1. No category

154
6 Turbulentin virtauksen laskenta
6.1 Turbulentti virtaus
Ensimmäisessä luvussa kuvailtiin eräitä yksinkertaisia virtaustapauksia, joissa turbulenssin käsite tuli esille. Harva käsite on arkikielessä niin yleisesti esillä ja yhtä
usein ehkä ainakin joskus hieman väärässä merkityksessä. Kun esimerkiksi jonkun
johtajan vakanssin todetaan olevan ’turbulentti’, tarkoitetaan tilanteen muuttumista äkillisesti ja ennalta arvaamattomasti. Tällöin kyseessä on transientti-ilmiö, jota ei voida ennustaa tarkasti. Virtauksessakin ajasta riippuva tilanne ja turbulenssi
menevät helposti käsitteellisesti sekaisin. Kaikki virtaukset ovat oikeastaan ajasta
riippuvia, koska laminaarillakin virtauksella vesihanasta voi alkaa tulla ruosteista
vettä, sen lämpötila voi muuttua jne. Ympyräsylinterin taakse puolestaan voi syntyä laminaari pyörrerata, joka on mitä suurimmassa mitassa ajasta riippuva ilmiö,
muttei turbulentti. Siirtyminen laminaarista turbulenttiin virtaukseen on heti kvalitatiivisesti nähtävissä vesihanasta tulevassa suihkussa ja esimerkiksi putken keskimääräisessä nopeusjakaumassa, vaikka turbulenssin täsmällinen määritteleminen
onkin hankalaa.
Turbulentissa virtauksessa on oleellista virtaussuureiden, esimerkiksi nopeuden
heilahtelu keskimääräisen paikallisen arvonsa ympärillä. Turbulenssilla on tietynlainen spektri, jolla se eroaa laminaarista ajasta riippuvasta virtauksesta. Virtauslaskijan on syytä ymmärtää laskemansa tapauksen fysiikkaa turbulenssin kannalta
(virtausmekaniikan oppikirja pitää aina olla lähellä). Kaikki virtaukset eivät ole kokonaan turbulentteja, mutta tätä RANS-yhtälöihin perustuva laskenta ei erota. Jos
koodi laitetaan laskemaan laminaaria virtausta turbulenttina, niin tulos menee tietenkin väärin. Vaikeimpia ovat tapaukset, joissa on merkittävässä määrin läsnä sekä
laminaaria että turbulenttia virtausta. FLUENTissa voidaan turbulenssimalli ’kääntää pois päältä’ osassa laskenta-aluetta, mutta yleensä laskennan suorittaja ei nykytietämyksellä voi tietää missä osissa näin pitäisi tehdä. Usein unohtuva asia on,
6.1. TURBULENTTI VIRTAUS
155
että rajakerros on aina aluksi laminaari, vaikka tulovirtaus olisi turbulentti. Tulovirtauksen korkeampi turbulenssiaste vain siirtää laminaarista turbulenttiin tapahtuvan
transition paikkaa. Viime vuosina koodeihin on implementoitu uudenlaisia tapoja
transition mallinnukseen, mutta malleja ei ole vielä validoitu kunnolla monimutkaisissa virtaustilanteissa eikä niitä siten voida pitää luotettavina.
Jos virtaus on merkittävässä osassa rajakerrosta laminaaria, on liian huono approksimaatio laskea sitä kokonaan turbulenttina. Tämän vuoksi FLUENTin avulla
ei kannata lähteä sokkona suunnittelemaan tai tutkimaan purjekoneen siipeä, joka
on suurimmaksi osaksi laminaari, koska tulos ei ollenkaan vastaisi todellisuutta.
Virtauslaskijan on syytä myös pitää mielessään, miltä virtaus näyttää oikeasti.
Hyviä havaintokohteita on luonnossa runsaasti. Laskennassa käytetään turbulenssia
varten kehitettyjä malleja. Jonkinlaisen tuntuman saavutettavaan tarkkuuteen saa,
jos on nähnyt vastaavasta oikeasta tilanteesta ’visualisoinnin’, joko laboratoriossa tai luonnossa. Usein virtaukset ovat paitsi turbulentteja myös makroskooppisessa mielessä ajasta riippuvia. Ensimmäisessä luvussa oli esimerkkinä joessa olevat
pyörteet, jotka ovat yleensä luonteeltaan turbulentteja, mutta suurimmat pyörteet
ovat analogisia vastaavien laminaarien pyörteiden kanssa. Vastaavia tilanteita löytyy esimerkiksi lämmönsiirrosta vapaan konvektion muodostamista virtausilmiöistä. Tilanteet ovat turbulenssimallille kiusallisia. Kuten jatkossa tulee esille, RANSturbulenssimallin tehtävänä on laskea tasapainotilan keskimääräistä virtausta. Jos
malli ei pysty keskiarvottamaan virtausta, vaan se jää ajasta riippuvaksi, se tavallaan toimii väärin ’turbulenssimallina’, mutta oikein virtauksen fysiikan kannalta.
Laskentatavasta on ryhdytty käyttämään nimitystä URANS (unsteady Reynoldsaveraged Navier-Stokes). RANS-pohjaisten turbulenssimallien soveltuvuus ajasta
riippuviin virtauksiin on tapauskohtaista ja tämän vuoksi tuloksiin on aina suhtauduttava varauksella. Ajasta riippuvien tilanteiden ainoa ’teoreettisesti oikea’ lähestymistapa on isojen pyörteiden menetelmä, LES (large-eddy simulation, suurten
pyörteiden simulointi), joka on viime aikoina tullut esille myös teknisten sovellusten yhteydessä. LES on sinänsä laskentamenetelmänä vanha, peräisin 1960-luvulta.
Sen soveltaminen rajakerrostyyppisiin virtauksiin on osoittautunut hankalaksi. DES
(detached-eddy-simulation) ja VLES (very large-eddy simulation) ovat kevennettyjä lähestymistapoja. Viime aikoina on kehitetty myös ns. hybridimenetelmiä, joissa
yhdistetään RANS- ja LES-menetelmät.
Myös monet ’tavalliset turbulenttiset virtaukset’ (so. ei ’ajasta riippuvat’) ovat
sellaisia, että virtaussuureiden heilunta on hyvin suurta. Nopeus voi esimerkiksi vä-
6.1. TURBULENTTI VIRTAUS
156
NAVIER−STOKES−RATKAISUT
Ajastariippuva
laskenta
Tasapainotilan
laskenta
RANS
DES
LES
DNS
URANS
DES
LES
DNS
VLES
}
tasa−
paino
tila
ajasta riippuva ratkaisu
Kuva 6.1: Turbulenttisen virtauksen mallinnustavat.
lillä jopa muuttaa suuntaansa. Irronneen alueen käsitekin voi olla epäselvä, koska on
mahdollista, että keskimääräisessä mielessä virtaus on kiinni, vaikka se hetkellisesti irtoaakin. Virtauksen todellista monimutkaisuutta ajatellessa on välillä oikeastaan
eräänlainen ihme, että keskimääräinen tilanne saadaan usein niinkin hyvin ennustetuksi, kuin se onnistuneissa laskentatilanteissa saadaan. Simuloinnin suorittajan on
tämä pidettävä mielessä ja tunnettava käyttämänsä mallin rajat.
Virtausilmiöt voidaan siis luokitella ’ajasta riippuviin’ ja ’ajasta riippumattomiin’ (kts. kuva 6.1). Turbulenssi käsitellään varsinaisesta aikariippuvuudesta erillään joko osana ratkaisua tai mallinnettuna. Suora simulointi (DNS) on ainoa tapa,
jossa turbulenssia ei mallinneta mitenkään, vaan virtaus lasketaan kokonaan ajasta
riippuvana. Suorassa simuloinnissa on tärkeää, että kaikki turbulenssin skaalat ovat
mukana simuloinnissa. Käytännössä tämä merkitsee, että suora simulointi voidaan
tehdä vain hyvin alhaiselle globaalille Reynoldsin luvulle. LES ja DES ovat menetelmiä, joissa vain osa turbulenssin spektristä lasketaan ajan suhteen tarkasti ja
loppuosa mallinnetaan. Ainoastaan RANS-yhtälöillä lasketaan suoraan tasapainotilaa, DNS-, LES- ja DES-laskennassa on simulointia jatkettava ajasta riippuvana
niin kauan, että saavutetaan tilastollisesti edustava keskiarvo virtaussuureille. Tämä
tekee laskentatehtävistä huomattavasti raskaampia kuin RANS.
Suurin osa teknisestä laskennasta tehdään RANS-yhtälöillä. Lähestymistapa on
eräässä mielessä epäfysikaalinen, koska virtauskenttä ei oikeastaan koskaan todellisuudessa näytä täysin keskimääräiseltä, siis RANS-yhtälöiden antamalta ratkaisulta. Ja kuten edellä todettiin, RANS-laskennan soveltaminen ’ajasta riippuviin’
6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT
157
tapauksiin, esimerkiksi pyörreradan laskentaan, on epämääräistä. On selkeästi näkyvissä, että tietokoneiden tehon jatkuvasti kasvaessa kehitys menee LES- tai DEStai jotain uutta vastaavaa turbulenssin kuvausta kohti.
6.2 Turbulenttia virtausta kuvaavat yhtälöt
Edellä on tullut esille käsite keskimääräisestä virtauksesta. Turbulentin virtauksen
kaikki mallinnustavat (suoraa simulointia lukuunottamatta), lähtevät siitä, että virtaussuureet jaetaan keskimääräiseen ja heilahtelukomponenttiin
(6.1)
ui (t) = u¯i + u′i (t)
Perusideana on siis se, että keskimääräinen virtausnopeus u¯i , josta suunnittelija
yleensä on kiinnostunut, ei riipu ajasta, heilahtelukomponentti u′i (t) sen sijaan riippuu. Laskettaessa ajasta riippuvaa tilannetta keskimääräinenkin nopeus voi riippua
ajasta, mutta eri aikaskaalalla kuin heilahtelunopeus. Tätä tilannetta havainnollistetaan kuvassa 6.2. Varsinainen turbulenssi siis mallinnetaan aina heilahtelunopeuksien u′i (t) avulla. Ongelmana on se, että joskus nämä erilaiset aikaskaalat ovat samaa
suuruusluokkaa ja menevät sekaisin. Isojen pyörteiden menetelmässä ei ole samaa
keskimääräistä virtausnopeutta, vaan ns. suodatettu nopeus, jonka täytyykin riippua
ajasta. LESillä ja muilla vastaavilla tekniikoilla (DNS, DES) ei siis aikaskaalaongelmaa ole.
Kun tyyppiä (6.1) olevat nopeudet ja muut suureet on sijoitettu virtausyhtälöihin
(3.7) ja (3.8) ja otettu aikakeskiarvo sopivan ’aukon’ T yli, saadaan
∂ ρ¯ ∂ ρ¯u¯i
=0
+
∂t
∂xi
"
∂ u¯i ∂ u¯j
∂ ρ¯u¯i ∂ ρ¯u¯i u¯j
∂ p¯
∂
2 ∂ u¯l
µ
+
=−
+
+
− δij
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂xj
∂xi
3 ∂xl
(6.2)
!#
+
∂ −ρu′i u′j
∂xj
(6.3)
Yhtälöt säilyvät muodollisesti lähes samanlaisina kuin alkuperäiset Navier-Stokes
-yhtälöt. Yhtälöitä kutsutaan Reynolds-keskiarvotetuiksi yhtälöiksi (RANS) ja liikemääräyhtälöihin tullutta lisätermiä −ρu′i u′j Reynoldsin jännityksiksi. Ratkaisuksi
saadaan suoraan keskiarvotetut suureet u¯i ja p¯ jne. Yleensä yhtälöt kirjoitetaan il-
man yläviivoja lukuunottamatta Reynoldsin jännityksiä. Integrointivälin T on oltava
pitempi kuin T1 , mutta lyhyempi kuin probleeman aikaskaalan T2 .
6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT
158
ui (x,t)
T1
T2
t
Kuva 6.2: Turbulenssin aikaskaalan T1 on RANS-yhtälöillä oltava pienempi kuin probleeman aikaskaala T2 .
Isojen pyörteiden menetelmässä käytetään aikakeskiarvojen sijaan paikkakeskiarvoja. Kontrollitilavuusmenetelmällä toimivissa koodeissa keskiarvo otetaan yleensä laskentatilavuuden V yli
1
¯
φ(x)
=
V
Z
V
(6.4)
φ(x′ )dx′
Operaatiota kutsutaan myös suodattamiseksi. Keskiarvon ottaminen vastaa tilannetta, jossa suodatinfunktio määritellään
′
G(x, x ) =
(
1/V jos x′ ∈ V
(6.5)
0 muulloin
Suodatetut liikemääräyhtälöt ovat seuraavat
"
∂ ρ¯u¯i ∂ ρ¯u¯i u¯j
∂ p¯
∂
2 ∂ u¯l
∂ u¯i ∂ u¯j
=−
+
µ
+
− δij
+
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂xj
∂xi
3 ∂xl
!#
−
∂τij
∂xj
(6.6)
Yleensä LESissä oletetaan tiheys vakioksi. Menetelmää ei ole juurikaan sovellettu
kokoonpuristuville virtauksille. FLUENTissakin oletetaan tiheys vakioksi, jolloin
yläviiva voidaan tiheyksistä tässä yhteydessä poistaa. Yhtälössä (6.6) esiintyvä ns.
alihilajännitys on olettamalla tiheys edelleen vakioksi
ui u¯j
τij = ρui uj − ρ¯
(6.7)
Myös yhtälöiden kitkatermiä voidaan yksinkertaistaa olettamalla tiheys vakioksi
(katso esim. White).
6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ
159
Alihilajännitys τij vastaa Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden näennäistä jännitystermiä −ρu′i u′j . Alihilajänntys kuvaa laskentatilavuuden kokoa pienemmän turbulenssiskaalan aiheuttamaa näennäistä leikkausjännitystä. Isojen pyörteiden mene-
telmässä päävirtauksestakin on aina tultava ajasta riippuvaa ja suurimman osan
leikkausjännityksistä on synnyttävä ajan suhteen tapahtuvista heilahteluista. Jos
FLUENTilla sovelletaan LESiä, ohjelmasta saadaan keskiarvottamalla ulos virtauksesta aiheutuvat leikkausjännitykset ρui uj ja alihilajännitykset τij . RANS-yhtälöillä
saadaan näiden summa suoraan osana ratkaisua.
6.3 Turbulentin virtauksen laskenta RANS-yhtälöillä
Reynolds-keskiarvotetuilla yhtälöillä laskettaessa turbulenssi voidaan mallintaa kahdella päätavalla: pyörreviskositeetin (turbulentin viskositeetin) tai Reynoldsin jännitys -mallin avulla. Jälkimmäisessä ratkaistaan suoraan Reynoldsin jännityksiä.
Pyörreviskositeettikeinossa käytetään Reynoldsin jännitysten laskemiseen Boussinesqin hypoteesia
−ρu′i u′j
= µt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
!
2
∂ul
− δij ρk + µt
3
∂xl
!
(6.8)
missä k on turbulenssin kineettinen energia ja µt pyörreviskositeetti (turbulentti viskositeetti). Nopeuksista on selkeyden vuoksi pudotettu keskiarvomerkinnät pois.
RANS-yhtälöillä on siis kaksi lähestymistapaa, jotka voidaan vielä jakaa osiin
kuvan 6.3 osoittamalla tavalla. Todellisuudessa tilanne on monimutkaisempi. Silti
kaupallisissa ohjelmissa turbulenssin mallinnustavat ovat perinteisesti olleet melko
niukat. Tähän on mitä ilmeisimpänä syynä jälleen pyrkimys laskennan robustisuuteen. Uusia malleja otetaan käyttöön verkkaisesti, viimeksi on päävalikkoon tuotu
mukaan k − ω -malli. Tärkeimmät turbulenssimallit ovat
• Spalart-Allmaras -malli
• standardi k − ǫ -malli
• RNG k − ǫ -malli
• todenmukainen k − ǫ -malli (Shih et al.)
• standardi k − ω -malli
• SST k − ω -malli
6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ
160
TURBULENSSIMALLIT
PYÖRREVISKOSITEETTI
ALGEBRALLINEN
2−YHTÄLÖ
1−YHTÄLÖ
K
νt
3−YHTÄLÖ
PYÖRREVISKOOSITON
ASM
RSM
EPÄISOTROOPPINEN
PYÖRREVISKOSITEETTI
k−ε
k−ω
q−ω
Kuva 6.3: Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden turbulenssin mallinnustavat.
• Reynoldsin jännitys -mallit (RSM)
Näistä Spalart-Allmaras -malli on ns. yksiyhtälömalli, jossa ratkaistaan suoraan turbulenttia viskositeettia νt = µt /ρ lähellä olevaa suuretta, kaikki k − ǫ -mallit ovat
kaksiyhtälömalleja ja lisäksi on Reynoldsin jännitys -malli (RSM). RSM:ää sano-
taan epäisotrooppiseksi malliksi, koska turbulentit jännitykset eivät riipu lineaarisesti venymänopeustensorista. Kaksiyhtälömalleissa sovellettavassa Boussinesqhypoteesissa Reynoldsin jännitykset ovat aina verrannollisia viskooseihin jännityksiin yhtälön (6.8) mukaan. Mallit voidaan jakaa myös pienen ja ison Reynoldsin
luvun malleihin. Spalart-Allmaras- ja k − ω -mallit ovat pienen Reynoldsin luvun
malleja. Myös Reynoldsin jännitys -mallista on nykyisin olemassa pienen Reynold-
sin luvun vaihtoehto. Muihin malleihin voidaan lisätä tarkennettu seinämäkäsittely.
Turbulenssin kuvaus muodostaa virtaussimuloinnin heikoimman lenkin. Virtauslaskijalle on tärkeää tuntea käyttämiensä mallien rajoitukset ja heikkoudet. Turbulenssimalli joudutaan valitsemaan laskentatapauksen mukaan. FLUENTissa valinnan mahdollisuuksia ei ole paljon, mutta nekin voivat tuottaa ongelmia. Seuraavassa tarkastellaan ensin Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden malleja ja lopuksi
isojen pyörteiden menetelmää. Turbulenssimalleja esitellään vain lyhyesti, tarkempaa tietoa saa esimerkiksi Wilcoxin kirjasta ja implementointitapojen osalta osoitteesta: www.cfd-online.com/Wiki/. On kuitenkin huomattava, että koodeissa mal-
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
161
lien implementoinnissa saattaa olla eroja ja tulokset ohjelmien välillä eivät aina ole
yhteneviä. Mallien valintaan palataan vielä luvussa 8.
6.4 RANS yhtälöiden turbulenssimallit
6.4.1 Spalart-Allmaras yksiyhtälömalli
Spalart-Allmaras -malli on kehitetty Boeingilla rajakerrostyyppisten virtausten laskentaan. Lähtökohtana on ollut laatia mahdollisimman robusti yksiyhtälömalli, jolla mallinnetaan jossain määrin turbulenssin fysiikkaa. Tätä varten on kirjoitettu ad
hoc-tyyppinen kuljetusyhtälö turbulenttia viskositeettia lähellä olevalle suureelle ν˜

∂ρ˜
ν ∂ρui ν˜
1  ∂
+
= Gν +
∂t
∂xi
σν˜ ∂xj
∂ ν˜
(µ + ρ˜
ν)
∂xj
!
∂ ν˜
+ Cb2 ρ
∂xj
Turbulentti viskositeetti lasketaan kaavasta
µt = ρ˜
ν fv1
!2 
 − Yν
(6.9)
(6.10)
missä fv1 eräänlainen vaimennusfunktio. Yhtälö (6.9) on konvektio-diffuusioyhtälö,
jossa on turbulenttia viskositeettia tuottava lähdetermi Gν ja nielutermi Yν . Yhtälössä on malliparametrit σν˜ ja Cb2 . Parametrien ja lähdetermien laskenta on melko
monimutkaista ja sitä selostetaan FLUENTin manuaalissa.
Turbulenssilla on historiaefekti, jota pyritään kuvaamaan yhtälöllä (6.9). Turbulentti viskositeetti ei ole kuitenkaan mikään fysikaalinen, saati konvektoituva suure,
joten kyseessä olevalla yhtälöllä virittämällä malliparametrit sekä lähde- ja nielutermit sopivasti, muodostetaan vain tavallaan eräänlainen korrelaatio suureelle ν˜.
Tämänkaltaisen mallin käyttäminen sovellusalueensa ulkopuolella voi johtaa aivan
virheellisiin tuloksiin, koska ν˜:llä ei ole vastaavaa fysikaalista merkitystä kuin esimerkiksi turbulenssin kineettisellä energialla k, jolle voidaan virtausyhtälöistä lähtien johtaa oma, periaatteessa tarkka yhtälönsä.
FLUENTin normaalikäyttäjän on syytä välttää Spalart-Allmaras -mallia. Malli
on alunperin kehitetty siipiprofiileille ja malliparametrit on viritetty kyseiseen tilanteeseen sopiviksi. Käytännön laskennassa mallia on ryhdytty käyttämään myös
3D virtauksille. Sen voidaan ajatella sopivan myös tietynlaisille sisäpuolisille virtauksille, kuten puhaltimille, kompressoreille, pumpuille ja turbiineille. SpalartAllmaras -malli on ns. pienen Reynoldsin luvun malli, jossa mallinnetaan virtaus
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
162
seinälle asti. FLUENTissa mallin seinämäreunaehtoa on viritelty siten, että malli
soveltuu myös suuren Reynoldsin luvun malliksi (laskentahilan vaatimuksista kts.
luku 2). Viritelty malli ja sille luvattu sopivuusalue vaikuttavat epäilyttäviltä, minkä
vuoksi sitä ei suositella käytettäväksi.
6.4.2 Standardi k − ǫ-malli
Standardi k − ǫ on todellinen standardimalli teollisuusprosessien simuloinnissa. Se
oli pitkään käytännössä ainoa malli ja on vieläkin eniten käytetty, vaikka se tiedetään epätarkaksi monessa tilanteessa. Malli on hyvin robusti ja se antaa useimmissa tilanteissa mielekkäältä vaikuttavan tuloksen. Usein tämä tarkoittaa, että laskenta konvergoi hyvin. Laskenta voi konvergoida tasapainotilaan siten myös tilanteissa, jotka ovat voimakkaasti ajasta riippuvia. Useimmiten robustisuus tarkoittaa, että
k−ǫ-malli yliarvioi pyörreviskositeetin tason. Virtaus käyttäytyy erityisesti standardimallilla melkein kuin ’terva’, jähmeästi, irroten huonosti ja ennustaen liian suuren
arvon turbulenssin kineettiselle energialle.
Standardi k−ǫ-mallissa käytetään ns. seinämäfunktiota, joka parantaa laskennan
robustisuutta ja konvergenssia kahdella tavalla. Kuten kuvasta 2.20 nähdään, ilman
seinämäfunktiota rajakerros on mallinnettava pinnalle asti ja tähän kuluu noin 20
laskentatilavuutta. Tämä lisää kokonaiskoppimäärää jopa tekijällä kaksi. Laskentaaikaa kuluu siis lisää ja konvergenssi hidastuu rajakerroksessa olevien tihennysten
vuoksi. Toinen robustisuutta lisäävä tekijä tulee siitä, että rajakerros mallinnetaan
hyvin karkeasti. Turbulenssimalleihin ei tarvita hankalia epälineaarisia lähdetermejä eikä reunaehtojen asettaminen ole samalla tavoin vaikeaa kuin pinnalle asti viedyssä laskennassa. FLUENTissa seinämäkäsittely tehdään turbulenssimalleista erillään. Periaatteessa ns. standardi k − ǫ-malliin voi yhdistää myös laskennan seinälle
asti ns. kaksikerrosmallin avulla. Kyseessä ei ole enää silloin ’standardimalli’, mikä
on syytä muistaa tuloksia raportoidessa yleisempään käyttöön FLUENT-yhteisön
ulkopuolelle.
Riippumatta siitä käytetäänkö pienen vai suuren Reynoldsin luvun lähestymistapaa k − ǫ toimii huonosti tai ei pysty kuvaamaan mm. seuraavia ilmiöitä:
• malli on kaikkien pyörreviskositeettimallien tavoin isotrooppinen eikä sellaisena pysty kuvaamaan esimerkiksi sekundäärivirtauksia nelikulmaisessa kanavassa
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
163
• malli toimii huonosti, kun virtaus on positiivisen painegradientin suuntaista.
Tilanne tulee vastaan simuloitaessa esimerkiksi diffuusoreita.
• useimmiten k−ǫ-malli pyrkii pitämään virtauksen kiinni tilanteissa, joissa sen
pitäisi irrota. Toisaalta malli saattaa ennustaa oikean tuntuisen virtauskentän
tilanteissa, joissa tapahtuu massiivinen virtauksen irtoaminen ja muilla lähestymistavoilla ajo kaatuisi.
• seinämäfunktion yhteydessä irronneen virtauksen laskenta on erityisen epä-
tarkkaa. Seinämäfunktio ei edes päde useimmissa virtaustilanteissa, vaikka
sitä silti sovelletaan.
• malli ei ennusta eroa taso- ja pyörähdyssymmetriselle suihkulle
• malli ei sinällään erota pyörimisliikettä eikä virtauksen kaartumista, joille tosin voidaan kehittää korjaustermejä
Monet k − ǫ-mallin puutteista ovat myös muille kaksiyhtälömalleille tyypillisiä,
mutta FLUENTissa on eräitä puutteita pyritty korjaamaan RNG-mallilla ja Shih et
al. kehittämällä todenmukaisella k − ǫ-mallilla.
Lähtemällä liikemääräyhtälöistä voidaan johtaa periaatteessa tarkka differen-
tiaaliyhtälö turbulenssin kineettiselle energialle k = 1/2u′i u′i . Eräiltä osin yhtälö
joudutaan mallintamaan, jolloin yhtälöön tulee eräitä parametreja ja lähdetermejä.
FLUENTissa käytetään seuraavaa yhtälöä
∂ρk ∂ρui k
∂
+
= Gk +
∂t
∂xi
∂xi
"
µt
µ+
σk
#
∂k
+ Gb − ρǫ − YM
∂xi
(6.11)
missä Gk on turbulenssin kineettisen energian tuottotermi ja ǫ kineettisen energian
dissipaatio. FLUENTissa on mahdollista aktivoida myös noste- ja puristuvuuskorjaustermit Gb ja YM . Näistä viimeksi mainittu riippuu Machin luvusta ja sen vaikutus alkaa näkyä, kun Machin luku lähenee ykköstä.
Myös kineettisen energian dissipaatiolle ǫ voidaan johtaa differentiaaliyhtälö,
mutta johto on hankala ja lopputulos termeiltään epäselvä. Käytännössä ǫ:n yhtälö mallinnetaan konvektio-diffuusio -yhtälön periaatteella, samaan tapaan kuin
Spalart-Allmaras -mallin yhtälökin
∂ρǫ ∂ρui ǫ
∂
+
=
∂t
∂xi
∂xi
"
µt
µ+
σǫ
#
ǫ
ǫ2
∂ǫ
+ C1ǫ (Gk + C3ǫ Gb ) − C2ǫ ρ
∂xi
k
k
(6.12)
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
164
Standardimallissa ǫ-yhtälössä käytetään lähdetermejä, jotka ovat skaalattu suhteella
ǫ/k kineettisen energian yhtälön lähdetermeistä ja jotka parametrisoidaan eri tavalla. Yhtälöiden (6.11) ja (6.12) sisältämät vakiot on aikoinaan parametrisoitu tiettyjen perusvirtaustapausten avulla. Mallin pätevyysalue on hämmästyttävän universaali lähtökohdat huomioon ottaen.
Turbulenssia tuottavat siis nopeusgradientit ja ne vaikuttavat termin Gk kautta.
Tarkastelemalla k:n yhtälöä huomataan, että jos noste- ja puristuvuuskorjaustermit
eivät vaikuta, k:lle saadaan konvektio-diffuusio -yhtälö. Tällöin vapaan virtauksen
alueella, missä gradientteja ei ole, turbulenssin kineettisen energian pitäisi levitä
mutta ei hävitä. OpenFOAMissa sekä k:n että ǫ:n arvoja on rajoitettu niin, etteivät
ne pääse nollaan. (Jos kumpi tahansa päästettäisiin nollaan tulisi vastaan nollalla
jakaminen, kts.yhtälöt). Arvojen rajoittamisesta seuraa kuitenkin se, että myös vapaan virtauksen alueella turbulenssin kineettisen energian yhtälöön jää nielu, joka
pienentää k:ta. Tilanne tulee eteen esimerkiksi tasolevyvirtausta laskettaessa, jos
hilaan luodaan vapaan virtauksen alue ennen levyn alkua. Tällöin sisäänvirtausreunalla annettu turbulenssi saattaa hävitä ennen levyn alkua eikä turbulenssi tällöin
välttämättä herää edes levyn alueella.
Tilanteen voi korjata kahdella tavalla. Toisaalta k:n pienintä sallittua arvoa voi
nostaa halutulle tasolle ja tällä tavoin estää turbulenssin kuoleminen. Toinen tapa on
vähentää k:n yhtälössä esiintyvästä ǫ:sta sen pienin sallittu arvo, jolloin gradienttien puuttuessa yhtälössä ei ole lähteitä eikä nieluja. Kumpikin versio on toteutettu
OpenFOAMilla. ja annettu kokeiltavaksi kurssin OpenFOAM-tiedostokokoelmassa.
Ensin kuvattu versio löytyy nimellä boundKEpsilon ja jälkimmäinen nimellä
freeStreamKEpsilon.
Kaikissa k − ǫ-mallin versioissa turbulentin viskositeetin laskenta perustuu tur-
bulenssin nopeusskaalan ja pituusskaalan tuloon. Nopeuskaala on verrannollinen
√
suureeseen k ja pituusskaalan l voidaan osoittaa olevan verrannollinen suhteeseen
3
l ∝ k 2 /ǫ
(6.13)
Laittamalla verrannollisuuskerroin Cµ eteen saadaan pyörreviskositeetin lausekkeeksi
k2
(6.14)
ǫ
Monissa mallin varianteissa (joita on lukuisia) yhdistetään kertoimeen Cµ vielä seiµt = Cµ ρ
nämäkorjaus fµ , joka useimmiten riippuu seinämäetäisyydestä. Tätä funktiota ei
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
165
pidä sekoittaa suuren Reynoldsin luvun mallissa käytettävään seinämäfunktioon.
Standardi k −ǫ sisältää ns. ’luonnon vakioita’, jotka todellisuudessa ovat kuiten-
kin jossain määrin tapauskohtaisia. FLUENTissa käyttäjä voi modifioida vakioiden
arvoja, mutta tämä vaatii asiantuntemusta turbulenssialalta. Ilman etukäteistietoa
normaalikäyttäjän ei pidä sormeilla mallin parametreja.
6.4.3 RNG k − ǫ-malli
Tämä malli muodostaa omalaatuisen kokonaisuuden turbulenssimallien kehityshistoriassa. Mallin pääkehittäjät Yakhot ja Orzag ovat soveltaneet ns. renormalisaatioryhmäteoriaa (RNG) Navier-Stokes -yhtälöille. Yhtälöiden johto on periaatteessa
analyyttinen ja sen avulla saadaan myös mallin sisältämien vakioiden arvot. Vakiot
ovat hämmästyttävän lähellä standardi k − ǫ-mallin parametrien arvoja. Toisaalta
tästä turbulenssin mallinnustavasta on pakko todeta, että ani harva ihminen maailmassa ymmärtää sitä, joten koko ajatuksen kritisoiminen on siten vaikeaa. RNG-
mallista on olemassa versioita myös LES-laskentaan ja siihen voidaan liittää pyörimisliikekorjaus. Monia mallin yksityiskohtia ei paljasteta ja eräät ovat hankalasti
hahmotettavissa. RNG-lähestymistavan historiaa voidaan pitää edellä kuvatun perusteella tieteellisesti epäilyttävänä.
Tarkastellaan RNG-mallin eroja standardimalliin verrattuna. Yhtälöt ovat lähes
samat
"
#
∂ρk ∂ρui k
∂k
∂
αk µef f
+ Gk + Gb − ρǫ − YM
+
=
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
"
(6.15)
#
∂
∂ǫ
ǫ
ǫ2
∂ρǫ ∂ρui ǫ
=
αǫ µef f
+ C1ǫ (Gk + C3ǫ Gb ) − C2ǫ ρ − R (6.16)
+
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
k
k
Diffuusiovuot lasketaan käyttäen efektiivistä viskositeettia µef f = µt + µ ja sopivia
Schmidtin lukuja 1/αk ja 1/αǫ . Ainoa huomattavampi ero yhtälöissä tulee lähdetermistä (R) ǫ-yhtälössä. Kyseinen termi ei synny RNG-prosessissa suljetussa muodossa, vaan kyseessä on turbulenssin kineettisen energian nielu, joka on mallinnettava. Nielu-termiä ei esiinny standardimallissa, mutta sen vaikutuksesta turbulentin
viskositeetin taso RNG-mallilla yleensä tulee pienemmäksi kuin standardimallilla.
Tästä on tiettyjä seurauksia, joihin palataan jatkossa.
RNG-mallin eräänä huomattavana saavutuksena on mallin vakioiden määräytyminen analyyttisesti. Vakiot eroavat standardimallin vakioista. Esimerkiksi standardimallissa Cµ = 0,09 ja RNG-mallissa Cµ = 0,0845, mikä periaatteessa on hämmästyttävä saavutus analyyttiselta mallilta. RNG-mallin ensimmäisessä versiossa
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
166
vakiolla C1ǫ , joka standardimallilla saa arvon 1,44, oli huomattavasti pienempi arvo. Hyvin pian osoitettiin, ettei RNG-malli useimmissa tapauksissa tällöin toiminut
ollenkaan. Tämän jälkeen mallin kehittäjät löysivätkin johdostaan virheen, jolloin
vakion arvo nousi lähelle standardimallin vakion arvoa (C1ǫ = 1,42).
Edellä kuvattu Cµ :n arvo toteutuu rajakerroksen ulkolaidalla. RNG-mallissa turbulentin viskositeetin arvo integroidaan monimutkaisesta differentiaaliyhtälöstä, joten tavallaan mallissa on implisiittisesti mukana funktio fµ . Kyseessä on tällöin
eräänlainen pienen Reynoldsin luvun malli, jossa ratkaisu ulotetaan pinnalle asti.
Kirjallisuudessa on esitetty approksimatiivisia sovitteita fµ :lle. Käytännössä FLUENTin RNG-mallin käyttäjä ei pysty selvittämään miten malli toimii näiltä osin, mutta differentiaaliyhtälöönkin perustuva vaihtoehto on aktivoitavissa. Oletusarvona
RNG-mallin sanotaan laskevan viskositeetin lausekkeesta (6.14). RNG-malliin on
mahdollista yhdistää pyörimisliikkeestä aiheutuva korjaus kertoimeen fµ . Pyörimisliikekorjauksen mallia ei paljasteta.
RNG k − ǫ-malli ei ole lunastanut siihen kohdistuneita odotuksia. Normaalisti
sitä ei kannata käyttää. Mallia on propagoitu ’analyyttisena’, mitä se ei kuitenkaan
ole. Sen sijaan monet piirteet mallin kehityshistoriassa antavat aiheen epäillä, ettei kaikki ole aivan kunnossa. RNG k − ǫ-malli tuottaa standardimallia vähemmän
turbulenttia viskositeettia termin R ansiosta. RNG-mallia kannattaa siten käyttää
tilanteissa, joissa varmasti tiedetään standardimallin laskevan väärin juuri liian kor-
kean viskositeettitason vuoksi. Oikea lähestymistapa on tällöin laskea konvergoitunut tulos ensin standardimallilla ja sen jälkeen jatkaa RNG:llä. Pienemmän viskositeettitason vuoksi RNG-mallia on usein vaikea saada muuten konvergoitumaan. Todennäköisesti RNG-malli toimii standardimallia paremmin URANS-simuloinnissa,
kuten turbulenttien pyörreratojen laskennassa. Sitä kannattaa kokeilla vapaille leikkauskerroksille (esim. suihkut). Standardimallilla on taipumus sammuttaa tai ainakin pienentää pyörreradan kaltaisia ilmiöitä.
6.4.4 Todenmukainen k − ǫ-malli
Tämän k −ǫ-mallin version ovat esittäneet Shih, Liou, Shabbir ja Zhu vuonna 1995.
FLUENTissa malli on ristitty erään sen ominaisuuden vuoksi ’todenmukaiseksi’
(realizable), mutta tämä nimitys ei ole muissa yhteyksissä ainakaan toistaiseksi käytössä. Kirjallisuudessa malliin kannattaa viitata tyyliin ’Shih et al.’ Todenmukai-
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
167
suusehtoja turbulenssimalleille ovat mm. seuraavat
u′i 2 > 0
(6.17)
(u′i u′j )2 ≤ u′i 2 u′j 2
(6.18)
Boussinesq-hypoteesin ja ehdon (6.17) perusteella saadaan seuraava todenmukaisuusehto
k ∂u
1
≈ 3,7
<
ǫ ∂x
3Cµ
(6.19)
Kun nopeusgradientti on tarpeeksi suuri nähdään, että standardimallista tulee epätodenmukainen. Käytännössä tilanne ei näy mitenkään, koska standardimalli ei käytä
suoraan suureita u′i 2 mihinkään. Ja mallitkin pidetään todenmukaisina muilta osin
’pulttaamalla’ niille ohjelmassa sopivat rajat. On kuitenkin perusteita pitää mallit
fysikaalisesti mielekkäinä. Helpoin keino on muuttaa kerrointa Cµ tilanteissa, joissa todenmukaisuusehto ei toteudu. Shih’n mallissa tämä tehdään laskemalla kerroin
lausekkeesta
1
∗
A0 + As Uǫ k
Cµ =
(6.20)
missä U ∗ lasketaan venymänopeustensorin Sij ja modifioidun pyörteisyystensorin
˜ ij avulla
Ω
U∗ =
Venymänopeustensori määritellään
q
˜ ij Ω
˜ ij
Sij Sij + Ω
(6.21)
1
Sij =
2
∂uj
∂ui
+
∂xi
∂xj
!
(6.22)
1
Ωij =
2
∂ui
∂uj
−
∂xi
∂xj
!
(6.23)
ja pyörteisyystensori
˜ ij saadaan Ωij :n ja systeemin pyömisliikkeestä aiModifioitu pyörteisyytensori Ω
heutuvan kulmanopeuden avulla. Tässä mallissa on siis olemassa eräänlainen pyörimisliikekorjaus, jota ei ole edes piilotettu. Tavanomaisessa kaksiyhtälömallissa ei
systeemin pyöriminen näy ratkaisussa mitenkään. Esimerkkinä on kuva 6.4, jossa
verrataan laskettuja nopeusprofiileja kokeellisiin pyörivässä virtauskanavassa. Standardi k − ǫ ennustaa symmetrisen nopeusprofiilin, koska malli on täysin tunnoton
pyörimisliikkeelle. Kuvassa 6.4 on laskentatulos myös Gibson-Launder Reynold-
sin jännitys -mallilla. RSM on epäisotrooppinen ja sillä voidaan pyörimisliikkeen
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
168
U
U0 1.0
0.8
0.6
Ω
0.4
y
u(y)
D
x
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y/H
Kuva 6.4: Reynoldsin jännitys -mallilla ja k−ǫ-mallilla lasketut nopeusjakaumat pyörivässä
kanavassa.
vaikutus kuvata. Shih’n mallissa pyörimisliikkeen vaikutus otetaan huomioon modifioimalla pyörteisyystensoria. Mallilla laskettu tulos on lähellä kuvan 6.4 RSMtulosta. Sekä RSM:llä että Shih’n mallilla yhtäpitävyys koetulosten kanssa on kuitenkin lähinnä kvalitatiivinen, mikä edustaa virtauslaskennan nykytasoa tässä tilanteessa.
Shih’n mallissa A0 = 4,04. Parametri As lasketaan monimutkaisella tavalla
venymänopeustensorin avulla. Lopputuloksena saatavassa mallissa kerroin Cµ on
funktio päävirtauksen venymästä ja pyörteisyydestä, systeemin pyörimisnopeudesta ja turbulenssisuureiden (k ja ǫ) arvoista. Tasapainotilan rajakerroksella kerroin
redusoituu standardimallin kertoimeksi 0,09.
Todenmukaisessa mallissa turbulenssin kineettisen energian yhtälö on likimain
sama kuin standardimallissa, mutta parametreilla on hiukan standardimallista poikkeavat arvot. Dissipaation yhtälössä on lähdetermien osalta pieniä modifikaatioita. Usein tällaiset modifikaatiot on tehty parantamaan koodien robustisuutta, esimerkiksi ehkäisemään nollalla jakoa k/ǫ -tapaisten suureiden osalta. Modifikaatiot
saattavat kuitenkin vaikuttaa myös laskentatuloksiin. Shih’n mallin osalta modifikaatioita selostetaan tarkasti, mutta hyvin usein esimerkiksi standardimallin imple-
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
169
mentoinnin osalta koodiin pikku hiljaa rakentuu pieniä systeemejä, joilla hoidellaan
hankalia tilanteita. Tämä aiheuttaa sen, että käytettäessä samaa turbulenssimallia eri
ohjelmalla, tuloksissa voi olla poikkeavuutta. Turbulentin virtauksen simulointitulokset ovat osoittautuneet hyvin vaikeasti toistettaviksi!
FLUENTin manuaalin mukaan Shih’n mallin tulokset ovat olleet kaikissa testatuissa tapauksissa selvästi paremmat kuin standardimallin. Erityisen huomionarvoista on, että mallissa on pyörimisliikekorjaus ja se poistaa myös pyöreän suihkun vaimenemisessa olevan anomalian. Malli vaikuttaa ominaisuuksiensa puolesta
kaikin puolin hyvältä ja sitä kannattaa suosia FLUENTin muiden turbulenssimallien kustannuksella. Kaikkien turbulenssimallien kohdalla on kuitenkin oltava kriittinen. Shih’n mallia on testattu toistaiseksi varsin vähän moneen muuhun malliin
verrattuna.
6.4.5 k − ω -mallit
k − ω -malleja on FLUENTissa useaa tyyppiä. Näistä Wilcoxin alkuperäistä mallia
variantteineen ei yleensä kannata käyttää. Kyseinen malli on todettu hyvin herkäksi
tulovirtauksen turbulenssisuureiden reunaehdoille, joten tulokset saattavat muuttua
huomattavastikin, kun reuna-arvoja muutetaan. Sen sijaan Florian Menterin kehittämä SST k −ω malli on viime aikoina tullut suosituksi ja sitä kannattaa usein käyttää
k − ǫ -mallin sijaan. Seuraavassa esitetään SST-mallin perusyhtälöitä.
Turbulenssin kineettisen energian yhtälö on samaa muotoa kuin k − ǫ -mallilla
∂ρk ∂ρui k
∂
+
= Gk +
∂t
∂xi
∂xi
"
µt
µ+
σk
#
∂k
+ G k − Y k + Sk
∂xi
(6.24)
missä Gk on turbulenssin kineettisen energian tuottotermi ja Yk kineettisen energian
dissipaatio. Termi Sk on käyttäjän spesifioima lähdetermi.
Kineettisen energian dissipaation sijaan toisena muuttujana käytetään ominaisdissipaatiota ω = ǫ/k. Tälle käytetään samantapaista yhtälöä kuin dissipaatiolle.
∂ρω ∂ρui ω
∂
+
=
∂t
∂xi
∂xi
"
µt
µ+
σω
#
∂ω
+ G ω − Y ω + Dω + S ω
∂xi
(6.25)
Tässä Gω ja Yω ovat ω:n tuotto ja dissipaatio, jotka saadaan vastaavista kineettisen energian lähdetermeistä samaan tapaan kuin k − ǫ -mallilla eli käyttäen sopivia
skaalauksia ja kertoimia. Käyttäjä voi määrittää lähdetermin Sω , kuten kineettisen
energian yhtälön vastaavan terminkin. Menterin malli on oikeasti Wilcoxin k − ω ja
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
170
k −ǫ -mallien yhdistelmä. Tällä on saatu poistetuksi herkkyys vapaan virtauksen ar-
voista. Yhdistämisen seurauksena yhtälöön (6.25) tulee uusi ns. ristidiffuusiotermi
Dω . Tämän laskenta, kuten myös yhtälöiden kertoimet ovat varsin monimutkaisia
funktioita mm. seinämäetäisyydestä.
Myös turbulentin viskositeetin laskenta on hieman k − ǫ -mallista poikkeavaa.
Viskositeetti lasketaan yhteydestä
µt =
ρk
ω
1
ΩF2
max 1,
a1 ω
(6.26)
missä a1 = 0,31 ja Ω on pyörteisyystensorin itseisarvo. Funktio F2 on monimutkainen lauseke, joka riippuu mm. seinämäetäisyydestä. Yhtälön (6.26) alaraja tulee
Bradshawn oletuksesta , jonka mukaan turbulentti leikkausjännitys rajakerroksessa
riippuu turbulenssin kineettisestä energiasta seuraavasti
(6.27)
ρu′i u′j = a1 ρk
k − ω on yleensä tarkempi kuin k − ǫ -malli. Se ei ole yhtä epätarkka positiivisen painegradientin yhteydessä ja yleensä se tuottaa turbulenssia vähemmän kuin
perinteinen k − ǫ -malli. Sen vuoksi sitä usein kannattaa suosia. On kuitenkin huo-
mattava, että k − ω -malli on vähemmän robusti juuri pienemmän ja realistisemman
turbulenssitason vuoksi, josta saattaa aiheutua konvergenssin huononemista. Lisäksi malli on jossain määrin herkkä vapaan virtauksen arvoille. Niitä ja mallin eri
muunnoksia löytyy mm. lähteestä Turbulence Modeling Resource.
6.4.6 Reynoldsin jännitys -mallit
Reynoldsin jännitys -malli on kaikkein monimutkaisin FLUENTin turbulenssin kuvaustavoista. Malli on epäisotrooppinen ja sillä on potentiaalia kuvata virtausilmiöt
muita malleja tarkemmin. Liikemääräyhtälöistä lähtien on mahdollista johtaa tarkat
differentiaaliyhtälöt Reynoldsin jännityksille ρu′i u′j . Yhtälöissä on monia maallikolle merkitykseltään hämäriä termejä. Yhdistelemällä näitä yhtälöt voidaan kirjoittaa
seuraavasti
∂ρu′i u′j ∂(ρuk u′i u′j )
+
∂t
∂xk
= Pij + Gij + φij + Dij − ρǫij + Fij
tässä tuottotermi
Pij = −
"
∂uj
ρu′i u′k
∂xk
+
ρu′j u′k
∂ui
∂xk
#
(6.28)
(6.29)
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
171
ja pyörimisliikkeestä aiheutuva termi Fij ovat RSM:ssä eksakteja, muut termit on
mallinnettava. Mallinnettavaksi jää Reynoldsin jännitysten turbulentti diffuusio Dij ,
nosteesta aiheutuva tuottotermi Gij , paine-venymänopeus -termi Φij ja jännistyksiä
vastaava dissipaatio ǫij .
Reynoldsin jännitys -mallista on esitetty lukemattomia versioita 70-luvun alun
jälkeen. Useimmat malleista perustuvat samantapaisiin ideoihin. Usein ohjelmissa käytetään useammasta alkuperäismallista koottuja yhdistelmiä ja käyttäjälle voidaan antaa vielä mahdollisuus kombinoida malli erillisistä osista. Mallit eroavat
yleensä eniten toisistaan paine-venymänopeus -termin osalta. Tämä on keskeisessä
asemassa RSM:ssä ja se yleensä kirjoitetaan seuraavaan muotoon
φij = φij,1 + φij,2 + φw
ij
(6.30)
missä φij,1 on ns. hidas termi (’return-to-isotropy’), φij,2 on nopea paine-venymänopeus -termi ja φw
ij ottaa huomioon kiinteiden seinien vaikutuksen. FLUENTissa
paine-venymänopeustermin mallinnus voidaan tehdä kahdella tavalla. Oletusarvotavassa on yhdistetty Gibson ja Launder, Fu et al. ja Launderin ehdottamia malleja.
Ohjelmassa on myös mahdollista valita paine-venymänopeus -termille SSG-malli
(Speziale, Sarkar ja Gatski). FLUENTissa on tämän johdosta oikeastaan kaksi erilaista Reynoldsin jännitys -mallia, joiden erot voi hallita vain alan asiantuntija. On
syytä korostaa, ettei RSM ole yksittäinen malli, vaan oma luokkansa turbulenssin
mallinnuksessa. Erilaisia malleja on esitetty kirjallisuudessa samaan tapaan kuin
kaksiyhtälömallejakin. Eri koodeilla RSM saattaa merkitä eri asiaa ja monimutkaisuudesta johtuen mallit on dokumentoitu huonommin kuin esimerkiksi standardi
k − ǫ-malli.
Yhteensä Reynoldsin jännityksille tulee symmetrian vuoksi kuusi yhtälöä (jän-
nityksiä on yhdeksän kappaletta). Lisäksi jännitysten dissipaatioille periaatteessa
tulee toiset kuusi yhtälöä, mutta käytännössä käytetään standardi k − ǫ-mallin dissipaatioyhtälöä ja lasketaan Reynoldsin jännitysten dissipaatiot yhteydestä
2
ǫij = δij ρǫ
3
(6.31)
Turbulenssin kineettinen energia lasketaan Reynoldsin jännityksistä. Ratkaistavaksi
tulee siten päävirtausyhtälöiden lisäksi seitsemän yhtälöä, jolloin kokonaisuudessaan yhtälöiden lukumäärä on 12. Turbulenssiyhtälöt ovat skalaariyhtälöitä, joten
ratkaisuaika iteraatiokierrosta kohden ei kasva yhtälömäärän suhteessa. Verrattuna
6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT
172
k − ǫ-malliin RSM kasvattaa laskenta-aikaa iteraatiokierrosta kohden 50-60%. Vaa-
dittavien iteraatiokierrosten määrä kasvaa todennäköisesti paljon enemmän. Yleensä Reynoldsin jännitys -mallin käyttö moninkertaistaa laskenta-ajan eikä konvergenssi ole varmaa. Oikea ratkaisutapa on RSM:nkin yhteydessä laskea ensin jollain kaksiyhtälömallilla tulos ja jatkaa laskentaa Reynoldsin jännitys -mallin avulla.
Laskentatavassa on sekin hyöty, että eri turbulenssimallien tuloksia voidaan vertailla. Osana laskennan laadunvarmistusta voidaan pitää erilaisten turbulenssimallien
käyttöä. Jos mallit antavat samantapaisia tuloksia, laskentaa voidaan pitää onnistuneena, mikä ei kuitenkaan vielä ole tae oikeasta tuloksesta. Jos taas mallit antavat
kovin ristiriitaisia tuloksia, on niiden toimintaa tutkittava tarkemmin. Reynoldsin
jännitys -malli on herkkä eikä se toimi oikein samoilla parametreilla kaikissa tapauksissa. Jos tulokset vaikuttavat kummallisilta, esimerkiksi turbulenssin kineettisen energian taso putoaa käytännössä nollaan, on aihetta epäillä laskennan kuvaavan
todellista fysikaalista tilannetta huonosti.
Reynoldsin jännitys -mallin kuvausmahdollisuudet monimutkaisissa virtaustilanteissa ovat kaksiyhtälömalleja suuremmat. Normaalikäyttäjän tulee suhtautua
Reynoldsin jännitys -mallilla laskettuihin tuloksiin kriittisesti. Malli on niin monimutkainen ja reunaehtojen yms. seikkojen asettaminen sen verran hankalaa, että tulos voi helposti olla mitä tahansa. Kuten edellä todettiin, FLUENTissa on oikeastaan
kaksi erilaista Reynoldsin jännitysmallia. Vaihtamalla paine-venymänopeustermin
laskentaa, saadaan todennäköisesti toisenlainen tulos, mikä ei vie tavanomaista käyttäjää yhtään lähemmäksi totuutta. RSM on lähinnä työkalu tutkimustarkoituksiin.
Se vaatii normaalisti tuekseen kokeellista tietoa, käytännön laskentatehtäviin siitä ei
vielä ole. Tässä yhteydessä on syytä korostaa virtauslaskennan erästä tärkeää merkitystä: simuloinnilla ei ehkä aina saada selville absoluuttisia numeroarvoja, mutta
tuloksena saadaan käyttäytymistrendejä. Laskettaessa suuri määrä laskuja samalla
turbulenssimallilla, trendit tulevat esille. Näin ei käy mallia vaihtamalla! Turbulenssimallia vaihtamalla samoilla reunaehdoilla saadaan tuntumaa laskennan luotettavuuteen, kuten edellä esitettiin. Käytettäessä virtauslaskentaa suunnittelutyössä, on
siis syytä laskea suuri määrä tapauksia varioiden tilanteeseen liittyviä parametreja.
Näistä eräät tapaukset valitaan tarkemmin tarkasteltaviksi ja lasketaan ainakin kahdella turbulenssimallilla. Ideaalitilanteessa lopuksi tehdään kokeita laskennan avulla valituilla geometrioilla. Sellaisilla teollisuuden aloilla, kuten lentotekniikassa ja
kaasuturbiiniteollisuudessa, joilla simulointia käytetään rutiinin omaisesti, suunnitteluproseduuri on juuri tällainen.
6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ
173
ln E
RANS−turbulenssimalli
URANS
aika−
integrointi
URANS−turbulenssimalli
LES aika−
LES:n
integrointi
SGS−malli
3
E(k) = αε2/3 k−5/3
1
~−−
L
1
1
~−−
~−−
∆x RANS ∆x LES
−5
1
1
~−−
= −−
∆x DNS η
ln k
Kuva 6.5: Turbulenssin energiaspektri.
6.5 Isojen pyörteiden menetelmä
Isojen pyörteiden menetelmä on RANS-simuloinnista täysin poikkeava menetelmä, vaikka käytetyt yhtälöt (6.3) ja (6.6) ensi silmäyksellä muistuttavat toisiaan.
LES perustuu siihen, että osa turbulenssin spektristä lasketaan suoraa simulointia muistuttavalla keinolla ajasta riippuvana. Eri laskentatapoja voidaan havainnollistaa kuvalla 6.5, jossa on turbulenssin sisältämän energian spektri turbulenssiin
liittyvän karakteristisen mitan (’pyörrekoon’) funktiona. RANS-laskennassa koko
spektri mallinnetaan ja turbulenssin vaikutus tulee enemmän tai vähemmän huomioon otetuksi päävirtauksien laskennassa. URANS-laskennassa ajasta riippuvana lasketaan vain kaikkein suurin skaala, joka ei oikeastaan saisi olla varsinaista
turbulenssia. LES-menetelmässä osa turbulenssista mallinnetaan ja osa lasketaan.
Mallinnettavaksi jää laskentatilavuuden kokoa pienemmät turbulenssiskaalat. Malleja sanotaan alihilamalleiksi (sub-grid-scale models, SGS). Yhtälöt eivät ole aika, vaan paikkakeskiarvotettuja. Jotta turbulentin virtauksen keskimääräinen luonne
selviäisi, on laskentaa jatkettava niin pitkään, että saadaan tilastollisesti edustava
keskiarvo ratkaistaville suureille. Samassa yhteydessä saadaan lasketuksi turbulenssin aiheuttamat näennäiset jännitykset. Varsinaiset Reynoldsin jännitykset saadaan
heilahteluhistoriasta laskettujen ja alihilajännitysten summana.
Jotta laskenta pystyisi toistamaan todelliset virtauksessa esiintyvät heilahtelut,
on numeerisen menetelmän oltava mahdollisimman tarkka. FLUENTin yhteydes-
6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ
174
sä tämä tarkoittaa toisen kertaluvun aikaintegrointia ja paikan suhteen diskretointia. (Tässä yhteydessä on syytä muistuttaa, että myös RANS-laskennan lopulliset
tulokset on laskettava toisen kertaluvun menetelmillä). Toinen numeerinen ja vaikeasti toteuttavissa oleva asia on reunaehdot, joiden antaminen poikkeaa RANSlaskennasta. Reunaehtoihin palataan jatkossa.
LES-laskennassa on hilan oltava tarpeeksi tiheä, jotta turbulenssin energiaspektristä saadaan riittävä osuus laskentaan mukaan. Hilatiheys riippuu Reynoldsin luvusta, mutta tässä yhteydessä ei voida antaa muuta kuin suuntaa antava sääntö: hilan
on oltava tiheämpi kuin RANS-laskennassa. Aikaintegroinnissa on annettava riittävän lyhyt aika-askel. Jonkinlaisen suuruusluokan saa globaalista Courantin luvusta
∆tU∞
(6.32)
∆x
Courantin luvun on oltava korkeintaan suuruusluokkaa O(1), mieluummin pienemCF L =
pi. Yhtälössä (6.32) U∞ on sopivasti valittu tulovirtausta edustava nopeus ja ∆x tyypillinen laskentatilavuuden dimensio. Aika-askel määräytyy tarkkuuden eikä stabiilisuuden mukaan käytettäessä FLUENTin toisen kertaluvun menetelmää. Käytännössä saattaa olla mahdotonta ja turhaakin asettaa paikallista Courantin lukua alle
ykkösen koko laskenta-alueessa. Yhtälöstä (6.32) saa jonkinlaisen ohjenuoran aikaaskeleen maksimikoolle ja sitä on tästä arvosta syytä vielä pienentää.
Isojen pyörteiden menetelmässä on päämotiivi simuloida turbulenssin suurimpien skaalojen vaikutus, jolloin mm. epäisotrooppisuus tulee automaattisesti hoidetuksi. Pienet pyörteet ovat isotrooppisempia ja periaatteessa helpommin mallinnettavia. Kaikkein yksinkertaisin mallinnustapa on Smagorinskyn malli, joka on peräisin jo 1960-luvulta. Smagorinskyn alihilamallissa käytetään turbulenttia viskositeettia vastaavaa käsitettä
1
τij − τkk δij = −2µt Sij
3
(6.33)
missä τij on alihilajännitys ja µt näennäinen viskositeetti, jolla hilakoppia pienemmän skaalan aiheuttama vaikutus mallinnetaan. Venymänopeustensori lasketaan päävirtauksen sen hetkisillä arvoilla, ei keskiarvotetuilla nopeuksilla. FLUENTissa käytetään Smagorinskin ja Lillyn mallia, jossa pyörreviskositeetti lasketaan kaavasta
µt = ρL2s |S|
missä Ls on eräänlainen sekoituspituus ja |S| =
(6.34)
q
2Sij Sij . Sekoituspituus puoles-
6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ
175
taan lasketaan seinämäetäisyyden ja koppikoon avulla
Ls = min(κd, Cs V 1/3 )
(6.35)
missä d on lähin seinämäetäisyys, κ = 0,42 von Kármánin vakio ja V laskentatilavuuden koko. Ottamalla laskentatilavuudesta kuutiojuuri, saadaan kopille karakteristinen mitta. Kertomalla tämä sopivalla vakiolla Cs , saadaan pyörreviskositeettimallille sekoituspituus. Juuri tässä vaiheessa tuodaan laskentaan koppikoon
vaikutus esille. Pyörreviskositeetti menee LES-laskennassa sitä pienemmäksi, mitä
pienemmät ovat laskentatilavuudet. Lopulta LES redusoituu suoraksi simuloinniksi, missä ei ole minkäänlaista alihilamallia. Valitettavasti Smagorinsky-Lillyn malli
on yleensä liian yksinkertainen. FLUENTissa käytetään oletusarvoisesti Cs = 0,1,
mutta käyttäjä voi modifioida vakion arvoa. Viime aikoina on LES:in yhteydessä ryhdytty käyttämään ns. dynaamista lähestymistapaa, joka perustuu vakion Cs
määrittämiseen osana simulointitehtävää. Tällöin vakiolle voi tulla jopa negatiivisia
arvoja, jotka ennustavat ns. takaisin sirontaa, jota tapahtuu oikeassa virtauksessa.
Numeerisessa laskennassa takaisin sironta johtaa epästabiilisuuteen, jos negatiivisesta pyörreviskositeetista tulee itseisarvoltaan suurempi kuin molekylaarinen viskositeetti µ. Dynaamisen mallin käyttö on vaikeaa ja se usein vaatii laskentaparametrien tai jopa itse mallin säätelyä.
Edellä todettiin LES:in reunaehdot hankaliksi. Ne ovat sitä sekä kiinteiden seinien että tulo- ja ulosmenovirtauksen osalta. Isojen pyörteiden menetelmässä tulovirtauksen turbulenssi vaikuttaa ratkaisuun. Hyvin suuri osa LES-laskuista on perinteisesti tehty periodisilla reunaehdoilla, jotta tulovirtaus saadaan esimerkiksi kanavassa suoraan turbulentiksi. Toinen mahdollisuus, jota FLUENTissa myös voidaan
käyttää, on perturboida tulovirtauksen nopeuksia. Häiritty tulovirtaus nopeuttaa (lyhentää matkaa) turbulentin virtauksen muodostumista, mutta tulovirtauksen vaikutus ei saa näkyä lopputuloksessa. Tämän vuoksi laskenta-alueen on oltava tarpeeksi
suuri, jotta oikeanlainen ajasta riippuva virtaus syntyisi. Hyvin usein virtausta voi
olla vaikeaa saada heilahtelemaan, vaikka tulovirtausta häirittäisiinkin. Ulkopuoliset virtaukset, kuten ympyräsylinteri poikittaisvirtauksessa, jota LESillä paljon lasketaan, ovat reunaehtojen määrittelyn suhteen helpompia kuin sisäpuoliset virtaustilanteet, koska vastaavaa virtauksen kehittymismatkaa ei tarvita.
Kiinteillä pinnoilla reunaehdot ovat edelleen LESin osalta tutkimusvaiheessa.
FLUENTissa voidaan käyttää eräänlaista seinämäfunktioajatustapaa tai sitten viedä
mallinnus pinnoille asti. Seinämäfunktion sopivuudesta isojen pyörteiden menetel-
6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ
176
mään ei ole täyttä varmuutta.
FLUENTin käyttäjän kannattaa muistaa, että isojen pyörteiden menetelmä on
toistaiseksi enemmän tutkimuksen kohde kuin työkalu. Koska virtausprobleeman
asettaminen on huomattavasti RANS-simuloinnista poikkeavaa, asiaan palataan vielä esimerkkitapauksen muodossa luvussa 9. Seuraavassa muutamia näkökohtia, joiden vuoksi normaalikäytössä ei pidä käyttää LES-mallia:
• laskennassa on käytettävä tiheämpää hilaa ja riittävän pientä aika-askelta. Tä-
män vuoksi vain pienillä Reynoldsin luvuilla laskenta voidaan hoitaa tavanomaisella työasemalla. Lähes kaikissa käytännön tehtävissä tarvitaan supertietokonetta päiväkausiksi.
• FLUENTissa käytetään implisiittistä menetelmää, joka vaatii ainakin parikymmentä sisäistä iteraatiota/aika-askel. Menetelmä on tehoton ja laskentaaika paisuu tämänkin vuoksi.
• Aikaintegrointi tulee olla toista kertalukua, muuten tarkkuus rajoittaa aika-
askeleen liian pieneksi. Kolmen aikatason menetelmä on vaimentavampi kuin
Crank-Nicolsonin menetelmä.
• tulosten käsittely ja monitorointi on hyvin hankalaa. LES-koodissa lasketaan
keskimääräisille nopeuksille liukuvia aikakeskiarvoja u¯m
u¯m = [(m − 1)¯
um−1 + um ]/m
(6.36)
missä m viittaa aika-askeleeseen. Vastaavista yhtälöistä lasketaan keskimääräiset nopeudet v¯m ja w¯m . Ennen tilastollisesti edustavaa tulosta joudutaan
ottamaan tuhansia aika-askelia. Tätä ennen on ehkä jouduttu jo ottamaan tuhansia askelia, jotta turbulenssi on saatu laskennassa heräämään. Reynoldsin
jännityksiä monitoroidaan kaavoilla
u′i u′j m = [(m − 1)u′i u′j m−1 + (ui,m − u¯i,m)(uj,m − u¯j,m)]/m
(6.37)
Keskiarvotettujen suureiden lisäksi laskijalla pitäisi olla käsitys hetkellisten
arvojen mielekkyydestä ja aikaintegroinnin sisäisen iteraation tarkkuudesta
jne.
• reunaehtojen antaminen on vaikeaa ja vaikuttaa melkein aina lopputulokseen.
6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY
177
• FLUENTissa käytetty ’suuren Reynoldsin luvun’ seinämäreunaehto on spekulatiivinen, menetelmä kuvaa rajakerrokset epätarkasti
• LES-tulos muuttuu aina, kun laskentahilaa tihennetään. Lopulta saadaan suo-
ran simuloinnin tulos, mutta käytännön tehtävissä hilaa ei voida tihentää niin
paljon. Laskijan on itse pääteltävä mikä tulos on ’oikea’.
• LES-yhteisössä käydään keskustelua siitä, voidaanko simulointi tehdä ylä-
virtapainotteisella menetelmällä vai onko aina käytettävä keskeisdifferenssiä.
Eräissä ohjelmissa saatetaan käyttää aina vuonrajoittimia, eikä edes puhtaita ylävirtapainotteisia menetelmiä saati keskeisdifferenssiä ole käytettävissä.
Vuon rajoitin saattaa tuhota laskentatuloksen liiallisen numeerisen vaimennuksen vuoksi.
• Eräs koulukunta soveltaa LESiä ilman alihilamallinnusta, jolloin numeriikka
tavallaan hoitaa alihilamallinnuksen. Tällöin on käytettävä ylävirtapainotusta mahdollisesti rajoittimiakin, kun ’puhtaassa’ LESissä pyritään käyttämään
keskeisdifferenssiä. Myös aikaintegrointitapa vaikuttaa numeeriseen vaimennukseen.
Tavallisen käyttäjän kannalta FLUENT ei vaikuta vielä kovin lupaavalta LESkoodilta, mutta asiaan tällä hetkellä liittyvän yleisen mielenkiinnon vuoksi käydään
luvussa 9 läpi yksinkertainen kanavavirtausesimerkki. Simuloinnin suorittajalla tulee olla sen verran käsitystä isojen pyörteiden menetelmästä, että sitä ei pidetä jonkinlaisena turbulenssimallivaihtoehtona, jonka kaltaisena se valikossa näyttäytyy.
Laskenta ei ole LESiä, jos siihen ei saada edustavaa ja oikeaa (reunaehdoista
riippumatonta) turbulenssia syntymään. Pikemminkin kyseessä on tällöin jonkinlainen RANS-laskenta, joka on tehty tarkoitukseen täysin sopimattomalla mallilla
(Smagorinsky-Lilly). Tuloksella ei ole silloin mitään fysikaalista pohjaa.
6.6 Kiinteiden pintojen käsittely
6.6.1 Suuren ja pienen Reynoldsin luvun mallit
Turbulentilla virtauksella nopeus muuttuu kiinteän pinnan läheisyydessä hyvin jyrkästi. Tämän vuoksi laskentaan on syntynyt kaksi erilaista laskentatapaa, joiden
6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY
178
asettamia vaatimuksia hilalle käsiteltiin luvussa kaksi. Perinteinen turbulenttien virtausten laskentatapa on seinämäfunktion käyttö. Tällöin hilan ensimmäisen laskentatilavuuden keskipisteen on oltava välillä 30 < y + < 300 ja mieluiten lähellä
alarajaa. Vaatimus tulee logaritmisen lain pätevyysalueesta (kts. kuva 2.19. Turbulenssimallia, jolla virtaus simuloidaan kiinteälle pinnalle asti sanotaan pienen Reynoldsin luvun malliksi. Nyrkkisääntönä on tällöin, että laskentahilan ensimmäisen
kopin korkeus on y + ≈ 1.
Turbulenssimallit jaetaan pienen ja suuren Reynoldsin luvun malleihin. FLUEN-
Tissa on alunperin noudatettu toisenlaista tapaa. Vanhemmassa FLUENTin versiossa varsinaisia pienen Reynoldsin luvun malleja ei ollut ollenkaan, mutta k − ǫ- ja
Reynoldsin jännitys -mallit voitiin yhdistää Wolfsteinin yksiyhtälömallin kanssa,
jolla kuvataan seinämän lähellä oleva alue. Manuaalin tekstistä poiketen ohjelmassa on ollut valikon alla piilossa useita pienen Reynoldsin luvun malleja, joihin palataan kohdassa 6.6.4. Kaksikerrosmallissa yksiyhtälömallia käytetään, kun
√
ρ ky
Rey =
< 200
(6.38)
µ
Tässä Rey on turbulentti Reynoldsin luku, eräänlainen dimensioton etäisyys seinästä. Alue kattaa rajakerroksen likimain logaritmisen jakauman puolesta välistä pinnalle. Wolfsteinin mallin avulla FLUENTissa on tavallaan pienen Reynoldsin luvun
versiot standardi k − ǫ-mallista, RNG-mallista, Shih’n mallista ja RSM:stä. Spalart-
Allmaras -malli on jo alunperin pienen Reynoldsin luvun malli, johon FLUENTissa
on kehitetty myös seinämälakiin perustuva reunaehto. Periaatteessa kaikista malleista on olemassa pienen ja suuren Reynoldsin luvun versiot. Käyttäjän kannattaa huomata, että laskentahilan vaatimukset muuttuvat pinnan lähellä epäjatkuvasti,
kun mallia muutetaan. Ei siis kannata yrittää generoida kompromissihilaa, jossa ensimmäisen kopin korkeus on luokkaa y + ≈ 10 ja laskea sillä sekä pienen että suuren Reynoldsin luvun mallilla, koska kumpikin tulos on huono. Vertailuun tarvitaan
kaksi eri hilatiheyttä, joissa koppikorkeudet ovat luokkaa y + ≈ 1 ja y + ≈ 30.
6.6.2 Seinämäfunktiot
Turbulentin virtauksen tyypillinen nopeusjakauma mahdollistaa seinämälain soveltamisen reunaehtona fysikaalisen reunaehdon V~ = 0 asemesta. Tämä menettelytapa
on Launderin ja Spaldingin ehdottama 1970-luvun alussa ja sitä voidaan vieläkin
pitää standardina teollisuusprosessien simuloinnissa, vaikka menetelmä tiedetään
6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY
179
epätarkaksi. Seinämälakia voidaan soveltaa usealla tavalla, joten reunaehto ei ole
välttämättä aivan sama eri ohjelmissa. Reunaehdon soveltamisessa on oleellista, että seinämälaki on epälineaarinen ja sitoo ratkaistavia suureita toisiinsa. Ohjelmassa
käytettävä reunaehto iteroituu siten ratkaisun kuluessa kohdalleen, se ei välttämättä
toteudu ennen kuin laskenta on konvergoitunut. Kaupallisissa koodeissa seinämälakia ei sovelleta suoraan. Valittavana on ainakin FLUENTissa useita vaihtoehtoja.
Standardimallin lisäksi voidaan valita epätasapainoseinämäfunktio tai käyttäjän itse
määrittelemä. Seuraavassa tarkastellaan standardimallia.
FLUENTissa ei käytetä seinämälaissa suuretta y + , vaan toista dimensiotonta
etäisyyttä, joka määritellään
y∗ =
ρCµ1/4 k 1/2 y
µ
(6.39)
Tasapainotilan rajakerroksella y ∗ ≈ y + . Dimensiottomat etäisyydet y ∗ ja y + . ovat
yhtä suuria, kun P = ρǫ ja µT >> µ. Seinämälaki voidaan siten tasapainotilan
rajakerroksella kirjoittaa muotoon
u∗ =
1
ln(Ey ∗)
κ
(6.40)
u∗ =
uCµ1/4 k 1/2
τw /ρ
(6.41)
missä
ja E on empiirinen vakio (= 9,81). Logaritmisesta laista saadaan yhteys, jonka
avulla leikkausjännitys τw voidaan lausua funktiona ensimmäisen kopin seinämäetäisyydestä, tiheydestä, turbulenssin kineettisestä energiasta ja seinän suuntaisesta
nopeudesta. Simulointi sujuu siten, että edellisen iteraatiokierroksen arvoilla lasketaan uusi leikkausjännitys τw , jota käytetään liikemääräyhtälöissä. Seinämälain soveltaminen on yksikäsitteistä vain kaksidimensioisessa virtauksessa. Kolmidimensioisessa tapauksessa lakia voidaan soveltaa virtauksen suunnassa paikallisesti kaksidimensioisesti. Manuaalista ei selviä miten tämä on toteutettu. On huomionarvoista, että turbulentin virtauksen tapauksessa seinämäkäsittely on aikoinaan laadittu
rakenteellisia hiloja silmällä pitäen. Seinämäkäsittelyn laajentaminen rakenteettomille hiloille ei ole triviaalia, ja on täysin mahdollista, etteivät tulokset ole täysin
samoja eri hilatyypeillä implementointierojen vuoksi.
FLUENTissa käytetään seinämälakia, kun y ∗ > 11,225. Ohjelma pystyy käsittelemään tilanteen, jossa koppikoko on tätäkin pienempi. Käytännössä ei pidä
6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY
180
kuitenkaan mennä alle y ∗ < 30, koska silloin ollaan joka tapauksessa seinämälain
pätevyysalueen ulkopuolella eikä hilan tihentäminen paranna lopputulosta..
Turbulenssisuureista ratkaistaan kineettisen energian yhtälö myös ensimmäisessä laskentatilavuudessa, mutta dissipaatiolle annetaan reunaehto ensimmäisessä kopissa. Kineettiselle energialle tarvitaan siten seinällä konvektio- ja diffuusiovuot.
Koska konvektionopeus seinää vasten kohtisuorassa suunnassa on nolla, on myös
konvektiovuo nolla. Diffuusiovuota varten asetetaan gradientti pinnan normaalin
suunnassa nollaksi
∂k
=0
(6.42)
∂n
eli diffuusiovuokin on nolla. Dissipaatiolle ei ratkaista taseyhtälöä ensimmäisessä
kopissa, vaan dissipaation arvo asetetaan kineettisen energian ja seinämäetäisyyden
avulla
Cµ3/4 k 3/2
(6.43)
κy
FLUENTissa on siis mahdollista käyttää myös ns. epätasapainotilan seinämäǫ=
funktioita. Nämä riippuvat painegradientista ja niiden sanotaan tarkentavan tulosta,
kun painegradientti on läsnä eli käytännössä lähes aina. Epätasapainotilan seinämäfunktioihin on syytä suhtautua varoen. Jo aiemmin on todettu, että on pieni ihme, että tämä reunaehtotyyppi yleensä toimii varsin hyvin, koska tarkkaan ottaen sen asettaminen on hyvin tapauskohtaista. Klassisesta seinämäfunktioehdosta on kaikkein
eniten kokemusta ja syystä tai toisesta se pelaa useimmiten fysikaalisesti järkevästi. Käytettäessä monimutkaista epätasapainofunktiota laskennan robustisuus kärsii.
On hyvin todennäköistä, että monimutkaisesti viritetty funktio joissain tilanteissa
käyttäytyy anomaalisesti. Jos rajakerrosilmiöt ovat tärkeitä, ainoa oikea lähestymistapa on siirtyä pienen Reynoldsin luvun laskentaan. Seinämäfunktioehdot ovat joka
tapauksessa epätarkkoja.
6.6.3 Kaksikerrosmalli
Uudessa FLUENTin versiossa SST k − ω -malli on hyvä pienen Reynoldsin lu-
vun lähestymistapa. Kuten edellä todettiin, varhaisemmissa FLUENTin versioissa
ei ollut päävalikoissa yhtään varsinaista pienen Reynoldsin luvun mallia, sen sijaan
k − ǫ- ja Reynoldsin jännitys -malleista voidaan ottaa käyttöön Wolfsteinin yksiyh-
tälömalli pinnan lähellä. Kyseessä on siis tavallaan pienen Reynoldsin luvun malli, joka on sama kaikille muille RANS-lähestymistavoille paitsi Spalart-Allmaras
6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY
181
-mallille. Käyttäjän on syytä tiedostaa, että tätä menettelyä ei käytetä muualla kuin
FLUENTissa, joten validointikokemukset ovat kirjallisuudessa huonosti raportoituja. Siitä huolimatta pienen Reynoldsin luvun malli pitäisi aktivoida aina, kun pintailmiöiden tiedetään vaikuttavan merkittävästi virtaukseen. Erityisen tärkeää se on,
kun virtaus irtoaa tai ollaan laskemassa rakenteisiin vaikuttavia voimia ja momentteja.
Yksiyhtälömallia aletaan soveltaa rajakerroksessa ehdon (6.38) mukaan, mikä
kattaa melko suuren osan rajakerroksesta. Tyypillisessä pienen Reynoldsin luvun
laskennassa tällä alueella on jo suuruusluokkaa O(20) laskentatilavuutta. FLUENTissa tällä alueella ei lasketa dissipaatiota taseyhtälöstä, vaan approksimatiivisesta
yhteydestä
k 3/2
(6.44)
lǫ
Ongelmaksi tulee pituuskaalan lǫ määrittäminen. Yhtälöä (6.44) käytetään vain kiǫ=
neettisen energian yhtälössä oleva dissipaation määritykseen. Turbulentin viskositeetin laskennassa käytetään toista pituusskaalaa lµ
√
µt = ρCµ klµ
(6.45)
Pituusskaalat lasketaan empiirisistä yhteyksistä, jotka riippuvat turbulentista Reynoldsin luvusta (6.38) sekä suoraan lähimmästä seinämäetäisyydestä y.
6.6.4 Pienen Reynoldsin luvun k − ǫ -mallit
FLUENTin manuaalissa ei esitellä varsinaisia alhaisen Reynoldsin luvun k − ǫ -
malleja, ainoastaan kaksikerros-vaihtoehtoa. Ohjelmassa on ollut kuitenkin olemassa useita muitakin alhaisen Reynoldsin luvun k − ǫ- malleja, ei kuitenkaan ehkä
kaikkein suosituinta Chienin k − ǫ-mallia. FLUENTin mallit ovat olleet ohjelman
vanhemmissa versioissa valikon Define/Models/Viscous alla, mutta tämä ei akti-
voidu uudemmissa versioissa. Vastaamalla valikkoon low-re-ke saadaan nämä piilossa olevat vaihtoehdot aktivoiduiksi. Mallien valikko saadaan esille kirjoittamalla low-re-ke-index. Valintamahdollisuudet käytettävissä olleella ohjelmaversiolla
ovat seuraavat:
• Abid
• Lam-Bremhorst
6.7. TURBULENSSIMALLIEN REUNAEHDOT JA TRANSITIO
182
• Launder-Sharma (oletusarvo)
• Yang-Shih
• Abe-Kondo-Nagano
• Chang-Hsieh-Chen
Näistä oletusarvona oleva Launder-Sharma -malli on ensimmäisiä pienen Reynoldsin luvun malleja ja on hyvin tunnettu. Muita malleja on sen sijaan käytetty varsin
vähän. Kuten edellä todettiin, valikossa ei ole ehkä kaikkein yleisintä pienen Reynoldsin luvun lähestymistapaa, Chienin k − ǫ-mallia.
FLUENTin pienen Reynoldsin luvun mallit sopivat tutkimus- ja validointityö-
hön. Niiden toimivuus riippuu suurelta osin myös implementointitavasta, koska pienen Reynoldsin luvun mallit ovat herkkiä esimerkiksi seinämäkäsittelylle, joka on
usein ohjelmakohtaista. Mallien keskinäisestä toimivuudesta ja validoinnista ei voida myöskään tässä yhteydessä sanoa mitään kovin yleistä. Usein jokin malli toimii
paremmin jossain virtaustehtävässä, jokin toinen malli taas toisessa tehtävässä. Ehkä toistaiseksi turvallisempi lähestymistapa tavanomaisessa käytössä on siis käyttää
kaksikerros-lähestymistapaa esimerkiksi Shih’n mallin yhteydessä tai siirtyä käyttämään SST k − ω-mallia.
6.7 Turbulenssimallien reunaehdot ja transitio
Turbulenssisuureet käyttäytyvät eri tavoin kiinteällä pinnalla ja suuren Reynoldsin
luvun malleilla pinnan reunaehtoa ei käytetä. Kiinteän pinnan käsittely on ohjelmien sisäinen asia, johon voi vain rajoitetusti puuttua. Joissain malleissa saattaa
olla mukana pinnan karheus -parametri, joka toimii muuttamalla esimerkiksi ω:n
arvoa pinnalla.
Tärkeä ja usein unohdettu on transition mallinnus. Viime aikoina on transition
mallinnukseen tullut uusia mahdollisuuksia. Yleisin vaihtoehto on SST-mallin yhteydessä käytettävä γ − Reθ -malli. (Tässä γ on turbulenssin ajoittaisuus ja Reθ lii-
kemääräpaksuuteen referoitu Reynoldsin luku). Transitiomalleja on vain harvoissa
ohjelmissa eivätkä ne ole vielä luotettavia, mutta vaihtoehtoisesti käyttäjä voi antaa lanimaarin alueen syöttötietoina. Ohjelma sammuttaa turbulenssin tuoton tältä
alueelta. Jos tätä mahdollisuutta halutaan käyttää, on arvioitava sopiva alue patopisteen läheltä ja se määritellään laminaariksi. Mallinnuksen kannalta ongelmallisia
6.7. TURBULENSSIMALLIEN REUNAEHDOT JA TRANSITIO
183
ovat tilanteet, joissa laminaari alue on suuri tai esimerkiksi kanavat, joiden Reynoldsin luku on ReD < 10 000. Joissain tilanteissa on hyväksyttävä se tosiasia, että
mallinnustulos on epävarma.
Myös tulovirtaukselle asetetaan reunaehdot ja ulkopuolisessa virtaustilanteessa
ne toimivat myös turbulenssisuureiden alarajoina. Turbulentti viskositeetti lasketaan
k − ǫ-mallilla kaavasta
ρk 2
(6.46)
ǫ
Yhtälöstä nähdään, ettei dissipaation ǫ arvo saa mennä nollaksi. Tämä estetään soµT = Cµ
pivalla alarajalla ja myös turbulenssin kineettisellä energialla on oltava alaraja. Näiden suhde määrittelee minimiarvon pyörreviskositeetille, jonka on oltava suurempi
kuin nolla. Mikäli arvo voisi mennä nollaksi, ei turbulenssin tuotto saisi koskaan
nollasta poikkeavia arvoja. Sopiva viskositeettisuhde on 0,001 < µT /µ < 0,1, mutta suurempiakin on käytetty. Käyttäjän tulee kiinnittää viskositeettien suhde esimerkiksi arvoon 0,01 ja laskea sen avulla toinen turbulenssisuure, kun toinen on annettu.
Yleensä lasketaan turbulenssin kineettiselle energialle arvo turbulenssin intensiteetin I avulla, joka määritellään
( 32 k)0,5
(6.47)
u
sopiva intensiteetin arvo on luokkaa 0,01 tai pienempi. Tällöin voidaan tulovirtaukI=
sen nopeuden avulla ratkaista k ja sen jälkeen viskositeettien suhteesta ǫ tai ω.
Dissipaatiota voidaan arvioida myös turbulenssisuureiden määräämän pituusskaalan
l = Cµ0,75 k 1,5 /ǫ
(6.48)
avulla, jossa nyt erona aikaisempaan esiintyy myös verrannollisuuskerroin. Käyttämällä l:n paikalla virtauksen geometriaa kuvaavaa pituussuuretta, voidaan ǫ:n arvoa
arvioida k:n perusteella.
Mielenkiintoista on, miksi turbulenssin dissipaation määrittämiseen ei käytetä
molekylaarista viskositeettia eikä sen avulla määriteltäviä nopeus-, aika- ja pituusskaaloja, vaikka dissipaatio tapahtuu molekylaarisella tasolla. Tämä selittyy sillä, että pienimpien turbulenssipyörteiden sisältämä kineettinen energia dissipoituu hyvin
nopeasti ja turbulenssin kineettisen energian dissipaationopeuden määrää todellisuudessa se, kuinka nopeasti suurista pyörteistä siirtyy energiaa pienille pyörteille.
Asian voi todeta tarkastelemalla ns. Kolmogorovin pituusskaalaa (6.49) ja vastaavaa
6.8. TEHTÄVÄASETTELUSTA RANS-MALLEILLA
184
aikaskaalaa (6.50). Nähdään, että aikaskaala on hyvin pieni.
ν 3 0,25
)
ǫ
= (ν/ǫ)0,5
lK = (
(6.49)
tK
(6.50)
Ratkaisu on yleensä riippumaton annetuista arvoista, mutta ei aina. Erityisesti kaikki k − ω-pohjaiset mallit ovat herkkiä tulovirtauksen arvoille. Vaikka SST-malli vä-
hentääkin tätä ongelmaa, se ei poista sitä kokonaan, vaan tulovirtauksen arvojen on
oltava tietyissä rajoissa. Turbulenssimallin toimivuus on aina tarkistettava lopputuloksista vertaamalla saatua kitkaa tai nopeusjakaumaa teoreettiseen tulokseen.
6.8 Tehtäväasettelusta RANS-malleilla
Tarkastellaan seuraavassa lyhyesti simulointitehtävän asettamista RANS-yhtälöillä.
Laskentahilan laatimista käsiteltiin jo luvussa 2 ja isojen pyörteiden menetelmään
palataan luvussa 9. Turbulenssimallit löytyvät FLUENTissa valikon Define/Models/Viscous
alta. Simuloinnin suorittajan on tietenkin jo hilangenerointivaiheessa pääteltävä onko tapaus laminaari, turbulentti tai kolmantena (ei suositeltavana) vaihtoehtona tehdäänkö laskenta isojen pyörteiden menetelmällä. Jos on päädytty tavanomaiseen
turbulenttiin laskentaan, FLUENTissa ei ole kovin paljon (manuaalin mukaan) vaihtoehtoja, käytännön laskentaan tämän kirjoittaja suosittelee SST k − ω -mallin li-
säksi vain standardi tai Shih’n k − ǫ malleja. Näistä jälkimmäisessä on myös pyö-
rimisliikkeen huomioon ottava korjaus. Poikkeuksellisessa tilanteessa voidaan valita Spalart-Allmaras tai RNG-optio, mutta käyttäjällä olisi oltava tällöin sen verran
asiantuntemusta turbulenssista, että pystyy itselleen perustelemaan valinnan syyn.
Reunaehtoja varten joudutaan turbulenssisuureita usein arvioimaan reunoilla ennen laskentaa. Varsinaisiin turbulenssisuureisiin (k, ǫ ja ω) päästään käsiksi hieman
helpommin ymmärrettävien suureiden turbulenssin intensiteetin I, turbulenssin pituusskaalan l ja suhteellisen turbulentin viskositeetin νT /ν avulla. Näistä riittää arvioida kaksi suuretta, minkä jälkeen voidaan käyttää seuraavia yhteyksiä
k =
3
(uI)2
2
3
3
ǫ = Cµ4 k 2 /l
ω =
νT /ν =
−1
Cµ 4
Cµ k
ǫν
1
2
k /l
(6.51)
(6.52)
(6.53)
2
(6.54)
6.9. JÄLKIKÄSITTELY TURBULENTILLA VIRTAUKSELLA
185
Reynoldsin jännitysmallien kanssa ei normaalissa tilanteessa kannata ryhtyä
puuhailemaan. Kuten edellä jo todettiin, vain RSM:llä on mahdollista kuvata turbulenttia virtausta RANS-yhtälöiden kanssa tarkasti ja periaatteessa yleispätevästi.
Viimeksi mainittu tarkoittaa, että mallin parametreja ei tarvitsisi virittää aina uudelleen. Käytännössä käy kuitenkin päinvastoin. RSM sisältää liikaa parametreja, jotka alan asiantuntijalla saattavat ’olla hanskassa’. Tavallinen käyttäjä voi aktivoida
erilaisia optioita mallin yhteydessä ja saada hyvinkin erilaisia tuloksia, mutta mikä
niistä on ’oikea’ tulos? Täysin väärä lähtökohta on myös se, että oikeana tuloksena
automaattisesti pidetään ensimmäiseksi konvergoitunutta vaihtoehtoa. Jos kaikista turbulenssimalleista vain yksi konvergoi, voi tietenkin tulla kiusaus käyttää sitä
laskennan tuloksena. Oikea lähtökohta olisi etsiä muista malleista syytä konvergoitumattomuudelle, korjata tehtäväasettelu tai mahdollisesti todeta tilanne ajasta riippuvaksi.
Tilanne muuttuu, jos tarkoituksena on validoida malleja mittaustulosten avulla. Tällöin laskijalla on mahdollisuus valita tilanteeseen parhaiten soveltuva malli
ja ehkä jopa säädellä sen parametreja. Tällöin on myös mahdollista, että juuri RSM
saadaan toimimaan parhaiten. Tämän jälkeen vastaavien käytännön tehtävien laskennan pitäisi sujua samoilla asetuksilla.
Simuloinnin suorittaja joutuu ottamaan kantaa pienen ja suuren Reynoldsin luvun mallin suhteen. Tähän on onneksi olemassa yksikäsitteinen vastaus: pienen
Reynoldsin luvun mallia pitäisi käyttää aina. Jos halutaan käyttää suuren Reynoldsin luvun mallia säästäväisyyssyistä, on käyttäjän perusteltava itselleen se, että tilanteessa tapahtuva virtauksen irtoaminen tai muut seinämäefektit eivät vaikuta tarkasteltaviin ilmiöihin haitallisesti.
6.9 Jälkikäsittely turbulentilla virtauksella
FLUENT-ohjelmasta saa suuren joukon turbulenssiin liittyviä suureita tulostetuksi. Lisäsuureita voidaan vielä määritellä valikon Define/ Custom Field Functions
alla. Suurevalikoima riippuu mallista, mutta käyttäjän on syytä jälkikäsittelyssä tarkistaa turbulenssisuureisiin liittyviä asioita, joilla voidaan varmistua simuloinnin
todenmukaisuudesta.
Ensimmäisenä toimenpiteenä on tarkistaa y + -arvot (tai vaihtoehtoisesti y ∗ ). Tämän jälkeen tarkistetaan (myös RSM:llä) kineettisen energian k, dissipaation ǫ ja
6.9. JÄLKIKÄSITTELY TURBULENTILLA VIRTAUKSELLA
186
turbulentin viskositeetin µt arvot. Näiden järkevä suhde toisiinsa määräytyy yhtälöstä (6.14). Jos kineettinen energia on konvergoitunut annettuun alarajaansa tai
lähelle sitä, laskenta on todennäköisesti epäonnistunut. Tulos todennäköisesti vastaa laminaaria tilannetta. On myös täysin mahdollista, että pyörreviskositeetilla on
siitä huolimatta ’turbulentteja’ arvoja, mutta kyse on tällöin vain siitä, että dissipaationkin arvo on mennyt nollaksi, ts. laskentatulos on täysin satunnainen. Hyvä
suure tarkkailtavaksi on turbulenssin intensiteetti, joka lasketaan seuraavasta yhtälöstä (6.47). Intensiteetti kuvaa keskimääräisen nopeusheilahtelun suhdetta päävirtauksen nopeuteen. Jos intensiteetin jakauma näyttää omituiselta tai intensiteetti saa
yli ykkösen olevia arvoja, laskentatulosta ei voida pitää luotettavana. Turbulenssin
intensiteetti voi olla melko suuri nosteen ajamissa virtauksissa, joissa turbulenssimallien toiminta usein saattaa olla epäilyttävää.
Turbulenssisuureiden jakaumia kannattaa tarkastella myös niiden mielekkyyden
ja tasaisuuden kannalta. Turbulenssia kuvaavat yhtälöt ovat epälineaarisia ja saattavat kaikista varotoimista huolimatta aikaansaada visualisoinnissa tilkkutäkkiä muistuttavia jakaumia. Asialle ei välttämättä voida mitään, joten laskijan on arvioitava
onko tulos päävirtausuureiden osalta mielekäs. (Mielekäs tulos ei ole vielä välttämättä sama asia kuin oikea tulos)! Tärkeää on myös mieltää, että vaikka turbulentti
viskositeetti saisikin suuria arvoja, leikkausjännityksiä ei ole ellei ole gradientteja.
Joskus viskositeetti saa esimerkiksi kanavan keskellä ylärajaan rajoittuneita arvoja,
mutta asia ei välttämättä ole katastrofaalinen, koska gradientteja ei ole eikä hilatiheys edes pysty erottamaan leikkausjännityksiä. Usein syynä tällaisille epäfysikaalisille tuloksille on liian pieni alaraja ǫ:lle.
Laskentatuloksen todenmukaisuutta voi edelleen tarkastella lähemmin Reynoldsin jännitysten osalta. Kaksiyhtälömalleissa käytetään Boussinesq-hypoteesia ja Reynoldsin jännitykset voidaan aktivoida vain Define/Custom Field Functions-valikon
alla. Boussinesq-hypoteesilla lasketut jännitykset saattavat olla epäfysikaalisia, joten niihin ei voi suhtautua samalla tavoin kuin Reynoldsin jännitys -mallilla laskettuihin. Reynoldsin jännitysten keskinäisestä suhteesta saa kvalitatiivisen käsityksen
alan oppikirjojen (esim. White) avulla. Jos laskettujen jännitysten keskinäiset suhteet tuntuvat oleva väärin, on tuloksessa päävirtaussuureidenkin osalta todennäköisesti jotain vikaa. On hyvin todennäköistä, että tällöin turbulenssisuureiden konvergenssikin on jäänyt puutteelliseksi. Turbulenssisuureiden konvergenssia on tarkasteltava samassa yhteydessä kuin muidenkin. Suureet saattavat käyttäytyä toisin
kuin esimerkiksi liikemääräsuureet. Aluksi on mahdollista, että residuaalit piene-
6.10. KERTAUS
187
nevät. Tämä saattaa merkitä jopa laminarisoitumista, jonka jälkeen residuaalit alkavatkin kasvaa, kun turbulenssi ’herää’. Sen jälkeen residuaalien on luonnollisesti
tultava alaspäin. Usein turbulenssisuureita ei saada konvergoitumaan yhtä pitkälle kuin päävirtaussuureita, mutta ainakin 1-2 dekadia on konvergoitumista saatava
aikaan.
Turbulentin virtauksen laskenta on vaikea tehtävä, tämä seikka on jo tullut muutaman kerran esille. Kaupallisten koodien mallien valikko on laajentumassa, mutta
vieläkin niukanpuoleinen, vaikka se aloittelijalle saattaa herättää runsauden pulan
tuntua. Edellä esitettyä laadunvarmistuskeinoa kannattaa aina yrittää harrastaa: osa
tehtävistä lasketaan ainakin kahdella eri turbulenssimallilla. Jos tulokset poikkeavat kovin paljon toisistaan, tilanne voidaan luokitella hankalaksi. Tällöin virtauslaskennalle jää tehtäväksi laskea vain trendejä. Käyttäen samoja malliparametreja
varioidaan fysikaalisia olosuhteita tai geometrioita. Simulointi antaa silloin ehkä
vastauksen, miten erilaiset modifikaatiot vaikuttavat todellisuudessakin. Tällöin ei
turbulenssimallia eikä mallin parametreja saa missään tapauksessa muuttaa, koska
trendit eivät tällöin tule esille.
Jos turbulenssisuureiden osalta tulokset ovat kvalitatiivisesti samat, ennustetut
päävirtaussuureetkin ovat luultavasti hyvin lähellä toisiaan. Tällöin simulointi on
paljon varmemmalla pohjalla ja siitä voidaan saada kvantitatiivisia numeroarvojakin
kohtuullisella tarkkuudella. Kaikkein parasta olisi aina suorittaa laskentatapauksen
jonkinlainen validointi mittausten perusteella. Turbulenssin mallinnuksen tärkeyttä ei voida ylikorostaa. On myös muistettava, että monissa virtaukseen liitettävissä
fysikaalisissa malleissa juuri turbulenssimalli tuottaa syöttötietoa fysikaalisiin mal√
leihin nopeusskaalan k, pituuskaalan k 3/2 /ǫ tai aikaskaalan k/ǫ muodossa. Jos
nämä skaalat ovat väärin, ei monimutkainen fysikaalinen mallikaan voi toimia oikein.
6.10 Kertaus
• turbulentin virtauksen määritelmä: ’Turbulent fluid motion is an irregular con-
dition of flow in which the various quantities show a random variation with
time and space coordinates, so that statistically distinct average values can be
discerned’ (Hinze)
• rajakerrosten turbulenttisuus riippuu Reynoldsin luvusta. Rajakerroksissa ta-
6.10. KERTAUS
188
pahtuu aina transitio laminaarista turbulenttiin virtaukseen.
• RANS-yhtälöillä virtauksen aikaskaalat menevät helposti sekaisin aikakeskiarvottamalla. LES-menetelmässä ei sekaisin menon vaaraa ole.
• RANS-yhtälöt saadaan aikakeskiarvottamalla ja LES-yhtälöt paikkakeskiarvottamalla (suodattamalla)
• RANS-yhtälöillä Reynoldsin jännitykset mallinnetaan, LES-malleilla osa Reynoldsin jännityksistä saadaan turbulenteista heilahteluista ja osa mallinnetaan
alihilamalleilla
• RANS-yhtälöillä voidaan käyttää Reynoldsin jännitys -malleja tai Boussinesqhypoteesia (pyörreviskositeettia)
• Boussinesq-hypoteesissa turbulenssi ei riipu suunnasta eli on isotrooppista
• RANS-mallit voidaan jakaa ison ja pienen Reynoldsin luvun malleihin sen
mukaan ulotetaanko laskenta kiinteälle pinnalle
• k − ǫ-malli usein yliarvioi turbulentin viskositeetin tason
• pienen Reynoldsin luvun mallilla laskenta-aika kasvaa yleensä moninkertaiseksi
• k − ǫ-mallin rajoitukset (6 kpl)
• RNG k − ǫ-malli pienentää viskositeettia, mutta on osoittautunut useimmissa
tapauksissa epätarkaksi ja epärobustiksi
• Shih’n mallissa on pyörimisliikekorjaus ja se on eräiltä osin ’todenmukainen’
• turbulentin virtauksen laskennan toistettavuus on usein huono. Tämä aiheutuu
suurelta osin koodeihin tehdyistä pienistä turbulenssimallien viilailuista.
• Reynoldsin jännitysmalli on epäisotrooppinen ja sillä on potentiaalia kuvata
virtausilmiöt tarkemmin kuin isotrooppisilla malleilla
• RSM-yhtälöitä on kuusi ja lisäksi tarvitaan ainakin yksi yhtälö dissipaatiolle
• RSM kannattaa käynnistää konvergoituneesta k − ǫ-tuloksesta
6.10. KERTAUS
189
• RSM on vielä suuressa määrin tutkimuksen työkalu, käytännön tehtäviin sitä
voi suositella vain poikkeustapauksissa
• isojen pyörteiden menetelmässä yhtälöt ovat paikkakeskiarvotettuja (suodatettuja)
• koppikokoa pienemmän turbulenssin vaikutus mallinnetaan alihilamalleilla
• yleisin alihilamalli on Smagorinsky-Lilly
• takaisinsironnassa efektiivinen viskositeetti on hetkellisesti negatiivinen
• LESin reunaehdot ovat hankalia
• Isojen pyörteiden menetelmässä päävirtauksestakin on aina tultava ajasta riippuvaa ja suurimman osan leikkausjännityksistä on synnyttävä ajan suhteen
tapahtuvista heilahteluista
• seinämäkäsittelyn osalta turbulenssin käsittely voidaan jakaa ison ja pienen
Reynoldsin luvun malleihin
• seinämäfunktiot eivät useinkaan päde, mutta saattavat tuottaa fysikaalisesti
mielekkään ratkaisun
• FLUENTissa seinämän lähellä hoidetaan pienen Reynoldsin luvun laskenta
oletusarvoisesti Wolfsteinin kaksikerrosmallilla
• tekstivalikon alla saattaa olla myös varsinaisia pienen Reynoldsin luvun malleja, joita on syytä käyttää harkiten
• simuloinnilla ei useinkaan saada absoluuttisia numeroarvoja, vaan trendejä
→ käytetään samaa turbulenssimallia ja muitakin laskennan parametreja
• suunnittelutyössä kannattaa laskea suuri määrä tapauksia, joissa tilanteeseen
liittyviä parametreja, esimerkiksi geometriaa, varioidaan
• oikea laskentatulos ei ole se, joka vahingossa on sattunut konvergoimaan
• turbulenssimallit eivät ole yleispäteviä. Laskentatehtävässä olisi aina pyrittä-
vä validoimaan malleja ja valitsemaan niistä tehtävään sopivin. Jos kokeellista dataa on käytössä, on tällöin mahdollista yrittää myös Reynoldsin jännitysmallin käyttöä
6.10. KERTAUS
190
• laskentatuloksen todenmukaisuutta on tarkasteltava jälkikäsittelyn yhteydessä myös turbulenssisuureiden osalta
• subjektiivinen suositus: käytetään joko SST k −ω-, standardi k −ǫ- tai Shih’n
mallia, jossa aktivoidaan laskenta pinnalle asti (kaksikerrosmalli). Samalla
muistetaan, että mikään turbulenssimalli ei ole yleispätevä.
• tulevaisuudessa FLUENTin pienen Reynoldsin luvun malleista on ehkä enemmän käyttökokemuksia, jolloin niiden käyttöä kannattaa harkita.
• transition mallintaminen ohjelmissa on vielä kehitysasteella
Päivitetty 11.2.2014