1. No category

Huskeseddel til løsning af aeveringsopgaver i fysik
Natalia Golubeva
7. september 2010
Denne note gennemgår de mest almindelige fejl i aeveringsopgaver i
fysik på første år. Noten skal ses som en (ikke udtømmende) vejledning til,
hvordan man skal gribe en aeveringopgave an.
Lidt generelt om opgaveløsning
Et af formålene med vores uddannelse er at lære at analysere en kompliceret
problemstilling, opstille en simpel model, som kan bruges til at løse opgaven,
og derefter naturligvis løse selve opgaven. Vi skal desuden lære at formidle
vores metoder til hinanden og omverdnen på en forståelig måde.
Ovenstående er alt sammen noget, I øver jer i ved at løse TØ-opgaver
ved tavlen såvel som aeveringsopgaver. Derfor er det vigtigt, at I, når I
fremlægger en opgave mundtligt eller skriftligt, altid har i baghovedet, at I
skal forklare opgaven og jeres løsning af den på en måde, så en medstuderende kan forstå det uden at have forudgående kendskab til opgaven. Jeres
instruktor er altså som udgangspunkt dum og skal have alting forklaret, som
om han/hun var førsteårsstuderende.
Ovenstående snak munder mere konkret ud i følgende råd:
•
Første fase: Beskriv altid jeres udgangspunkt for løsningen af opgaven.
I behøver ikke nødvendigvis at skrive hele opgaveformuleringen af, men
gør det klart, enten på en tegning eller med ord, hvilke størrelser, I får
opgivet i opgaven, og hvad I gerne vil frem til. I special relativitetsteori
indebærer denne fase som oftest at denere sine inertialsystemer (!),
gerne med en supplerende tegning, og skrive ned de relevante koordinater og hastigheder, som I får opgivet.
•
Begynd nu at løse opgaven. Tag altid udgangspunkt i det, du ved, altså
det, du har deneret i første fase. Overvej nu, hvilke teknikker/formler/metoder,
du skal bruge for at komme fra A, dvs. det, du ved, til B, som er det
ønskede resultat.
•
Skriv din løsning af opgaven ned. Gør altid klart med ord og/eller på
tegning, hvilke størrelser, du er i gang med at regne ud, og ikke mindst
1
hvordan. Du skal altså altid skrive de relevante formelnumre fra bogen
ned og forklare alle udregninger, der ikke følger trivielt. (Denitionen
af trivielt ændrer sig i løbet af jeres uddannelse, men i starten er det
bedre at skrive for mange forklaringer end for få.)
Brug hele sætninger i dine forklaringer, altså skriv fx Jeg beregner nu
yets fart set fra jorden vha den galillæiske transformation: i stedet
for Flyets fart:.
Hvis ikke de indledende argumenter k jer overbevist om vigtigheden af
at udtrykke sig klart og forståeligt i opgaver, kan det tilføjes, at det også er en
fordel i jeres fremtidige (især skriftlige) eksamener. Hvis I slynger en formel
ud af ærmet, der viser sig at være forkert, får I ingen point for opgaven, fordi
forelæseren ikke kan se, om det er fordi, at I har fuldstændig misforstået
opgaven, eller om det er bare en simpel regnefejl, der er sket undervejs.
Hvis I derimod viser alle jeres skridt på vej til svaret, kan forelæseren (og
instruktoren!) meget nemmere gennemskue, hvad der er gået galt. Hvis det
blot er en simpel regnefejl, får I næsten fuld point for opgaven, fordi I har
forstået fysikken.
Om at vise udtryk
Det vil ofte ske, at I i en opgave bliver bedt at vise et bestemt udtryk.
Som regel vil det være et matematisk udsagn i stil med A=B, hvor A er et
udtryk, I har regnet ud i forrige delopgave, og B er selvfølgelig det udtryk,
I skal frem til. I sådanne opgaver er det forbudt at regne på begge sider af
lighedstegnet, altså er det forbudt at gøre følgende:
A = B ⇔ A0 = B 0 ⇔ A00 = B 00 ⇔ ... ⇔ 0 = 0,
hvor de mærkede udtryk bare er nogle mellemregninger. Det, man skal
gøre derimod, er at starte med at regne på venstre side og regne sig frem til
resultatet på højre side, dvs:
A = A0 = A00 = ... = B.
Hvis nogle af skridtene undervejs kræver yderligere forklaring i ord, stopper man naturligvis i sin udregning, skriver en forklaring til, og først derefter
fortsætter:
A = A0 = A00
Nu bruger jeg noget, jeg har vist tidligere... Det betyder at
A00 = ... = B.
2
I denne forbindelse skal det også nævnes, at det ikke er tilladt at snyde
sig til det rigtige resultat. Hvis man fx har et forkert fortegn på sit resultat
ift opgavens resultat, skal man ikke bare bytte rundt på nogle led for at nå
frem til det rigtige resultat. Det signalerer bare, at man ikke ved, hvad man
laver!!! Udfør derimod udregningen med de resultater, I nu engang har, og
skriv at I ikke ved, hvor fortegnsfejlen har sneget sig ind henne. Det viser
overblik.
Om rækkeudviklinger i fysik
Fysikere er ekstremt glade for rækkeudviklinger. Det er vi, fordi de er et redskab, der gør os i stand til at forstå meget komplicerede udtryk og formler, vi
har regnet os frem til, i en bestemt grænse. I relativitetsteori er denne grænse
som regel
v c,
dvs den klassiske grænse, hvor objekternes hastigheder er
meget mindre end lysets.
Matematisk set er en rækkeudvikling af
f (x) omkring punktet a et udtryk
på formen:
1
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a)(x − a)2 + ...
2
Hvis vi beholdte alle led i ovenstående rækkeudvikling, ville venstresiden
være eksakt lig med højresiden. Men som fysikere er vi jo netop interesseret i
et forsimplet, approksimativt udtryk, så vi vil kun beholde nogle af leddene.
Det er i orden, så længe vi er tæt på
a,
dvs hvis
|x − a| 1.
Hvis ikke andet er opgivet, regner vi som regel til første ikke-forsvindende
orden, med mindre det er nulte orden. Altså: Vi starter med
f (a),
som er
nulteordensleddet. Hvis dette led er nul, skal vi kigge på næste led, altså
førsteordensleddet
f 0 (a)(x − a).
Hvis dette led også er nul, går vi videre,
indtil vi nder et led, der ikke forsvinder. Hvis
f (a)
ikke er nul, vil vi stadig
gerne have et ekstra led med, fordi vi vil gerne vide, hvordan vores funktion
ændrer sig med vores variabel
x,
når vi er tæt på
a.
Eksempler:
•
Den meget nyttige rækkeudvikling fra opgave 1 på ugeseddel 1:
(1 + x)α ≈ 1 + αx,
•
|x| 1.
Gammafaktoren:
hvor
1
1
γ(v) = (1 − β 2 )−1/2 ≈ 1 − (− )(−β 2 ) = 1 + β 2 ,
2
2
β = v/c som sædvanligt, og vi har brugt forrige eksempel.
Her
har vi altså regnet til anden orden, fordi førsteordensleddet er nul.
3
•
Udtrykket fra aeveringsopgaven i uge 2:
1
1
1
∆T ∝ γ(v)(γ(v) − 1) ≈ (1 + β 2 )( β 2 ) ≈ β 2 .
2
2
2
Her bruger vi rækkeudviklingen for gammefaktoren fra ovenover og får
et andensordensled og et fjerdeordensled (nulte, første og tredje orden forsvinder). Da fjerdeordensleddet er meget mindre end andenordensleddet, smider vi det væk og nøjes med andenordensleddet, som
giver os den ønskede kvadratiske afhængighed.
Fysik er ikke matematik
Undgå at bruge diverse matematiske symboler som
⇒, ⇔, ∴, ∵
osv. De har
en dybere betydning, end I tror, og hører hjemme i matematik!
Fysikere kommer rigtig langt med lighedstegn og forklarende ord/sætninger
som det betyder altså at, det medfører, derfor og fordi.
Det betyder også, at I ikke behøver at skifte linje, så længe I bare indsætter udtryk i samme formel, fx.
Θ = arctan(
V
|vx0 |
) = arctan(
) = tal,
|vy0 |
|vy |
hvis I et eller andet sted ovenover har skrevet
vx0 = V
og
vy0 = vy .
Lidt har vi dog lånt fra matematik, for symboler er jeres venner. Brug
altid symboler i alle jeres mellemregninger. LAD VÆRE med at sætte tal ind
i jeres mellemregninger. Udtryk altid den størrelse, I bliver bedt om at nde,
vha symboler, hvis STØRRELSER I får opgivet, og indsæt først derefter
tal ind. Formler er det, som fysikere er allermest interesserede i. Så kan vi
bare ændre på vores udgangspunkt, som vi har lyst, og bare indsætte de nye
værdier i den færdige formel!
4