriver fordelingen
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal man demonstrere, at man ved hvordan der
hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation (pindediagram eller trappediagram); men samtidig skal man vise, man behersker en
optællingsstrategi i Excel (om det er Excel der foretager optællingen eller det sker ”manuelt” skal ikke dokumenteres)
b. Fordelingen kan beskrives ved forskellige deskriptorer som fx….. Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS
og/eller regneark til statistikberegninger. Hvis fx gennemsnit beregnes anvendes enten programmel eller formel hertil
c. HR-chefen vil skrive et indlæg i internt blad. Skriv ud fra dine svar i a og b er kort indlæg hvor du..
Kommunikationskompetence, idet eleverne her skal demonstrere, at de kan skrive kontekstuafhængigt og med en bestemt målgruppe for øje. De
skal oversætte mellem matematikkens diskurs og hverdagssproget.
Opgave 8 (10 %)
a. tabellen nedenfor viser et udsnit af danske firmaers indenlandske salg .. Samtlige data er gengivet i filen indenlandsk salg.
Lav et xy-plot af data
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal eleverne demonstrere, at de ved hvordan
der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation); og vise, de behersker et programmel, der kan vise xy-plot (GRAPH; Excel, CAS)
b. Opstil en lineær model der kan beskrive udviklingen
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt modelleringskompetence. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende
CAS/Graph og bestemme (med regression) en matematisk model.
Opgave 9 (15 %)
Side 27 af 76
Matematik
a.Kommunikationsbureauerne.. gennemførte en undersøgelse. 1000 personer blev spurgt om deres køn og foretrukne medie. Nedenstående tabel
viser et udsnit af data, som findes i filen mediemonitor
Konstruer et skema som nedenstående
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. Her skal eleverne vise, at de ved hvordan de kan sortere i data og foretage optællen
(Enten pivottabel i Excel eller via CAS
b. Der skal undersøges, om der er uafhængighed mellem køn og medie. Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese og bestem de forventede
værdier, når der antages uafhængighed
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS
og/eller regneark til beregning af Chi i anden test.
c. Bestem χ 2 -teststørrelsen og vurder om der er uafhængighed
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, kommunikation og ræssonnemtskompetence. Eleverne skal her demonstrere, at de
med det rette værktøj kan beregne χ 2 -teststørrelsen, samtidig skal de ud fra de fundne data kunne ræsonnere sig frem til en konklusion
Opgave 10 (10 %)
a. Omkostningerne C ved en produktion af en vare kan.. Hele produktionen kan afsættes, derfor er omsætningen… Overskuddet bestemmes som
overskud = omsætning - omkostning
Gør rede for, at overskuddet P kan beskrives ved funktionen P(x) =… og bestem ved hvilken afsætning overskuddet er størst
Modelleringsskompetence, symbol og formalisme og ræsonnement (evt. hjælpemiddel). Opgaven angår VØ. Eleverne skal vise, de kan håndtere
formler (der skal sættes en minusparentes og ændres fortegn) eller anvende CAS-værktøj. Til bestemmelse af maksimum skal de ræsonnere sig frem
til f’(x) skal give 0 eller anvende programmel hertil
b. Bestem intervallet for afsætningen hvor overskuddet er positivt
Modelleringsskompetence, Problembehandling og tankegang (evt. hjælpemiddel). Opgaven angår VØ. Eleverne skal vise, de kan opstille en ulighed
og løse denne enten via programmel eller håndtere formler…
Opgave 11A (10 %)
a. En nystartet virksomhed opretter et lån, der tilbagebetales….
Redegør for, at den månedlige ydelse er …
Hjælpemiddel- og tankegangskompetence (evt. symbol- og formalisme). Opgaven angår rente- og annuitetsregning. Eleverne kan vælge at gøre brug
af formler og indsætte heri - alternativt kan anvendes CAS/Excel. For at løse opgaven
b. Bestem restgælden umiddelbart efter betaling af ..
Hjælpemiddel- og evt. symbol- og formalisme. Her kan fx anvendes regneark med amortiseringsplan eller restgældsformlen.
Side 28 af 76
Matematik
Opgave 11B (10 %)
a. Kommunikationsbureauerne gennemførte en undersøgelse. 1000 personer blev spurgt om deres køn og foretrukne medie. Nedenstående tabel
viser et udsnit af data, som findes i filen mediemonitor
Den stokastiske variabel X er binomialfordelt X b(n,p), hvor p angiver..
Estimer andelen p
Formel og symbolkompetence. Her skal eleverne vise, at de kan tolke matematisk symbolsprog og efterfølgende anvende en formel
b. En tidligere undersøgelse viser
Bestem et 5 % -konfidensinterval for andelen p og vurder om …
Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. Her skal enten Excel eller et CAS-program anvendes/en formel.
Side 29 af 76
Matematik
Kompetencerepræsentation forår 2012 i eksamensopgaver vejledende opgavesæt 2 mat B3
Opgave 1 (5 %)
Gør rede for at X = 2 er løsning til ligningen
Tankegangskompetence, da eleverne skal vise, at man kan dokumentere at en løsning er korrekt ved at indsætte den oplyste løsning. Alternativt kan
ligningen løses, da den er af en sådan beskaffenhed, at den kan løses uden hjælpemiddel
Opgave 2 (5 %)
Tegn grafen for funktionen f, idet det oplyses at Dm, Vm, monotoniforhold…
Repræsentationskompetence, da eleverne skal kunne se sammenhæng mellem en funktionsforskrift og en graf
Opgave 3 (5 %)
En virksomhed har anskaffet en maskine, der afskrives over 8 år. Værdien kan fastsættes ved den lineære funktion V(x) = …
Forklar betydningen af tallene i forskriften
Modelleringskompetence, da der er tale om en tekstopgave, der knytter sig til afskrivning efter den lineære metode i VØ
Opgave 4 (5 %)
Funktionen f - 3. gradspolynomium, er givet. Bestem f’(x)
Symbol- og formalismekompetence, da eleverne skal demonstrere, de kender formlen til differentiation af polynomier (paratviden)
Opgave 5 (5 %)
En virksomhed afsætter hele sin produktion. Omkostningerne er givet ved forskriften,
Break-evenpunktet angiver hvor de samlede omkostninger og omsætningen er lige store
Bestem break-evenpunktet. (Graf for omsætning og de samlede omkostninger er vist. Værdien kan ikke aflæses præcist)
Modellering (ligning + beregning) + repræsentationskompetence, da der er tale om en tekstopgave der indeholder begreber fra VØ. Funktionerne er
vist som såvel graf som forskrift.
Opgave 6 (10 %)
a. Reducer udtrykket… ved hjælp af et CAS-værktøj
Hjælpemiddelskompetence, da eleverne skal demonstrere, at de kan anvende et CAS-værktøj
b. Ligningen .. er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives.
3
Kategoriseringen af opgaverne er ligeledes diskuteret med Jane Brandsborg, Learnmark Horsens, Hans Mortensen og Tina Nørrelykke, Skive, og Tina Sneholm
Andersen, Tietgenskolen
Side 30 af 76
Matematik
Kommunikations- og ræsonnementskompetencen idet der ikke skal regnes, men forklares. Samtidig skal angår redegørelsen de ræsonnementer, der
ligger bag de enkelte trin i ligningsløsningen
Opgave 7 (5 %)
Overskuddet P for en produktion kan bestemmes ved en funktion med forskriften…
Bestem i hvilket interval overskuddet er positivt
Modellering, hjælpemiddel - og repræsentationskompetence (forskrift-graf) idet der skal demonstreres forståelse af sammenhængen mellem
funktionens forskrift og graf/nulpunkter. Opgaven er en tekstopgave med begreber fra VØ - endelig er det oplagt at anvende CAS-program (eller
formel/symbol) hertil
Opgave 8 (20 %)
a. Tønder festival lavede en undersøgelse af 526 festivalsgæster forbrug på festivalen. Dataene fremgår af filen festival
Lav en grafisk præsentation af dataene
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal man demonstrere, at man ved hvordan der
hensigtsmæssigt ud fra en tabel at udarbejde en grafisk præsentation (histogram eller sumkurve); men samtidig skal man vise, man behersker en
optællingsstrategi i Excel og ikke mindst en grupperingsmetode. (Om det er Excel/CAS der foretager optællingen eller det sker ”manuelt” skal ikke
dokumenteres)
b. Fordelingen kan beskrives ved forskellige deskriptorer som fx….. Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS
og/eller regneark til statistikberegninger. Hvis fx gennemsnit beregnes anvendes enten programmel eller formel hertil
c. Antag at det beløb, der blev brugt, er normalfordelt med et gennemsnit på og en spredning σ på..
Gør rede for at sandsynligheden for at en festival gæst højest bruger…
Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol da eleverne skal kunne anvende enten Excel eller CAS-program eller sandsynllighedspapir til
løsning af opgaven. Samtidig skal de være i stand til at tolke tegnene of formlen.
d.
Skriv ud fra dine svar i a, b og c en kort konklusion til ledelsen af Tønder Festival og redegør for hvad dine beregninger viser.
Kommunikationskompetence, idet eleverne her skal demonstrere, at de kan skrive kontekstuafhængigt og med en bestemt målgruppe for øje. De
skal oversætte mellem matematikkens diskurs og hverdagssproget.
Opgave 9 (5 %)
Side 31 af 76
Matematik
Forskriften for en funktion er givet ved f(x) = (polynomium af 3. grad)
Bestem f’(x) og gør brug heraf til bestemmelse af funktionens to ekstrema
Hjælpemiddel og/eller formel symbolkompetence/tankegang, idet eleverne enten skal kunne anvende CAS program til beregning af f’(x) og herefter
bestemme ekstrema (evt. vha. graf). Alternativt kan funktionen differentieres manuelt og 2. gradsligningen løses med nulpunktsformlen.
Eleverne skal vide, ekstrema findes hvor f’(x) giver 0 - dvs. kunne ræsonnere
Opgave 10 (15 %)
a. En virksomhed producerer varer på to maskiner og opdeler produktionen i 1. og 2. sortering.
Virksomheden vil undersøge om kvaliteten afhænger af hvilken maskine, der er brugt, så de udtager en stikprøve af produktionen.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen maskiner
Konstruer et skema som nedenstående
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. Her skal eleverne vise, at de ved hvordan de kan sortere i data og foretage optællen
(Enten pivottabel i Excel eller via CAS
b. Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS
og/eller regneark til beregning af Chi i anden test. Evt. beregnes forventede værdier med en formel herfor
c. Kan det antages, at der er uafhængighed mellem kvalitet og maskine?
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence og tankegangskompetence. Eleverne skal her demonstrere, at de med det rette værktøj
kan beregne χ 2 -teststørrelsen, samtidig skal de ud fra de fundne data kunne ræsonnere sig frem til en konklusion
Opgave 11 A (10 %)
a. På www.boligsiden.dk findes en oversigt over kvadratmeter pris og… Nedenstående oversigt viser et udsnit heraf. I filen boliger findes data .. Lav
et xy-plot af dataene
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal eleverne demonstrere, at de ved hvordan
der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation); og vise, de behersker et programmel, der kan vise xy- plot (GRAPH; Excel, CAS)
b. Udviklingen af prisen kan beskrives ved en model f(x) = bax
Estimer en model og bestem værdien af parametrene a og b
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, modellerings- og formel-symbolkompetence (kommunikation. I denne opgave skal
eleverne vise, de evt. kan anvende CAS/Graph og bestemme (med regression) en matematisk model. Samtidig skal de kunne oversætte den
eksponentielle model til hverdagssprog, hvor værdierne skal fortolkes (forklares). For at kunne dette, skal eleverne have forståelse for formlen
(forskriften) for denne funktionstype
Opgave 11 B (10 %)
Side 32 af 76
Matematik
a. En virksomhed producerer to lommelygter… Dækningsbidraget er hhv. kr… Funktionen F(x,y) = ax + by angiver det samlede DB
Bestem forskriften for funktionen
Modelleringsskompetence, symbol. Opgaven angår VØ og lineær programmering. Eleverne skal vise, de kan oversætte VØ til matematik og opsætte
en simpel forskrift
b. Produktionen er underlagt en række betingelser givet ved følgende…. Disse resulterer i polygonområder, der er vist her.
Bestem det størst mulige samlede DB
Modelleringsskompetence og tankegang. Opgaven angår VØ. Eleverne skal vise, de enten kan beregne værdier i hjørnepunkterne eller tegne
niveaulinjer der maksimeres. Spørgsmålet angår ikke produktionssammensætningen; men beregning af DB, så der skal argumenteres for metode og
konkluderes. Tankegangen ved løsningen skal fremgå
Opgave 11C (10 %)
a. Ludvig indsatte følgende beløb på en konto, som….
Redegør for, at Ludvig kunne hæve…. …
Formel og symbol samt hjælpemiddel. Opgaven angår rente- og annuitetsregning. Eleverne kan vælge at gøre brug af formler og indsætte heri alternativt kan anvendes CAS/Excel. For at løse opgaven
b. Bestem den gennemsnitlige rente
Formel og symbol samt hjælpemiddel da, formlen for gennemsnitlig rente skal i spil - alternativt kan man ræsonnere sig frem til svaret
Prøven med hjælpemiddel har følgende kompetencer i spil:
Sæt 1:
Hjælpemiddelskompetence - Kommunikations- og Ræsonnement
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol.
Kommunikationskompetence
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt modelleringskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol. (Databehandlingskompetence)
Hjælpemiddelskompetence, kommunikation og ræssonnemtskompetence.
Modelleringsskompetence, symbol og formalisme og ræsonnement (evt. hjælpemiddel).
Modelleringsskompetence, Problembehandling og tankegang (evt. hjælpemiddel).
Hjælpemiddel- og tankegangskompetence (evt. symbol- og formalisme).
Hjælpemiddel- og evt. symbolog formalisme
Formel og symbolkompetence. …
Hjælpemiddelskompetence, samt formel og symbol.
Side 33 af 76
Matematik
Sæt 2:
Hjælpemiddelskompetence
Kommunikations- og ræsonnementskompetencen
Modellering, hjælpemiddel - og repræsentationskompetence (forskrift-graf)
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol.
Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol
Kommunikationskompetence
Hjælpemiddel og/eller formel symbolkompetence/tankegang
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt evt. formel og symbol (Databehandlingskompetence)
Hjælpemiddelskompetence og tankegangskompetence
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence.
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, modellerings- og formel-symbolkompetence (kommunikation)
Modelleringsskompetence, symbol.
Modelleringsskompetence og tankegang.
Formel og symbol samt hjælpemiddel
Formel og symbol samt hjælpemiddel
Side 34 af 76
Matematik
Kompetencerepræsentation juni 2012 i eksamensopgaver matematik
Opgave 1 (5 %)
Funktionen f er givet ved. Bestem f’(x)
Symbol- og formalismekompetence, da eleverne skal demonstrere, de kender formlen til differentiation af polynomier (paratviden)
Opgave 2 (5 %)
Efterspørgslen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion.. (graf vises)
Bestem prisen pr kg og en forskrift for funktionen
Modelleringskompetence, da der er tale om en tekstopgave, der knytter sig til afskrivning efter den lineære metode i VØ samt Repræsentation da
grafen indgår og kan anvendes til bestemmelsen
Opgave 3 (5 %)
Undersøg om X = 4 er løsning
Tankegangskompetence, da eleverne skal vise, at man kan dokumentere at en løsning er korrekt ved at indsætte den oplyste løsning. Alternativt kan
ligningen løses, da den er af en sådan beskaffenhed, at den kan løses uden hjælpemiddel
Opgave 4 (5 %)
Prisen på en pose kaffe er givet som.. Kan beskrives ved p med forskriften p(x) = eksp. Funktion. Forklar betydning
Kommunikationskompetence, idet der skal oversættes fra fagsprog til hverdagssprog. Symbol og formalisme, idet parametrenes betydning i
forskriften skal kendes
Opgave 5 (5 %)
Der vises et polygonområde og oplyses forskrift for funktion i to variable. Maksim skal bestemmes
Modellering + repræsentationskompetence, da der er tale om en tekstopgave og funktionen i to variable skal evt. omskrives
Opgave 6 (10 %)
a. Isoler F … ved hjælp af et CAS-værktøj
Hjælpemiddelskompetence, da eleverne skal demonstrere, at de kan anvende et CAS-værktøj
b. Ligningen .. er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives.
Kommunikations- og ræsonnementskompetencen idet der ikke skal regnes, men forklares. Samtidig skal angår redegørelsen de ræsonnementer, der
ligger bag de enkelte trin i ligningsløsningen
Side 35 af 76
Matematik
Opgave 7 1(5 %)
a. En børnetøjsforretning lavede en undersøgelse af 0. Dataene fremgår af filen dankort..
Lav en grafisk præsentation af dataene
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal man demonstrere, at man ved hvordan der
hensigtsmæssigt ud fra en tabel at udarbejde en grafisk præsentation (histogram eller sumkurve); men samtidig skal man vise, man behersker en
optællingsstrategi i Excel og ikke mindst en grupperingsmetode. (Om det er Excel/CAS der foretager optællingen eller det sker ”manuelt” skal ikke
dokumenteres)
b. Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS
og/eller regneark til statistikberegninger. Hvis fx gennemsnit beregnes anvendes enten programmel eller formel hertil
c.
Skriv ud fra dine svar i a og b en kort sammenfatning til indehaveren, hvor du præsenterer undersøgelsens resultater og betydningen af disse
Kommunikationskompetence, idet eleverne her skal demonstrere, at de kan skrive kontekstuafhængigt og med en bestemt målgruppe for øje. De
skal oversætte mellem matematikkens diskurs og hverdagssproget.
Opgave 8 (5 %)
De variable omkostnigner C og omsætningen R kan… Dækningsbidraget DB kan bestemmes som.. en funktion med forskriften…
Gør rede for at DB kan beskrives som .. og bestem den afsætning, der giver det største db
Modellering, hjælpemiddel - og repræsentationskompetence (forskrift-graf) idet der skal demonstreres forståelse af sammenhængen mellem
funktionens forskrift og graf/nulpunkter. Opgaven er en tekstopgave med begreber fra VØ - endelig er det oplagt at anvende CAS-program (eller
formel/symbol) hertil
Opgave 9 (10 %)
a. Tabellen viser et udsnit af antal ansatte… .. Lav et xy-plot af dataene
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence samt repræsentationskompetence. Her skal eleverne demonstrere, at de ved hvordan
der hensigtsmæssigt ud fra en tabel kan laves en grafisk præsentation); og vise, de behersker et programmel, der kan vise xy- plot (GRAPH; Excel, CAS)
b. Udviklingen af prisen kan beskrives ved en model f(x) = bax Estimer modellen og estimer antallet af ansatte i
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, modellerings- og formel-symbolkompetence (kommunikation. I denne opgave skal
eleverne vise, de evt. kan anvende CAS/Graph og bestemme (med regression) en matematisk model. Samtidig skal de kunne oversætte den
Side 36 af 76
Matematik
eksponentielle model til hverdagssprog, hvor værdierne skal fortolkes (forklares). For at kunne dette, skal eleverne have forståelse for formlen
(forskriften) for denne funktionstype
Opgave 10 (15 %)
a. Virksomheden ECCO inddeler deres kollektion i tre kategorier.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen ecco
Konstruer et skema som nedenstående
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence. Her skal eleverne vise, at de ved hvordan de kan sortere i data og foretage optællen
(Enten pivottabel i Excel eller via CAS
b. Bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence, samt evt. formel og symbol. I denne opgave skal eleverne vise, de evt. kan anvende CAS
og/eller regneark til beregning af Chi i anden test. Evt. beregnes forventede værdier med en formel herfor
c. Kan det antages, at der er uafhængighed mellem kvalitet og maskine?
(Databehandlingskompetence) Hjælpemiddelskompetence og tankegangskompetence. Eleverne skal her demonstrere, at de med det rette værktøj
kan beregne χ 2 -teststørrelsen, samtidig skal de ud fra de fundne data kunne ræsonnere sig frem til en konklusion
Opgave 11 A (10 %)
Forskriften for en funktion er givet ved f(x) = irrationel funktion)
Funktionen kan beskrives ved følgende analysepunkter… Bestem funktionen ud fra 2 af de nævnte analysepunkter
Hjælpemiddel og/eller formel symbolkompetence samt repræsentation, idet eleverne enten skal kunne anvende CAS program til
beregning/bestemmelse af nulpunkter og eller af f’(x)
b Tegn grafen for f
Hjælpemiddel samt repræsentationskompetence idet eleverne med CAS/IT skal tegne en graf (
Opgave 11 B (10 %)
a. Peter optager et lån…
Redegør for, at ydelsen
Formel og symbol samt hjælpemiddel. Opgaven angår rente- og annuitetsregning. Eleverne kan vælge at gøre brug af formler og indsætte heri alternativt kan anvendes CAS/Excel. For at løse opgaven
b. Gør rede for at restgælden… og bestem ydelsen
Formel og symbol samt hjælpemiddel da, formlen for gennemsnitlig restgæld skal i spil - eller alternativt regneark med amortiseringsplan
Side 37 af 76
Matematik
Opgave 11C (10 %)
En virksomhed har udtaget 195 enheder. Af disse er der fejl .. Bestem den estimerede andel med fejl
Hjælpemiddel og formel symbolkompetence da der skal anvendes lommeregner og formler
Undersøg ved et 95 % konfidensinterval om..
Hjælpemiddel og formel symbolkompetence da der skal anvendes lommeregner/CAS-program og formler
Side 38 af 76
Matematik
Bilag M5 Udkast Oversigt over matematiske faglige genrer - formidlingsskrivning
Emneopgaver
Anvendelse
Udgangspunkt for mundtlig
eksamen
Afslutning og opsamling på et
emne
Præsentation af faget i
samspil
Opgaver uden
hjælpemiddel
Opgaver med hjælp
Studieretningsprojekt (SRP)
Studieretningsopgave
(SRO)
Emneopgaver
Projekter - fagligt samspil
(SO1)
Skriftlig eksamen
Træning af
paratviden/grundlæggende
forståelse
Afleveringsopgaver
Træning i timerne
Hjemmearbejde
4
Projekter - SO1, sro, srp
Fagligt samspil
Kan være formaliseret men også uformelt
(samarbejde med VØ fx omkring
afskrivning, optimering og lign - samarbejde
med IØ vedr. prognoser - samarbejde med
AØ omkring spørgeskemaer)
Større projekt og caseforløb i SO1 (krav)
Input
Undervisningsforløb lærergennemgang
Lærebøger
Noter fra lærer/elevernes egne
noter
Skift fra eksperimenterende
(undersøgende) til aksiomatisk
opbygning med sætninger/beviser
ved overgang fra C til B og A
Selvstændig
informationssøgning efter:
 Udviklingsforløb
(omsætning og
lign)
 Statistisk
materiale
 Matematisk
modellering
Udleverede opgaver
Opgaver i lærebog
Opgaver i timerne - fælles på
tavlen eller individuelt
Opgaver fra lærebog
Eksamensopgaver
Faste eksempler
 Forklar hvad forskriften
fortæller/opstil forskrift
der viser
 Vis ? er løsning
 Differentier funktionen
 Bestemmelse af fx T2,
maksimum, nulpunkter
eller lignende(kan
aflæses, men bør
Opdelte opgaver der
ikke skrives sammen
Springes rundt i det
meste af kernestoffet
Der indgår fast:
Modellering
Kommunikation
Databehandling (ofte)
I forbindelse med nye
emner trænes disse ellers varieres mellem
opgavetyperne for at
vedligeholde læringen
Oftest lærerundervisning/præsentation af det
kernestof, der skal indgå i projektet. (Kan være
over en længere periode)
Kernestof indtænkes så vidt muligt
hensigtsmæssigt i casen/projektet (gæld,
prognoser, pris-afsætning, afskrivning etc.)
Oftest søgning på nettet efter data og
information
Projekter kan også være
casebaseret (SO1)
Struktur
4
Afhænger meget af lærerens valg:
Ex 1.:
Eleverne præsenteres for konkrete
”regnespørgsmål” samt konkrete
”teoretiske spørgsmål” - svarene
udgør emneopgaven
Ex. 2
Lærer og elever udarbejder en
mindmap eller lign, med muligt
indhold indenfor emnet. Visse
elementer skal indgå i opgaven -
Lærerformuleret eller
selvstændigt formuleret
problemformulering med
stigende taksonomi:
 Redegørelse
 Analyse
 Vurdering
Tendens til skifte fra Bloom
til Solotaksonomi, hvor det
er sagen der er central og
Strukturen er ofte fagopdelt - reelt fremgår
fagene ofte tydeligt i projekterne..
Se særskilt påbegyndt oversigt
Side 39 af 76
Matematik
andre er valgfrie. Den enkelte elev
vælger de elementer
vedkommende magter/ønsker at
medtage.
Ofte indgår et modelleringsaspekt
ikke faget
Kompleksiteten i matematik
legaliserer
redegørelse/beskrivelse kan
være ”højt niveau”
beregnes)
Fokus
Emnet - centrale elementer
Faglige elementer samt
modellering
Virksomhed,
branche, marked eller teori
Færdigheder - matematiske
grundbegreber
Træning af de otte
matematiske
kompetencer og
kernestof generelt
Faglige samspil - eleverne skal erkende
fagene understøtter hinanden
Fremstillingsform
Afhænger af lærer
Oftest rapportform - 8 - 10 - 12
sider.
Forside og indholdsfortegnelse
Kan være individuel - ok gruppe
Mindmap kan godkendes som
emneopgave
Redegørelse
Analyse
Diskussion
Vurdering
Ofte kort - fokus på
demonstration af færdigheder
samt matematisk notation
Vekslen mellem matematisk
symbolsprog og dagligsprog
Veksling mellem
matematisk
symbolsprog (primært
på B og C) og
hverdagssprog (som
accepteres på C)
Varieret fra
Rapporter
Synops
PowerPoint
Mundtlige fremlæggelser
Gruppefremlæggelser
Omfang
Varierende –
4 timers elevtid
SRP: 15-20 sider
2 ugers elevtid
Andre projekter: varierende
1 - 2 A4sider hvis eksamen
ditto ved aflevering/træning
Varierende omfang
Afleveringsopgaver ca
3 timer
Træningsopgaver varierende
Varierer - fra en time til uger
Noteapparat
Henvisninger hvis andre materialer Noter med
end lærebogen og lærernoter
kildehenvisninger
Hvis lånte opgaver (andre i
klassen)
Ingen noter
Gængse
Kildeliste
Henvisning til bøger/hjemmesider - Krav sidst i rapporten
andre end de klassen anvender
Ingen
Ved rapporter krav
Projekter med data fra nettet
Side 40 af 76
Matematik
Typiske
formuleringer

a) "Opstil en
b)
c)
matematisk
model der …"
"Redegør for
hvordan
matematik kan
…og vurdér
hvorvidt"
"I Bilag 1 ses
en……. Vis
hvordan man kan
…"
 Løs ligningen
 Vis at…
 Bestem….
Se andet
dokument
Bydeform
Bilag M6 - stillads generelt til ”Den gode besvarelse af opgaver i matematik.”
Den gode besvarelse af opgaver i matematik.
En besvarelse af et delspørgsmål i en matematikopgave skal som regel opbygges sådan:
1. Præsentation af væsentlige matematikbegreber, der skal bruges.
Eksempler:
 f(x) = 4x3 - 2x
 x = antal kilo foder, f(x) = pris pr. kg.
 X = antal defekte enheder i stikprøven
2. Skriv hvad der skal bestemmes:
 Nulpunkterne for f:

=
 Skæringspunkterne mellem graferne f og g bestemmes:
 Differentialkvotienten for f:
 Det største overskud beregnes:
Side 41 af 76
Matematik
3. Skriv hvordan det ønskede bestemmes:
 Ligningen opstilles og løses!
 Differentialkvotienten beregnes!
 Grafen tegnes, der aflæses og der illustreres på grafen!
 Toppunktet beregnes!
 Sandsynligheden beregnes ved brug af CAS/Excell!
 Forskrift for dækningsbidrag bestemmes!
Der henvises til anvendt IT-værktøj.
 Med WordMat:
 Med Nspire:
 Eller lignende.
4. Svar og konklusion
 Overskuddet er positivt, når afsætningen er mellem 100 og 550 stk.
 Da middeltallet ̅
ligger i det beregnede konfidensinterval, kan middelværdien i populationen antages at være 47 kg.
 x = 85
 Altså er f voksende i inervallet [10 ; 20]
 Den årlige procentvise stigning i befolkningstallet 2 %.
Ovenstående er en generel beskrivelse, der ikke altid passer på alle punkter.
Gode råd


Brug matematikord
Skriv forklarende tekst til alle udregningerne/illustrationerne
Side 42 af 76
Matematik
f.eks. forklares hvad mean betyder efter følgende udskrift
mean = 716,85
”mean er middeltallet, som kan beregnes ved, at alle observationer lægges sammen og divideres med det samlede antal
observationer”
 Brug en matematikeditor og brug symbolerne rigtigt
f.eks.
Skriv og ikke 2/3
Skriv x2 og ikke x^2

Brug dobbeltpil hvis der er flere ræsonnementer på en linje
eller skriv kun et ræsonnement pr. linje





Hvis du bruger andre betegnelser end dem i opgaveteksten, så skriv det.
Husk enheder, fx kr. og lignende i løsningen
Lav koordinatsystemer og grafer omhyggeligt, med benævnelse af akser og angivelse af enhed
Kontroller dine resultater.
Giv et tekstsvar på en tekstopgave
Side 43 af 76
Matematik
Bilag M7 Udklip vedrørende baggrunden for matematikopgaverne til eksamen - med fokus på ”Ny
Skriftlighed”
Side 44 af 76
Matematik
Bilag M9 Matrixoversigt - kompetencer i eksamensopgaver matB
(efterår 2011 E11, forår 2012 F12, eksamen juni 2012 J12)
regningsarterne
s hierarki;
potens; løsning
ligninger
funktioner i to
variable: lineær
program.
det generelle
funktionsbegre
b, lineære,
polynomier,
eksponentielle,
funktioner,
potenslogaritme
Modellering
F12-4
F12-5
J12-8,9b
F12-11Ba,b
J12-5
E11-2, 4, 5, 8b,
10a, b
F12-5, 7,11Ab
J12-2,8
Ræsonnement
E11-6b
F12-6b
J12-6b
Problembehandli
ng
Tankegang
E11-8a
F12-11Aa
J12-9a,b
beskrivende
statistik,
udtræk af data,
konstruktion af
tabeller og
grafisk
præsentation af
data; Chi-ianden test
grundlæggende
sandsynlighedsr
egning binl- og
normalford,
konfidensinterv
aller for
sandsynligheds
parameteren og
middelværdien.
E11-7a,b, 9a,b
F12-10a,b,c,11Aa
J12-7a,b, 10a,b,c
E11-11Ba,b
F12-8c,11Ca,b
J12-11Ca,b
E11-10b
E11-3
F12-1
J12-1
Repræsentation
E11-3
kommunikation
E11-6
F12-6b
J12-6b
E11-6
F12-6a
J12-6a,8
Databehandling
procentregning,
indekstal
rentesog
annuitetsregnin
g
E11-9c,
F12-11Ba,b
E11-5, 10b
J12-5
E11-10a,
F12-9,11Ab
J12-4
E11-2, 4, 5
F12-2, 5, 11Aa
J12-1, 8
J12-4
Symbol og
formalisme
Hjælpemiddel
Kernestof ifølge læreplan
xy-plot af
differentialregni
datamateriale
ng: def. fortolk
og samt
af diff. monoton
anvendelse af
ekstrema,
regression
optimering og
sammenhæn ml
disse og diff
+tangentens
ligning
E11-8b
F12-11Ab
J12-8
E11-8b
F12-11Aa
J12-9a,b
E11-11Aa
E11-8a
F12-11Aa
J12-9a,b
E11-8a
F12-11Aa
J12-9a,b
E11-8a
F12-11Aa
J12-9a,b
E11-1
F12-3
J12-1, 11Aa
J12-11Aa,b
J1211Aa,b,11Ba,b
E11-11Aa,b
F12-8b,
J12-11Ba,b
E11-7a,9b
E11-11Ba,b
F12-8c,11Ca,b
J12-11Ca,b
E11-7a
J12-7a,b
E11-11Aa,b
J12-11Ba,b
E11-7c, 9c
F12-8d
J12-7c
E11-9a, b
F12-8a,b,10a,b,c
J12-7a,b, 10a,b,c
E11-7a,b, 9a,b
F12-10a,b,c,11Aa
J12-7a,b, 10a,b,c
E11-11Ba,b
F12-8c,11Ca,b
J12-11Ca,b
Side 45 af 76
Matematik
Bilag M10 Eksempel på udvidet kompetenceoversigt til matematik
Side 46 af 76
Matematik
Side 47 af 76
Matematik
Side 48 af 76
Matematik
Bilag M11 Sammenhæng mellem kompetenceblomst og mål for matematik
Side 49 af 76
Matematik
Bilag M12 Kompetencebeskrivelse i matematik jf. Komrapporten
Side 50 af 76
Matematik
Bilag M13 Eksempel på skrivedidaktiske øvelser oplæg opstart
Side 51 af 76
Matematik
Bilag M14 Matematik - diskursbegreb - oplæg Fællesmøde
Fagdiskurser regulerer, hvad der anerkendes som faglige udsagn
- at beherske diskursen er at etablere faglig identitet
fx ”Jeg slår en streg” [Lærerkommentar:] Nej. Du tegner grafen for en
line r funktion…”
Fx ”Apparatet slår ud til venstre, når den puttes i ” [Lærerkommentar:]
Nej. Amperemeteret slår ud til venstre, dvs. strømstyrken…. når
magnetens pol….
Nogle siger: Lad være med at bruge ukendte ord, når 10 andre almindelige ord, som
elever kender, kan forklare det. Gør det så simpelt som muligt.
Forskere konkluderer: Sproget skal læres korrekt – ellers får man ikke lært
naturvidenskaben.
Der benyttes nogle ord med særlig betydning – disse ord skal forklares, så eleverne
forstår dem – på rette tid og rette sted.
Fx ”På trods af at arbejdsløsheden er faldet imponerende siden den argentinske
krise, antager man at 25 pct. af befolkningen stadig lever i fattigdom. Som tidligere
nævnt ligger arbejdsløsheden på omkring de 8 pct., og dette niveau er egentlig
nogenlunde acceptabelt. Når Argentina har så mange fattige mennesker skyldes det
flere ting”
Fx ”Regnskabet er altså helt kanon” (SRP-opgave 2011)
Fx ” Parameteren a fortæller om grafen er glad eller sur”
Fx ”Jeg klasker lige forskriften ind i…”
Sætter fokus på hvordan sprog i brug reguleres i bestemte kontekster
Fagdiskurser regulerer hvad der tæller og anerkendes som faglige udsagn inden for
de enkelte fag
At beherske diskursen er at etablere faglig identitet
Fagfolk kender hinanden på diskursen
Fagdiskurser i gymnasiet er didaktiske versioner af videnskabsfagene
Side 52 af 76
Matematik
Bilag M15 Matematik - genrebegreb - oplæg Fællesmøde
Genrer: Hvad forventes i en given situation
• er skabeloner for struktur
• er dynamiske og funktionelle i forhold til form og indhold: tilbyder en
skabelon til at regulere alle former for socialt (læs: fagligt) samspil
• har sproglige kendetegn, der er typisk for netop de specifikke genrer
• er relativt stabile og fungerer som forventningshorisont for læseren og
en skrivemodel eller – mønster for skriveren
• er en del af fagdiskursen (kulturkonteksten): fagene privilegerer
bestemte genrer
• -valg lægger et fagperspektiv ned over tekster
I fagene dominerer forskellige skriftlige opgavegenrer
• Eksempler på overordnede opgavegenrer:
• essay, forsøgsrapport, notat, gymnasial udgave af videnskabelig
artikel
Falder dette i tråd med traditionel skrivning i naturvidenskabsfag og matematik?
• bevis, ligning, funktionsanalyse og beregning, statistisk analyse
og beregning, finansiel analyse og beregning, trigonometrisk
analyse og beregning, grafisk analyse og beregning,
formelanvendelse og beregning, modellering
•
• Genrer: Hvad forventes i en given situation (præfabrikeret skabelon)
• Valg af genrer (opgavetyper) lægger et fagperspektiv ned over teksterne
• I fagene dominerer forskellige opgavegenrer og typiske kombinationer af
skrivehandlinger
• Genrer er relativt stabile og fungerer som forventningshorisont for læseren og
en skrivemodel eller –mønster for skriveren
• Genrer er en del af fagdiskursen (kulturkonteksten); fagene priviligerer
bestemte genrer
• Eksempler på faglige opgavegenrer: essay, forsøgs-/projektrapport, notat,
journal, portfolio, videnskabelig afhandling/akademisk opgave (srp)…
Side 53 af 76
Matematik
Bilag M16 Matematik - ændrede rettestrategier - oplæg Fællesmøde
Flyt energi fra retning til vejledning
Der er forskel på at rette og give respons
Ikke alle opgaver skal rettes ens
Ikke alt skal rettes hver gang
Fokusér – og ret det, der er i fokus
Vejledning skal ’flytte noget’
Lær eleverne at skrive om og revidere
Brug ’minimal marking’
Evaluering af skr. arbejde:
Rettearbejde og responsgivning
fra summativt: ”at rette i bund”
til formativt: ”fokuseret responsgivning” = vores nye fokus
Aftal med klassen hvilke fejltyper der bliver fokuseret på
Ret det aftalte, sæt evt. prik ved resten af fejlene – så kan eleverne selv prøve at
finde fejlene
På de første to sider retter man alt – derefter kun indhold
Andre strategier
Med retteark kan eleverne selv tjekke sig selv/ hinanden inden aflevering
Skrivegrupper på 2-3
Lad eleven genskrive en del af opgaven
Lad elever føre top 10 liste over deres hyppigste fejl
Side 54 af 76
Matematik
Bilag M17 Skriftlighed i matematik
Side 55 af 76
Matematik
Bilag M18 Eksempler på ændrede rettepraksis
Side 56 af 76
Matematik
Bilag M19 Eksempler på elev ”selvretter”
Elev - rette med
Alexander:
Opgave 3:
Skal skrive opgaverne op! Ved opg. 3 skulle jeg skrive at jeg skulle finde standardafvigelsen for
observationer i uge 36. Man ved ikke hvor jeg har tallene fra!
Side 57 af 76
Matematik
Bilag M20 Eksempler på elev ”selvretter”
Side 58 af 76
Matematik
Bilag M21 Eksempler på samarbejde - elevkommentarer og -repsons
1.
Jeg finder de ting som personen ikke har skrevet og som jeg føler enten mangler eller som
vi har gennemgået. Og respons modtager jeg og prøver at gøre bedre n ste gang”
Ja, - gør mit bedste for at komme med ideer/forslag som modtageren kan bruge, og retter
evt. fejl.
Jeg laver altid respons, mener det er vigtig at få lidt respons på de ting man laver. Jeg
prøver at give en god respons, men når man synes opgaver er rigtig gode er det sv rt. Så
jeg prøver at kigge meget kritisk på opgaven og siger de små ting jeg kan se. Kigger tit på
opgaven flere gange inden jeg skriver den endelige respons.
Når jeg modtager kan jeg godt tage kritik, men ikke alt for meget, så det virker til at jeg er
totalt dum, så føler jeg at jeg bliver talt ned til, og det gider jeg ikke.
2.
Først - det er en rigtig flot forside du har lavet, det ser rigtig godt ud!
I din indledning kan du skrive hvordan og hvor man støder på rentesregning og
annuitetsregning. Synes det virker som om du har rigtig meget styr på de forskellige
formler, og tror det bliver rigtig godt når du får nogle flere eksempler med! Hvad med
restgældsformlen? - Og til det med grafregneren kunne du fortælle om
finansprogrammet. Synes du skal lave brøkstreger i stedet for de der divisions tegn, når
du skriver dine formler, men det er jo små ting! Ellers kan jeg ikke find noget at
kritisere, du er jo allerede kommet rigtig langt! Skide godt!... 
3.
Opgave 4 (Denne opgave er i samarbejde med Sidsel Le Fevre)
a. Sortér dataene og opstil disse i et oversigtsskema!
Side 59 af 76
Matematik
Bilag M22 Stilladsering - Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik B –
med brug af CAS-værktøj5
En vejledning for elever, der skal til skriftlig eksamen i matematik B.
Hvad lægges der vægt på ved bedømmelsen af besvarelser af skriftlige
matematikopgaver ved studentereksamen?
Først og fremmest gælder det selvfølgelig om at løse opgaverne korrekt og
fuldstændigt. Men ikke nok med det: Du skal også formidle hele
løsningsprocessen skriftligt til din læser. Man skal kunne følge
fremgangsmåden eller tankegangen
At man løser en opgave korrekt, betyder ikke kun, at man når frem til et rigtigt
resultat, men også at det gøres ved hjælp af korrekte metoder. At opgaverne skal
løses fuldstændigt, betyder
at man skal have alt det væsentlige med og gøre arbejdet helt færdigt. (Det er fx
ikke godt nok at
kun at angive x-koordinaten til et punkt hvis opgaven gik ud på at finde et
koordinatsæt (x,y))
Også til formidlingen stilles der krav. Det overordnede krav er at din læser skal
kunne følge med i hvordan du løser opgaven. Det kræver velvalgt notation og
lay-out, omhyggelig redegørelse og dokumentation, hensigtsmæssig brug af
figurer og klare konklusioner. Hvordan disse krav kan udmøntes, er emnet
fremgår af følgende sider.
Til allersidst er der et afsnit med titlen "Gør det gode bedre". Her gives forslag til
hvordan du yderligere kan øge kvaliteten af din besvarelse. Hvorfor ikke bruge
eksamenstiden fuldt ud og sikre sig at kvaliteten bliver så høj som mulig?
Pointgivning og karakterer
Til studentereksamen vurderes din besvarelse af to fremmede censorer. Hver for
sig ser de to censorer på din besvarelse og giver point (5 point for hvert
delspørgsmål og heri indgår helhedsindtrykket). Herefter mødes censorerne,
sammenholder deres pointtal og helhedsindtryk og bliver enige om en karakter.
Pointgivningen i de enkelte delspørgsmål er ikke et enten-eller, ikke 0 eller 5.
Man kan sagtens få f.eks. 2 eller 4 point ud af de 5 mulige i et delspørgsmål.
5
Dokumentet er udarbejdet i 2009 af den såkaldte skriftlighedsgruppe på stx (Jytte Melin har revideret lidt heri for at
tilpasse hhx) http://www.uvmat.dk/skrift/SkriftlighedStxAogB/bedoemmelse010409Bword.doc
Side 60 af 76
Matematik
Uvæsentlige smuttere takseres mildere end alvorlige principielle fejl. Åbenlyse
fejl takseres hårdere end en lille fejl, du ikke selv havde mulighed for at opdage.
Hvis du fx har en graf og skal bestemme ekstrema. Får du et helt andet resultat
end det grafen viser, så bør du selv kommentere herpå.
Brug af forkerte metoder trækker også ned. Står der, man skal bestemme
ekstrema ved hjælp af f’(x) så er det ikke ok med en aflæsning.
Ikke kun fejl kan trække ned. Det samme gælder mangler. Du har måske tænkt
det hele rigtigt, men bare ikke skrevet hvordan du nåede frem til dit resultat.
Ærgerligt - et facit uden begrundelse giver i princippet ingenting! Læs derfor
dette dokument grundigt, så du i hvert fald kan hive alle de point i land som
vedrører spørgsmål du godt kan finde ud af!
Til sidst: Husk at censorer også ser på alt det gode og rigtige og omhyggelige og
med stor fornøjelse deler velfortjente point ud.
God fornøjelse med det videre arbejde med skriftlig matematik!
1 TEKST
Besvarelsen skal indeholde en tekst, der giver en klar præsentation af, hvad
den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.
1. Aflever en besvarelse, ikke blot en facitliste.
2. Begynd med en begyndelse. Hvilke relevante oplysninger giver
opgaveteksten?
Eks: f ( x)  x  3x  2
Eks: Årlig procentisk stigning: 13 %
3. Uddrag gerne det væsentlige af en lang opgavetekst.
Eks: Omkostningerne kan beskrives ved funktionen ..
4. Omformuler gerne opgavens spørgsmål og ordrer, så de i stedet indgår som
en del af et svar. Stikord
er bedre end ingenting.
Eks: Tidspunktet t hvor de to populationer er lige store, findes ved at løse
ligningen [...]
Eks: Jeg vil nu bestemme forskriften for funktionen [...]
4
2 NOTATION og LAY-OUT
Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse
med god matematisk
skik, herunder redegørelse for den matematiske notation, der indføres og
anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. Dette er især vigtig ved
Side 61 af 76
Matematik
brug af specifikke CAS-programmer, hvor der anvendes nogle specielle udtryk
(solve fx)
1. Vælg et klart og overskueligt lay-out.
2. Brug opgavens betegnelser
Eks: (Fra opgaveteksten: Tabellen viser resultater fra en undersøgelse af
omkostningerne, O(x), for en virksomhed, hvor x angiver tidspunkt efter 2008
Sammenhængen kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion.
Bestem forskriften for den linje, O(x), der bedst beskriver udviklingsforløbet
Brug opgavetekstens variable O(x) og x når arbejder videre med opgaven.
3. Forklar de betegnelser du selv indfører. Det kan let gøres i den løbende tekst.
Eks: Dækningsbidraget D(x) findes ved at løse ligningen [...]
Eks: Det samlede overskud I(x) beregnes: [...]
Eks: Hældningskoefficienten am for linjen m bestemmes: [...]
4. Inden for samme opgave kan samme bogstav ikke bruges om flere forskellige
ting. Men med små
ændringer går det:
Eks: Omkostningerne O(x er givet som… jeg bestemmer overskuddet OS(x) som…
NB! Hvis Nspire ikke skelner mellem store og små bogstaver, må du vælge
andre betegnelser, - og forklare dem.
5. Udnyt de matematiske symboler. Brug symbolerne korrekt.
Eks: Vandret brøkstreg: 2 x 3100 (Det er fx IKKE ok at skrive n=ln(Kn/K0)/ln(1+r))
Eks: Parenteser om negative tal: d  (3) 2  4  2  (5)
Eks: Differentialkvotient: f (3)   12
Eks: Eventuelt eller-tegn: x  2  x  5 , - eller skriv bare x = −2, x = 5
Eks: Eventuelt dobbeltpil: 12 x  4 x  4  8x  4  x   12 ,
eller undlad pilene og skriv bare
12 x  4 x  4
8 x  4
x   12
6. Forklar nødvendig værktøjsprogram-notation
Når Nspire f.eks. ikke kan skrive f (x) for differentialkvotienten af f (x) , så
notér det og påpeg den skrivemåden i Nspire.
7. Udtryk dig sprogligt korrekt. Brug de korrekte fagudtryk.
Eks: Ligningen løses
Eks: Funktionen er voksende/aftagende
Eks: Jeg sætter de to funktioner lig med hinanden
Eks: Tangentens røringspunkt bestemmes
Side 62 af 76
Matematik
Eks: Forskriften for funktionen er derfor ...
Eks: Jeg gør prøve ved at indsætte i ligningen
3 REDEGØRELSE og DOKUMENTATION
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde
og dokumentation
i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring
på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.
1. Forklar hvad du tænker:
Eks: Da diskriminanten til denne andengradsligning er negativ, har ligningen
ingen
løsninger.
Eks: Da fremskrivningsfaktoren er 0,88, er der tale om et fald på 12 %, idet 100 %
- 12 % =
88 % = 0,88.
Eks: Da a < 0, er parablen konkav (parablens grene vender ned).
Eks: Da x skulle ligge i intervallet [5; 10], kan løsningen x = 12 ikke bruges.
Eks: For at finde monotoniforhold for f sætter jeg først f (x) lig med 0.
2. Husk dokumentation med passende mellemregninger
Eks: (x-1)ln(x+2) = 0  x-1 = 0
. . . eller henvisning til hvordan du bruger dit værktøjsprogram:
Eks: Jeg skitserer grafen for funktionen i intervallet [4, 8] og bestemmer
minimum i dette
interval vha. Nspire, hvor jeg kan analysere grafen (se printscreen/udskrift) jf.
skitse.
Eks: Jeg laver eksponentiel regression med Nspire med tiden t som den
uafhængige variabel og æblernes vægt m som den afhængige variabel.
3. Eventuelle ekstra beregninger inden brug af nspire skal også dokumenteres:
Eks: For at tegne sumkurven beregner jeg først de summerede frekvenser F: [...]
Eks: Årstallene fra opgaven omregnes til t = antal år efter 1980, se tabel, hvor
1980 = 0
4. Det er tilladt at gætte og bruge sin intuition, men det man
gætter/fornemmer, skal dokumenteres
ved kontrol:
Eks: På tegningen ser det ud til at parablen med ligningen y  x 2  4 går gennem
de tre
Side 63 af 76
Matematik
punkter. Jeg tjekker ved indsættelse af punkterne: [...]
4 FIGURER
I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer,
og der skal
være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
1. Indsæt figurer passende steder.
2. Hvis du tegner i hånden: Husk en pil på hver koordinatakse. Pilen angiver den
positive retning.
Angiv enheder. Et enkelt 1-tal på hver akse er som oftest nok.
3. Graf med værktøjsprogram: Vælg passende vindue og akseformatering, så
alle væsentlige egenskaber
ved funktionerne vises grafisk. Hvad der er væsentligt, afhænger af opgaven
(f.eks. monotoniforhold,
ekstrema, nulpunkter, evt. asymptoter).
4. Husk benævnelser på koordinatakserne hvis opgaven vedrører noget fra det
virkelige liv.
5. Henvis til graf når du bruger den i din argumentation.
Eks: Det fundne nulpunkt for f (x) er et maksimumssted, jf. skitse af grafen.
6. Ved histogrammer og sumkurver: Førsteaksen skal være en ganske
almindelig tallinje forsynet med
Tal, der er anbragt korrekt i forhold til hinanden. Når tallene står der, er
intervallerne automatisk bestemt.
5 KONKLUSION VEDR. BESVARELSE TIL EKSAMEN
Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med
præcise konklusioner,
præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk
notation.
1. Husk konklusion
Eks: Altså: f er voksende i ]2; 4], aftagende i [4; 17] og voksende i [17;∞[.
Eks: [...] så x-værdierne er 4 og 9. Skæringspunkterne er altså (4,0) og (9,0) .
2. Svar som der bliver spurgt. Tekstspørgsmål kræver tekstsvar.
Eks: Der er altså ikke nogen tangent med hældningskoefficient 3.
Eks: Der skal altså i alt bruges 34,7 kg havregryn.
3. Gør arbejdet færdigt: Regn og reducer.
Side 64 af 76
Matematik
Eks: s  6  2
4. Overvej om et svar skal angives eksakt eller afrundet.
Eks: Den eneste løsning er x  3 .
Eks: Halveringstiden er altså 44,3 år.
5. Angiv resultater med et passende antal decimaler/betydende cifre. Hvad der
er passende, afhænger
af opgaven.
Eks: Gennemsnittet af pointtallene 23, 15, 15, 26, 16, 14 og 20 er 18,4
Eks: Fremskrivningsfaktoren er 1,0225 , 1-tallet "tæller ikke"
6. Husk benævnelse - når opgaven handler om størrelser med benævnelser
Eks: Vinklen er 76,33 (eller 76,33 grader)
Eks: Sukkerindholdet er 14 g pr. 100 g.
7. En tolkning skal relatere opgavens matematik konkret til opgavens emne.
Eks: Forskriften er f ( x)  204  1,072t . Tolkning af konstanterne i forskriften: Tallet
204
fortæller at prisen oprindeligt var på 204 kr; og fremskrivningsfaktoren 1,072
fortæller at prisen vokser med 7,2 % om året.
Eks: 3. kvartil aflæses til 4,1 kg. Det betyder at en fjerdedel af de nyfødte i denne
gruppe
vejede over 4,1 kg.
8. Marker gerne et facit f.eks. med fed skrift eller dobbelt understregning.
Eks: Stiens længde er altså 233 meter .
3
1
6 Gør det gode bedre
1. Skriv kort og klart. Skriv ikke opgaven af - men de væsentlige elementer heri,
der er afgørende for løsnignen
2. Vælg den mest hensigtsmæssige metode. Undgå omveje.
Eks: Denne ligning løste jeg i spørgsmål a, så jeg genbruger resultatet: [...]
Eks: Da der er tale om produkt, der giver 0, kan nulreglen anvendes
3. Tegn gerne! Også når det ikke direkte bliver krævet.
Eks: Sammen med grafen har jeg indtegnet de to fundne tangenter.
Eks: Jf. grafen, hvor jeg har markeret aflæsningerne.
4. Kontroller dine resultater, og fortæl at du gør det.
Eks: Resultatet stemmer med grafen.
Eks: Se også bilag hvor jeg har tegnet grafen for funktionen fra min regression
sammen
med et plot af de opgivne datapunkter.
5. Vær opmærksom på sammenhæng inden for opgaven, og kommenter den!
Side 65 af 76
Matematik
Eks: Dette resultat passer godt med resultatet i forrige spørgsmål.
Eks: Det er den samme hældningskoefficient som vi fandt før, og det passer godt
med
at [...]
Side 66 af 76
Matematik
Bilag M23 - Stillads - bedømmelse pixi fra mat-it
Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt
vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt
andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier:
1. TEKST
Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation
af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.
2. NOTATION OG LAYOUT
Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god
matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og
anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden.
3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og
dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk
forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.
4. FIGURER
I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal
være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
5. KONKLUSION
Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise
konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk
notation.
Side 67 af 76
Matematik
Bilag M24 - htx råd og vink
… Der skrives meget i matematik, og som matematiklærer har man ofte en stor tavs
viden om skrivning i faget. Man ved præcis, hvornår en formulering eller brug af
notation ikke følger de gængse normer (det man kalder fagdiskursen). Som et
eksempel på fagdiskursen i matematik og de naturvidenskabelige fag, kan nævnes at
man udtrykker sig objektivt, ofte i passiv og at man benytter det akademiske ”vi”
frem for ”jeg”.
På trods af mange års uddannelse med skrivning af sådanne tekster er det imidlertid
ikke noget man sædvanligvis er bevidst om systematisk at undervise i. Så
udfordringen nu bliver at kunne beskrive, forklare, begrunde diskurser og genrer i
fagene, samt forskellen mellem fagene. Kort sagt hvordan der kan undervises i
faglig og tværfaglig skrivning.
Skriftlige opgaver skal ikke kun skrives efter man har lært og for at dokumentere at
man har lært, men de skal bygges ind i læreprocesser så eleverne lærer at skrive for
at udvikle viden. For at kunne arbejde med skrivning på denne måde, må man være
opmærksom på, at der er to former for fagligt relevant skrivning. Den ene er
udforskende skrivning, også kaldet tænkeskrivning eller reflekterende skrivning..
Den anden type er faglig præsentationsskrivning … Disse tekster skal leve op til de
faglige genrekonventioner og tekstnormer som gælder i det givne fag, og bliver
typisk bedømt1.
Traditionelt har man i matematik arbejdet med sidstnævnte type skrivning.
Når man planlægger sin faglige skriveundervisning kan det anbefales at indlægge
øvelser, hvor eleverne undervejs gennem fx skriveøvelser, …. skal oversætte dele af
deres viden til skrift eller grafiske fremstillinger. …
Denne måde at hjælpe eleverne i gang med en opgave, og støtte dem i at ”knække
koden” for fagsprog og terminologi kaldes stilladsering.
I udfærdigelse af skriftlige materialer er den sproglige korrekthed vigtig.
Her har man som lærer et ansvar for at påpege hvor væsentligt det er, at man også i
matematikopgaver, rapporter etc. skriver korrekt mht. stavning og tegnsætning og
altid læser korrektur.
Særlig fokus skal der naturligvis være på brugen af matematiske fagudtryk og
symboler samt fornuftig brug af figurer og disses sammenhæng med teksten
.
Side 68 af 76
Matematik
Bilag M25 De 8/9 kernekompetencer i matematik - uddybende forklaring
(Komrapport)
Databehandlingskompetence
Side 69 af 76
Matematik
Tankegangskompetence
- at kunne udøve matematisk tankegang
Stille spørgsmål af matematisk art, forholde sig til mulige svar, herunder begrebers begrænsninger.
• stille spørgsmål – ”hvad er det, jeg ikke kan finde ud af?”, ”er dette et matematisk spørgs-mål?”
• være bevidst om, hvilke slags spørgsmål, der er karakteristiske for matematik og selv at kunne stille
sådanne spørgsmål
• have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes
Eksempel: Er det sandt, at man kan tegne grafen for en andengradsfunktion alene ud fra toppunktet og
kendskab til parameteren a i forskriften?
Problembehandlingskompetence
- at kunne formulere og løse matematiske problemer
Opstille og løse problemer, samt forholde sig til løsningen af problemer.
• opstille (opdage, formulere, afgrænse og præcisere) forskellige problemer, såvel ”ren” matematik ↔
matematik i anvendelse og åbne ↔ lukkede opgaver
• løse færdigformulerede matematiske problemer - egne såvel som andres
Eksempel: Hvis man kun kan tegne i planen (to dimensioner) hvordan kan man da arbejde illustrere
funktioner i to variable (tre dimensioner)?
Modelleringskompetence
- at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter
Gennemføre og vurdere matematiske modeller.
Modelleringskompetencen
• analysere virkeligheden
• matematisere (herunder begrænse) det område man vil modellere
• problemløsning
• validere
• analysere modellen og undersøge indenfor hvilke rammer den gælder
• diskutere modellen og dens resultater med andre.
Eksempel: Ud fra data for befolkning i perioden 1900 - 2010 at kunne sige noget om det forventede
befolkningstallet i år 2030.
Ræsonnementskompetence
- at kunne ræsonnere matematisk
Udføre og afgøre sandheden af matematiske beviser.
• følge og bedømme et matematisk ræsonnement (en kæde af argumenter)
• forstå hvad et bevis er, dvs afdække hovedpunkter i forhold til detaljer og teknikaliteter.
• udtænke og gennemføre matematiske ræsonnementer.
Eksempel: Ligningen e2x-4 = 1 er løst nedenfor. Forklar de enkelte trin i løsningen
Repræsentationskompetence
- at kunne håndtere forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold
Forstå og anvende forskellige repræsentationer af f.eks. størrelser, fænomener osv.
• betjene sig af forskellige repræsentationer af samme matematiske begreb givet ved f.eks. symbol, tal,
billede, geometri, graf, diagram, tabel….
• forbinde repræsentationerne og oversætte i mellem dem.
• afgøre hvilke styrker og svagheder en repræsentation har.
Eksempel: Tegne en graf ud fra en funktionsforskrift
Side 70 af 76
Matematik
Symbol- og formalismekompetence
- at kunne håndtere matematisk symbolsprog og formalisme
Forstå og håndtere symbol- og formelsprog.
• afkode symbol- og formelsprog
• oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og alm. sprog
• behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk.
Eksempel: konkludere hvilken punktmængde, der fremstilles ved ligningen: 2x+4>3x-5
Eksempel: ud fra kendskab til regnearternes hierarki kunne udregne:
√
Kommunikationskompetence
- at kunne kommunikere i, med og om matematik
Udtrykke og forstå matematiske forhold.
• forstå og fortolke andres matematikholdige udsagn
• udtrykke sig i et præcist matematisk sprog - kendskab til fagets diskurs
• formidle et matematisk emne dvs. kunne få budskabet ud! (Differentieret i forhold til modtageren)
Eksempel: Ud fra statistiske beregninger kunne forklare betydningen heraf i hverdagssprog (oversætte fra
matematik til hverdagssprog)
Hjælpemiddelkompetence
- at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed,
herunder it.
Kende til og gøre brug af hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde.
• kende til eksistens og egenskaber ved forskellige redskaber
• forstå redskabernes muligheder og begrænsninger
• betjene hjælpemidler og reflektere over resultatet
Eksempel: Lommeregner, computer: software som for eksempel regneark, geometriprogram-mer, men
også formelsamling, passer, vinkelmåler etc.
Databehandlingskompetence
- at kunne indsamle og bearbejde data bl.a. ved brug af it.
Kende til og gøre brug af elektroniske hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde.
• sortere og optælle indsamlede data fx opstille krydstabeller
• foretage beregninger og opstille grafer/diagrammer ud fra indsamlede data
• foretage diverse tests på data - og konkludere herpå
Eksempel: Ud fra en række indsamlede data i en Excel-fil vurdere om der er uafhængighed mellem de
indsamlede data (chi i anden test)
Eksempel: Ud fra en række data opstille og vælge den funktionsforskrift, der bedst kan beskrive
udviklingsforløbet
Side 71 af 76
Matematik
Bilag M26 Eksempler på eksamensopgaver i relation til kompetencerne
Tankegangskompetence
Eksamen Juni 2012
Problembehandlingskompetence
Eksamen Juni 2012
Side 72 af 76
Matematik
Modelleringskompetence
Ræsonnementskompetence
Eksempel eksamen juni 2012 6b)
Side 73 af 76
Matematik
Repræsentationskompetence
Eksempel eksamen juni 2012
Symbol- og formalismekompetence
Eksempel Forår 2012
Kommunikationskompetence
Eksempel eksamen juni 2012
Eksempel eksamen juni 2012 7c)
Side 74 af 76
Matematik
Hjælpemiddelkompetence
Eksempel eksamen juni 2012
Databehandlingskompetence
Eksamen Juni 2012
Side 75 af 76
Matematik
Side 76 af 76