Emne i dag Det Biovidenskabelige Fakultet En stakkels plante får en omgang gift. . . Case 2: Vækstmodeller Modellering i naturvidenskab 2010 Henrik L. Pedersen Institut for Grundvidenskab og Miljø Det Biovidenskabelige Fakutet [email protected] Hvad sker der? • Empirisk modellering af dette fænomen • Introduktion af værktøjer (matematiske og datalogiske) 23. september 2010 Dias 1/20 Dias 2/20 Oversigt Præsentation • Jeg er lektor på Institut for Grundvidenskab og Miljø (IGM) • IGM er bredt sammensat med bio-nano videnskab, miljøkemi og 1 Præsentation og praktiske ting -fysik, kemi og biokemi samt matematik og statistik • Jeg er matematiker og vil koncentrere mig om matematiske modeller 2 Eksempel: Udklækningstid for flueæg udvalgt inden for biovidenskab og deres implementering vha it Matematik og statistik &- 3 Biovidenskabelige modeller Eksempel: Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr %. It 4 Dosis-responskurver. Hormesis Opstilling – test – implementering • Meget data inden for biovidenskab: bioinformatik, hormoner i svin, hvornår er en hest halt? Dias 3/20 Dias 4/20 Program i dag Eksempler i dag • Luftfugtighed og udklækningstid for flueæg Lineær regression Hvad skal der foregå? • Kropsvægt og stofskifte for pattedyr • Forelæsninger nu • Øvelsestime i eftermiddag: løs Opgave A og Opgave B i materialet. Transformation af data • Dosis-responskurver Eventuelt også Opgave C og Opgave G. OBS: Opgave D, E, F løses i kurset MatIntro. Hormesis • Ugeopgave til aflevering i næste uge Hvad er en matematisk model? Og hvordan analyseres den? Hvordan skal det foregå? • Oplæg ved forelæsningerne tavle, slides og Maple Modeller karakteristika • Empirisk vs. teoretisk funderet • Arbejde med Maple i opgaverne • Alt om intet eller intet om alt • Variable og parametre Dias 6/20 Dias 5/20 Eksempel: Udklækningstid for flueæg • L: Luftfugtighed i % og U: • U er en funktion af L. Udklækningstid i timer. Hvordan ser den ud? • Matematisk model for lineær vækst • Målinger på tabelform: L U 100 16.6 Eksempel: Udklækningstid for flueæg 94 17.4 ... ... 52 22.7 46 23.2 • Målinger på grafisk form: U = aL + b (hvor a og b er parametre) • Bestemmelse af parametrene a og b: Vha. lineær regression fås a = −0.127 og b = 29.3 dvs. U = −0.127 L + 29.3 • Hvad går lineær regression ud på? • Hvordan kan Maple lave det for os? Målingerne ser ud til at ligge nogenlunde på en ret linie. Dias 7/20 Dias 8/20 Eksempel: Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr Dyr Flagermus Ørkenræv Næsebjørn Hyæne Kænguru Jordsvin Kropsvægt, K 0.029 1.1 3.9 7.0 33 48 Stofskifte, S 0.027 0.4 1.0 2.2 5.8 6.0 Målingerne sammen med graferne for potensfunktionerne S = 0.39 K 0.75 (blå) og S = 0.61 K 0.61 (rød) – hvilken er bedst? Eksempel: Stofskifte og kropsvægt (fortsat) • Potensfunktionen S = 0.61 K 0.61 (rød) findes vha kurvetilpasning. • Potensfunktionen S = 0.39 K 0.75 (blå) findes – hvordan? • Matematisk model for potensvækst er S = bK a . • Trick: Tag logaritmen! ln S = ln b + a ln K (dvs. ln S er en lineær funktion af ln K ). • Indtegn målepunkterne (ln K , ln S) – ligger de nogenlunde på ret linje? • Vha. lineær regression fås ln S = −0.94 + 0.75 ln K . • Dette omformes til S = 0.39 K 0.75 . Dias 9/20 Dias 10/20 Dosis-responskurver. Hormesis Logistisk vækst Økotoksikologi: Princip En plante har ikke godt af gift! Jo mere gift der tilføres desto mere går det ud over plantens vækst. Modellering af hormesis bygger på logistisk vækst Princippet overføres til andre områder Definition: Logistisk funktion • obs: vækst kan godt være negativ • obs: lidt om logistiske funktioner • Det er usundt at drikke! Jo mere man drikker desto værre bliver det. y (x) = • Radioaktiv stråling er skadeligt! Jo mere man får desto værre er det for organismen. • Influenza er ikke godt! Derfor skal man ikke blive vaccineret. Økotoksikologi: Modificeret princip Små doser toksin kan muligvis have en gavnlig effekt på en plantes vækst, mens store doser ikke er gavnligt. Dias 11/20 K , 1 + ce rx hvor K > 0. Sætning: Logistisk funktion • Hvis r < 0 er limx→∞ y (x) = K og limx→−∞ y (x) = 0 • Hvis r > 0 er limx→∞ y (x) = 0 og limx→−∞ y (x) = K Dias 12/20 Logistisk vækst Logistisk vækst med logaritme Definition: Logistisk funktion med logaritme Eksempler på anvendelser med r < 0 y (x) = c + • Antallet af tasmanske får som funktion af tiden • Forholdet mellem vægten af kerne og strå i afgrøde som funktion af tiden d −c , 1 + (x/g )b hvor b > 0, g > 0, d > c > 0. Begrundelse • Befolkningsudviklingen i Danmark i udvalgte perioder y (x) = Eksempler på anvendelser med r > 0 • Koncentrationen af Glucosinolat som funktion af tiden for forskellige agerjorde K K = 1 + ce r ln x 1 + cx r Denne model bruges nogle gange i forbindelse med målinger af koncentration som “fri” variabel Egenskaber ved modellen • Dosis-responskurver Funktionen y aftager fra værdien y (0) = d mod grænseværdien limx→∞ y (x) = c Dias 13/20 Dias 14/20 Modificerede logistiske modeller der tager højde for hormesis Her er Nina og Christian! Brain og Cousens model (1989) Lad b, c, d , f og g være positive parametre og antag at b > 1 samt at d > c. Funktionen y (x) = c + d − c + fx , 1 + e b(ln x−ln g ) x >0 vokser fra værdien limx→0+ y (x) = d til et maksimum, hvorefter den aftager mod værdien limx→∞ y (x) = c. Cedergreen, Ritz og Streibigs model (2005) For positive parametre a, b og g defineres −a y (x) = c + Dias 15/20 d − c + fe −x d − c + fe −x = c + 1 + (x/g )b 1 + e b(ln x−ln g ) −a (og her er en graf) . Dias 16/20 Her er nogle grafer for CRS-kurver Bruges modellerne? • Man bruger EDp% niveauer (p er procent) i forbindelse med risikovurderinger. • Et EDp% niveau er den dosis, hvor p procent af responsen i forhold til kontrolresponsen er opnået. • Man vil nødigt give for meget toksin (fx pesticid). • Man skal passe på hvis hormesis optræder: hvis man holder sig til en (a = 0.25, b = 1, c = 0, d = 1, e = 1, f = 1) lille dosis som i tilfredsstillende grad hæmmer en plantes vækst kan det jo være at denne dosis fremmer naboplanternes vækst! Bestemmelse af EDp% niveauer involverer numerisk løsning af ligningen p y (0) y (x) = 100 • Når y (x) er logistisk kan man gøre det i hånden, men det er ikke (a = 0.25, b = 1, c = 0, d = 1, e = 1, f = 4) tilfældet med modellerne der tager højde for hormesis. • Her gemmer sig altså it: hvordan implementeres en god algoritme for nulpunktsbestemmelse? Dias 17/20 Dias 18/20 Analyse af disse modeller Anvendelse af modellerne • Cedergreen, Ritz og Streibig undersøges i denne forelæsning • Cedergreen, Ritz og Streibig undersøges i denne forelæsning • Brain og Cousens undersøges i ugeopgaven • Brain og Cousens undersges i ugeopgaven Fortolkning af parametrene • Hvordan ser en typisk kurve ud? • Hvilken rolle spiller parametrene for kurvens udseende? • En “rigtig” matematiker ville sætte sig til at bevise mange sætninger. . . • Vi vil eksperimentere med Maple. . . Dias 19/20 • Data betår af samhørende værdier af koncentration og respons og det findes i en fil. . . • Indlæs data i Maple og analyser det. . . • Forsøg at bestemme den bedste dosis-responskurve – hvad skal vi vælge af parameterværdier? • Disse modeller bliver taget op senere hvor R-programmet anvendes. Ritz har lavet R-pakke til dosis-respons modeller. Dias 20/20