Matematik: Videnskaben om det uendelige 1
Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II
Klaus Frovin Jørgensen
15. november, 2010
1 / 30
Fra sidste gang (1/2)
Generelt har vi set, at:
• Et basalt element i erkendelsen er distinktionen imellem
begreber (types) og objekter (tokens)
• Ækvivalensrelationer gør det muligt at:
. Operere med begreber (types) som objekter (tokens)
. At forstå højere-ordens-objekter ved hjælp af i)
lavere-ordens-objekter og ii) den karakteristiske funktion
Mere specifikt har vi set, hvordan naturlige tal:
• Både kan være types og tokens
• Kan forstås som konceptuelle objekter
2 / 30
Fra sidste gang (2/2)
Vi siger, at ∼ er en ækvivalensrelation over D, når den er
refleksiv, symmetrisk og
transitiv, dvs. hvis det for alle
elementer i D gælder at:
Eksempler
• “har samme farve som”
• “er parallel med”
• “er lig med”
• “kongruent modulus n”
i) x ∼ x
• “er ækvipotent med”
ii) x ∼ y medfører y ∼ x
• ...
iii) x ∼ y og y ∼ z medfører
x ∼z
Vi betegner med [x ] klassen af alle elementer fra D, som er
ækvivalente med x , det vil sige:
[x ] = {y ∈ D | y ∼ x }
3 / 30
Den generiske metodes konstruktion af ækvivalensklasser
gennemsyrer – som vi nu skal se – den generiske opbygning af
tallene: N, Z, Q og R.
4 / 30
Naturlige og hele tal
• Lad N være de naturlige tal med de sædvanlige operationer +
og · og ordningen <. På basis af N kan vi konstruere de hele
tal Z.
• Definér følgende relation på N × N.
(m, n) ∼ (m0 , n0 ) ⇔ m + n0 = m0 + n
Ækvivalens mellem par reduceres til identitet mellem naturlige
tal. Derved bliver ∼ en ækvivalensrelation.
• Ækvivalensklasserne bliver (som vi senere
skal se) til de hele tal.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
5 / 30
De hele tal
• Z er kvotientstrukturen N × N /∼. Det vil sige:
Z := {[(n, 0)] | n ∈ N}
[
{[(0, n)] | n ∈ N}.
De kanoniske repræsentanter for de positive hele tal er (n, 0),
og for de negative har vi (0, n).
• Generelt skriver vi fremover m − n i stedet for [(m, n)].
Således refererer vi til en hel ækvivalensklasse ved hjælp af
i) Et kanonisk eksempel, samt (mere implicit),
ii) Den tilhørende karakteristiske funktion.
Bemærk, at den karakteriske funktion kan afgøres: Vedrører
kun lighed mellem givne naturlige tal.
6 / 30
Addition Z via tokens i N × N
Hvordan adderes to ækvivalensklasser? Baseret på addition i N
definerer vi addition i Z:
+Z : Z × Z → Z,
(m − n, r − s) 7→ (m − n) +Z (r − s) := (m +N r ) − (n +N s)
Vi skal herefter sikre os, at definitionen er veldefineret. Altså, at
+Z respekterer ækvivalensklasserne.
7 / 30
+Z er veldefineret
• Lemma. m − n = m0 − n0 og r − s = r 0 − s 0 medfører:
(m +N r ) − (n +N s) = (m0 +N r 0 ) − (n0 +N s 0 ).
• Addition i Z reduceres til (komponentvis) addition i N:
z1
z2
I
I
r −s
r 0 − s0
(m0 + r 0 ) − (n0 + s 0 )
(m + r ) − (n + s)
I
m0 − n0
I
m−n
z3
I
m0 +N r 0 og n0 +N s 0
m +N r og n +N s
I
8 / 30
Algebra, aksiomatik og den generiske metode
9 / 30
Egenskaber ved de hele tal
. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
• Z er lukket overfor addition, dvs. summen af to hele tal er et
helt tal
• Addition er associativ, dvs. a + (b + c) = (a + b) + c
• Med hensyn til addition findes der et neutralt element, altså
a+0=0+a =a
.
• Alle hele tal a har et inverst element −a, sådan at
a + (−a) = −a + a = 0
.
10 / 30
De gruppeteoretiske aksiomer
Definition. Lad G være en mængde med en binær operation · fra
G × G til G. Dette kaldes en gruppe, hvis
1
2
(x · y ) · z = x · (y · z), for alle x , y , z ∈ G
Der er et neutralt element e sådan at G:
i) e · x = x · e = x , for alle x
ii) For alle x findes der x −1 sådan at x · x −1 = e.
11 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (1/7)
e (identiteten)
r1 (90◦ rotation)
r2 (180◦ rotation)
r3 (270◦ rotation)
s0 (diag. spejlning)
s1 (vertik. spejlning)
s2 (m-diag. spejlning)
s3 (horison. spejlning)
12 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (2/7)
Lad G være mængden rotationer og spejlninger af kvadratet:
G = {e, r1 , r2 , r3 , s0 , s1 , s2 , s3 }
Hvis vi forstår · som operations-sammensætning, så er (G, ·) en
gruppe:
• G er lukket overfor operationen
• Operationen er associativ
• Der er et neutralt element i G
• Alle elementer i G har et inverst element i G
Denne gruppe kaldes D4 (tjek, at den rent faktisk er en gruppe ved
hjælp af tabellen på næste slide!)
13 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (3/7)
Af følgende tabel ses det eksempelvis af tabellen, at s1 · r1 = s2 .
Vi siger generelt, at en gruppe er kommutativ, hvis det for alle
elementer x og y i gruppen gælder, at x · y = y · x . Af tabellen ser
vi, at D4 ikke er kommutativ, da s1 · r3 6= r3 · s1 .
Men bemærk, at M = {e, r1 , r2 , r3 } er en kommutativ undergruppe
til D4 .
14 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (4/7)
Faktisk er undergruppen M en såkaldt normal undergruppe; det betyder
at x · M = M · x for alle x ∈ D4 . Eksempelvis er mængden af ‘grønne’
elementer den samme som mængden af ‘gule’ elementer. En konsekvens
heraf er, at M på følgende vis giver anledning til en ækvivalensrelation:
x ∼ y ⇔ x −1 · y ∈ M
Denne relation giver to ækvivalensklasser:
[r1 ] = {e, r1 , r2 , r3 }
[s0 ] = {s0 , s1 , s2 , s3 }
Kvotientgruppen D4 /∼ består altså af to elementer – de to
ækvivalensklasser.
Navnet ‘kvotientstruktur’ – sådan som vi i forbindelse med eksempelvis
N × N /∼ brugte det – kommer faktisk fra gruppeteorien, hvor
kvotientgrupper netop defineres på baggrund af egenskaber ved
kvotienter som x −1 · y , som også kan skrives som yx .
15 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (5/7)
D4 optræder også et andet sted i
matematikken. For vi kan også se på følgende
otte linjebevarende permuationer (automorfier)
af punkter i den projektive syv-punktsplan.
e =
β0 =
ABC DP QR
ABC DP QR
ABC DP QR
AC BDQP R
α1 =
β1 =
ABC DP QR
C ADBQP R
ABC DP QR
BADC P QR
α2 =
β2 =
ABC DP QR
DC BAP QR
ABC DP QR
DBC AQP R
α3 =
β3 =
ABC DP QR
BDAC QP R
ABC DP QR
C DABP QR
β3 er eksempelvis automorfien, som sender A til
C , B sendes til D, C sendes til A, D sendes til
B, medens P, Q og R holdes fast.
16 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (6/7)
Automorfier kan sættes sammen:
β3 · β2 =
AB C DP Q R
B DAC QP R
= α3
og
β1 · β1 =
AB C DP Q R
AB C DP Q R
=e
Og tabellen for alle sammensætninger ser således ud:
Tabellen er således essentielt set den samme som tabellen for
rotationer og spejlninger af kvadratet.
17 / 30
En symmetrisk gruppe D4 (7/7)
D4 optræder også et helt tredje sted i matematikken, nemlig i
forbindelse med matricer inden for linær algebra. Lad N være
mængden, der består af følgende otte matricer:
e=
1
0
1
S0 =
0
0
1
0
−1
R1 =
0
1
0
S1 =
1
−1
−1
R2 =
0
0
1
0
S2 =
−1
0
0
−1
0
1
R3 =
S3 =
0
−1
0
−1
1
0
−1
0
(N, ·) er en helt tredje repræsentation af D4 , hvor vi forstår · som
matrice-multiplikation. Multiplikationstabellen er som den sidste tabel:
Vi skal blot udskife αi med Ri og βj med Sj .
18 / 30
Andre symmetrigrupper
19 / 30
Mere algebra og aksiomatik
Nu da vi har fået en bedre forståelse af gruppebegrebet, skal vi
bruge det til se, hvordan den aksiomatiske metode inden for
opbygningen af tallene spiller sammen med den generiske metode.
Definition. Vi siger generelt, at (R, +, ·) er en ring, hvis
1
(R, +) er en gruppe og
2
(R, ·) er en monoide (dvs. en gruppe uden nødvendigvis
inverse elementer) og hvis
3
Multiplikation er distributiv over addition, dvs.
a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Det kan nu vises, at vores konstruerede Z har disse egenskaber –
altså er en ring.
20 / 30
Andre eksempler på ringe
Der kan defineres passende addition og multiplikation med hensyn
til polynomier over eksempelvis de rationelle tal (som vi nu skal til
at konstruere). Denne mængde af polynomier danner også en ring.
21 / 30
De rationelle tal
Generisk metode. Konstruér Q som samlingen af
ækvivalensklasserne af ordnede par af hele tal (a, b), med b 6= 0.
Den afgørbare ækvivalensrelation er defineret ved
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.
Q bliver kvotient-strukturen (Z × Z)/∼.
På grundlag af repræsentanter af ækvivalensklasserne kan
regnearterne i Z løftes til Q.
Aksiomatisk metode. Går vi til det abstrakte kan vi vise, at
(Q, +, ·) er en kommutativ ring, med (Q, \{0}, ·) som en gruppe.
Altså er Q et legeme.
22 / 30
Mod de reelle tal: Cauchy-følger
Cauchy-følge: En følge af rationelle
tal x1 , x2 , . . . er Cauchy, hvis der for
ethvert eksisterer et N således, at
for alle n, m > N
|xn − xm | < Ud fra klassen Cau af alle Cauchy-følger kan vi konstruere de reelle
tal.
23 / 30
Konstruktion af de reelle tal
To Cauchy-følger (an ) og (bn ) er ækvivalente, hvis deres forskel er
0 i grænsen; altså:
(an ) ∼ (bn ) ⇔ lim(an − bn ) = 0
Fra klassen Cau af Cauchy-følger konstrueres de reelle tal som
ækvivalensklasser:
[(an )] = {(bn ) ∈ Cau | (an ) ∼ (bn )}.
Bemærk, et reelt tal er generelt en ret uendelig størrelse.
24 / 30
Regneregler for de reelle tal
Definition. Lad x og y være reelle tal. Vælg (an ) i x og (bn ) i y ; vi
definerer da
x +y
x ·y
= [(an + bn )]
= [(an bn )]
0 = [(0)]
1 = [(1)]
Vi kan ligeledes definere < for de reelle tal. Derved får vi, at
R = (Cau/∼, +, ·, <)
er et fuldstændigt ordnet arkimedisk legeme. Altså fuldstændigt,
uden infinitisimaler med Q tæt i R.
25 / 30
Den generiske og den aksiomatiske metode
26 / 30
Samspil mellem de to metoder
N
Monoide
Z
Ring / gruppe
Q
Legeme
R
Fuldstændigt arkimedisk legeme
27 / 30
Begrundelser og opdagelser
• Den aksiomatiske metode, som vi ser den hos Euklid, handler
primært om at begrunde udsagn om geometrien. Den
traditionelle forståelse af aksiomatik vedrører altså
hovedsagligt det, man i videnskabsteorien kalder for the
context of justification.
• Den aksiomatiske metode, som den udvikles inden for
algebraen i slutningen af 1800-tallet, vedrører derimod
opdagelser. Med gruppe-aksiomerne trækkes en strukturel og
abstrakt essens frem (for eksempel monoider, ringe og
legemer), som kun kan studeres ved hjælp af den aksiomatiske
metode: Således overgår den aksiomatiske metode til the
context of discovery.
28 / 30
Hilbert og den aksiomatiske metode, igen
David Hilbert (1862–1943) “Über den
Zahlbegriff” fra 1899.
“Trotz des hohen pädagogischen und heuristischen Wertes der
genetischen Methode verdient doch zur endgültigen Darstellung
und völligen logischen Sicherung des Inhaltes unserer Erkenntnis
die axiomatische Methode den Vorzug.” (Hilbert, 1899)
29 / 30
Sum up: Den generiske metode
versus den aksiomatiske
• Vi ser historisk, at den generiske metode gik forud for den
aksiomatiske. Dette er ikke erkendelsesteoretisk underligt.
• Men vi ser i standard-præsentationen fra den moderne
algebra, at de to metoder supplerer hinanden.
30 / 30