1. No category

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(6)
11. Kaasujen tilanyhtälö
RATKAISUT: 11. Kaasujen tilanyhtälö
11.1 a) Termodynaaminen systeemi siirtyy tilasta toiseen. Tilanmuutos tapahtuu, kun yksikin
tilanmuuttujan arvo muuttuu.
b) Teoreettinen mallikaasu. Ideaalikaasu noudattaa tilanyhtälöä kaikissa olosuhteissa.
c) Tilanmuutos, joka tapahtuu niin, että lämpötila pysyy vakiona.
d) Tilanmuutos, joka tapahtuu niin, että paine pysyy vakiona.
e) Tilanmuutos, joka tapahtuu niin, että kaasun tilavuus pysyy vakiona.
f) Kineettinen kaasuteoria kuvaa makroskooppisen kaasumäärän painetta ja lämpötilaa
mikroskooppisten rakenneosien liikkeiden avulla. Kineettisessä kaasuteoriassa kaasun
ominaisuuksia selitetään hiukkasmallin avulla.
11.2 Alkuarvot
Tila 1: kaasun tilavuus V1 = 45 dm3 ja paine p2 = 110 bar
Tila 2: tilavuus V2 = ? ja normaalipaine p2 = 1013 hPa = 1013 mbar .
Tilanmuutoksen aikana lämpötila pysyy vakiona, joten Boylen lain pV = vakio
mukaan p1V1 = p2V2 , josta
V2 =
p1V1 110 bar ⋅ 45dm3
=
= 4 886, 48dm3 ≈ 4 900 litraa.
p2
1, 013bar
Vastaus: Kaasu vaatii 4 900 dm3 tilaavuuden normaalipaineisena.
11.3 a) Alkutila:
V1 = 85 cm3
T1 = (20 + 273,15) K = 293,15 K
p1 = 1013 hPa
Lopputila:
V2 = 21,25 cm3
T2 = (24 + 273,15) K = 297,15 K
p2 = ?
Kaasunmäärä pumpussa pysyy vakiona.
Ilma käyttäytyy ideaalikaasun tavoin näissä olosuhteissa, joten se noudattaa kaasujen
yleistä tilanyhtälöä
pV
= vakio .
T
Tilanyhtälö saa nyt muodon
p2 =
p1V1 p2V2
, josta loppupaine on
=
T1
T2
p1V1T2 1013 ⋅102 Pa ⋅ 85 cm3 ⋅ 297,15 K
=
= 4107, 289 ⋅102 Pa ≈ 4100 hPa.
293,15 K ⋅ 21,25 cm3
TV
1 2
Vastaus: Paine pumpussa on 4100 hPa.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
2(6)
11. Kaasujen tilanyhtälö
11.4 Lasketaan lämpötilat kevineinä.
Alkutila huoneen lämpötilassa:
pulloon lisättävä ilmamäärä ΔV1 = ?
T1 = (21 + 273,15) K = 294,15 K
p1 = 1013 hPa
V2 = 1,5 l
Lopputila:
T2 = (50 + 273,15) K = 323,15 K
p2 = ?
a) Pullossa olevan ilman tilavuus pysyy vakiona, joten Charlesin lain
p
= vakio mukaan
T
p1 p2
,
=
T1 T2
josta lämmenneen pullon paine
p2 =
p1T2 1 013 hPa ⋅ 323,15 K
=
T1
294,15 K
= 1112,87 hPa ≈ 1100 hPa.
b) Lasketaan, kuinka paljon huoneenlämpöistä ja normaalipaineista ilmaa on lisättävä
pulloon, jotta pullon paine kasvaa 1 112,87 hPa:n paineeseen.
Koska lämpötila on vakio, niin Boylen lain mukaan
p1V1 = p2V2 ,
josta pulloon puristettavan kaasun tilavuus
V1 =
=
p2V2
p1
1112,87 hPa ⋅1,5 l
1 013 hPa
= 1, 6479 l.
Pulloon olisi lisättävä normaalipaineista ilmaa ΔV1 = 1, 6479 l − 1,5 l = 0,1479 l ≈ 0,15 l.
Vastaus:
a) Paine pullossa on 1100 hPa.
b) Pulloon olisi lisättävä ilmaa 0,15 l.
11.5 Painepullo tyhjenee niin kauan, kunnes pullon paine ja ulkoinen paine ovat yhtä
suuret.
Lasketaan kokonaispaine 20 metrin syvyydellä
pkok = p0 + ρ hg
= 1013 ⋅102 Pa + 1000
kg
m
⋅ 20 m ⋅ 9,81 2
3
m
s
= 2975, 0 ⋅102 Pa.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
Alkutila:
1. painos
3(6)
11. Kaasujen tilanyhtälö
V1 = 6,8 l
p1 = 21 MPa
Lopputila:
V2
P2 = 29750 hPa
Oletetaan lämpötila samaksi sekä veden pinnalla että 20 m syvyydellä, jolloin
voidaan tarkastella tilanmuutosta Boylen lain pV = vakio, avulla,
joten p1V1 = p2V2 .
Lasketaan kaasun tilavuus loppupaineisena
V2 =
=
V1 p1
p2
6,8 dm3 ⋅ 21 ⋅106 Pa
2975, 0 ⋅102 Pa
= 480 dm3 .
Koska pulloon jää ilmaa 6,8 dm3, paineilmapullosta saadaan kaasua
480 l − 6,8 l = 473, 2 l ≈ 470 l.
Vastaus: Ulospurkautuvan ilman tilavuus on 470 dm3.
11.6 a) Pullo suljetaan lentokoneen alipaineisessa tilassa ja tuodaan maanpinnalle normaaliin
ilmanpaineen tilaan. Pullon sisätilan ja ulkopuolen välillä on paine-ero. Paine-erosta
aiheutuva voima rutistaa pullon kasaan.
b) Kun pakastinkaapin ovi on auki, pakastimeen virtaa huoneenlämpöistä ilmaa. Oven
sulkemisen jälkeen kaapin sisällä olevan ilman määrä pysyy vakiona, mutta sen paine
pienenee ilman lämpötilan laskiessa. Pakastimen sisätilan ja ulkopuolen välille syntyy
paine-ero, josta aiheutuva voima painaa ovea kiinni.
Koska pakastinkaapin ovi ei ole täysin ilmatiivis, ilma pääsee virtaamaan kaappiin,
joten paine-ero häviää jonkin ajan kuluttua.
c) Veden pinta nousee sangossa, kun sanko viedään syvemmälle. Veden pinnan taso
määräytyy siitä, että sangossa olevan ilmataskun paine on yhtä suuri kuin veden paine
sangossa olevan veden pinnan tasolla. Boylen lain mukaan ilman tilavuus pienenee
paineen noustessa.
d) Laki pätee tarkasti vain ideaalikaasulle. Ideaalikaasu on mallikaasu, jossa on oletettu
muun muassa, että molekyylien välillä ei ole vuorovaikutuksia ja molekyylit ovat
pistemäisiä. Todellisten kaasujen atomeilla ja molekyyleillä on aina jokin koko ja niiden
välillä vaikuttaa vuorovaikutuksia. Ideaalikaasu kuvaa todellisen kaasun käyttäytymistä
hyvin, jos kaasun paine on pieni. Jos todellisen kaasun paine on suuri ja lämpötila
matala, sen käyttäytyminen poikkeaa ideaalikaasun käyttäytymisestä.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
4(6)
11. Kaasujen tilanyhtälö
11.7 Oven sulkemisen jälkeen kaapin sisällä olevan ilman määrä pysyy vakiona. Ilma
käyttäytyy ideaalikaasun tavoin näissä olosuhteissa, joten se noudattaa kaasujen
yleistä tilanyhtälöä
pV
= vakio .
T
T1 = (–1,0 + 273,15) K = 272,15 K
Alkutila:
p1 = 1013 hPa
T2 = (–13 + 273,15) K = 260,15 K
Lopputila:
p2 = ?
Ilman tilavuus on vakio, joten tilanyhtälö saa nyt muodon
p1 p2
=
,
T1 T2
josta loppupaine on
p2 =
p1T2 1 013 ⋅102 Pa ⋅ 260,15 K
=
T1
272,15 K
= 9, 6833 ⋅105 Pa.
Paine-ero pakasteen ulko- ja sisäpuolen välillä on
Δp = p1 − p2
= 1 013 ⋅102 Pa − 968,33 ⋅102 Pa = 4 466, 6 Pa
ja paine-erosta aiheutuva voima, jolla ovi puristuu kiinni on
FΔp = ΔpA
= 4 466, 6 Pa ⋅1, 2 m ⋅ 0, 6 m
= 3 215,991 N.
Oven avaamiseen tarvittava voima saadaan
pyörimisen tasapainoehdosta ∑ M = 0
Fs − FΔp
d
=0
2
Fs = FΔp
d
2
F=
FΔp d
2s
=
3 215,991 N ⋅ 0,6 m
= 1 754,177 N ≈ 1,8 kN.
2 ⋅ 0,55 m
Vastaus: Oven avaamiseen tarvitaan 1,8 kN:n suuruinen voima.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
5(6)
11. Kaasujen tilanyhtälö
11.8 Alkuarvot:
paineilmapullon tilavuus V = 11, 0 l
alkutilanne T1 = (21 + 273,15) K = 294,15 K, p1 = 111 kPa,
lopputilanne T2 = (42 + 273,15) K = 315,15 K, p2 = 21, 0 MPa,
ilman moolimassa M = 29, 0
g
mol
kysytään lisätyn ilman massaa Δm = ?
Ainemäärän määritelmän n =
mi
perusteella kaasupulloon lisätyn ilman massa on
Mi
Δm = m2 − m1 = n2 M − n1 M = (n2 − n1 ) M .
Ideaalikaasun tilanyhtälöstä pV = nRT voidaan ratkaista ainemäärä n1 ennen täyttöä
ja ainemäärä n2 täytön jälkeen
n1 =
n2 =
p1V 111 ⋅103 Pa ⋅11, 0 ⋅10−3 m3
=
= 0, 4992715 mol
J
RT1 8,314
⋅ 294,15 K
mol ⋅ K
p2V 21, 0 ⋅106 Pa ⋅11, 0 ⋅10−3 m3
=
= 88,162653 mol
J
RT2
8,314
⋅ 315,15 K
mol ⋅ K
Lasketaan pulloon lisätyn ilman massa
Δm = (n2 − n1 ) M
= (88,162653 mol − 0, 4992715 mol) ⋅ 29, 0
g
mol
= 2542, 2381 g ≈ 2,54 kg.
Vastaus: Pulloon lisättiin ilmaa 2,54 kg.
11.9 männän poikkileikkausala A = 210 cm 2
kuorma männän päällä mk = 45 kg
ilman määrä sylinterissä mi = 8, 0 g ja ilman moolimassa M i = 29, 0
g
,
mol
lämpötila alussa T1 = (20 + 273,15) K = 293,15 K
lämpötila lopussa T2 = (95 + 273,15) K = 368,15 K
ilmanpaine p0 = 1, 0 bar = 1, 0 ⋅105 Pa
Kun ΔV on lämpenemisestä aiheutunut ilman tilavuuden muutos sylinterissä,
männän nousukorkeus on h =
ΔV
.
A
Suljetussa systeemissä kaasun käyttäytymistä kuvaa tilanyhtälö
pV = nRT , jossa n =
mi
on ilman ainemäärä.
Mi
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
6(6)
11. Kaasujen tilanyhtälö
Kun paine pysyy vakiona, tilanyhtälöstä seuraa
pΔV =
mi
R ΔT .
Mi
Paine sylinterissä on ilmanpaineen p0 ja kuorman painosta aiheutuvan paineen summa
m g
p = p0 + k = 1, 0 ⋅105 Pa +
A
m
s 2 = 1, 21⋅105 Pa.
2
45 kg ⋅ 9,81
0, 021 m
Ja nousukorkeus on nyt
J
⋅ 75, 0 K
8, 0 ⋅10−3 kg ⋅ 8,31
ΔV mi RΔT
mol ⋅ K
=
=
= 0, 0677 m ≈ 68 mm.
h=
A
M i pA 29, 0 ⋅10−3 kg ⋅ 1, 21 ⋅10−5 Pa ⋅ 0, 021 m 2
mol
Vastaus: Mäntä nousee 68 mm.
11.10 Puvun pinta-ala on A = 2, 0 m 2 ja paksuus d = 6, 0 mm , sukellussyvyys h = 25 m ja
puvun paksuuden muutos Δd = 0,56 ⋅ 6, 0 mm .
Nostoliiviin lisättävän ilman tilavuus on ΔV = AΔd ja paine p1 = p0 + ρ gh .
Vastaavan ilman ainemäärä saadaan kaasun tilanyhtälöstä
p1ΔV = ΔnRT , josta
Δn =
p1ΔV
.
RT
Kun tämä ilma poistetaan ilmasäiliöstä (tilavuus Vs ), säiliön paine pienenee
määrällä Δp .
Tilanyhtälöstä seuraa ΔpVs = ΔnRT , josta
Δn =
ΔpVs
.
RT
Nostoliiviin lisätyn ilman ainemäärä on kaasupullosta poistuneen ilman ainemäärä,
joten
ΔpVs = p1ΔV .
Ratkaistaan paineen muutos
Δp =
Δp =
p1ΔV ( p0 + ρ gh) AΔd
=
ja sijoittamalla lukuarvot
Vs
Vs
(101,3 ⋅103 Pa + 1, 0 ⋅103
kg
m
⋅ 9,81 2 ⋅ 25 m) ⋅ 2, 0 m 2 ⋅ 0,56 ⋅ 6, 0 ⋅10−3 m
3
m
s
12 ⋅10−3 m3
= 194 kPa ≈ 1,9 bar
Vastaus: Paine säiliössä pieneni 1,9 bar.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät