1. No category

ØVEHÆFTE
FOR MATEMATIK C
PROPORTIONALITET
INDEKSTAL
OMVENDT PROPORTIONALITET
INDHOLDSFORTEGNELSE
0
1
2
3
4
Oversigt - formelsamling .......................................................................................................................... side 2
Ligefrem proportionalitet (indledende opgaver) ........................................................................ side 3
Ligefrem proportionalitet, standardmetoder................................................................................ side 4
Ligefrem proportionalitet. Opgaver med tabeller ........................................................................ side 5
Ligefrem proportionalitet. Supplerende opgaver udtrykt i tekst ......................................... side 7
5 Indekstal, standardmetoder.................................................................................................................... side 8
6 Indekstal. Simple eksamensopgaver 1998-2008......................................................................... side 9
7 Indekstal. Sammensatte eksamensopgaver 1998-2008 ........................................................side 11
8 Omvendt Proportionalitet (Indledende opgaver).....................................................................side 14
9 Omvendt proportionalitet. Standardmetoder tabeludfyldning ..........................................side 17
10 Omvendt proportionalitet. Tekstopgaver ..................................................................................side 20
11 Eksamensopgaver 2006-2008, proportionalitet,
omvendt proportionalitet, indekstal ..............................................................................................side 21
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 2 af 23
Oversigt – formelsamling
Ligefrem proportionalitet, y = a∙x
(eller: proportionalitet)
( Ligefrem) proportionalitet
y=a∙x
eller
y=k∙x
Grafen er en ret linje gennem (0,0)
Formlerne for lineær funktion, y=a∙x + b kan
bruges, idet man sætter b=0, dvs.
Omformning af
x
x
x1
x2
y
y1
y2
y = a∙x :
y
a
a
y
x
Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter
(x1, y1) og (x2, y2)
y1 y2

x1 x2
(Idet a=a)
(”strikkepind”)
Indekstal er proportionale med ”størrelserne”
Indekstal
(Basisår)
Størrelse
Index
y1
y2
100
i
y1
y
 2
100 i
Af
i
fås f. eks.
y2  100
y1
(”strikkepind”)
Indekstal respekterer de procentiske ændringer, der
er i de oprindelige tal.
Omvendt proportionalitet, y  b 
f
Omvendt proportionalitet
y
k
x
eller y 
b
1
eller y  b 
x
x
eller y  b  x 1
Grafen er en hyperbel.
3.5
(x , y )
1
1
x
1
3
Formlerne for potens-sammenhæng y  b  x a kan
2.5
bruges (se side 7), idet man sætter a=-1.
2
(x , y )
2
2
Man kan omforme til:
1.5
1
0.5
Omformning af
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-0.5
x
b
y
y  b
1
:
x
b  x y
Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter
(x1, y1) og (x2, y2)
x1  y1  x2  y2
(Idet b=b)
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 3 af 23
Ligefrem proportionalitet (indledende opgaver)
101
Mellem de variable
x : vægt af oksesteg (kg)
y : pris (kr.)
er der følgende sammenhæng (en ligefrem proportionalitet)
y = 150∙x
a) Bestem y, når x=3.2
b) Bestem x, når y = 212
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
-1 -0.5
-50
c) Tegn grafen for sammenhængen,
idet du forklarer at den er en ret linje
gennem (0,0)
Indtegn og check resultaterne af a) og b)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
102
Mellem de variable
x : vægt af laks (kg)
y : pris (kr.)
er der følgende sammenhæng (en ligefrem proportionalitet)
y = a∙x
Det oplyses, at y =120, når x=3
a) Bestem proportionalitetskonstanten a
b) Bestem y, når x=2
c) Bestem x, når y = 123
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 4 af 23
d) Tegn grafen for sammenhængen,
idet du forklarer at den er en ret linje
gennem (0,0)
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
-1 -0.5
-20
-40
Indtegn og check resultaterne af b) og c)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Ligefrem proportionalitet. Standardmetoder
103
Mellem de variable
x : vægt af ostestykke (kg)
y : pris (kr.)
er der ligefrem proportionalitet
y = a∙x
Det oplyses, at y =104, når x=1.6
x (kg ost)
y (pris, kr.)
1.6
104
a) Bestem y, når x=1.25
Løsning metode 1 (ved at bestemme værdien af a)
Den kendte oplysning indsættes i sammenhængen
y =a∙x
104= a ∙ 1.6
104
=
.
= 65
1.6
Så regnes på den ”nye” x-værdi:
y = a ∙ x = 65∙1.25 = 81.25
Løsning metode 2 (uden at bestemme værdien af a)
= Denne udregning giver samme værdi for proportionalitetskonstanten a
for det ”kendte” punkt (1.6, 104) som ved den nye x-værdi, 1.25
=
(*)
=
.
=
.
Af denne ligning findes
104 ∙ 1.25
= 1.25
1.6
Efterskrift:
Hvis man vender begge brøkerne på hovedet i (*) gælder lighedstegnet stadig:
.
.
=
Og resultatet for y bliver det samme som før (anvendes i afsnit om indekstal).
1.25
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 5 af 23
b) Bestem y, når x=0.85 ved hjælp af metode 2
c) Bestem x, når y = 140 ved hjælp af metode 2
140
d) Tegn grafen for sammenhængen,
idet du forklarer at den er en ret linje
gennem (0,0)
120
100
80
60
40
20
-0.8 -0.4
-20
0.4
0.8
1.2
1.6
e) Indtegn og check resultaterne af a), b) og
c)
2
-40
Ligefrem proportionalitet. Opgaver med tabeller
201
Ved et mobilselskab (uden opkaldstakst) er der proportionalitet mellem samtale-længde og
pris. Udfyld de tomme felter
samtalelængde
(min.)
pris
(kr.)
1.5
2.3
4.2
10
0.4
0.60
Forklaring og beregning:
202
Hr. Hansen går aftenture ad forskellige ruter. Der er proportionalitet mellem turen længde og
dens varighed
Længde
(km)
Varighed
(min.)
Forklaring og beregning:
2.2
16.5
30
50
24.2
9.3
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 6 af 23
203
Forbruget af maling er proportionalt med arealet af den væg der skal males
Udfyld de tomme felter:
Areal
(m2)
Mængde
maling (L)
4
7.3
9.2
0.75
1.3
0.42
Forklaring og beregning:
204
Tekstens længde (antal sider) er proportionalt med antallet at ord.
Udfyld de tomme felter:
antal ord
antal sider
440
2.3
1230
3.4
0.8
Forklaring og beregning:
205 (brug ”metode 2” fra opgave 103)
Dieselforbruget er proportionalt med bilturens længde:
Udfyld de tomme felter:
Turens længde
(km)
Dieselforbrug
(L)
17.7
200.2
11.3
35.4
Forklaring og beregning:
206
Arbejdslønnen for en opgave er proportional med arbejdstidens længde.
Udfyld de tomme felter:
Arbejdstid
(timer)
Løn
(kr.)
Forklaring og beregning:
2.4
690
7.3
375
1.7
Ligefrem Proportionalitet. Opgaver med tekst
Fra ” Supplerende opgaver til TRIP´s matematiske GRUNDBOG”
http://www.forlaget-trip.dk/Oversigt.pdf
0301
En printer kan printe 12 sider pr. minut.
a) Beskriv sammenhængen mellem tid og antal printede sider med en matematisk formel.
x: …
y: …
Formel y =
b) Hvor mange sider kan printeren printe i løbet af 150 sekunder?
c) Hvor lang tid vil printeren være om at printe 200 sider?
0303 (0301s )
a) Bestem en ligning for sammenhængen mellem x og y, når det oplyses at y og x er
proportionale og at når x er 5 er y 58.
b) Hvad er y, når x er 17?
c) Hvad er x, når y er 548?
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 8 af 23
Indekstal (standardmetoder)
Eksempel 1 (tal fra www.statistikbanken.dk )
BNP pr.
indbygger
i 2007
kr.
indeks
Hele
Danmark
Region
hovedstaden
266 000
100
330 000
i
Indekstallet betyder, at man skifter måleenhed. De 266 000 kr. (for hele Danmark; ”basis”)
svarer til 100 af de nye enheder. Når vi skal finde ud hvad 330 000 kr. svarer til, udnytter vi at
der er proportionalitet.
∙
Af
=
finder vi
=
= 124.06 124 .1
Indekstallet for Region hovedstaden er 124.1
Eksempel 2
Hvordan mon det så ud 7 år tidligere?
BNP pr.
indbygger
i 2000
kr.
indeks
Hele
Danmark
Region
hovedstaden
242 000
100
B
120.7
a) Hvad var BNP pr. indbygger i Region hovedstaden i år 2000?
Løsning: Der er proprotionalitet mellem BNP og indeks
∙
.
Af
=
finder
vi
=
= 2 20 4
.
2 2 000
BNP pr. indbygger var ca. 292 000 kr. i år 2000
b) Er forskellen i BNP pr. indbygger mellem hovedstaden og hele landet blevet større eller
mindre i løbet af de syv år fra 2000 til 2007
Svar: I år 2000 var BNP pr. indbygger i region hovedstaden 20.7% større end
landsgennemsnittet. I 2007 var den 24.1% større end landsgennemsnittet. Forskellen er
altså vokset i de syv år.
Eksempel 3 (tal fra www.statistikbanken.dk )
Persontransport efter transportmiddel. Her cykel og knallert (30 km/t)
Cykel og
knallert(30)
mio.
person-km
indeks
1998
2008
2462
2303
100
i
a) Bestem indekstallet for år 200 , idet indeks for 1
sættes til 100. (1
er ”basisår”).
Løsning: Da der er proportionalitet mellem antal person-km og indekstallet fås:
∙
=
, hvoraf vi finder :
=
= 3.5
Svar: Indekstallet for år 2008 er 93.5
Fortolkning: Indeks for antal person-kilometer kørt på cykel/knallert er i perioden 1998 til
2008 faldet fra 100 til 93.5. Et fald på 6.5%
(p=93.5 – 100 = – 6.5 idet udgangspunktet er 100 )
Bemærk at årstallene, 1998 og 2008, ikke indgår i beregningerne.
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 9 af 23
Eksempel 4 med opgave:
Persontransport efter transportmiddel. Her personbiler og varebiler under 2000 kg.
Person- og
varebiler
mio.
personkm
indeks
1998
2008
50 392
52 454
100
a) Bestem indekstallet for 2008, idet 1998 er basisår.
b) (se eksempel 3 på forrige side og eksempel 4 her) Beskriv udviklingen i omfanget af både
cykeltransport og persontransport i person- og varebiler under 2000 kg i årene 1998-2008.
Er det samlede transportomfang steget eller faldet?
Indekstal. Simple eksamensopgaver fra årene 1998-2008
401
Tabellen viser antallet af cykeltyverier, som blev anmeldt til politiet.
År
Antal
anmeldte
cykeltyverier
indeks
1994
1999
125371
73816
a) Beregn indekstallet for antallet af anmeldte cykeltyverier i 1999 med basisår 1994.
402
Tabellen viser indekstal for prisen på ejerlejligheder (basis: 1. kvartal 1996).
Tidspunkt
Indekstal
4. kvartal 1996
107,9
4. kvartal 1997
123,8
En ejerlejlighed kostede 800 000 kr. i 4. kvartal 1997.
a) Beregn, hvilken pris dette svarede til i 4. kvartal 1996.
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
403
Skemaet viser indeks for høstudbyttet af hvede i Danmark (basisår 1995).
År
1990
1997
Indeks
86,0
108,0
Det oplyses, at høstudbyttet af hvede i 1990 var 3953 tusinde tons.
a) Beregn høstudbyttet af hvede i 1997.
404
Tabellen viser indekstal (basisår 1990) for antallet af børn, der var indskrevet
i børnehave i Danmark.
År
1992
2000
Indekstal
103,5
141,4
I år 2000 var der indskrevet 126 906 børn i børnehave.
a) Hvor mange børn var der indskrevet i børnehave i 1992?
405
Størrelsen af biltrafikken i Danmark opgøres i milliarder kørte kilometer.
Nedenstående tabel viser indekstal for biltrafikken med 1984 som basisår.
År
1989
2001
Indekstal
126
167
I 1989 blev størrelsen af biltrafikken opgjort til 35 milliarder kørte kilometer.
a) Beregn størrelsen af biltrafikken i 2001.
Side 10 af 23
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 11 af 23
Indektal. Sammensatte eksamensopgaver fra årene 1998-2008
501
Tabellen viser indekstal for antallet af sengepladser på sygehusene i Danmark.
År
1980
1985
1990
1995
Indekstal 100
87,8
78,9
73,1
I 1990 var der 25 474 sengepladser.
a) Hvor mange sengepladser var der i 1985?
b) Beregn det gennemsnitlige årlige procentvise fald i antallet af sengepladser fra
1990 til 1995.
(Vink: brug metode fra ”eksponentielle sammenhænge” :
Løs
. ∙
= 3.1 og beregn
=(
1) ∙ 100
)
c*) Beregn indekstallet for 1995, når indekstallet for 1990 sættes til 100.
502
Tabellen viser indekstal for forbruget af drikkevand i Frederiksborg Amt.
Indekstallene er beregnet med 1991 som basisår.
År
1992
1995
1998
Indekstal 101,3
93,0
80,1
a) Beregn det gennemsnitlige årlige procentvise fald i forbruget af drikkevand
Frederiksborg Amt i perioden 1992-1998 .
Forbruget af drikkevand i Frederiksborg Amt i 1995 var 31,0 millioner kubikmeter.
b) Beregn indekstallet for 1999, når det oplyses, at forbruget af drikkevand i
Frederiksborg Amt i 1999 var 26,1 millioner kubikmeter.
c)* Beregn indekstallet for 1992, når indekstallet for 1998 sættes til 100 .
i
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 12 af 23
503
Figuren ovenfor viser indekstal for biografbilletpriserne og forbrugerpriserne i
perioden 1990-1999.
a) Beregn den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i billetpriserne i
denne 9-årsperiode.
I 1999 var den gennemsnitlige billetpris 49,03 kr.
b) Hvad var den gennemsnitlige billetpris i 1990 ?
c)
Hvad ville den gennemsnitlige billetpris have været i 1999, hvis billetpriserne havde
fulgt forbrugerprisindekset fra 1990 til 1999?
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 13 af 23
504
Nedenstående tabel viser indekstal for verdens befolkning i 1970, 1990 og 2000.
Indekstallene er beregnet med 1990 som basisår.
År
1970
1990
2000
Indekstal
70
100
115
I år 2000 var verdens befolkning 6057 mio.
a) Hvor stor var verdens befolkning i 1970?
En prognose fra FN viser, at verdens befolkning i år 2050 vil være 9322 mio.
b) Beregn indekstallet for verdens befolkning i år 2050 .
c)* Beregn indekstallet for verdens befolkning i år 2050 med år 2000 som basisår.
505
Nedenstående tabel viser antal rapporterede tilfælde af gonorré i Grønland i 1987 og i 2002.
År
1987
2002
Gonorré-tilfælde
2370
872
a) Bestem indekstallet for antal gonorré-tilfælde i 2002, når indekstallet i 1987 var 242.
Nedenstående tabel viser indekstal for antal rapporterede tilfælde af tuberkulose i Grønland i
1992 og i 2002.
År
1992
2002
Indekstal for
100
212
tuberkulose
I 2002 var der 87 tilfælde af tuberkulose.
b) Hvor mange tilfælde var der i 1992?
c) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i antal tuberkulosetilfælde i perioden 1992-2002.
Kilde: www.statgreen.gl
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 14 af 23
Omvendt Proportionalitet (Indledende opgaver)
601
http://www.matematikbanken.dk
Til en fest er der nogle priser, der ofte ligger fast uanset deltager antal.
Til en ungdomsfest. bestilte man bus, forsamlingshus og discotek.
Prisen for de tre dele var på 6000 kr. Nu manglede man bare at finde ud af, hvor mange
der kom med, og hvad prisen for de tre dele blev pr. person.
Der kan maksimalt komme 150 med.
Antal deltagere
Pris pr.
deltager
40
50
60
100
120
150
Udfyld ovenstående ”sildeben” – og tegn det grafiske billede til oplysningerne.
Pris pr. deltager
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Deltagere
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Hvad kan man fortælle til ovenstående ?
90
100 110 120 130 140 150
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 15 af 23
602
Omvendt proportionalitet. Benzinforbrug.
Benzinbiler af forskellige kendte mærker.
Variable:
x : antal kilometer på literen
y : antal liter benzin for at køre 100 km.
a) Vælg 6- 8 biler, både nogle økonomiske biler, nogle benzinslugere, og nogle midt i mellem
og udregn og skriv deres y-værdier i nedenfor.
b) Angiv beregningsmetode (formel) for tallet y udtrykt ved x.
x
Bil (*)
Audi A3 1,4 TFSI
Bentley Continental Flying Spur
BMW 1er 116i
Cadillac BLS 2,0 T
Citroën C1 1,0i
Ferrari California
Fiat 500 1,2 aut.
Ford Ka 1,2 SE
Mazda 2 1,3 Low Power
Mercedes-Benz C 180
Kompressor BE
Opel Agila 1,0
Porsche Boxster PDK
Skoda Fabia 1,2
Toyota IQ 1,0
Volkswagen Polo 1,2
Volvo C30 1,6
Årgang
Brændstof
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
2009
benzin
Brændstofforbrug
(km/l)
y
Liter pr.
100 km
(2
decimaler)
x∙y
16,7
5,8
17,2
12
22,2
7,6
21,3
19,6
19,2
15,4
20
11,2
16,9
23,3
17,2
14,3
Fra www.hvorlangtpaaliteren.dk
c) Udregn tallene i kolonnen x∙y for de 6-8 biler. Er værdien den samme for dem alle?
Hvorfor?
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 16 af 23
d) Plot (x,y) for de 6 - 8 udregnede punkter i koordinatsystemet (anfør bilnavn ved hvert
punkt), og kommenter grafen.
y
Liter pr. 100 km
15
10
5
km på literen
0
x
0
5
10
15
20
603
Omvendt proportionalitet. Pris pr. times TV-kiggeri
http://www.matematikbanken.dk.
Hos TeleDanmark - TDC - kan man købe forskellige pakker til kabel-TV . Man kan bl.a.
købe en grundpakke til 586 kr. pr. kvartal (90 dage).
Ud fra ovenstående kan man jo sige, at time-prisen bliver billigere jo mere man ser
fjernsyn.
a) Udfyld nedenstående ”sildeben” og sæt tallene ind i koordinatsystemet på næste side.
x: Antal timer fjernsynet er
50
100
200
400
600
tændt pr. kvartal
y: Pris pr. time
b) Angiv beregningsmetode (formel) for tallet y udtrykt ved x.
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 17 af 23
y: pris pr. time
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x: timer TV-brug
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
Omvendt proportionalitet. Standardmetoder ved tabeludfyldning
701
Færgeoverfart for bil med passagerer koster det samme, uanset hvor mange der sidder i bilen.
De variable x og y er omvendt proportionale, hvor
x : antal personer i bilen
y: færgeudgift pr. person
x
1
2
3
y
120
72
Opgave a) Udfyld tabellens tomme felter.
Løsning, metode 1
Den omvendt proportionale sammenhæng udtrykkes ved en ligning af typen
=
∙
(eller skrevet anderledes: =
)
Proportionalitetskonstanten, b, kan findes ved hjælp af talsættet ( , ) = (3, 120) med
følgende formel:
= ∙ , dvs b = 3∙120= 360
y-værdien for x=1 og x=2 (første to tomme felter) findes med formlen
x=1 giver:
=
∙ = 360 ∙
= 360
x=2 giver:
=
∙ = 360 ∙
= ……..
(OBS: UDFYLD!)
x-værdien for y=72 (sidste tomme felt) findes med formlen
y=72 giver:
=
=
=5
=
=
∙
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 18 af 23
Løsning, metode 2 (samme spørgsmål)
Vi benytter følgende sammenhæng, der gælder for to vilkårlige punkter ved omvendt
proportionalitet:
∙ = ∙
Som det ene punkt bruges hver gang ( , ) = ( 3, 120) (hvor både x og y er kendte)
Det andet kaldes blot (x, y) og man indsætter, det man kender i
∙ = 3 ∙ 120
x=1 giver
1∙
= 3 ∙ 120
hvoraf
=
∙
= 360
x=2 giver
2∙
= 3 ∙ 120
hvoraf
=
∙
= ……. (UDFYLD ! )
∙ 2 = 3 ∙ 120 hvoraf
=
∙
= ……. (UDFYLD ! )
y=72 giver
702
Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter.
x
4.2
y
0.60
5.3
8.2
10
0.8
Forklaring og beregning:
703
Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter.
x
2.52
y
Forklaring og beregning:
16.5
31.2
50
481.2
0.93
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 19 af 23
704
Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter.
x
0.43
3.3
10.2
y
0.533
1.39
0.142
Forklaring og beregning:
705
Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter.
x
240
2350
y
1.3
0.94
5.4
0.17
Forklaring og beregning:
706
Bilturens varighed, t (minutter) er omvendt proportionalt med gennemsnitshastigheden, v
(km/t). Udfyld de tomme felter:
v (km/t)
33.7
45.2
t
29.1
99.9
(minutter)
Forklaring og beregning:
(*Og hvor lang er strækningen?)
707
Styrken af magnetfeltet B, (målt i mTesla) fra en lang lige ledning med en bestemt
strømstyrke, er omvendt proportional med afstanden, r, (målt i mm) fra ledningen.
Udfyld de tomme felter.
r (mm)
1.4
17.3
B (mTesla)
Forklaring og beregning:
0.069
0.003
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Omvendt proportionalitet. Opgaver formuleret i tekst
(nedenstående tre opgaver fra ” Supplerende opgaver til TRIP´s matematiske GRUNDBOG”)
801
Et jordstykke på 100 000 m2 skal udstykkes til parcelhusgrunde. Beskriv sammenhængen
mellem den gennemsnitlige grundstørrelse og antallet
parcelhusgrunde med en matematisk formel.
x:
y:
Sammenhæng (formel):
802
Beskriv sammenhængen mellem gennemsnitshastighed og tid for 100-meterløb med
en matematisk formel.
x:
(målt i ................)
y:
(målt i ………….)
Sammenhæng (formel):
803
a) Bestem en ligning sammenhængen mellem x og y, når det oplyses at y og x er
omvendt proportionale og at når x er 3 er y 45.
b) Hvad er y, når x er 9?
c) Hvad er x, når y er 270?
Side 20 af 23
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 21 af 23
Eksamensopgaver 2006-2008 i proportionalitet, omvendt proportionalitet og
indekstal
901
På en guitar ændrer man den svingende strengs længde og dermed tonens frekvens
ved at sætte en finger på strengen. Tonens frekvens er omvendt proportional med
den svingende strengs længde.
a) Udfyld et skema som nedenstående, og begrund svarene.
Længde(cm)
60
30
Frekvens(Hz)
440
1100
902
I en lokaltelefonbog kan man købe spalteannoncer. Prisen for en sort/hvid spalteannonce
er proportional med højden, som måles i millimeter. En 50 mm høj sort/hvid spalteannonce
koster 3450 kr.
a) Hvad koster en 70 mm høj sort/hvid spalteannonce?
Hvor høj en sort/hvid spalteannonce kan man få for 8970 kr.?
Mod yderligere betaling af 2710 kr. kan man få en spalteannonce trykt med to farver.
b) Opstil en formel til at beregne prisen for en x mm høj spalteannonce med to farver.
903
En panfløjte består af nogle rør, som har forskellig længde, og som har hver sin grundtone.
Frekvensen af grundtonen er omvendt proportional med rørets længde.
Et rør med længden 9,4 cm har en grundtone med frekvensen 880 Hz.
a) Hvor langt skal et rør være for at have en grundtone med frekvensen 588 Hz?
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
Side 22 af 23
904
Størrelserne p og V er omvendt proportionale.
p
2
4
V
a) Udfyld en tabel som ovenstående.
905
Størrelserne x og y er proportionale.
x
2
y
a) Udfyld tabellen.
20
3
16
4
10
9
906
Nedenstående tabel viser indekstal for prisen på isen Kung Fu i 1994 og 2005.
År
1994
2005
Indekstal
100
185,7
I 2005 kostede en Kung Fu is 13 kr.
a) Hvad kostede en Kung Fu is i 1994?
907
Nedenstående tabel viser indekstal for, hvor mange motorcykler der blev nyregistreret i
Danmark.
År
Indekstal
1995
68,6
2000
100
2005
175,2
Det oplyses, at der i 1995 blev nyregistreret 2263 motorcykler i Danmark.
a) Hvor mange motorcykler blev der nyregistreret i 2005?
Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet.
908
Nedenstående tabel viser oplysninger om danskernes samlede forbrug af vin og spiritus,
dels målt i mia. kr., dels angivet som indekstal med år 2000 som basisår.
Årstal
2000
2003
2006
Forbrug af vin og
7,3
9,4
spiritus (mia. kr.)
Indekstal
100
114
a) Bestem forbruget i 2003.
Bestem indekstallet for 2006.
b) Hvor mange procent er forbruget af vin og spiritus i gennemsnit vokset om året
i perioden 2000-2006?
909
Tabellen viser antallet af hf-kursister i Danmark i 1996 og 2000.
År
1996
2000
Antal hf12 901
11 079
kursister
a) Omregn tabellens oplysninger til indekstal med 1996 som basisår.
Nedenstående tabel viser indekstal for antallet af gymnasieelever i årene 1996-2000.
Basisåret er 2000.
År
1996
1997
1998
1999
2000
Indekstal for
113,9
111,6
105,7
101,9
100
gymnasieelever
b) Undersøg, om antallet af hf-kursister eller antallet af gymnasieelever er faldet
procentvis mest fra 1996 til 2000.
Side 23 af 23