1. No category

Side 1 af 7
2t
30 elever
2.t ÅRSPRØVE
MATEMATIK
A-NIVEAU
Mandag d. 4. juni 2012
Kl. 09.00-14.00
Side 2 af 7
Opgavesættet er delt i to dele.
Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling
Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler
Delprøve 1 består af 12 spørgsmål
Delprøve 2 består af 13 spørgsmål
Alle spørgsmål tillægges hver 10 point
Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt
I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om
eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene
beskrevet i de følgende fem kategorier:
TEKST
Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den
enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.
NOTATION og LAY-OUT
Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik,
herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres
til standardviden.
REDEGØRELSE og DOKUMENTATION
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et
passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som
et værktøjsprogram tilbyder.
FIGURER
I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig
sammenhæng mellem tekst og figurer.
KONKLUSION
Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i
et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
Side 3 af 7
Delprøve 1
Kl. 09.00 – 11.00
Opgave 1
a)
Reducér udtrykket + − + + − 2.
Opgave 2
a)
Løs ligningen
2 − 10 + 12 = 0
Opgave 3
Et andengradspolynomium er givet ved
= 3 − 12 + 8
a)
Opgave 4
Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt.
I en model kan en persons ”makspuls”, dvs. personens maksimale antal pulsslag pr. minut,
beskrives ved funktionen
= 208 − 0,7
hvor betegner personens alder i år, og betegner personens ”makspuls”.
Opgave 5
a)
Bestem ”makspulsen” for en person på 20 år.
b)
Gør rede for, hvad konstanterne 208 og 0,7 fortæller om udviklingen i en persons
”makspuls” i relation til personens alder.
Hr. Hansen kan tværs over åen fra sin hoveddør
A se et udsigtstårn P (se figur).
For at bestemme, hvor langt der er fra hans
hoveddør over til udsigtstårnet, foretager han en
opmåling.
Først går han 900 m vinkelret på sigtelinjen fra A
til P til punktet B, og fra B går han 400 m
vinkelret på AB til punktet C. Fra C går han langs
sigtelinjen fra C til P, indtil han krydser sin vej
fra A til B, og her markerer han punktet D.
Herefter måler han afstanden fra D til A, som er
600 m.
a)
Opgave 6
Hvor langt er der fra Hr. Hansens hoveddør i A til udsigtstårnet i P?
En funktion f er givet ved
= ⋅ ln , > 0
a)
Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)) .
Side 4 af 7
Opgave 7
På figuren ses grafen for en funktion f .
Det oplyses, at en af nedenstående tre grafer A, B eller C er graf for ′ .
a)
Opgave 8
Gør rede for, hvilken af de tre grafer, der er graf for ′.
To vektorer og er givet ved
= 8
3
og = −7
4
a)
Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af og .
b)
Undersøg, om vinklen mellem og er ret.
Side 5 af 7
Opgave 9
En metalplade har form som vist på figuren, hvor nogle af metalpladens mål er angivet
a)
Bestem metalpladens omkreds udtrykt ved x og y.
b)
Bestem x og y, når det oplyses, at metalpladens omkreds er 28 cm, og metalpladens areal
er 38 cm2.
Side 6 af 7
Delprøve 2
Kl. 11.00 – 14.00
Opgave 10
Mælk pasteuriseres ved varmebehandling. Tabellen nedenfor viser sammenhørende værdier
af behandlingstiden (målt i sekunder), og den temperatur (målt i °C) mælken skal behandles
med for at blive pasteuriseret.
Behandlingstid
Temperatur
15
72
59
69
146
67
362
65
571
64
900
63
I en model kan sammenhængen mellem behandlingstiden og temperaturen beskrives ved en
funktion af typen
= ⋅ hvor x er behandlingstiden (målt i sekunder), og f (x) er temperaturen (målt i °C).
Opgave 11
a)
Bestem a og b.
b)
Bestem temperaturen, når behandlingstiden er 1200 sekunder.
c)
Bestem den procentvise ændring i temperaturen, når behandlingstiden stiger med 90%.
På en skole har man opgjort det gennemsnitlige fravær for eleverne på to forskellige
studieretninger. Tabellen viser antallet af elever fordelt på studieretning og gennemsnitligt
fravær.
Studieretning\Fravær
A
B
a)
Opgave 12
0-5%
10
21
5-10%
40
57
over 10%
8
9
Opstil en nulhypotese, og undersøg, om der på et 5% signifikansniveau er forskel i
elevernes fravær på de to studieretninger.
I trekant ABC er punktet D
skæringspunktet mellem
vinkelhalveringslinjen for vinkel
B og siden AC.
a)
Bestem ∠B i trekant ABD.
b)
Bestem ∠A i trekant ABC, og bestem |AC|.
Side 7 af 7
Løs ligningen ! = 729, hvor er et komplekst tal, og beskriv den figur, der
fremkommer, når de punkter, der repræsenterer løsningerne i den komplekse talplan,
forbindes med linjestykker.
Opgave 13
a)
Opgave 14
Betragt trekant ABC i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne er repræsentanter for de
komplekse tal # = 1 + 8$, % = 12 + 5$ og ' = 10 − $.
a)
Tegn en skitse af trekant ABC i den komplekse talplan.
Trekant ABC roteres 45° omkring O i den komplekse talplan, hvorved der fremkommer en ny
trekant #( %( '(.
b)
Opgave 15
Bestem de komplekse tal, som hjørnepunkterne i trekant #( %( '( er repræsentanter for i
den komplekse talplan.
En cirkel er givet ved ligningen
− 2 + ) + 1 = 100
og en linje l er givet ved ligningen
3 + 4) − 7 = 0.
a)
Bestem afstanden fra cirklens centrum til linjen l.
Linjen m går gennem cirklens centrum og er vinkelret på l.
b)
Opgave 16
Tabellen viser prisen i danske kroner på en pakke cigaretter i en række lande i juli 2007.
a)
Opgave 17
Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen m og cirklen.
Bestem kvartilsættet for cigaretpriserne, og tegn et boksplot for fordelingen.
En funktion f er bestemt ved
= * + 8 + + 18 + 16 + 5.
a)
Bestem ′ , og bestem monotoniforholdene for f.