7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi
191 7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi 7.1 Energiayhtälö ja energiataseet Energiayhtälö (3.10) sisältää mahdollisuuden laskea monifaasivirtausta, koska mukana on faasien diffuusiosta aiheutuva vuo. Energiayhtälö voidaan kirjoittaa myös entalpian avulla, jolloin yhtälön oikealle puolelle tulee lähdetermiksi paineen aikaderivaatta. Energiayhtälö on säilymismuodossa vain, jos se kirjoitetaan kokonaisenergian (= sisäenergia + kineettinen energia) avulla. Hyvin usein ratkaistaan yksinkertaistettua yhtälöä, jossa ratkaistavana suureena on ominaissisäenergia (e), lämpötila (T ) tai joku vielä eksoottisempi suure. Nämä yhtälöt eivät ole säilymismuodossa ja usein niistä jätetään myös termejä pois siten, että yhtälöjärjestelmä ei sulkeudu. Reynolds-keskiarvotettu energiayhtälö voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon ∂ρE 2 ∂T ∂ ∂ [ρui (E + p/ρ + k] = [(λ + λt ) + uj τij ] + Sh + ∂t ∂xi 3 ∂xi ∂xi (7.1) missä on vaihdettu sekaannuksen välttämiseksi lämmönjohtavuuden symboliksi λ. Reynolds-keskiarvottaminen tuo yhtälöihin lisätermejä, kuten turbulenssin kineettisestä energiasta aiheutuvan paineen kaltaisen suureen 2/3ρk. Tätä suuretta ei ole aina ole painepohjaisen ratkaisijan energiayhtälössä tai se on yhdistetty paineeseen (p + 2/3ρk). Ongelma tulee oikeastaan esille vain silloin, kun paineen avulla lasketaan tilayhtälöstä tiheyttä, jolloin pitäisi ottaa huomioon ettei laskettu paine ole sama kuin termodynaaminen paine (p). Keskiarvottamisessa myös kokonaisenergia muuttuu kineettisen energian osalta E =e+ V2 +k 2 (7.2) Kokonaisenergia koostuu siis ominaissisäenergiasta, kineettisestä energiasta ja turbulenssin kineettisestä energiasta k. Jos gravitaatiolla on merkitystä painetason kan- 7.1. ENERGIAYHTÄLÖ JA ENERGIATASEET 192 Internal energy ρe 1 ∂ui P ∂xi ✌ ✍ 3 ∂u′ P′ i ∂xi ✌ ✍ 2 ✎ Φ=µ ✍ ☞ ✎ ☞ ✎ ∂uk ∂ui + ∂xk ∂xi ☞ ✎ ∂u′i ∂u′ + k ρǫ = µ ∂xk ∂xi ∂ui ∂xk ✌ ✍ ∂u′i ∂xk ☞ 4 ✌ ρu′i u′i 2 ρui ui 2 ✎ Mean flow kinetic energy ρu′i u′k ✍ ☞ ∂ui ∂xk ✌ 5 Turbulent kinetic energy Kuva 7.1: Virtauslaskennan energiataseet. nalta, energiaan voidaan yhdistää myös potentiaalienergia. Toinen tapa on pitää potentiaalienergia erillään energiataseesta ja antaa gravitaatiovoiman tehdä työtä. Tällöin tehty työ on yhtälöissä lähdeterminä eikä esiinny vuoarvoissa. Potentiaalienergialla on merkitystä vain harvoissa tapauksissa, esimerkiksi laivojen virtauksissa, mutta yleensä tällöin energiayhtälöä ei ratkaista ollenkaan. Nosteen ajamissa virtauksissa potentiaalienergialla ei ole juuri merkitystä, joten nostetermi on tärkeä vain liikemääräyhtälöissä. Energiayhtälöä voidaan yksinkertaistetaa ja laskennan suorittajan on syytä ymmärtää tehtyjen approksimaatioiden merkitys. Usein painepohjaisessa ratkaisijoissa jätetään kineettinen energia V 2 /2 pois yhtälöistä. Tiheyspohjaisella ratkaisulla kineettinen energia on mukana, koska termi tulee tärkeäksi kun virtausnopeutta kasvatetaan. Energiayhtälössä turbulenssin kineettinen energia voi olla merkittävä, jos turbulenssiaste ja virtausnopeus ovat suuria. Alhaisen Machin luvun virtauksilla termin merkitys on olematon. Termien poisjättäminen merkitsee kuitenkin sitä, ettei yhtälöjärjestelmä sulkeudu kaikilta osin. Eri energiamuodoista voidaan muodostaa taseita (’budjetteja’) ja näiden taseiden välillä tapahtuu energian siirtymistä. Prosesseja on selvitetty kuvassa 7.1, missä energia on jaettu kolmeen taseeseen. Kuvan suureet u¯i jne. on aikakeskiarvotettu. Turbulentin virtauksen yhteydessä tämä on usein oletusarvona, joten keskiarvon merkitsemistä ei ole käytetty esim. yhtälöissä (7.1) ja (7.2). Kuvan laatikot 1 ja 2 edustavat paineen ja paineheilahtelujen tekemää 7.1. ENERGIAYHTÄLÖ JA ENERGIATASEET 193 reversiibeliä työtä. Laatikot 3 ja 4 puolestaan ovat viskositeetin tekemää irreversiibeliä työtä, missä mekaaninen energia muuttuu lämmöksi. Turbulenssin kineettinen energia dissipoituu lämmöksi, mutta myös päävirtaus dissipoituu suoraan (laatikko 3). Termiä Φ nimitetään dissipaatiofunktioksi. Todellisuudessa laatikoissa 3 ja 4 kysymyksessä on sama prosessi, koska jako päävirtauksen kineettiseen energiaan ja turbulenssin kineettisen energiaan on keinotekoinen ja seurausta laskennan vaatimasta aikakeskiarvottamisesta. Laskentamalleissa prosessit kuitenkin näkyvät kuvan osoittamalla tavalla ja kun yhtälöt on kirjoitettu oikeaan muotoon, on dissipaatiofunktio negatiivisena nieluna kineettisen energian yhtälössä ja positiivisena termisen energian yhtälössä. Kokonaisenergian taseessa ei dissipaatiofunktiota ole, koska energiayhtälö pitää sisällään kaikki kolme erilaista energian lajia. Kokonaisenergian yhtälöön tulee termi ∂ (uj τij ) (7.3) ∂xi missä leikkausjännitykset lasketaan kaksiyhtälömallilla turbulentin viskositeetin avulla ∂ui ∂uj + τij = (µ + µt ) ∂xi ∂xj ! 2 ∂ui − (µ + µt ) δij 3 ∂xi (7.4) Reynoldsin jännitys -mallilla turbulentti osa voitaisiin laskea suoraan Reynoldsin jännitysten avulla, mutta FLUENTissa käytetään aina energiayhtälössä turbulentin viskositeetin käsitettä ja yhtälöä (7.4). FLUENTissa termi (7.3) on mukana vain tiheyspohjaisessa ratkaisussa oletusarvoisesti. Painepohjaisenkin ratkaisun yhteydessä se kannattaa aina aktivoida, koska sen merkitys voi olla luultua suurempi ja laskenta-aikaa termin mukaan ottaminen ei juuri tuo lisää. Viides laatikko edustaa turbulenssin kineettisen energian tuottoa. Yleensä kineettistä energiaa siirtyy päävirtauksesta turbulenssiin, mutta joskus voi käydä myös päinvastoin. Ilmiötä kutsutaan turbulenssin takaisin sironnaksi. Kuvan energiansiirtoprosesseista on kaksiyhtälömalleilla mallinnettava termit 2, 4 ja 5. Reynoldsin jännitys -mallilla voidaan suljetussa muodossa lausua tuottotermi 5 (=ρu′i u′k ∂ui /∂xk ). Yllä olevassa ’laatikkopelissä’ ei ole vielä mukana dissipaation ǫ yhtälöä. Taseet eivät ole myöskään kiinni siitä, miten termit 1-5 on mallinnettu. Riittää, että termit näkyvät erimerkkisinä lähteinä ja nieluina asianomaisissa yhtälöissä. Termien numeerisen laskennan kannalta on myös ilmeistä, että suureita tulisi laskea eri yhteyksissä samalla tavoin. Eroja voi tulla esimerkiksi leikkausjännitysten τij laskennassa, joka yleensä tehdään laskentatilavuuksien seinille, ja dissipaatiofunktion lasken- 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 194 nassa. Dissipaatiofunktio on lähdetermi, jossa τij on lausuttava laskentatilavuuden keskellä. Tästä aiheutuva ero saattaa näkyä koko laskenta-alueen yli integroiduissa taseissa. Virtauslaskija saattaa joutua sellaisten tilanteiden eteen, joissa fysiikka ei tunnu pelaavan oikealla tavalla. Tällöin kuitenkin erojen taseissa tulisi lähestyä nollaa, kun laskentahilaa tihennetään. Jos hilaa tihennettäessä jäljelle jää jokin systemaattinen ero, niin yhtälöt eivät sulkeudu oikealla tavalla. Tällöin niistä on jätetty joitain termejä pois. Ohjelmissa siis saatetaan jättää termejä energiayhtälöstä pois pieninä, mutta ne eivät ole kaikissa tilanteissa välttämättä sitä tai ainakin saattavat näkyä koko alueen integroiduissa taseissa. Virtausyhtälöitä ratkaistaessa kaikki suureet eivät ole säilymismuodossa, joten näissä suureissa näkyy aina numeerista virhettä taseiden osalta. Eräs tällainen suure on kulmaliikemäärä, joka ei säily laskennassa ennen kuin laskentahila on riittävän tiheä. 7.2 Energiayhtälön käyttö 7.2.1 Numeerinen ratkaisu Fluentin manuaalin perusteella ei täysin selviä, miten energiayhtälö ratkaistaan. Ainoastaan tiheyspohjaisen ratkaisun osalta todetaan ratkaistavan primitiivisuureen olevan lämpötila. Koska yhtälöiden ratkaiseminen perustuu linearisointiin, on samantekevää mitä suuretta ratkotaan. Lämpötilan muutos on kätevä suure ratkaisussa. Se voidaan yleensä rajoittaa jollekin tietylle alueelle ja sen perusteella voidaan laatia tilayhtälö helposti. Esimerkiksi entalpia voidaan laskea määritelmän mukaan kaavasta h(T ) = Z T Tref cp (T )dT (7.5) jolloin riittää taulukoida ominaislämpökapasiteetti cp . Painekorjausratkaisijan yhteydessä ei selosteta energiayhtälön diskretointitapaa eikä laskennassa käytettyä suuretta. Kyseessä on ratkaisun kannalta skalaariyhtälö ja periaatteessa eri termien diskretointi voidaan tehdä samaan tapaan kuin liikemääräyhtälöllä. Yhtälöä ei oletusarvoisesti alirelaksoida ollenkaan, mutta useissa tehtävissä alirelaksaatiokerroin kannattaa laskea ykkösestä jonnekin 0,7 ... 0,8 tienoille. Yleensä energiayhtälö ei aiheuta ongelmia ratkaisulle, koska virtausta ajaa liikemääräyhtälö yhdessä jatkuvuusyhtälön kanssa. Poikkeuksena on suuren Machin luvun virtaus, jolle yleensä sovelletaan tiheyspohjaisia kytkettyjä menetelmiä. 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 195 FLUENTissa on mahdollista asettaa lämpötilalle ylä- ja alarajat, mitä ominaisuutta kannattaa käyttää. 7.2.2 Turbulenssi ja energiayhtälö Turbulentti lämmönjohtavuus lasketaan kaavasta λt = cp µ t P rt (7.6) missä P rt on turbulentti Prandtlin luku. FLUENTissa asetetaan P rt = 0,85, mutta käyttäjä voi muuttaa asetettua arvoa. Valitettavasti turbulentti Prandtlin luku ei ole vakio, vaan se vaihtelee rajakerroksen sisällä. RNG k − ǫ-mallissa lasketaan efektiivinen lämmönjohtavuus kaavasta (7.7) λef f = αcp µef f missä λef f = λ + λt ja µef f = µ + µt . Tässä oleva efektiivisen Parandtlin luvun käänteisarvo α iteroidaan yhteydestä α − 1,3929 0,6321 α + 2,3929 0,3679 α0 − 1,3929 α0 − 2,3929 = µ µef f (7.8) missä α0 = 1/P r. Tämän yhtälön sanotaan toimivan hyvin laajalla molekylaarisen Prandtlin luvun alueella, nestemäisistä metalleista (P r ∼ 10−2 ), joilla terminen rajakerros on hyvin paksu, parafiiniöljyyn (P r ∼ 103 ). Yhtälön (7.8) pitäisi toimia myös alhaisen Reynoldsin luvun alueella, jolloin ratkaisuksi tulee α = 1/P r ja täysin turbulentilla alueella saadaan α = 1,393. Tätä mallinnustapaa käytetään siis vain RNG k − ǫ-mallin yhteydessä, periaatteessa sen voisi kuvitella toimivan muidenkin kaksiyhtälömallien kanssa. Kiinteillä pinnoilla tarvitaan reunaehtona lämpövuo. Laskettaessa taseita lopullisena reunaehtona on aina vuo, vaikka vuo määräytyisikin joistain kiinnitetyistä ehdoista. Pienen Reynoldsin luvun malleilla ja laminaarissa tapauksessa lämpövuo on ∂T (7.9) ∂n missä n on pinnan normaalin suunta. Ison Reynoldsin luvun mallien yhteydessä q ′′ = −λ käytetään seinämäfunktiota. Dimensioton lämpötila T ∗ määritellään T∗ = (Tw − T )ρcp Cµ1/4 k 1/2 q ′′ (7.10) 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 196 ja lasketaan kaavoista T∗ = 1/4 1/2 P ry ∗ + 1 ρP r Cµ ′′k u2 jos y ∗ < y ∗ T 2 q h i 1/4 1/2 1 P r 1 ln(Ey ∗ ) + P + ρ Cµ k [P r t κ 2 q ′′ tu 2 + (P r − P rt )u2c ] jos y ∗ > yT∗ (7.11) missä suure P lasketaan kaavasta π/4 A P = sin(π/4) κ 1/2 Pr −1 P rt Pr P rt 1/4 (7.12) Yllä A on van Driestin vakio (A = 26), E ≈ 30, u, T , k ovat näiden suureiden arvot seinän viereisessä kopissa ja uc on virtausnopeus kohdassa y ∗ = yT∗ . Etäisyys yT∗ määritellään kohtana, jossa yhtälön (7.11) lineaarinen ja logaritminen vaihtoehto ovat yhtä suuret. Kokoonpuristumattomassa tapauksessa yhtälöistä (7.11) käytetään vain ensimmäisiä termejä. Energiayhtälön reunaehto ei siis seinämäfunktion kanssa ole kovin yksinkertainen. Kyseessä ovat lausekkeet, joiden avulla seinämälämpötila Tw , virtauksen lämpötila T , turbulenssin kineettinen energia k ja lämpövuo q ′′ riippuvat implisiittisesti toisistaan. Laskenta tapahtuu siten, että ensin lasketaan etäisyys yT∗ edellisen kierroksen arvojen avulla. Sen jälkeen yhtälöistä (7.10) ja (7.11) voidaan ratkaista lämpövuo tai lämpötila seinällä riippuen siitä, minkälaisen reunaehdon käyttäjä on valinnut. Tämän jälkeen energiayhtälö pintaa lähinnä olevassa laskentatilavuudessakin on ratkaistavissa. Ratkaisusta saadaan uusi lämpötila T . Uuden nopeusjakauman perusteella määritetään uusi arvo nopeudelle uc ja lisäksi saadaan turbulenssin kineettisen energian arvo. Näin yhtälön (7.11) oikean puolen arvot päivittyvät uutta iteraatiokierrosta varten. Yhtälöiden (7.10) ja (7.11) ratkaisu iteroituu muun virtausratkaisun yhteydessä. Pienen Reynoldsin luvun mallilla laskenta on paljon yksinkertaisempaa. Tällöin lämpövuolle saadaan differenssiapproksimaatio q ′′ ≈ −λ Tw − T ∆n (7.13) missä ∆n ensimmäisen kopin keskipisteen etäisyys pinnasta. Myös yhtälöstä (7.13) voidaan ratkaista joko lämpövuo tai pinnan lämpötila, jos toinen näistä tunnetaan. 7.2.3 Reunaehdot FLUENTin manuaalissa reunaehtojen antaminen lämmönsiirron osalta on kuvattu hieman sekavasti. Edellä kuvattu turbulenssin ottaminen huomioon selostetaan toi- 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 197 Tf q"rad Tw q"=h(Tw−Tf) q"=−k δT δn Kuva 7.2: Lämpövuot kiinteällä pinnalla. saalla ja varsinaiset reunaehdot toisaalla, jolloin kyseisissä kohdissa ei puhuta aivan samaa kieltä. Konvektion lisäksi reunaehdoissa voidaan ottaa huomioon säteily. Tarkastellaan seinän laskentaa (kuva 7.2). Seinän pinnalla on lämpötila Tw ja nesteessä lämpötila Tf . Lämpövuo voidaan laskea kahden puolen pintaa. Kiinteällä puolella laskenta tapahtuu aina yhtälöstä (7.13). Virtauksen puolella lämmönsiirto voi tapahtua konvektion ja säteilyn välityksellä. Säteilylämmönsiirto seinälle lasketaan yhtälöstä ′′ 4 qrad = ǫext σ(T∞ − Tw4 ) (7.14) missä ǫext on pinnan emissiviteetti, σ Stefan-Boltzmannin vakio. ja T∞ ulkoisen pinnan lämpötila. Säteilyn lisäksi virtaus siirtää lämpöä vapaan ja pakotetun konvektion avulla. Konvektiivisen lämmönsiirron osalta laskenta tapahtuu yhtälöiden (7.11) tai (7.13) avulla, jolloin käyttäjän on annettava reunaehtona joko lämpövuo tai lämpötila. Laskentamalli pystyy tämän jälkeen laskemaan toisen näistä suureista. Perinteinen tapa laskea lämmönsiirtoa perustuu lämmönsiirtokertoimeen h q ′′ = h(Tw − Tf ) (7.15) kuten kuvassa 7.2 on esitetty. FLUENTissa reunaehtojen kohdalla todetaan lämmönsiirtokerroin laskettavan yhteyksistä (7.11) tai (7.13). Oikeastaan näistä yhtälöistä saadaan lasketuksi lämpövuo, joka on energiayhtälön fysikaalinen reunaehto. Lämmönsiirtokertoimen laskenta riippuu kokonaan siitä, miten nesteen lämpötila Tf määritellään. Se voi olla joko keskimääräinen lämpötila, mikä on mielekästä kanavassa, tai sitten lämpötila riittävän kaukana pinnasta, jossa sen voidaan katsoa olevan vakio. Mihin FLUENTissa käytetään lämmönsiirtokerrointa ja miten se 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 198 määritellään, ei siis selviä. Todennäköisesti ohjelma ei aina käytä lämmönsiirtokerrointa, vaan manuaalin yhtälöillä annetaan periaate, miten laskenta tehdään. Poikkeuksena on yhtälö (7.19), jota voidaan käyttää laskenta-alueen reunoilla. Ohjelma siis laskee kokonaisuudessaan lämpövuon yhtälöstä ′′ ′′ q ′′ = qconv + qrad (7.16) ′′ missä qconv lasketaan edellä kuvatuilla tavoilla joko yhtälöstä (7.11) tai yhtälöstä (7.13) riippuen siitä onko käytössä pienen vai ison Reynoldsin luvun malli. Toisena ′′ mahdollisuutena on, että käyttäjä on antanut konvektiivisen lämpövuon qconv ja oh- jelma laskee pintalämpötilan. Kyseistä periaatetta kuvattaessa manuaalissa yhtälö (7.16) kirjoitetaan muotoon ′′ q ′′ = hf (Tw − Tf ) + qrad (7.17) jolloin reunaehdon toimintaa on helppo demonstroida kuten tässäkin tehdään jatkossa. FLUENTissa seinällä (Wall) tarkoitetaan joko nestevyöhykkeen tai kiinteän rakenteen rajalla olevaa pintaa. Useimmiten tämän paksuus on todellisuudessakin nolla, mutta ohjelmassa on mahdollista mallintaa myös äärellisen paksuinen pinta, jolle annetaan lämpövastus ∆x/λ. Tällä tavoin voidaan mallintaa nestevyöhykkeiden välillä oleva ohut metallilevy tai kiinteällä pinnalla oleva ohut pinnoite. Lämmönsiirtoa kuvaavat reunaehdot löytyvät valikosta Boundary Conditions paneelin Wall alta. Reunaehtomahdollisuudet ovat seuraavat: • jos annetaan pintalämpötila, niin lämpövuo saadaan kaavan (7.17) perusteella. • jos taas annetaan lämpövuo, saadaan pintalämpötila yhteydestä Tw = ′′ q ′′ − qrad + Tf hf (7.18) Ohjelman sisäinen laskentasysteemi on siis edellä kuvatun mukaan paljon monimutkaisempi, mutta periaate yhtälön (7.18) mukainen. Seinämäfunktion tapauksessa pintaa kuvaavat yhtälöt ovat hyvin epälineaarisia, mutta ne toteutuvat pikku hiljaa virtausratkaisun konvergoituessa. • konvektiivisessa ehdossa annetaan sekä lämmönsiirtokerroin h että ulkoinen lämpötila Tf . Nyt lämpövuo todella lasketaan yhteydestä q ′′ = h(Tw − Tf ) (7.19) 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 199 ohut seinä Tb neste, kaasu tai kiinteän aineen kopit ∆x Kuva 7.3: Lämmönsiirron kannalta äärellisen paksuinen pinta. Tällä keinolla voidaan antaa reunaehto kiinteälle vyöhykkeelle, jossa lasketaan lämmönjohtuminen. Lämmönsiirtokerroin voidaan laskea etukäteen jostain sopivasta korrelaatiosta. Yhtälössä (7.19) oletetaan pinnan (Wall) olevan äärettömän ohut. Pinta voi olla myös äärellisen paksuinen, kuten kuvassa 7.3. Ohjelma ei ymmärrä pinnalla olevan geometrisessa mielessä paksuutta, mutta reunaehtoon voidaan liittää pinnoitteessa tai kalvossa tapahtuva lämpötilan muutos. Käyttäjä voi antaa kalvolle jopa tehonkehityksen, mikä on hyödyllinen ominaisuus elektroniikkakomponenttien mallintamisessa. Kun kalvo on ohut, sen voidaan ajatella olevan tasapainotilassa ja lämpötilajakauma saadaan yksidimensioisen lämmönjohtavuusyhtälön ratkaisusta. Jos esimerkiksi ∆x-paksuisen kalvon sisäosan lämpötila on Tw ja ulkolämpötila Tb , lämpötilajakauma on T (x) = − q ′′′ x2 q ′′′ ∆x Tb − Tw + x+ x + Tw λ 2 λ 2 ∆x (7.20) Vastaava yhteys saadaan myös korvaamalla lämpötilareunaehto lämpövuolla jommalla kummalla puolen kalvoa. Varsinaiseen laskenta-alueeseen voidaan siten liittää yksinkertaisen analyyttisen lausekkeen avulla ohut pinnoite, jossa yhtälöitä ei ratkaista numeerisesti. • säteilylämmönsiirtoehdossa lasketaan vain säteily yhtälöstä (7.14). (Tässä tapauksessa pinta oletetaan äärettömän ohueksi). Laskijan on annettava tässä tapauksessa pinnan emissiviteetti ǫext ja ulkopuolinen lämpötila T∞ . 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 200 ohut seinä @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ qb1 ’’ tai T@@@@@@ b1 @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ q ’’ tai T @@@@@@ @@@@@@ b2 @@@@@@ b2 @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ neste, kaasu @@@@@@ @@@@@@ @@@@@@ tai kiinteän aineen@@@@@@ kopit Kw1 Kw2 neste, kaasu tai kiinteän aineen kopit Kuva 7.4: Kahden vyöhykkeen välinen pinta jaetaan FLUENTin käsitteistössä aina kahteen äärettömän ohueen osaan. • yhdistetyssä ulkopuolisen konvektion ja säteilyn tapauksessa yhdistetään kaksi edellistä ehtoa ja annetaan niihin tarvittavat parametrit. Jos pinta rajaa kahta laskentavyöhykettä eikä ole laskenta-alueen ulkopinnalla kuten kuvassa 7.3, se jaetaan FLEUNTissa aina kahteen osaan. Tilannetta havainnollistetaan kuvassa 7.4. Pinta voi liittää yhteen nestevyöhykkeen ja kiinteän aineen vyöhykkeen, jolloin ratkaistaan ns. konjugaattilämmönsiirtoprobleemaa. Pinta voi olla myös kahden nestevyöhykkeen välissä, jolloin esimerkiksi peltilevyä tai muuta vastaavaa ohutta rakennetta kuvataan geometrisessa mielessä äärettömän ohuella kalvolla, johon voidaan liittää sopivia hyppyehtoja. Kummallekin pinnan osalle voidaan antaa oma lämmönjohtavuus ja lämmönkehitys. Osat voivat olla toisiinsa kytkettyjä (Coupled) tai kytkemättömiä. Nesteen ja kiinteän alueen välinen pinta on esimerkki kytketystä tapauksesta. Normaalisti ei käyttäjän tällöin tarvitse antaa mitään varsinaisia reunaehtoja, koska asettamalla lämpövuot pinnan kahden puolen yhtä suuriksi, yhtälöt ratkeavat. Tässä yhteydessä voidaan kuitenkin antaa myös lämpövastus ja lämmönkehitys. Pinnan osat on myös mahdollista laskea toisiinsa kytkemättöminä. Tällöin käyttäjä antaa joko lämpövuon tai lämpötilan kummallakin puolella, kuten kuvassa 7.4 on esitetty. On tärkeää huomata, että pinnat eivät ole oikeasti erillään toisistaan eikä niillä ole edes todellista paksuutta, vaan kyseessä on malli, jolla äärettömän ohuelle rajapinnalle asetetaan tietyntyyppisiä reunaehtoja. 7.3. LÄMMÖNVAIHTIMET 201 Jäähdytyskanava Makro 0 Makro 7 Makro 1 Makro 6 Makro 2 Makro 5 Makro 3 Makro 4 Kuva 7.5: Makrojen käyttö lämmönsiirtimen mallinnuksessa. 7.3 Lämmönvaihtimet FLUENTissa on erilaisia mahdollisuuksia kuvata lämmönvaihtimia. Näitä mahdollisuuksia käsitellään tässä vain lyhyesti. Yksinkertaisin tapa on kuvata lämmönsiirrin (’radiaattori’) äärettömän ohuena pintana ja laskea lämpövuo kaavasta q ′′ = h(THX − Texit ) (7.21) missä THX on lämmönsiirtimen lämpötila ja Texit nesteen lämpötila lämmönsiirtimen jälkeisessä laskentatilavuudessa. Tämän tyyppisen lämmönsiirtimen lämmönsiirtokerroin ja painehäviökerroin annetaan syöttötietoina. Toinen tapa mallintaa lämmönsiirrin on käyttää ns makroja, joiden avulla yksidimensioisilla virtausyhtälöillä voidaan approksimoida todellista tilannetta. Tarve tulee siitä, että yleensä on mahdotonta kuvata lämmönsiirtimien yksittäisiä ripoja ja putkia. Tärkeät suureet mallinnuksessa ovat painehäviö ja lämmönsiirto. Makroilla tarkoitetaan makroskooppisia tasealueita, joissa ei yritetäkään kuvata kitkaa ja lämmönsiirtoa virtausyhtälöiden avulla, vaan käytetään korrelaatioita. Lämmönvaihtimen malli voi olla esimerkiksi kuvan 7.5 kaltainen. Koska yhtälöt ovat ainakin approksimatiivisesti säilymismuodossa, ne pätevät myös makroskooppisille tasealueille, joissa sopivien lähdetermien avulla kuvataan painehäviö ja siirtyvä lämpöteho. Lämmönsiirrinlaskenta on tarkoitettu lähinnä ilmastointikojeille ja moottorien jäähdyttimille. Virtaavana aineena on oletusarvoisesti ilma. Makroissa käytetään hyväksi tietoa lämmönsiirtimien rakenteesta. Esimerkiksi virtauksen suuntainen painehäviö lasketaan vastuskertoimen f avulla ∂p 1 = f ρu2min ∂s 2 (7.22) 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 202 missä umin on virtausnopeus poikkipinta-alaltaan pienimmässä kohdassa. Kerroin f koostuu sisään- ja ulosvirtausvastuksista, pinta-alamuutoksista ja kitkasta. Käyttäjä joutuu siis antamaan vastuskertoimet. Kitkalle ohjelmassa on laskentakaava, mutta senkin käyttäjä joutuu parametrisoimaan tilanteeseen sopivaksi. Käyttäjä antaa myös lämmönsiirtoon liittyvät parametrit. 7.4 Virtausyhtälöiden parametrien asettaminen 7.4.1 Operointipaine Virtausratkaisija tarvitsee toimiakseen suuren määrän eräitä parametreja syöttötietoina. Suurin osa näistä on aineominaisuuksia, jotka riippuvat paineesta ja lämpötilasta. Useissa tapauksissa aineominaisuuksia voidaan approksimoida vakioilla ja ne on yksinkertaista antaa FLUENTin käyttöliittymän kautta. Yleisesti ottaen aineominaisuudet eivät ole vakioita ja niiden spesifiointi voi muodostua varsin työlääksi. Tässä luvussa käsitellään ominaisuuksien antamista ja ensimmäisenä kohteena on paineen tason määrittely. Ensimmäisessä luvussa todettiin FLUENTin olevan luonteeltaan ns. yleisohjelma, jolla on tarkoitus pystyä laskemaan hyvin monen tyyppisiä virtauksia. Perinteiset vastaavat ohjelmat toimivat paljon huonommin kokoonpuristuvalla alueella. Laskenta eri Machin lukualueilla on erilaista ja se näkyy mm. painetasossa. Tasapainotilan laskuissa paine-erot ∆p laskenta-alueessa ovat verrannollisia Machin luvun neliöön ∆p/p∞ ≈ Ma2 (7.23) Käytännössä tämä tarkoittaa, että esimerkiksi ilmalla, missä vapaan virtauksen paine p∞ on suuruusluokkaa 1 · 105 Pa, Machin luvulla yksi paine-erot ovat paineen suuruusluokkaa. Machin luvun lähetessä nollaa paine-erot pienenevät siten, että nopeuden ollessa suuruusluokkaa 10 m/s, paine-erot ovat enää luokkaa O(100) Pa. Tämä aiheuttaa toisenlaisia vaatimuksia laskenta-algoritmille. Jos paine-erot ovat vain 0,1 % taustan paineesta, jo tietokoneen laskentatarkkuus tulee ongelmaksi. Kokoonpuristumattomalla virtauksella onkin ratkaisualgoritmissa käytettävä paine-eroja, ei paineita. FLUENTissa painetaso asetetaan käyttäjän toimesta seuraavasti pabs = pop + pgauge (7.24) 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 203 missä pabs on absoluuttinen (staattinen) paine ja pop käyttäjän antama referenssitaso, yleisimmin 1 · 105 Pa. Ohjelma ratkaisee siis aina suureita pgauge , jotka ovat eroja referenssipaineeseen. Käytännössä painetaso voidaan jättää useimmiten oletusarvoonsa, standardi-ilmakehän paineeseen 101 325 Pa. Tiheyspohjaisessa laskennassa käytetään absoluuttista painetta, jolloin yhtä hyvin voitaisiin asettaa pop = 0, mutta tällä ei ole oikeastaan mitään merkitystä. Ohjelma osaa käyttää sisäisesti oikeaa painetta esimerkiksi tilanyhtälössä. Paineella on virtauslaskennassa kaksi eri määritystapaa. Tiheyspohjaisella ratkaisijalla se määräytyy tilayhtälön kautta ja silloin myös paineen taso on yksikäsitteinen. Painepohjaisessa ratkaisussa paine määräytyy aina jatkuvuusyhtälön kautta, mutta jos tilayhtälöä ei ole mukana, määräytyy ainoastaan paine-erot, ei itse paine. Paineen taso on tällöin asetettava jollain tavoin. Selkein ja yksikäsitteisin tapa on määrätä paineen taso reunaehtojen avulla, jolloin jo yksikin ns. painereunaehto määrää koko laskenta-alueen paineen tason. Painereunaehdon määrittelyssä on otettava huomioon paineen lausumistapa yhtälöstä (7.24). Aiemmin jo suositeltiin käytettäväksi painereunaehtoja aina ulosvirtauksen yhteydessä. Jos laskenta-alue on luonteeltaan suljettu tankki, paine ei kiinnity mihinkään ellei tilayhtälöä ole laskennassa mukana. FLUENT hoitaa asian siten, että yhdessä laskenta-alueen kopissa paine pgauge asetetaan aina nollaksi ja muiden koppien paineiden tasoa siirretään vastaavasti. Tämä estää systeemin paineen ajelehtimisen holtittomasti. Ilmeisesti painetaso määräytyy suljetullakin alueella alku- ja reunaehtojen perusteella, joten todellista pelkoa paineen liukumista epämielekkäisiin arvoihin ei ole. Nollauskeinolla saadaan painetaso kuitenkin pysymään paremmin aisoissa eikä se ole silloin riippuvainen alku- ja reunaehdoista. 7.4.2 Aineominaisuudet Yhtälöitä varten tarvitaan mm. seuraavia aineominaisuuksia • tiheys ρ • viskositeetti µ • ominaislämpökapasiteetti cp • lämmönjohtavuus λ • diffuusiokertoimet 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 204 • palamis-, säteily yms., mallien parametrit Minimissään aineominaisuuksista tarvitaan vain kaksi, tiheys ja viskositeetti. Yhdessä virtausnopeuden ja geometriassa olevan skaalan avulla nämä suureet määrittelevät Reynoldsin luvun. Jos laskennassa on mukana vain liikemäärä- ja jatkuvuusyhtälöt, on virtaus vain Reynoldsin luvun funktio. Jos virtaavalla aineella käytetään energiayhtälöä, tarvitaan lisäksi nesteen lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti. Yhtälön (7.5) avulla saadaan energiayhtälössä oleva entalpia ja sitä kautta myös sisäenergia määritetyksi. Kiinteillä aineilla puolestaan tarvitaan aina tiheys, lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti. Tiheyden yhteyttä paineeseen ja lämpötilaan nimitetään tilanyhtälöksi. Tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä tarvitaan tiheyden derivaatat ∂ρ/∂p ja ∂ρ/∂T . Nämä ohjelma laskee, kun tilayhtälö on spesifioitu. Derivaattojen avulla saadaan myös tarvittava äänen nopeus. Aineominaisuuksien luonti voidaan aloittaa tyhjästä tai sitten voidaan käyttää ohjelmien tietopankkeja. FLUENTissa ominaisuuksien luonti aloitetaan valikon Define Materials paneelin alla. Ohjelmassa on oletusarvoina ilma ja kiinteille rakenteille alumiinin ominaisuudet. Tietopankissa (Database) olevat ominaisuudet eivät välttämättä aina riitä. FLUENTissa oletetaankin, että pääasiallinen toimintamuoto on modifioida olemassa olevia aineominaisuuksia. Toinen mahdollisuus on siis luoda kokonaan uudet ominaisuudet, jotka voidaan sen jälkeen nimetä yksikäsitteisellä tavalla ja tallettaa. Aineominaisuudet voivat olla etupäässä vain lämpötilan funktioita. Käyttäjä voi luoda vain lämpötilan funktiona olevia ominaisuuksia, valmiiksi on tallennettu myös muita yksinkertaisia mahdollisuuksia. Aineominaisuudet voidaan antaa seuraavissa muodoissa: • polynomeina φ(T ) = A1 + A2 T + A3 T 2 + .... Tämä tapahtuu kohdassa Polynomial Profile. Esimerkiksi veden tiheydelle voidaan antaa seuraava approksimaatio ρ(T ) = 1000 − 0,02T (7.25) Tämä yhtälö on silloin voimassa koko lämpötila-alueella. • paloittain lineaarisena φ(T ) = φn + φn+1 − φn (T − Tn ) Tn+1 − Tn Esimerkkinä on kuvan 7.6 viskositeetti. (7.26) 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 205 3e−5 (440, 2.445e−5) µ 2e−5 (360, 2.117e−5) (300, 1.846e−5) (250, 1.599e−5) 1e−5 250 300 350 T 400 450 Kuva 7.6: Paloittain lineaarisena annettu viskositeetti lämpötilan funktiona. • kolmantena mahdollisuutena on antaa ominaisuudet paloittain polynomeina Tarkastellaan seuraavassa eri aineominaisuuksien valikkoa lähemmin. Tiheys voidaan antaa Fluentissa joko vakiona tai lämpötilasta riippuvana. Valmiiksi ohjelmoituna on ideaalikaasun tilanyhtälö, jota voidaan käyttää esimerkiksi ilmalle. Monikomponenttivirtauksille tiheys lasketaan massaosuuksilla painottaen. OpenFOAMissa vaihtoehtoina ovat polynomi ja ideaalikaasun tilanyhtälö. Jos käytetään kokoonpuristumatonta ratkaisua valitaan incompressible-idealgas. Tällöin tiheys ei riipu kuin lämpötilasta yhteyden ρ= pop RT (7.27) mukaan. Tässä R on universaali kaasuvakio ja pop vakiona pysyvä referenssipaine. Jos Machin luku on suurempi kuin 0,2, tiheys voidaan laskea yhtälöstä ρ= pop + pgauge RT (7.28) Monikomponenttivirtaukset voivat koostua joko ideaali- tai reaalikaasuista. Viimeksi mainituilla tiheys lasketaan massaosuuksilla mi′ painottaen komponenttien tiheyksien avulla ρ= P 1 mi′ i′ ρi′ (7.29) Ideaalikaasuista koostuvan seoksen tiheys saadaan lasketuksi yhteydestä ρ= p RT P mi′ i′ Mi′ (7.30) missä p on absoluuttinen paine, mi′ massaosuus ja Mi′ komponentin i′ molekyylipaino. 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 206 Edellä olevien vaihtoehtojen lisäksi tiheys voidaan antaa lämpötilan funktiona. Jos tiheydessä ei ole riippuvuutta paikallisesta paineesta pop + pgauge , se voi ehkä riippua operointipaineesta tai vain lämpötilasta. Tämä rajoittaa ohjelman käyttöä siten, että ei voida laskea reaalikaasujen kokoonpuristuvia virtauksia. Tiheyden tarkka riippuvuus paineesta on myös edellytys paineaaltojen laskennassa. Käytännön sovelluksissa virtaavana aineena voi usein olla vesi tai vesihöyry. Tiheyden laskenta voidaan tällöin hoitaa joko paloittain lineaarisena tai polynomien avulla approksimoituna. Polynomisovitteessa on huomattava, että korkeamman asteen sovitteeseen helposti tulee värähtelyjä. Sovitetta varten on valittava sopiva paineen taso, koska tiheys voi siis olla vain lämpötilan funktio. Approksimaatiossa on hyvä ottaa riittävän suuri lämpötila-alue vaikka keinotekoisesti ekstrapoloiden höyry- tai nestealueen yli. Iteroinnin kuluessa laskenta voi seikkailla näille alueille, vaikka lopputuloksessa oltaisiinkin turvallisesti yksifaasipuolella. Lämpötilaa voidaan tietenkin rajata keinotekoisesti, mutta liian tiukat rajat voivat olla huonot konvergenssin kannalta ja myös siksi, ettei silloin näe minne asti lämpötila haluaa vaeltaa. Käyttäjän on tilayhtälö- ja rajauskysymyksessä siis tasapainoiltava. Jos lasketaan vettä, on mahdollista, että tapahtuu paikallista alijäähdytyskiehuntaa. Silloinkin kannattaa mieluummin ekstrapoloida tilayhtälöä jonkin matkaa kaksifaasipuolelle ja laskea approksimatiivisesti, kuin siirtyä suoraan raskaaseen ja monenlaisia ongelmia tuottavaan kaksifaasilaskentaan. Viskositeetin oletusarvona on ilman arvo µ = 1,7894 · 10−5 kg/sm. Tarkempaan laskentaan on seuraavia mahdollisuuksia: • vakioarvo • lämpötilasta ja/tai koostumuksesta riippuva • lasketaan kineettisen kaasuteorian avulla • epänewtonilainen viskositeetti • käyttäjän antama funktio Usein hyvä approksimaatio kaasujen viskositeetille on Sutherlandin kaava. FLUENTissa voidaan valita joko kaavan kaksi- tai kolmiparametrinen versio. Edellinen on µ= C1 T 3/2 T + C2 (7.31) 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 207 ja kolmiparametrinen T 3/2 T0 + S µ = µ0 (7.32) T0 T +S Laskennan suorittaja antaa parametrit C1 , C2 tai µ0 , T0 ja S. Toinen viskositeetin an tamistapa perustuu joko kaksi- tai kolmiparametriseen eksponenttikaavaan. Näistä edellinen on µ = BT n (7.33) ja jälkimmäinen T (7.34) T0 Yleisempi ja hieman tarkempi tapa on käyttää Sutherlandin kaavan muotoa (7.32). µ = µ0 Kaasuseoksille annetaan reaalikaasujen tapauksessa yksinkertainen riippuvuus massaosuuksilla painotetuista eri komponenttien viskositeeteista µ= X (7.35) mi′ µi′ i′ Ideaalikaasuseoksella vastaava viskositeetin lauseke on paljon monimutkaisempi. Epänewtonilaisilla nesteillä viskositeettia vastaava suure riippuu venymänopeustensorista Sij . Newtonilaisilla kokoonpuristumattomilla nesteillä leikkausjännitys lasketaan yhteydestä (7.36) τij = 2µSij missä venymänopeustensori on 1 Sij = 2 ∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi ! (7.37) Epänewtonilaisilla nesteillä leikkausjännitys on muotoa τij = η(Sij )Sij (7.38) Yksinkertaisin epänewtonilaisen nesteen mallinnustapa on Ostwaldin ja de Waelen potenssilaki τij = 2KSijn (7.39) missä K ja n ovat aineominaisuuksia, jotka ovat funktioita paineesta ja lämpötilasta. Yhtälö (7.39) voidaan kirjoittaa muotoon τij = (2KSijn−1 )Sij (7.40) 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 208 ηmax log η ηmin Log S Kuva 7.7: Viskositeetin rajoittaminen. mistä saadaan η = (2KSijn−1). FLUENTissa käytetään seuraavaa muotoa T0 η = 2ke T Sijn−1 (7.41) missä k, n ja T0 ovat käyttäjän antamia parametreja. Ohjelmassa on lisäksi mahdollista rajoittaa suureen η arvoa kuvan 7.7 osoittamalla tavalla. Käytännössä suure η ei voi riippua suoraan venymänopeustensorin komponentista Sij , joka voi olla negatiivinen. Laskennassa ainoa järkevä riippuvuus on venymänopeustensorin eräästä normista, joka määritellään S= q (7.42) 2Sij Sij Koska tämäkin on vielä laadullinen luku, on lausekkeissa oltava sopiva verrannollisuuskerroin, jolla saadaan laadut täsmäämään. Carreaun ns. pseudoplastinen malli rajoittaa viskositeetin luonnollisemmin minimija maksimiarvoihinsa. Laskentakaava on seuraava T0 η = η∞ + (η0 − η∞ )[1 + (λe T S)2 ](n−1)/2 (7.43) missä λ on aikavakio. Carreaun mallissa laadut stemmaavat aikavakion ansiosta. Viskositeetin käyttäytyminen on esitetty kuvassa 7.8. Kummassakin laskentatavassa on viskositeetilla newtonilaiset osuudet (eivät riipu venymänopeustensorista) ja niiden välillä epänewtonilainen osuus. Energiayhtälöä varten on vielä annettava lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti. Ne voidaan käyttäjän toimesta antaa lämpötilariippuvina tai laskea kineettisen kaasuteorian avulla. Lämmönjohtavuus seoksille lasketaan samaan tapaan kuin viskositeettikin. Ominaislämpökapasiteetille käytetään vain massaosuuksilla 7.5. KERTAUS 209 η0 log η ηοο Log S Kuva 7.8: Viskositeetin rajoittaminen Carreaun mallissa. painotettua arvoa cp = X mi′ cpi′ (7.44) i′ Ominaislämpökapasiteetti on tärkeässä asemassa energiayhtälössä, koska sen avulla määritetään lämpötilan ja entalpian välinen yhteys. 7.5 Kertaus • FLUENTissa käytetään energiayhtälössä aina Boussinesq-hypoteesia (myös Reynoldsin jännitys -mallin yhteydessä) • turbulentti lämmönjohtavuus lasketaan turbulentin Prandtlin luvun avulla • FLUENTin energiayhtälöä approksimoidaan ratkaisussa. Kitkan tekemä työ kannattanee aina ottaa laskentaan mukaan. • virtauslaskennassa saattaa muiden kuin pääsuureiden osalta näkyä virheitä taseissa • Reynolds-keskiarvotetuilla yhtälöillä energia jaetaan kolmeen luokkaan. Neljäntenä voi vielä olla mukana potentiaalienergia. • lämpövuon seinämäreunaehto lausutaan joko Fourierin lain tai ison Reynoldsin luvun mallilla seinämäfunktion avulla • FLUENTissa pinta rajaa aina varsinaista laskentavyöhykettä. Pinnalle voidaan asettaa analyyttisiä hyppyehtoja, joilla voidaan mallintaa ohuita kalvoja ilman diskretointia. 7.5. KERTAUS 210 • pinta voi olla neste- ja kiinteän aineen vyöhykkeiden välissä, jolloin ei tarvita reunaehtoja • jos kiinteän aineen vyöhykettä ei simuloida, voidaan kiinteälle pinnalle antaa konvektiivinen lämpövuo tai lämpötila • jos kiinteän aineen vyöhyke rajaa laskenta-aluetta, voidaan sille asettaa konvektio-, säteily- tai näiden kombinaationa saatava reunaehto • lämmönvaihtimien mallintamiseksi FLUENTissa on useita mahdollisuuksia, joiden avulla vältytään lämmönvaihtimen tarkasta mallintamisesta • lämmönvaihdinmalleissa hyödynnetään yksidimensioista laskentaa ja kokeellista tietoa • FLUENTissa asetetaan operointipaine ja ohjelma laskee aina vain paine-eroja tähän paineeseen. Operointipaineeksi kannattaa yleensä asettaa tilanteessa keskimäärin vallitseva paineen taso. • Paineen taso voi määräytyä laskennassa vain tilanyhtälön kautta. Toinen tapa kiinnittää paine tapahtuu reunaehtojen avulla. Jos painereunaehtoa ei ole FLUENT asettaa paineen tason siten, että se on nolla tietyssä pisteessä. • suureet voivat FLUENTissa etupäässä olla vain lämpötilan funktioita. Tämä asettaa tiettyjä rajoituksia ohjelman käytölle (esim. paineaallot). • suureet voi käyttäjä itse antaa lämpötilan funktiona polynomeina, paloittain lineaarisina tai paloittain polynomisovitteina • tiheydelle voidaan käyttää ideaalikaasun approksimaatiota • eräät suureet voidaan asettaa kineettisen kaasuteorian avulla johdettujen lausekkeiden avulla • kaasuille viskositeetti kannattaa antaa Sutherlandin kaavan avulla, nesteille omilla sovitteilla • epänewtonilaisille nesteille voidaan käyttää approksimatiivisia potenssilakia tai Carreaun pseudoplastista mallia 7.5. KERTAUS 211 • epänewtonilainen mallinnus edellyttää usean malliparametrin asettamista käyttäjän toimesta Päivitetty 25.2.2014
© Copyright 2024