1. No category

Formelsamling
Matematik C
Indhold
Eksempler på besvarelser, lin, eksp, pot, geo ..... 2
Tal, regneoperationer og ligninger ..................... 6
Ligninger ....................................................... 7
Geometri ..................................................... 10
Funktioner og modeller .................................. 13
Lineær funktion ............................................ 13
Procentregning ............................................. 14
Rentesregning ..................................................
Eksponentiel udvikling ................................... 17
Potenssammenhæng ..................................... 19
Ligefrem proportionalitet................................ 20
Indekstal ..................................................... 20
Omvendt proportionalitet ............................... 20
Statistik ....................................................... 21
1
Et par eksempler på besvarelse af eksamensopgaver
Opgave 1.011 (HF-C vejledende opgaver)
Antallet af landbrug i Danmark kan for perioden 1983-2000 med god tilnærmelse
beskrives ved modellen
y = -2600x + 98680 ,
hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983.
a) Hvad fortæller tallene –2600 og 98680 om antallet af landbrug i perioden
1983-2000?
Ligningen y = -2600x + 98680 er af typen y = ax + b , altså en lineær funktion
Variable:
x = tid målt i år fra 1983
y = antallet af landbrug
Konstanter:
a = hældningskoefficienten =-2600
”Når x stiger med 1, ændres y med a” betyder i dette tilfælde:
”Hver gang der går et år falder antallet af landbrug med 2600”
b = begyndelsesværdi = 98680
b er y-værdien, når x=0, altså i året 1983:
I 1983 var der 98680 landbrug
b) Hvor mange landbrug vil der være i 2010, hvis denne udvikling fortsætter?
I 2010 er x = 2010-1983 = 27, og vi kan da beregne
y = -2600x + 98680 = -260027 + 98680 = 28480
Med uændret udvikling vil der være 28480 landbrug i 2010
c) Hvornår kommer antallet af landbrug under 40 000, hvis denne udvikling fortsætter?
Vi indsætter y = 40000 i ligningen
y = -2600x + 98680
40000 = -2600x + 98680 og denne ligning løses med ”solve” på lommeregneren:
x = 22,57. (år efter 1983). Dvs. 1983 + 22,57 = 2005,57
I 2006 kommer antallet af landbrug ned under 40000
2
Opgave 1.001 (HF-C vejledende opgaver)
En person køber et maleri til en værdi af 60 000 kr. Maleriets værdi vokser herefter med
12 % om året.
a) Bestem værdien af maleriet efter 5 år.
Da maleriets værdi hvert år stiger med samme procent, er der tale om eksponentiel
vækst.
Variable:
x = tid målt i år = 5
y = maleriets værdi (kr.)
Konstanter:
p = årlig vækstprocent = 12, heraf beregnes
a = årlig fremskrivningsfaktor, a  1 
p
100
1
12
100
 1, 12
b= begyndelsesværdi = 60 000 (kr.)
Sammenhæng mellem de variable:
y  b  a , heraf beregner vi efter de 5 år:
x
y  60000  1, 12  105741
5
Maleriets værdi efter 5 år: 15741 kr.
Et andet maleri havde en værdi af 85 000 kr. Efter 11 år var værdien af dette maleri
vokset til 125 000 kr.
b) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise vækst i værdien af dette maleri.
Maleriets værdi på de to tidspunkter
y1 = 85000 (kr.)
y2 = 125000 (kr.)
n = 11 (år mellem de to værdier)
Beregning af gennemsnitlig fremskrivningsfaktor og procentisk vækst:

1
a gennemsnit

125000
y n
 2 
85000
 y1 


1
11
 1, 03568
p gennemsnit   a gennemsnit  1   100  (1, 03568  1)  100  3, 568
Den gennemsnitlige årlige vækst var altså 3,57%
3
Opgave 1.018 (HF-C vejledende opgaver)
Indiens befolkningstal i perioden 1961-2000 kan tilnærmelsesvis beskrives ved
modellen
y = 442  1,0217x ,
hvor y er Indiens befolkningstal, målt i millioner, og x er antal år efter 1961.
a) Hvad fortæller tallene 442 og 1,0217 om befolkningstallet i Indien?
Ligningen y = 442  1,0217x er af typen y = b  ax , altså en eksponentiel udvikling
Variable:
x = tid målt i år efter 1961
y = Indiens befolkning (millioner)
Konstanter:
b = begyndelsesværdi = 442 (mio.) er Indiens befolkning ved x=0, dvs. i 1961
a = årlig fremskrivningsfaktor = 1,0217 er det tal, som befolkningen årligt ganges
med.
Heraf kan den årlige vækstprocent bestemmes:
p = (a – 1)100 = (1,0217 – 1)100 = 2,17
Dvs. Indiens befolkning steg årligt med 2,17% i årene 1961-2000
4
Opgave 1.026 (HF-C vejledende opgaver)
Sammenhængen mellem indtagelse af frugt og grønt gennem længere tid og det årlige
antal kræftdødsfald i Danmark kan beskrives ved modellen
y = 225 000x –0,5
hvor y angiver det årlige antal kræftdødsfald i Danmark, og x angiver det
gennemsnitlige daglige indtag af frugt og grønt i gram.
a) Hvor mange procent ville det årlige antal kræftdødsfald være mindre, hvis det
daglige indtag af frugt og grønt var 20 % større?
y = 225 000x-0,5 er af typen y = bxa
Ligningen
, dvs. en potenssammenhæng
Variable:
x = gennemsnitligt dagligt indtag af frugt og grønt (i gram)
y = antal årlig kræftdødsfald i Danmark
Konstanter:
a = eksponenten = -0,5
(i princippet værdi af y , når x=1)
b = 225 000
Ved 20% større indtag af frugt og grønt beregner vi med formler vedrørende
potenssammenhænge:
px = 20 (procentisk ændring i x)
Fx  1 
px
1
100
Fy  (Fx )  1, 20
a
20
100
0,5
 1, 20 (fremskrivningsfaktor for x, dvs. hvad x ganges med)
 0, 91287 (fremskrivningsfaktor for y)
P y =( F y – 1 ) 100 = (0,91287 – 1) 100 = -8,71291 (procentisk ændring i y)
Antallet af årlige kræfttilfælde ville altså efter modellen være 8,7% mindre, hvis
frugt- og grønt-indtaget var 20%større
Opgave 1.026 (HF-C vejledende opgaver)
Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Nogle af målene fremgår af
figuren.
a) Bestem |AC| .
Idet C = 90 og |AC| = b (overfor B) fås
( )
, altså
( )
|AC| = b =

)
(
(
)
(
)
(
a
b
)
= 2,79596
c=5,0
b) Bestem arealet af trekanten.
Ved hjælp af Pythagoras (C = 90) beregnes
a 
hyp  b 
2
2
5, 0  2, 79596  4, 1452
2
2
Arealet af den retvinklede trekant er
½  højde  grundlinje = ½ba = ½  2,79596  4,1452 = 5,79
5
0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER
Tal, regneoperationer og ligninger
Regnearternes hierarki
t  4  3  22
 4  3 4
 4  12
 16
Beregningsrækkefølge:
1.
potensopløftning
2.
gange/division
3.
plus/minus
En parentes udregnes for sig.
Vandrette brøkstreger skiller
som parenteser.
Plus-parenteser kan hæves
(1) 5 + (x – 3) = 5 + x – 3 = x + 2
Minus-parenteser: fortegnsskift
(2)
8 – (3 + x) = 8 – 3 – x = 5 – x
(3) 7 – (x – 2) = 7 – x + 2 = 9 – x
Gange-parenteser kan hæves:
(4)
2(3x) = 23x = 6x
(5)
(3x)2 = 3x2 = 32x = 6x
Gange ind i
(parenteser med + og –)
(6)
2(x+4) = 2x + 24 = 2x + 8
(7.1) (3+x)2 = (3+x)(3+x) = 32 + x2 + 2∙3∙x
(7.2) (x–5)2 = (x–5)(x–5) = x2 + 52 – 2∙x∙5
Samle led
(8)
Plus-parenteser kan hæves
(1) a + (b – c) = a + b – c
Minus-parenteser: fortegnsskift
(2)
a – (b + c) = a – b – c
(3) a – (b – c) = a – b + c
Gange-parenteser kan hæves:
(4)
a(bc) = abc
(5)
(ab)c = abc
Gange ind i
(parenteser med + og –)
(6)
c(a+b) = ca + cb
(7) (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Samle led
(8)
a + 2a = 3a
5x – x = 4x
Ligninger
En ligning består af to formler med lighedstegn
imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x.
Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at
passe, kaldes en løsning.
I en ligning må man
1)
lægge samme tal til på begge sider
2)
trække samme tal fra på begge sider
3)
gange med samme tal på begge sider, dog
ikke med 0
4)
dividere med samme tal på begge sider, dog
ikke med 0
6
Ligninger. Mønstre for anvendelse af regler om at ”lægge samme tal til…” m.v.
Eksempel
Type
Løsning
G
Gange
P
Plus
M1
Minus
M2
Minus
M3
Minus
MG
Minus og
Gange
Po1
Potens
√
√
Eksempler på andre potensligninger:
Hvis c og x er positive
Po1b
Potens
√
√
Hvis a og c er positive
Po2
Potens
( )
( )
( )
( )
7
BB1
Brøk=Brøk
BB2
Brøk=Brøk
B1
Brøk
(alternativ)
(alternativ)
B2
Brøk
8
Løse ligning på lommeregner Casio fx-991ES
For at løse ligningen 2 x = 8 på lommeregneren Casio
fx-991ES indtastes følgende:
2X=8, X
Man bruger disse taster:
X
=
,
Man sætter ligningsløsningen i gang ved først at taste
og ser (MYSTISK?)
Tallet 112 er ikke løsningen, men en tilfældig gammel
x-værdi (I vil se andre tal, når I prøver).
Man skal indtaste et start-gæt.
Tast f. eks. tallet 1
… og tryk på det
lighedstegn, der er nederst
til højre på
lommeregneren
Her ses løsningen : x=4
(Det nederste L-R betyder venstre side minus højre side, som
giver 0, når løsningen x=4 er indsat i ligningen)
9
Begreber i klassisk geometri + formelsamling
I matematikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plangeometrien
(Frit efter Euklid ca. 300 f. kr.).
Tilføj selv forklaringer og kommentarer
1.
Punkt
2.
Linje (også kaldet ret linje),
halvlinje,
linjestykke
3.
Cirkel,
centrum, radius
4.
Vinkel
5.
Topvinkler er lige store
6.
Ret vinkel (90 =
7.
Vinkel på 180 =
Vinkel på 360 =
Parallelle linjer
1
2

radianer)
180 = 3,14.. rad.
 radianer
2 radianer
8.
Ensliggende vinkler ved linje, der
skærer parallelle linjer
9.
En trekants vinkelsum er 180
A + B + C = 180
- og beviset
BCA
C
C
A
B
A
B
10. Sætningen om
ensvinklede trekanter
c
a
c1
a1
b
b1
11. (Krum) kurve
10
Ensvinklede trekanter
To trekanter, ABC og A1B1C1 kaldes ensvinklede hvis
vinklerne opfylder A=A1 , B=B1 og C=C1
For sidelængderne i to ensliggende trekanter gælder:
a1
c1
a1 b1 c1


a
b
c
 k 
b1
Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at
a ∙ k = a1
b ∙ k = b1
a
c
c ∙ k = c1
k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor,
b
målestoksforhold.
Vilkårlig trekant
Trekantens areal T:
T = 0.5 ∙ g ∙ h = 0.5 ∙ a ∙ b ∙ sin(C)
b
Vinkelsummen: A + B + C = 180°
h
(hvoraf
f. eks. A = 180° – B – C
)
C
g
a
Sinusrelation
sin( A) sin(B)  sin(C ) 



a
b
c 

side:
A
b
a
c
C
vinkelberegning:
b  sin( A)
1
A  sin
sin(B)
( A spids vinkel )
eller
A  180  sin
B
sin-1 (lommeregner)
a
 a  sin(B) 


b


cos
-1
(lommeregner)
1
 a  sin(B) 




b
arcsin, asin
arccos, acos
( A stump vinkel )
(eller lign. på PC)
(eller lign. på PC)
Cosinusrelation
Spids vinkel:
Stump vinkel:
mellem 0° og 90°
mellem 90° og 180°
c2  a2  b2  2  a  b  cos(C)
Side-beregning:
c
Vinkel-beregning:
a2  b2  2  a  b  cos(C )
C  cos
1
 a2  b2  c 2 


 2ab 
Retvinklet trekant
hyp
a
I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder
Pythagoras:
Omformning af
b
11
a2 + b2 = hyp2
Retvinklet trekant (fortsat)
Sinus, cosinus, tangens i retvinklet trekant:
I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel, v:
sin v 
Modstående
katete til v
hyp
cos v 
v
Hosliggende
katete til v
tan v 
modstående katete til v
hypotenuse
hosliggende katete til v
hypotenuse
modstående katete til v
hosliggende katete til v
En ”model” i geometri er en tegning med navne og evt.
mål på indgående punkter, linjestykker, vinkler o.s.v.
Højde, median og vinkelhalveringslinje i vilkårlig trekant
Kvadrat
Firkanter
Rektangel
Areal = Længde ∙ Bredde
Cirkel
C : Centrum
r : radius
r
C
Andre størrelser:
Diameter = 2∙r
Areal =
Omkreds = 2
12
Parallelogram
Trapez
Oversigt/formelsamling om lineære sammenhænge
Funktioner og modeller
Funktion
En funktion er en sammenhæng mellem variable,
hvor et input giver et output.
Kan vises med ”sildeben” og graf.
Model
En ”model” kan bestå af nogle variable og en
funktion der sammenknytter dem.
Eks.
x : længde af taxatur i km (uafhængig variabel)
y : pris i kroner for taxaturen (afhængig variabel)
Sammenhæng: y = 14 x + 30
Lineær funktion, y = a∙x + b
y = a∙x + b
a
y2  y1
x2  x1
Omformning af
y = a∙x + b :
b = y– a∙x
Konstanternes navne ved lineære funktioner:
a : hældningskoefficienten, stigningstallet
b : y-akse-skæringen
Konstanternes betydning
Betydning i lineær model
(ved lineære funktioner):
af konstanterne a og b:
y
Når
x=0
, er
y=b

Når x stiger med 1, vil y ændres med a
Vækstegenskab:
a
b

Funktionen er voksende, når a er positiv
1
Funktionen er aftagende, når a er negativ

x
13
y_ændring = a ∙ x_ændring
Formler og eksempler med procent
1. ”En del af det hele” (statisk)
d
h
p = procenttal
d = ”delen”
h = det ”hele”
Spm 1a.: Anders’ ”disponible” indkomst udgør 15% af
hele indkomsten på 20 000 kr. Beregn den disponible
indkomst.
Svar:
p = procenttal = 15
d = ”delen”
?
h = det ”hele” = 20000
p
d
15
d

giver

100 h
100 20000
15  20000
hvoraf d 
 3000
100
Anders’ disponible indkomst er 3000 kr.
Spm 1b: På hele matematikholdet er der 25 kursister. 8 af
dem er drenge. Hvor mange procent udgør drengene?
Svar:
p = procenttal ?
d = ”delen” = 8
h = det ”hele” = 25
p
d
p
8

giver

100 h
100 25
8 100
hvoraf p 
 32
25

Konklusion: Drengene udgør 32% af holdet
2. ”Sammenligning eller ændring”
Ændring
10
8
6
4
2
0
p = ændring i
procent
y1 = startværdi
y2 = slutværdi
Spm. 2a: Kiloprisen på sukker var 8 kroner. Så steg
prisen med 10%. Hvad var den nye pris?
Svar:
p = ændring i procent = 10
y1 = startværdi = 8
y2 = slutværdi ?
F = fremskrivningsfaktor
Før
(y1)
Efter
(y2)
F = fremskrivningsfaktor
2a. Beregning fremad:
y2  y1  F hvor F  1 
p
100
p
10
 1
 1,10
100
100

F  1

y2  y1  F  8 1,10  8,80
Konklusion: Den nye pris var 8,80 kr.
14
2b. Beregning af ændringsprocent:
p  ( F  1) 100
hvor
Spm. 2b.: Benzinprisen steg fra 10,00 kroner til 10,50.
Hvor mange procent steg prisen?
Svar:
p = ændring i procent ?
y1 = startværdi = 10,00
y2 = slutværdi = 10,50
y
F 2
y1
Ændring
F = fremskrivningsfaktor
F

Før
(y1)
y2 10,50

 1, 05
y1 10, 00
p  ( F 1) 100  (1,05 1) 100  5

Konklusion: Benzinprisen steg 5%.
Efter
(y2)
Procentisk Fald (størrelse som aftager)
Begrebet ”ændring” dækker både stigning og fald. I eksempel 2a og 2b ovenfor regnede vi på stigninger.
Formlerne er de samme ved fald. Blot regnes ændringsprocenten, p, som et negativt tal
Ændring
100
80
60
40
20
0
Spm. 2c: Der var 80 medlemmer. Så faldt medlemstallet med 25%. Hvor mange
var der så?
Svar:
p = ændring i procent = -25
y1 = startværdi = 80
y2 = slutværdi ?
F = fremskrivningsfaktor

Før
(y1)
Efter
(y2)
F  1
p
25
25
 1
 1
 0,75
100
100
100
y  y  F  80  0,75  60
2
1

Konklusion: Det nye medlemstal var 60.
Spm. 2d.: Pandabestanden i et område faldt fra 200 til 140.
Hvor mange procent faldt antallet af pandaer?
Svar:
p = ændring i procent ?
y1 = startværdi = 200
y2 = slutværdi = 140
F = fremskrivningsfaktor
F


y2 140

 0, 70
y1 200
p  ( F 1) 100  (0,70 1) 100  30
Konklusion: Antallet af pandaer faldt med 30%.
15
Procentisk ændring –
alt i
én formel:
Ændring
10
8
6
4
2
0
Spm. 2a (igen): Kiloprisen på sukker var 8 kroner. Så steg prisen med
10%. Hvad var den nye pris?
Svar:
p = ændring i procent = 10
y1 = startværdi = 8.00
y2 = slutværdi ?

p 
10 


y2  y1  1 
  8, 00  1 
  8,80
 100 
 100 
Konklusion: Den nye pris var 8,80 kr.
-----------------------------------------------------------------------------------------Før
(y1)
Efter
(y2)
p 

y2  y1  1 

 100 
Spm. 2d. (igen): Pandabestanden i et område faldt fra 200 til 140.
Hvor mange procent faldt antallet af pandaer?
Svar:
p = ændring i procent ?
y1 = startværdi = 200
y2 = slutværdi = 140
p 

y1  1 
  y2
 100 
p isoleres:
y

 140 
p   2  1 100  
 1 100  30
 200 
 y1 

Konklusion: Antallet af pandaer faldt med 30%.
16
Eksponentiel vækst y = b ∙ ax
Foruden ved ”gentagne ændringer” bruges formlen for eksponentiel vækst, y = b∙ax i situationer med
jævne, kontinuerlige stigninger, hvor der er lige stor procentisk vækst i hver tidsenhed (f. eks. en årlig
stigning på 4%). Her antager x ikke bare hele tal som værdier: 0, 1, 2, 3, … men også decimaltal: 0.7 eller
3.25 o.s.v.
Man kan f. eks. spørge: Hvor stor er vægten af bakteriekolonien efter 2.7 dage?
y = b ∙ ax
x
y
a og b positive,
hvor (ofte)
tid
(slut)værdi
b
p
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
,
begyndelsesværdi
procenttilvækst pr. x-enhed
Fremskrivningfaktor pr. x-enhed:
(x2 ,y2)
a
(x1 ,y1)


1
 ( x  x ) 
 2 1 
 
y2
y1
eller
Omformning af
a
x2  x1 y2
y1
y = b ∙ ax :
Af a beregnes vækstprocent pr tidsenhed:
p = (a-1)100
Betydning i eksponentiel model af a og b

Når
x=0
, er
y=b

Når x stiger med 1, vil y ganges med a
(dvs. y ændres p procent,
hvor p=(a-1)100 )
--y-ændring over flere x-enheder:
Fremskrivningsfaktor for y, når x forøges
fra x1 til x2
F 
y2
y1
 ah hvor h  x2  x1
Procentændring for hele perioden py=(F – 1 )∙100
Vækstegenskab
Funktionen er voksende, når a > 1
- og så har den en fordoblingskonstant
Funktionen er aftagende, når 0 < a < 1
- og så har den en halveringskonstant
----------------------------------------------
17
Fordoblingskonstant
y fordobles, når x forøges med
fordoblingskonstanten (T eller T2)
T2 = x2 − x1
(Hvis x-værdier kan aflæses på graf,
se til venstre)
2y
y
Omformninger
x1
x2
y halveres, når x forøges med
Halveringskonstant
halveringskonstanten (T eller T½)
T 1  x2  x1 (Hvis x-værdier kan aflæses på graf,
2
se til venstre)
y
½y
Omformninger
x1
x2
Gennemsnitlig vækstprocent ved uregelmæssig
vækst
Gennemsnitlig vækstprocent
Hvis størrelsen y på uregelmæssig måde er vokset
fra y1 til y2 fra år
x1 til år x2, sammenligner vi
med den stabile eksponentielle vækst, der ville
starte og slutte i de samme to punkter:
pgennemsnit =(a- 1)∙100,
(
Logaritmefunktionen
)
hvor
( )
f.eks.
log(1000) = 3 ,
da
Potensligninger
( )
( )
18
√
y = b ∙ xa
Potens-sammenhæng (potensudvikling),
1. Definition af potens-sammenhæng:
y = b ∙ xa
,
b positiv , x positiv
y = b ∙ xa :
Omformning af
2. Bestemmelse af a ud fra to punkter
(x1, y1) og (x2, y2)
a
y 
log 2 
 y1 
 x2 
log

 x1 
(eller
a
log y2 log y1
log x2 log x1
)
3 Konstanten b
x=1
Når
, er
y=b
(om a, se nedenfor , Fx og Fy)
4. Fremskrivningsfaktorer og vækstprocenter
Betydning i potensudviklingsmodel af a og b
Fremskrivningsfaktorer.
 Fx

Hvor
y log. skala
b
Når x ganges med Fx , ganges y med Fy
Fy = (Fx)
x1∙Fx = x2
og
y1∙Fy = y2
Når x ændres med px ,procent ændres y
med py procent, hvor:
 Fy
Fy = (Fx)a
x
1
og
a
log. skala
(Kombination af disse tre formler):
Vækstegenskab
Funktionen er voksende, når a > 0
Funktionen er aftagende, når a < 0
19
py = (Fy – 1) 100
Proportionalitet, indextal, omvendt proportionalitet
Ligefrem proportionalitet, y = a∙x
(eller: proportionalitet)
( Ligefrem) proportionalitet
y=a∙x
eller
y=k∙x
Grafen er en ret linje gennem (0,0)
Formlerne for lineær funktion, y=a∙x + b kan
bruges, idet man sætter b=0, dvs.
Omformning af
x
x1
x2
y
y1
y2
y = a∙x :
Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter
(x1, y1) og (x2, y2)
y1 y2

x1 x2
(Idet a=a)
(”strikkepind”)
Indekstal er proportionale med ”størrelserne”
Indekstal
(Basisår)
Størrelse
Index
y1
y
y  100
 2 fås f. eks. i  2
100 i
y1
Af
y1
y2
100
i
(”strikkepind”)
Indekstal respekterer de procentiske ændringer, der
er i de oprindelige tal.
1
Omvendt proportionalitet, y  b 
x
Omvendt proportionalitet
y
f
k
b
1
eller y 
eller y  b 
x
x
x
eller y  b  x 1
Grafen er en hyperbel.
3.5
(x , y )
1
1
Formlerne for potens-sammenhæng y  b  x a kan
3
2.5
bruges (se side 7), idet man sætter a=-1.
2
(x , y )
2
Man kan omforme til:
2
1.5
1
Omformning af
0.5
:
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-0.5
Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter
(x1, y1) og (x2, y2)
x1  y1  x2  y2
20
(Idet b=b)
STATISTIK, GRUPPERET OBSERVATIONSSÆT
Her er observationerne (tallene) grupperet i intervaller
Hyppigheden fortæller hvor mange observationer der er i hvert interval.
Frekvensen udregnes ved at dividere hyppigheden med antal observationer i alt.
Frekvensen =
hyppighed
 100 %
antal observationer ialt
Frekvensen fortæller hvor mange procent af observationerne der er i hvert interval.
Middelværdien udregnes ved at tage midtpunktet af hvert interval og gange det med
frekvensen, og så lægge alle disse resultater sammen.
Middelværdien = summen af (intervalmidtpunkt . frekvens)
Middelværdien er et bud på et gennemsnit.
Histogrammet tegnes i et koordinatsystem hvor intervalendepunkterne afsættes på x-aksen
og hyppigheden eller frekvensen afsættes på y-aksen. Over hvert interval tegnes et rektangel
som har intervallets bredde og hvor højden er hyppigheden eller frekvensen.
Typeintervallet er det interval der har den største hyppighed og største frekvens.
Den kumulerede frekvens udregnes i intervalendepunkterne ved at lægge frekvenserne
sammen nedefra.
Den kumulerede frekvens fortæller hvor mange procent af observationerne der er mindre
end eller lig med et bestemt tal.
Sumkurven tegnes i et koordinatsystem med intervalendepunkterne på x-aksen og de
kumulerede frekvenser på y-aksen. Punkterne fra tabellen over kumuleret frekvens afsættes
i koordinatsystemet og de forbindes med rette linjestykker. Til sidst tegnes vandrette
halvlinjer ud fra første og sidste støttepunkt.
Kvartilerne aflæses på sumkurven ud fra 25%, 50% og 75% på y-aksen.
Medianen er den kvartil der aflæses ud fra 50%, og den angiver det tal der deler
observationerne så halvdelen er under medianen og halvdelen er over medianen.
Boxplottet Kassetingen med håndtag tegnes ved at lave et vandret linjestykke som starter i
det mindste intervalendepunkt og slutter i det største. På linjestykket afsættes de tre
kvartiler, og der tegnes et rektangel med tilfældig højde over hvert par af kvartilerne.
21