1. No category

københavns universitet
københavns universitet
1
Førsteordens differensligninger
2
Autonome differensligninger. Ligevægt og stabilitet
Institut for Grundvidenskab og Miljø
Institut for Matematiske Fag
www.matdat.life.ku.dk/mat-model/
3
Epidemimodel
14.5.2012
Dias 1/27
14.5.2012
Dias 2/27
Modul 2: Differensligninger
Matematik og modeller 2012
Henrik L. Pedersen
københavns universitet
københavns universitet
Eksempler på differensligninger
1
Modeleksempler
1
2
t
xt
xt
På en konto står 5000 kr. Der indsættes 1000 kr. om året og renten
er 2% p.a.:
xt+1 = 1.02 xt + 1000
0
3
x0
t = 0, 1, . . .
1
3·2
x0 · 2
med x0 = 5000
En model for antallet af smittede personer (St ) i en gruppe på N
personer
St
St+1 = (1 − a)St + bSt 1 −
N
(uddybes senere)
xt+1 = 2xt ,
2
3 · 22
x0 · 22
...
...
...
? = 3 · 2t
2
xt+1 = 2xt − 1,
t
xt
xt
0
3
x0
14.5.2012
Dias 5/27
?? = x0 · 2t
t = 0, 1, . . .
1
2·3−1=5
2 · x0 − 1
2
2·5−1=9
4x0 − 3
Uha = xt = 2 · 2t + 1
14.5.2012
Dias 4/27
t
?
??
...
...
...
t
Uha
UhaUha
UhaUha = xt = (x0 − 1) 2t + 1
københavns universitet
københavns universitet
Eksempler på differensligninger
1
Eksempel på succesiv udregning
xt+1 = 2xt for t = 0, 1, . . .
løsning
xt = c 2t
xt+1
=
cos(xt3 )e −xt + cos(t),
x0
=
2
x1
=
cos(x03 )e −x0 + cos(0) = cos(23 )e −2 + cos(0) ' 0.98
x2
= cos(x13 )e −x1 + cos(1) ' 0.76 osv
for t = 0, 1, . . . med c = x0 (frit valg på c)
2
xt+1 = 2xt − 1 for t = 0, 1, . . .
løsning
xt = c 2 t + 1
for t = 0, 1, . . . med c = x0 − 1 (frit valg på c)
3
xt+1 = 2xt + t for t = 0, 1, . . .
løsning
xt = c 2t − t − 1
for t = 0, 1, . . . (frit valg på c)
4
xt+1 =
løsning
cos(xt3 )e −xt
+ cos(t) for t = 0, 1, . . .
xt = ??
14.5.2012
Dias 6/27
t = 0, 1, . . . ,
x0 = 2
R kan bruges:
>
>
>
>
>
f <- function(t,x){cos(x^3)*exp(-x)+cos(t)}
x0 <- 2
X <- x0
x <- x0; for (t in (0:10)){x<-f(t,x);X<-c(X,x)}
X
[1] 2.000000000 0.980308712 0.760956744 0.006443875
[6] 0.342778449 0.992882029 1.166921025 0.748234760
[11] -0.160666762 0.335211955
>
14.5.2012
Dias 7/27
københavns universitet
københavns universitet
Førsteordens differensligning
Lineær førsteordens differensligning
xt+1 = f (t, xt )
Løsning
• En løsning til en førsteordens differensligning er en talfølge
(xt ) = (x0 , x1 , x2 , . . .) som får ligningen til at stemme for alle t når
den indsættes
Definition
En lineær førsteordens differensligning er på formen
xt+1 = at xt + bt ,
• den fuldstændige løsning er alle mulige løsninger
Bemærkning
• en løsning (x0 , x1 , x2 , . . .) er givet når x0 er kendt:
hvor at og bt er givne følger af tal
• Ligningen kaldes homogen hvis bt = 0 for alle t
• Ligningen kaldes inhomogen hvis bt 6= 0 for nogle t
x1 = f (0, x0 ), x2 = f (1, x1 ), x3 = f (2, x2 ) osv.
(kaldes iterativ eller succesiv udregning af xt )
• i langt de fleste tilfælde kan man ikke opskrive et løsningsudtryk
14.5.2012
Dias 8/27
t ≥ 0,
14.5.2012
Dias 9/27
0.003584346
0.286786062
københavns universitet
københavns universitet
Sætning: inhomogen ligning
Sætning: homogen ligning
(a) (Homogen ligning med konstant koefficient.) Ligningen
(c) (Inhomogen ligning med konstante koefficienter.) Ligningen
xt+1 = axt + b
xt+1 = axt
har den fuldstændige løsning (for a 6= 1)
har den fuldstændige løsning
xt = cat +
xt = cat ,
hvor c ∈ R
(b) (Homogen ligning generelt.) Ligningen xt+1 = at xt har den
fuldstændige løsning
xt = cEt ,
b
1−a
(c ∈ R)
(d) (Inhomogen ligning generelt.) Ligningen xt+1 = at xt + bt har den
fuldstændige løsning givet ved (panser-)formlen
!
t−1
X
xt = Et c +
bs /Es+1 ,
s=0
hvor Et = at−1 at−2 · · · a0 og c ∈ R
hvor Et = at−1 at−2 · · · a0 og c ∈ R. Som regel er formlen ubrugelig!
14.5.2012
Dias 11/27
14.5.2012
Dias 10/27
københavns universitet
københavns universitet
Gætte- eller nålestiksmetoden
Definition: autonom ligning
En førsteordens differensligning er autonom hvis der gælder
Sætning: fil = fhl + ϕt
xt+1 = f (xt )
Ligningen (med at = a konstant)
xt+1 = axt + bt
har den fuldstændige løsning xt givet ved formlen
xt = cat + ϕt , c ∈ R,
(Ingen direkte afhængighed af t på højre side)
Eksempel
Ligningen xt+1 = 2xt − 1 er autonom
Ligningen xt+1 = 2xt + t er ikke
hvor ϕt er en (partikulær) løsning til den inhomogene ligning
Man kan gætte på ϕt som et udtryk “af samme slags” som bt :
t
bt = d , d 6= a
bt = a t
bt = polynomium
14.5.2012
Dias 12/27
t
ϕt = Ad
ϕt = Atat
ϕt = polynomium af samme grad
Definition: ligevægt
Et tal x ∗ er en ligevægt for en autonom differensligning xt+1 = f (xt ) hvis
x ∗ = f (x ∗ )
(x ∗ “ændrer sig ikke fra gang til gang”)
14.5.2012
Dias 14/27
københavns universitet
københavns universitet
Stabilitet
Eksempel: grafisk illustration af ligevægt
Betragt
xt+1 = 0.75xt2 − 2xt + 2.25 = f (xt ),
Definition: stabil ligevægt
hvor f (x) = 0.75x 2 − 2x + 2.25.
• Ligevægtene er
x ∗ = 1,
En ligevægt x ∗ for en autonom differensligning xt+1 = f (xt ) er stabil hvis
der gælder følgende:
For alle startværdier x0 i nærheden af x ∗ skal de tilsvarende værdier xt
konvergere mod x ∗ for t → ∞
4
x∗ = 3
3
• De er fundet som løsningerne
y2
til andengradsligningen
1
f (x) − x = 0
0
1
2
x
3
4
+ At en ligevægt ikke er stabil (eller er ustabil) betyder altså, at der
findes startværdier x0 vilkårligt tæt på ligevægten, hvor de
tilsvarende tal xt ikke konvergerer mod ligevægten
Løsere sagt: selv små ændringer i startværdien kan betyde meget i
det lange løb
Legend
f(x)
x
14.5.2012
Dias 16/27
14.5.2012
Dias 15/27
københavns universitet
københavns universitet
Sætning: stabilitet
Lad x ∗ være en ligevægt for differensligningen xt+1 = f (xt ). Da gælder
Eksempel: grafisk illustration af (u)stabilitet
• Ligevægten er stabil når |f 0 (x ∗ )| < 1.
• Ligevægten er ikke stabil når |f 0 (x ∗ )| > 1.
5.5
1.4
(x2,x3)
1.3
Eksempel: stabilitet
5
(x0,x1)
1.2
4.5
Lad xt+1 = f (xt ), hvor
1.1
(x2,x3)
y1
4
(x1,x2)
2
f (x) = 0.75x − 2x + 2.25
(x1,x2)
y
(x3,x4)
3.5
(x0,x1)
0.9
3
0.8
Vi har
0.7
0
f (x) = 1.5x − 2
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x ∗ = 1 er stabil “Spindelvæv”
• Er ligevægten x ∗ = 1 stabil? f 0 (1) = −0.5
• Er ligevægten x ∗ = 3 stabil? f 0 (3) = 2.5
14.5.2012
Dias 17/27
2.5
14.5.2012
Dias 18/27
2
2.5
3
x
3.5
4
4.5
x ∗ = 3 er ikke stabil
københavns universitet
københavns universitet
Epidemimodel
Udbredelse af en smitsom sygdom i en population
Nye tilfælde:
• Hvor mange nye smittede til tiden t + 1? Sygdommen smitter ved
kontakt mellem rask og smittet, dvs.
• jo flere raske til tiden t des flere smittede til tiden t + 1
• jo flere smittede til tiden t des flere smittede til tiden t + 1
• Populationens størrelse er N individer, som alle er modtagelige
overfor smitten
Antagelse: antal nye tilfælde er proportional med både St og N − St
nye tilfælde = kSt (N − St ) = bSt 1 − SNt ,
• St antallet af smittede til tiden t
Mål: at udtrykke St+1 ved St
St+1 = gamle tilfælde
+
nye tilfælde
hvor b ≥ 0 kaldes infektionsraten
Konklusion:
Gamle tilfælde:
• Antagelse: en fast brøkdel a (med 0 ≤ a ≤ 1) af de smittede bliver
St+1
raske til tiden t + 1 Dvs antal stadigt smittede til tiden t + 1 er
St − aSt
gamle tilfælde = St − aSt
14.5.2012
Dias 20/27
=
gamle tilfælde
=
St − aSt + bSt 1 − SNt
(1 + b − a)St − Nb St2
=
nye tilfælde
+
14.5.2012
Dias 21/27
københavns universitet
københavns universitet
Ligevægte i epidemimodellen
Stabilitet af ligevægte
Da f (S) = (1 + b − a)S −
St+1 = (1 + b − a)St −
hvor f (S) = (1 + b − a)S −
b 2
N St
= f (St ),
b 2
NS
har vi
f 0 (S) = 1 + b − a −
b 2
NS
S ∗ er en ligevægt hvis
• Ligevægten S ∗ = 0 er stabil hvis |f 0 (0)| = |1 + b − a| < 1.
S ∗ = f (S ∗ ) = (1 + b − a)S ∗ −
∗ 2
b
N (S )
|1 + b − a| < 1
⇔ −1 < 1 + b − a
⇔ b >a−2
Dette giver
S∗ = 0
2b
NS
eller
og
1+b−a<1
og b < a
S ∗ = N(1 − ba )
• Ligevægten S ∗ = 0 er ikke stabil hvis |f 0 (0)| = |1 + b − a| > 1.
|1 + b − a| > 1
Bemærkning
S ∗ = N(1 − ba ) er biologisk meningsfuld når a < b dvs når
infektionsraten er større end raskhedsraten
⇔ −1 > 1 + b − a
⇔
b <a−2
eller
eller b > a
(På samme måde for ligevægten S ∗ = N(1 − ba ))
14.5.2012
Dias 22/27
14.5.2012
Dias 23/27
1+b−a>1
københavns universitet
københavns universitet
Konklusion
Regneeksempel
N = 10 000, a = 0.1 og b = 0.6 dvs.
(
når a − 2 < b < a
når b > a eller b < a − 2
stabil
S ∗ = 0 er
ikke stabil
(
stabil
S ∗ = N(1 − ba ) er
ikke stabil
St+1 = 1.5 St −
0.6
10000
St2
Ligevægten
når a < b < a + 2
når a > b eller b > a + 2
S ∗ = N(1 − ba ) = 10000(1 −
0.1
0.6 )
' 8333.33
er stabil fordi a < b < a + 2.
Fremskrivninger med R bekræfter at 8333.33 er en stabil ligevægt:
Stabilitet af 0
Stabilitet af N(1-a/b)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
14.5.2012
Dias 24/27
> f <- function(S)(1.5*S-0.6*S^2/10000)
> S0 <- 1000
> X <- S0
> S <- S0
> for (t in (1:50)){S<-f(S);X<-c(X,S);}
> round(X[1:5],2) # to decimaler
[1] 1000.00 1440.00 2035.58 2804.76 3735.14
> round(X[47:51],2) # to decimaler
[1] 8333.33 8333.33 8333.33 8333.33 8333.33
>
14.5.2012
Dias 25/27
københavns universitet
københavns universitet
Regneeksempel
Variationer af epidemimodellen
Hvad sker der når b > a + 2? (uden for pensum)
• Når N = 10 000, a = 0.2 og b = 2.3 skiftes mellem to værdier
[1]
[5]
[9]
[13]
[17]
[21]
[25]
1000
7313
7462
7502
7514
7519
7520
2870
10370
10326
10312
10307
10306
10305
7003
7414
7487
7510
7517
7520
10430
10341
10317
10309
10306
10306
• Når N = 10 000, a = 0.2 og b = 2.7 skiftes mellem fire værdier
[1]
[5]
[9]
[13]
[17]
[21]
[25]
[29]
[33]
[37]
[41]
14.5.2012
Dias 26/27
1000
7497
5418
5347
5249
5130
5022
4969
4962
4962
4962
3230
11064
11037
10995
10932
10849
10767
10725
10720
10720
8488
5673
5739
5842
5994
6191
6383
6480
6493
6493
10255
11166
11194
11232
11278
11320
11340
11343
11343
11343
• Antal nye tilfælde er
kStα (N − St ),
α>0
• Immunitet efter sygdom leder til et system af differensligninger!
(Næste gang)
14.5.2012
Dias 27/27