1. No category

Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Engineering Mathematics for Electronic Engineers 1
Kursusoversigt:
Lektion 1:
Lektion 2:
Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Potensrækker og Cauchy-Hadamards formel
Taylor og Maclaurin rækkeudvikling
Periodiske funktioner, Fourier rækkeudvikling
Lektion 3:
Fourier rækkeudvikling (fortsat). Lige og ulige funktioner.
Lektion 4:
4
Den tidskontinuerte Fouriertransformation
Fourier-transformation <> Laplace-transformation
Lektion 5:
Sampling og den tidsdiskrete Fouriertransformation,
Diskret Fourier- og Fast Fourier-transformation (DFT/FFT)
Lektion 6:
6
Fouriertransformation af periodiske og tidsdiskrete signaler
Sampling og periodicitet i tid <> Periodicitet og samp. i frekvens
Ingeniøranvendelser af rækketeori samt Fouriertransformation
-------Lektion 7:
Repetition, opsamling og opgaveregning for lektion 1-6
1
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Oversigt over dagens forelæsning
•
Taylor og Maclaurin rækkeudvikling
(Maclaurin rækker er Taylor rækker med centrum z0 = 0)
- Potensrækker som Taylor rækker
- Særlige/vigtige Taylor rækker:
* geometriske rækker
* rækker for exponentielle funktioner
* rækker for trigonometriske og hyperbolske funktioner
* logaritmiske rækker
•
Konvergenstest for potens-, Taylor og Maclaurin rækker
•
Udvikling af Fourier rækker (herunder Fourier analyse)
- periodiske funktioner
- trigonometriske funktioner
- bestemmelse af Fourier koefficienter
2
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Potensrækker
En potensrække har formen

 a (z  z )
n 0
n
0
n
 a0  a1 ( z  z0 )  a2 ( z  z0 )    
2
hvor z0 er rækkens centrum og {an} rækkens koefficienter.
Rækkens konvergensradius |z - z0| < R findes som
R = lim |an /an+1|
n
hvor R kan være 0, endelig og uendelig.
3
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Funktioner beskrevet ved potensrækker
Det store spørgsmål: Kan potensrækker repræsentere analytiske funktioner –
samt respektere de normale fire regningsarter samt differentiation og
integration?
Vi antager z0 = 0 og skriver generelt potensrækken:

a
n 0
n
z
n


(generelt er: z z  z 0)
Terminologi og notation:

*
f ( z )   an z n  a0  a1 z  a2 z 2      
for R >0
n 0
f(z) kan repræsenteres ved (eller udvikles i) en potensrække
Entydighed for potensrække repræsentation:
En givet funktion f(z) kan ikke repræsenteres af to forskellige
potensrækker med samme centrum!
4
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Potensrækkers konvergensradius
5
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Cauchy-Hadamards formel
6
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Cauchy-Hadamard (eksempel)
7
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Vedrørende Potensrækker:
Theorem 1
Kontinuitet i potensrækkesummen:
Hvis en funktion f(z) kan repræsenteres ved en potensrække* med en konvergensradius R>0, så er f(z)
kontinuert for z=0.
Theorem 2
Identitetssætningen for potensrækker (entydighed):
Hvis potensrækkerne
a0 + a1z + + a2z2 + + + og
b0 + b1z + + b2z2 + + +
begge er konvergente for |z|<R (hvor R er positiv), og begge har samme sum for alle z, så er rækkerne
identiske (a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,...).
Hvis en funktion f(z) kan repræsenteres som potensrække med et vilkårligt z0, er repræsentationen entydig!
8
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Vedrørende brug af potensrækker:
Ledvis addition og subtraktion af to eller flere potensrækker?
Ledvis multiplikation af potensrækker?
(herunder af særlige potensrækker Cauchy produkter)
Ledvis differentiation og integration giver for differentiation anledning til
”afledte” rækker.
9
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Theorem 3
Ledvis differention af potensrækker
Den afledte række af en potensrække har samme konvergensradius som
den oprindelige række
Theorem 4
Ledvis integration af potensrækker
Ved ledvis integration af rækken a0 + a1z + a2z2 + + + fås
potensrækken:

an n1
a1 2 a2 3
z  a0 z  z  z     

2
3
n 0 n  1
Rækken har samme konvergensradius som den oprindelige rækken
10
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Theorem 5
Analytiske funktioner og deres afledede
En potensrække med konvergensradius R forskellig fra 0 repræsenterer en
analytisk funktion indenfor dens konvergenscirkel. De afledte af denne
funktion findes ved ledvis differention af den originale række. Alle rækker
beregnet på denne måde har samme konvergensradius, som de originale
rækker. Iht. repræsenterer alle beregnede rækker således en selvstændig
analytisk funktion.
11
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Taylor og Maclaurin rækker (for potensrækkeudvikling)

fTaylor ( z )  f ( z0 )   an ( z  z0 ) n
n 1
hvor
1 (n)
an  f ( z 0 )
n!
eller
f (z* )
1
dz *
an 
n 1
*

2i C ( z  z 0 )
(Maclaurin rækker er Taylor rækker med centrum z0 = 0)
12
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Taylors Theorem
Lad f(z) være analytisk i et givet område D, og lad z=z0 være et hvilket som
helst punkt i D. Der vil eksistere præcist en Taylor række med centrum i z0
som repræsenterer f(z). Denne repræsentation er gældende på den størst
mulige åbne skive med centrum z0 og indenfor hvilken f(z) er analytisk.
f(z) kan rækkeudvikles op til en given n-værdi. Restbidraget Rn(z) vil have
følgende størrelse:
( z  z 0 ) n 1
f (z )
Rn ( z ) 
dz *

n 1


2i
( z  z)
C ( z  z0 )
(
lim R ( z )  0)
n 
n
For koefficienterne an vil der gælde:
M
|an| ≤ n
r
M er maksimum for |f(z)| på cirkelen |z - z0| = r i D – som også omslutter
cirkelindholdet.
13
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Taylors theorem 2 (EK-10 side 693)
En potensrække med en konvergensradius forskellig fra 0 er Taylor rækken af
dens sum!
14
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Særlige Taylor rækker
Vigtige eksempler:
* geometriske rækker
For f(z) = 1/(1-z) har vi:
f ( n ) ( z )  n! /(1  z ) n 1 , f ( n ) (0)  n!
Ved Maclaurin udvikling af 1/(1-z) fås den geometriske serie:

1
  zn  1 z  z2   
1  z n 0
(f(z)er singulær for z=1)
15
(|z|<1)
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
* rækker for exponentielle funktioner
f(z) = ez (analytisk for enhver z-værdi)
Ved Maclaurin udvikling for z0 =0 fås:

n
2
z
z
ez    1 z    
2!
n 0 n!
Ved substitution af ez med z og derefter z med iy fås:
2k

iy n 
y 2 k 1
k y
k
 i  (1)
  (1)
e 
(2k )! k 0
(2k  1)!
n 0 n!
k 0

iy
(” eiy = cosy + i sin y”
- Eulors formel)
16
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
*
rækker for trigonometriske og hyperbolske funktioner

z 2n
z2 z4
cos z   (1)
 1    
(2n)!
2! 4!
n 0
n
2 n 1
3
5
z
z
z
 z     
sin z   (1) n
(2n  1)!
3! 5!
n 0

________

z 2n
z2 z4
cosh z  
 1   
2! 4!
n 0 (2n)!
z 2 n1
z3 z5
sinh z  
 z    
3! 5!
n 0 ( 2n  1)!

17
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
*
logaritmiske rækker
z2 z3

  
Ln(1  z )  z 
2
3
(|z|<1)
1
z2 z3
 Ln(1  z )  Ln
 z

    (|z|<1)
1 z
2
3


1 z
z3 z5
 2 z 

    
Ln
1 z
3
5


(|z|<1)
18
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Eksempler på udvikling af Taylor og Maclaurin rækker
<1)
19
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Eksempler på udvikling af Taylor og Maclaurin rækker
20
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Eksempler på
udvikling af
Taylor og
Maclaurin
rækker
21
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Periodiske funktioner - Fourierrækker
22
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
23
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
24
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Fourierrækken:
Fourierkoefficienter:
25
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Eksempel
26
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Eksempel - fortsat
27
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling
Eksempel - fortsat
28