1. No category

SISÄLTÖ
1 PERUSTEIDEN KERTAUSTA ...................................................... 7
1.1 PERUSLASKUTOIMITUKSIA .................................................... 7
LUKUJEN PYÖRISTÄMINEN ........................................................................ 7
LASKEMISJÄRJESTYS ............................................................................. 10
MURTOLUVUT ...................................................................................... 15
NEGATIIVISET LUVUT ............................................................................. 22
1.2 ALGEBRAN PERUSTEITA ....................................................... 28
POTENSSIT ......................................................................................... 28
JUURET .............................................................................................. 32
2 PROSENTTILASKENTAA .......................................................... 35
PERUSKÄSITTEITÄ ................................................................................. 36
MUUTOSTEN LASKEMINEN ...................................................................... 43
PROSENTTILASKUT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA .................................... 62
3 KORKOLASKENTAA ................................................................. 67
3.1 KORKOLASKENNAN PERUSTEET ....................................... 68
PERUSKÄSITTEET ................................................................................. 68
KORKOLASKUT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA ......................................... 82
3.2 KORKOLASKENNAN SOVELLUKSIA ..................................... 88
PANKKITILIT ........................................................................................ 88
PANKKILAINAT ...................................................................................... 93
TILI- JA KULUTUSLUOTOT ..................................................................... 102
LUOTTOLASKELMAT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA ................................. 112
4 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN
118
4.1 ALGEBRAN PERUSTEITA ......................................................119
TUNTEMATON, MUUTTUJA JA LAUSEKE ..................................................... 119
LAUSEKKEEN KÄSITTELY ....................................................................... 123
4.2 YHTÄLÖITÄ ........................................................................... 128
YHTÄLÖ ........................................................................................... 128
ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ .............................................................. 129
EPÄYHTÄLÖ ...................................................................................... 136
YHTÄLÖPARI ...................................................................................... 138
TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ ...................................................................... 142
LAUSEKKEIDEN ARVOT JA YHTÄLÖT TAULUKKOLASKENTAOHJELMASSA ............. 146
4.3 LINEAARISIA FUNKTIOITA .................................................... 152
FUNKTIO ........................................................................................... 152
KUSTANNUKSET JA TUOTTO .................................................................. 155
KYSYNTÄ JA TARJONTA ........................................................................ 158
FUNKTIOT JA TAULUKKOLASKENTA .......................................................... 163
5 TILASTOT .................................................................................. 168
5.1 PERUSTEITA .......................................................................... 169
TILASTO ........................................................................................... 169
PERUSKÄSITTEITÄ ............................................................................... 172
AINEISTON KERÄÄMINEN ...................................................................... 175
5.2 TILASTOJEN ESITTÄMINEN ................................................ 178
TAULUKOINTI ..................................................................................... 178
HAVAINTOAINEISTON MUODOSTAMINEN JA TAULUKOINTI
TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA ............................................................ 184
GRAAFINEN ESITTÄMINEN ..................................................................... 193
KAAVIOTYYPIT .................................................................................... 194
GRAAFISET ESITYKSET TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA ............................. 208
5.3 TUNNUSLUKUJA .................................................................... 215
SIJAINTILUVUT ................................................................................... 215
HAJONTALUVUT .................................................................................. 222
TUNNUSLUVUT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA ....................................... 227
6 MITAT, PINTA-ALAT JA TILAVUUDET...................................... 233
6.1 MITTAAMINEN ....................................................................... 234
MITAT .............................................................................................. 234
MITTAKAAVA ...................................................................................... 238
6.2 KUVIOIDEN PINTA-ALOJA .................................................... 240
6.3 KAPPALEIDEN TILAVUUKSIA ............................................... 243
7 HINNOITTELUA ......................................................................... 247
HINNAN RAKENNE ............................................................................... 248
ARVONLISÄVERO ................................................................................ 249
MYYNTIHINNAN MÄÄRITTÄMINEN ............................................................. 253
ALENNUS JA HÄVIKKI ........................................................................... 256
HINNAN MUUTOSTEN VAIKUTUS KANNATTAVUUTEEN .................................... 259
HINNOITTELULASKELMAT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA ........................... 262
8 KORONKORKOLASKENTAA ................................................... 267
8.1 KORONKORKO JA JAKSOLLISET SUORITUKSET ............. 268
PERUSKÄSITTEET JA NIIDEN LASKEMINEN ................................................. 268
KONFORMISET JA RELATIIVISET KORKOKANNAT .......................................... 276
JAKSOLLISET SUORITUKSET .................................................................. 282
KORONKORKOLASKUT RAHOITUSFUNKTIOILLA ........................................... 289
8.2 INVESTOINTILASKELMIA ..................................................... 298
PERUSKÄSITTEITÄ ............................................................................... 298
NYKYARVOMENETELMÄ ........................................................................ 299
ANNUITEETTIMENETELMÄ ..................................................................... 301
SISÄISEN KORKOKANNAN MENETELMÄ ..................................................... 303
TAKAISINMAKSUAJAN MENETELMÄ .......................................................... 305
INVESTOINTILASKELMAT RAHOITUSFUNKTIOILLA .......................................... 307
9 VASTAUKSIA ............................................................................ 312
2 PROSENTTILASKENTAA
♦
Tilastokeskuksen ennakkotietojen mukaan vanhojen kerros- ja rivitaloasuntojen hinnat laskivat helmikuussa 2012
koko maassa 0,4 prosenttia edelliseen kuukauteen verrattuna. Pääkaupunkiseudulla hinnat pysyivät ennallaan ja
laskivat muualla maassa 0,6 prosenttia. Edellisen vuoden
vastaavaan ajankohtaan verrattuna hinnat pysyivät ennallaan koko maassa. Pääkaupunkiseudulla hinnat nousivat
1,0 prosenttia, kun taas muualla maassa hinnat laskivat
0,8 prosenttia.
♦
Vuonna 2010 taajamien asukkaista 7 prosenttia oli alle
kouluikäisiä eli alle 7-vuotiaita ja 8 prosenttia 75 vuotta
täyttäneitä. Taajamien ulkopuolella haja-asutusalueilla
alle kouluikäisiä oli 8 prosenttia ja yli 75-vuotiaita 9 prosenttia.
♦
Vuoden 2011 tilaston mukaan 16−24 -vuotiaista suomalaisista 73 % käyttää internetiä useita kertoja päivässä. Verkon kautta tekee ostoksia 56 %. 53 %:lla kyseisestä ikäluokasta on älypuhelin omassa käytössä.
Lähde: Tilastokeskus
Prosenttilaskenta on liike-elämässä käytetyin matematiikan osa-alue. Prosenttikäsite esiintyy usein jokapäiväisissä tilanteissa: hintojen ja palkkojen muutoksissa, ennakonpidätyksissä, erilaisissa pitoisuuksissa jne. Jotta selviää tällaisista
käytännön tehtävistä, prosenttilaskennan hyvä hallinta on välttämätöntä.
Tavoitteena on osata prosenttilaskun perustapaukset sujuvasti sekä saavuttaa
valmiudet soveltaa prosenttilaskua erilaisissa käytännön laskutaitoa vaativissa
tilanteissa.
Tämä prosenttilaskentaa käsittelevä luku on rakennettu niin, että kunkin käsitteen
jälkeen on perustehtäviä, joiden hallinta varmistaa käsitteen ymmärtämisen. Luvun lopussa olevien tehtävien on tarkoitus varmentaa perusmenetelmien käyttötaitoa sekä harjaannuttaa prosenttilaskennan soveltamiseen erilaisissa käytännön
tilanteissa. Luvun lopussa esitellään taulukkolaskentaohjelman käyttöä prosenttilaskennan välineenä.
PROSENTTILASKENTAA
35
2 - 83
Parturi- ja kampaamopalveluiden arvonlisävero nousi 9 prosentista
23 prosenttiin tammikuun 2012 alussa. Laske verollinen hinta ennen
muutosta ja muutoksen jälkeen, kun palvelun veroton hinta on
b) 76 ˆ
c) 138,40 ˆ
a) 24 ˆ
2 - 84
Tuotteen verollinen myyntihinta on 4414,40 ˆ, kun arvonlisävero on
24 % (verottomasta hinnasta). Mikä pitää panna verolliseksi myyntihinnaksi, jos veroton hinta säilyy ennallaan ja arvonlisävero
a) laskee 20 %:iin b) nousee 25 %:iin?
2 - 85
Kuinka monta prosenttia olisi tuotteiden verollisten hintojen pitänyt
nousta, jos verottomat hinnat säilyivät ennallaan ja arvonlisävero
nousi 23 %:sta 24 %:iin?
2 - 86
Opiskelijan verokortissa on seuraavat tiedot:
Vuoden 2012 portaikkoverokortti
Tuloraja
0 – 1 210 €
yli 1 210 € – 16 700 €
yli 16 700 €
Ennakonpidätysprosentti
0
13,5
40
Kuinka paljon ennakkoa on pidätettävä, jos tulo on
b) 8 400 ˆ
c) 20 100 ˆ?
a) 950 ˆ
2 - 87
Henkilö maksaa kunnallisveroa liitännäisineen 21,6 % verotettavasta
tulostaan sekä valtion veroa oheisen taulukon mukaan.
Vuoden 2012 tuloveroasteikko
Verotettava ansiotulo ˆ
Vero alarajan
Vero alarajan
kohdalla
ylittävästä osasta
16 100 – 23 900
8ˆ
6,5 %
23 900 – 39 100
515 ˆ
17,5 %
39 100 – 70 300
3 175 ˆ
21,5 %
70 300 –
9 883 ˆ
29,75 %
Kuinka paljon veroa yhteensä on maksettava
a) 18 000 euron verotettavasta vuositulosta
b) 34 000 euron verotettavasta vuositulosta?
2 - 88
Kuinka monta prosenttiyksikköä suurempi on verojen osuus verotettavasta tulosta henkilöllä, jonka verotettava tulo on 60 000 ˆ kuin
henkilöllä, jonka verotettava tulo on 34 000 ˆ? Asteikot samat kuin
edellisessä tehtävässä.
PROSENTTILASKENTAA
57
Jousto- ja korttiluotot
Joustoluotto on jatkuvasti käytettävissä oleva laina, jota luoton ottaja voi
käyttää vapaasti sovitun luottorajan puitteissa. Laina maksetaan takaisin
yleensä kuukausierissä, jotka sisältävät lyhennyksen ja koron. Muita perittäviä maksuja voivat olla esimerkiksi tilinavausmaksu tai perustamiskustannus
sekä kuukausittain maksettava laskutusmaksu tai vastaava. Joustoluottoja
myöntävät sekä pankit että muut rahoitusyhtiöt. Eri rahoittajayhtiöiden välillä vuotuisissa korkokannoissa on isoja eroja. Eräänlaisia joustoluottoja ovat
myös tilit, joihin asiakas voi ostaa tuotteita tietystä liikkeestä tai kauppaketjusta sovitun luottorajan puitteissa.
Esim. 3.29 Osuuspankin joustoluoton kustannukset muodostuvat seuraavasti (tammikuu 2012, lähde Osuuspankki):
Luoton kustannukset ja takaisinmaksu
* Kuukausilyhennys 2,5 % luottorajasta, kuitenkin vähintään 50 euroa
* Nostoprovisio 3 % noston määrästä, kuitenkin vähintään 3 euroa ja
enintään 170 euroa
* Laskutuspalkkio 3 euroa/kk, kun luotto on käytössä
* Korko 3 kk Euribor + 6,5 prosenttiyksikköä (7,86 % 01/12)
Todellinen vuosikorko 1500 euron joustoluotolle on 14,91 % (01/12).
Tehdään laskelma kuukauden maksuista, kun luottoraja on
4 000 é ja asiakas nostaa 2 000 é 27.1.2012 eikä muita tapahtumia ole. Koroksi oletetaan 7,86 %.
Nosto 27.1.2012
Nostoprovisio 3 %
Asiakas saa käyttöönsä
2 000 é
60 é
1 940 é
27.2.2012 asiakas maksaa
= 100,00 é
0,025 · 4 000 é
31
Korko
365 · 0,0786 · 2 000 é = 13,35 é
Laskutuspalkkio
= 3,00 é
Yhteensä
116,35 é
Lyhennys
Seuraavan kuukauden luoton määräksi jää 1 900 é.
106
LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA
5.2 TILASTOJEN
ESITTÄMINEN
Kun havaintoaineisto on kerätty ja ilmoitetaan numeroaineistona, usein havaintomatriisin muodossa, se ei yleensä ole sellaisenaan riittävän informatiivinen. Aineistoa on muokattava tai tiivistettävä jollakin tavalla, jotta se olisi
havainnollisempi ja johtopäätösten tekeminen helpottuisi.
Aineisto saadaan käyttökelpoisemmaksi
♦
♦
♦
♦
tarkastelemalla muuttujia yksitellen (tutkimalla aineistoa yhden
ominaisuuden mukaan)
luokittelulla (tiivistetään laaja numeroaineisto suppeammaksi)
taulukoimalla (ilmoitetaan lukumääriä tai prosenttiosuuksia)
esittämällä se kaaviona eli graafisesti.
TAULUKOINTI
Esim. 5.4 Tarkastellaan esimerkin 5.3 aineiston mielipiteitä kokeen vaikeusasteesta. Mielipiteet voidaan esittää tiivistetysti havainnollisemmin seuraavasti:
Mielipide
Hyvin vaikea
Melko vaikea
Ei helppo eikä vaikea
Melko helppo
Hyvin helppo
Yhteensä
Lukumäärä
3
5
8
6
3
25
Taulukko muodostaa mielipidejakauman. Lukumääriä nimitetään myös frekvensseiksi.
Tarkasteltaessa vain yhtä muuttujaa puhutaan yksiulotteisesta tai suorasta
jakaumasta. Edellä oleva jakauma on suora jakauma, koska muuttujia on
yksi, mielipide. Esiintymiskertojen lukumäärää ilmaisevia lukuja sanotaan
frekvensseiksi. Muuttujan arvot ja vastaavat frekvenssit muodostavat frekvenssijakauman. Edellä muuttujan arvoa eli mielipidettä Melko vaikea vastaava frekvenssi on 5.
178
LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA
Edellisessä esimerkissä opiskelijamäärä on niin pieni, että eri mielipiteiden
edustajat on havainnollisinta ilmoittaa lukumääräisinä. Jos tilastoyksiköitä
on paljon, niin prosenttiosuuksien ilmoittaminen lukumäärien sijaan on
yleensä havainnollisempaa. Prosenttilukujen tarkkuus harkitaan tilanteen
mukaan. Tällöinkin taulukon yhteydessä yleensä kerrotaan havaintojen kokonaismäärä. Havainnollistetaan prosenttiosuuksien eli suhteellisten frekvenssien laskemista kuitenkin edellisen esimerkin aineistolla.
Esim. 5.5 Valtakunnallisen kokeen mielipidejakaumataulukko:
Mielipide
Lukumäärä
Hyvin vaikea
Melko vaikea
Ei helppo eikä vaikea
Melko helppo
Hyvin helppo
Yhteensä
3
5
8
6
3
25
Osuus %
12
20
32
24
12
100
%
%
%
%
%
%
8 · 100 %
25
Yleensä taulukossa esiintyvät vain joko lukumäärät tai prosenttiosuudet.
Mikäli saatavan informaation kannalta on mielekästä, taulukkoon voidaan
laskea myös kumulatiiviset eli summafrekvenssit. Näiden laskeminen
edellyttää muuttujalta järjestysominaisuutta ja ne voidaan laskea sekä lukumääräisistä arvoista että prosenttiosuuksista.
Esim. 5.6 Oheisessa taulukossa on 15–24-vuotiaiden vapaa-ajan liikunnan
harrastamisen jakauma sekä kumulatiiviset prosenttiosuudet (lähde: Suomalaisen aikuisväestön terveyskäyttäytyminen 2010).
Harrastaa liikuntaa
Päivittäin
4–6 kertaa viikossa
3 kertaa viikossa
2 kertaa viikossa
Kerran viikossa
Harvemmin
Yhteensä (N = 414 )
Osuus % Kumulat. %
14 %
27 %
19 %
15 %
14 %
41 %
60 %
75 %
12 %
13 %
100 %
87 %
100 %
14 % + 27 %
14 % + 27 % + 19 %
Suhteellinen frekvenssi 19 % ilmaisee, että 19 % harrastaa
vapaa-ajan liikuntaa 3 kertaa viikossa. Kumulatiivinen osuus
60 % kertoo, että 60 % harrastaa vapaa-ajan liikuntaa 3 kertaa
viikossa tai useammin eli vähintään 3 kertaa viikossa.
TILASTOT
179
Luokittelu
Jos muuttuja on jatkuvaluonteinen eli se saa paljon erilaisia arvoja, niin arvot
on syytä luokitella ennen lukumäärien tai prosenttiosuuksien laskemista. Tätä
varten muodostetaan uusi luokkamuuttuja alkuperäisen muuttujan arvojen
perusteella. Luokitellut arvot voidaan muodostaa eri tavoin, esimerkiksi hakufunktiolla P-haku. P-haku-funktiota varten on ensin muodostettava luokkien alarajat ja luokkien nimet. Luokitellun muuttujan arvoille varataan sarake
(sijainnilla ei ole merkitystä) ja kirjoitetaan ensimmäiselle riville muuttujan
nimi. Funktion arvo lasketaan rivin 2 soluun ja kopioidaan muille riveille.
Esim. 5.13 Luokitellaan aineistosta Liiketalouden opiskelijat muuttujan
Asuminen arvot muutoin 100 euron välein, mutta jätetään viimeinen luokka avoimeksi.
Kirjoitetaan luokkien alarajat ja luokkien nimet taulukkoon.
Osoitin solussa, johon ensimmäinen
arvo lasketaan, valitaan välilehdeltä
Kaavat funktioluokka Haku, josta
funktio PHAKU.
Hakuarvo on muuttujan Asuminen ensimmäinen havaintoarvo, taulukkomatriisi on luokkien alarajojen ja nimien muodostama solualue (ilman otsikoita,
huom. $) ja sarjan indeksinumero on 2.
Kopiodaan kaava sarakkeen
muihin soluihin:
190
LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA
Kaupassa välittömiä kustannuksia ovat yleensä vain tavaran hankinnan kulut.
Kulujen tarkemmassa jaottelussa saatetaan erottaa esimerkiksi rahdit, tullit,
komissiot jne. Lisäksi tehdään erikoisvaraukset kuten alennusvaraus tai varaus hävikkiä varten. Hinnan rakenteessa pitää huomioida myös arvonlisävero.
Kaupan hinnanmuodostusta voidaan kuvata esimerkiksi seuraavanlaisella
kaaviolla:
LUETTELOHINTA =
BRUTTOMYYNTIHINTA
NETTOMYYNTIHINTA
VEROTON OSUUS
ALV
VARAUKSET
VOITTO
MYYNTIKATE
VÄLILLISET KUSTANNUKSET
toimitilat, työvoimakustannukset,
markkinointi, ...
VÄLITTÖMÄT KUSTANNUKSET
ostohinta + kuljetuskustannukset
ARVONLISÄVERO
Valtio perii arvonlisäveroa (alv) liiketoiminnan muodossa tapahtuvasta tavaran ja palvelun myynnistä sekä tavaran maahantuonnista. Käytännössä
tämä tarkoittaa sitä, että tuotteiden ja palveluiden lopullisessa hinnassa on
mukana tämä arvonlisävero, jonka sitten tuotteen tai palvelun myyjät tilittävät valtiolle. Arvonlisäveroa laskettaessa veron perusteena on veroton
myyntihinta. Valtiovarainministeriön esitys on, että 1.1.2013 alkaen veroa
suoritetaan pääsääntöisesti 24 % veron perusteesta. Elintarvikkeiden, ravintola- ja ateriapalveluiden sekä eläinten rehujen verokanta on 14 % . Lääkkeisiin, kirjoihin, pääsylippuihin, liikuntapalveluihin, kaupallisiin viihdetilaisuuksiin, henkilökuljetuksiin, majoitukseen, liikuntatilojen käyttömaksuihin,
sanoma- ja aikauslehtien tilausmaksuihin sekä yleisradion lupamaksuihin
sovelletaan 10 %:n verokantaa.. Vuonna 2012 vastaavat verokannat ovat
23 %, 13 % ja 9 %.
Arvonlisävero on siis 24 %, 14 % tai 10 % siitä myyntihinnasta, joka ei
sisällä arvonlisäveroa, jos tuote on täysin verollinen, kuten useimmat tuotteet ovat. Koska tuotteen tai palvelun myyjä joutuu maksamaan arvonlisäveroa, sen on hintaa määrittäessään huomioitava veron osuus. Verottomaan
myyntihintaan lisätään arvonlisäveron suuruinen varaus, joka myöhemmin
maksetaan valtiolle arvonlisäverotilityksen yhteydessä. Käytännössä arvonlisävero siirtyy kokonaisuudessaan hintaan ja sitä kautta ostajan maksettavaksi. Seuraavassa arvonlisäveroa tarkastellaan lähinnä yksittäisen tuotteen
tai palvelun hintaan vaikuttavana tekijänä.
HINNOITTELUA
249
HINNOITTELULASKELMAT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA
Taulukkolaskentaohjelmia käytettäessä on hyödyllistä muodostaa laskentapohja
yleispäteväksi niin, että lähtöarvoja kuten ostohintaa, kateprosenttia tai
arvonlisäveroprosenttia muutettaessa ohjelma "päivittää" laskelman. Laskelman
asettelu ja ulkoasu vaihtelevat käyttötilanteen mukaan. Seuraavat esimerkit
havainnollistavat nimenomaan sopivien laskulausekkeiden muodostamista.
Esim. 7.12 Lasketaan myyntihinnat, kun verottomat ostohinnat kuluineen
tunnetaan ja myyntikate on 46 % (alv 24 %).
Mieluummin soluihin kirjoitetaan laskentakaavat kuten alla:
Kaavat on kirjoitettu seitsemännen rivin C- ja D-sarakkeille ja kopioitu muille
riveille. Jälkimmäinen tapa kirjoittaa kaavat on sikäli parempi, että alv- tai
kateprosentteja muutettaessa hinnat päivittyvät vastaavasti.
262
LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA
Esim. 7.13 Lasketaan bruttomyyntihinnat ja kampanjahinnat huomioiden
alennusvaraukset, kun kampanjahintaan myytäessä halutaan
myyntikatteeksi 25 %.
Käytännössä hinnat pyöristetään sopiviin lukuihin. Alla prosentit on kirjoitettu suoraan laskentakaavoihin.
Jos taulukosta halutaan muuntelukelpoinen, niin prosenttiluvuille varataan
omat solunsa ja kaavat kirjoitetaan kuten alla olevassa taulukossa.
HINNOITTELUA
263