1. No category

Vektoreiden yhdensuuntaisuus
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
~b k ~a ⇔
lineaarikombinaatio
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
lineaarikombinaatio
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
~a − 3 ~b − ~a = −5~b
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
~a − 3 ~b − ~a = −5~b
~a − 3~b + 3~a = −5~b
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
~a − 3 ~b − ~a = −5~b
~a − 3~b + 3~a = −5~b
4~a = −2~b
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
~a − 3 ~b − ~a = −5~b
~a − 3~b + 3~a = −5~b
4~a = −2~b
1
~a = − ~b
2
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
~a − 3 ~b − ~a = −5~b
~a − 3~b + 3~a = −5~b
4~a = −2~b
1
~a = − ~b
2
Täten on ~
a ↑↓ ~b ja
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Yhdensuuntaisuusehto
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
~b k ~a ⇔ ~b = t~a, missä t ∈ R ja ~a 6= ~0 ja ~b 6= ~0
Esimerkki. Tiedetään, että ~
a − 3 ~b − ~a = −5~b ja ~a 6= ~0, ~b 6= ~0.
Mitä voidaan päätellä vektoreista ~
a ja ~b?
~a − 3 ~b − ~a = −5~b
~a − 3~b + 3~a = −5~b
4~a = −2~b
1
~a = − ~b
2
1
|~a|
~
Täten on ~
a ↑↓ b ja = .
2
~b
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
5
~b
P
3
b
A
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
AP
3
=
PB
5
b
b
O
~a
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
5
~b
P
3
b
A
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
AP
3
=
PB
5
b
b
O
~a
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
5
3
b
~b
P
AP
3
=
PB
5
b
b
O
~a
A
−−→ −→ −→
OP = OA + AP =
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
5
3
b
~b
P
AP
3
=
PB
5
b
b
O
~a
A
−−→ −→ −→
3 −−→
OP = OA + AP = ~a + AB =
8
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
5
3
b
~b
P
AP
3
=
PB
5
b
b
O
~a
A
−−→ −→ −→
3
3 −−→
−~a + ~b =
OP = OA + AP = ~a + AB = ~a +
8
8
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB sisäpuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
5
3
b
~b
P
AP
3
=
PB
5
b
b
O
~a
A
−−→ −→ −→
3
3 −−→
−~a + ~b =
OP = OA + AP = ~a + AB = ~a +
8
8
5
3~
~a + b
8
8
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
B
b
A
b
3
AP
=
PB
5
b~
~a
b
P
O
b
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
2
A
3
b
B
b
AP
3
=
PB
5
b~
~a
b
P
O
b
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
2
A
3
b
B
b
AP
3
=
PB
5
b~
~a
b
P
O
b
−−→ −→ −→
OP = OA + AP =
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
2
A
3
b
B
b
AP
3
=
PB
5
b~
~a
b
P
O
b
−−→ −→ −→
3 −−→
OP = OA + AP = ~a + BA =
2
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
2
A
3
b
B
b
AP
3
=
PB
5
b~
~a
b
P
O
b
−−→ −→ −→
3 ~
3 −−→
−b + ~a =
OP = OA + AP = ~a + BA = ~a +
2
2
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Janan jakosuhde
•
Yhdensuuntaisuusehto
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Esimerkki. Piste P jakaa janan AB ulkopuolisesti suhteessa 3:5.
−→
−−→ ~
−−→
Olkoon OA = ~
a ja OB = b. Määritä vektori OP vektoreiden ~a ja ~b
avulla.
2
A
3
b
B
b
AP
3
=
PB
5
b~
~a
b
P
O
b
−−→ −→ −→
3 ~
3 −−→
−b + ~a =
OP = OA + AP = ~a + BA = ~a +
2
2
5
3~
~a − b
2
2
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Vektoreiden lineaarikombinaatio
•
Yhdensuuntaisuusehto
→
→
Vektoreiden −
a1 , −
a2 , . . . , −
a→
n lineaarikombinaatio on vektori
• Janan jakosuhde
• Vektoreiden
lineaarikombinaatio
Hannu Lehto 11. elokuuta 2010
→
→
a→
s1 −
a1 + s2 −
a2 + · · · + sn −
n,
s1 , s2 , . . . , sn ∈ R
Lahden Lyseon lukio – 5 / 5