FUNKTIO JA SEN KUVAAJA Funktio Funktio eli kuvaus on matematiikan ja sen sovellusten keskeisimpiä käsitteitä. Funktio liittyy tilanteisiin, joissa käsitellään suureiden välisiä riippuvuuksia. Esimerkki 1. Kaava T = 2π funktiona l esittää heilurin heilahdusaikaa T heilurin pituuden l g ( g = 9,81 ) . Tässä tapauksessa heilurin pituus on muuttuja ja heim s2 lahdusaika on funktion arvo. Kun muuttujan l arvo on annettu, funktion T arvo on täysin määrätty. Esimerkki 2. l (m) T (s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 1,4 2,0 2,5 2,8 Yhtälössä y = x 2 − 2 on y esitetty muuttujan x funktiona. Tässä x on muuttuja ja y on funktion arvo kohdassa x. x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 y 0 -1,75 -1,0 0,25 2 Funktio eli kuvaus f joukolta X joukolle Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon x joukon Y yksikäsitteisen alkion y = f (x). X Y Joukkoa X nimitetään funktion f määrittelyjoukoksi ( M f ) , joukkoa Y funktion f maalijoukoksi ja joukkoa f f (X ) = { f (x) | x ∈ X } funktion f arvojoukoksi ( Af ) . Alkiota y = f ( x) kutsutaan x y = f(x) funktion f arvoksi pisteessä x tai alkion x kuvaksi kuvauksessa f. Funktio f : X → Y Funktion f nollakohdalla tarkoitetaan sellaista muuttujan x arvoa, joka toteuttaa ehdon f ( x ) = 0 . Esimerkki 3. 2x . Määritä funktion arvot x +1 pisteissä −1, 0, 2, t ja ( x + 1) . Olkoon funktio h( x) = h(−1) = h(0) = h(2) = 2 ⋅ ( −1) ( −1) 2 +1 2 ⋅ ( 0) ( 0) 2 +1 2 ⋅ ( 2) 2 = −1 =0 = 4 5 ( 2) + 1 2 ⋅ (t ) 2t h(t ) = 2 = 2 (t ) + 1 t + 1 2 ⋅ ( x + 1) 2x + 2 2x + 2 h( x + 1) = = 2 = 2 2 ( x + 1) + 1 x + 2 x + 1 + 1 x + 2 x + 2 Esimerkki 4. 2 Määritä funktion g ( t ) = 2t 2 − 3t + 1 nollakohdat. Funktion g nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö 2t 2 − 3t + 1 = 0 . x= 3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅1 2⋅2 x = 1 tai x = Funktion g nollakohdat ovat 1 ja 1 2 1 . 2 Esimerkki 5. Määritä funktioiden f ( x ) = ( x − 1) ja g ( t ) = 9 − t 2 määrittely- ja 2 arvojoukot. Funktion f muuttuja x voi saada mitä tahansa reaalilukuarvoja, joten määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko ( \ ) . Näillä muuttujan x arvoilla funktio f saa arvoja nollasta ylöspäin, sillä neliö ( x − 1) ei voi saada negatiivisiä arvoja. Ar2 vojoukko on tällöin positiivisten reaalilukujenjoukko ([ 0, ∞[ ) . Nyt funktio f voidaan ilmaista kuvauksena määrittelyjoukolta arvojoukolle. f : \ → \+ . Funktion g muuttuja t voi saada arvoja −3 ≤ t ≤ 3 , sillä juurrettava ei voi tulla negatiiviseksi. Määrittelyjoukko on tällöin [ −3,3] . Näillä muuttujan t arvoilla funktio g saa arvoja [ 0,3] , suurimman arvonsa muuttujan t arvolla 0 ja pienimmän muuttujan t arvolla −3 tai 3 . Arvojoukko on [ 0,3] . Funktio g kuvauksena g : [ −3,3] → [ 0,3] . Esimerkki 6. Olkoon X = {1,2,3,4} ja Y = {a, b, c}. a) Ehdot f(1) = a, f(2) = b, f(3) = b ja f(4) = c määrittelevät kuvauksen f : X → Y, sillä joukon X jokaisella alkiolla x on yksikäsitteinen kuva f(x) joukossa Y. Edelleen f(X) = { f(1), f(2), f(3), f(4)} = {a, b, b, c} = {a, b, c} = Y. X Y f 1 a 2 3 4 b c b) Ehdot g(1) = a, g(2) = b ja g(3) = b eivät määrittele funktiota g : X → Y, sillä arvoa g(4) ei ole määritelty. c) Ehdot g(1) = a, g(2) = b, g(3) = b ja g(4) = d eivät määrittele funktiota g : X → Y, sillä arvo g(4) ei kuulu joukkoon Y. d) Ehdot g(1) = a, g(1) = b, g(2) = b, g(3) = b ja g(4) = c eivät määrittele funktiota g : X → Y, sillä g(1) ei ole yksikäsitteinen. Funktioiden f : X → Y ja g: Y → Z yhdistetty funktio g o f : X → Z määritellään ehdosta (g o f )(x) = g( f (x)) (x ∈ X ). Funktiota f nimitetään yhdistetyn funktion g D f sisäfunktioksi ja funktiota g sen ulkofunktioksi. X Y Z f g x• • g(f(x)) • f(x) gof Esimerkki 7. Olkoon X = {1,2,3,4}, Y = {5,6,7} ja Z = {8,9} ja olkoot f : X → Y ja g : Y → Z ehtojen f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 7, f(4) = 7 ja g(5) = 8, g(6) = 9, g(7) = 9 määräämät funktiot: X Y f 1 2 3 4 Z g 5 6 7 8 9 Tällöin on voimassa: (g o f)(1) = g(f(1)) = g(5) = 8, (g o f)(2) = g(f(2)) = g(6) = 9, (g o f)(3) = g(f(3)) = g(7) = 9, (g o f)(4) = g(f(4)) = g(7) = 9, (g o f)(X) = { (g o f)(x) | x ∈ X } = {8,9,9,9} = {8,9} = Z. Esimerkki 8. Funktioille f : R → R, f (x) = x2 + x ja g : R → R, g(x) = 2x + 1 on voimassa: ( g o f )(0) = g( f (0)) = g(02+0) = g(0) = 2⋅0+1 = 1, ( f o g )(0) = f (g(0)) = f (2⋅0+1) = f (1) = 12+1 = 2 ja ( g o f )(x) = g( f (x)) = g(x2+x) = 2(x2+x) + 1 = 2x2+2x+1. Koska siis ( g o f )(0) ≠ ( f o g )(0), niin g o f ≠ f o g ja vaihdantalaki g o f = f o g ei ole yleisesti voimassa. Funktioiden yhdistäminen on kuitenkin liitännäistä eli h o (g o f ) = (h o g) o f aina, kun kyseiset yhdistetyt funktiot on määritelty.
© Copyright 2024