Tasovektorit y Paikkavektori JJJG Tason pisteen P ( x, y ) paikkavektori OP = [ x, y ] määritellään vektorina origosta O(0, 0) pisteeseen P. P(x, y) JJJG OP = [ x, y ] x Täten jokainen xy-tason vektori a voidaan esittää yksikäsitteisenä paikkavektorina P = [a1, a2]. Tässä esityksessä lukuja a1 ja a2 nimitetään vektorin a (skalaari)komponenteiksi, ja käytännössä komponentti a1 ilmaisee minkä verran ja kumpaan suuntaan x-akselin suunnassa on siirryttävä (a2 vastaavasti y-akselin suhteen). Toisin sanoen yhtälö a = [a1, a2] ilmaisee, että vektorin a alkupisteen ollessa origo sen kärkenä on piste (a1, a2). Tason perusvektorit y Pisteen (1,0) paikkavektorista käytetään merkintää i ja pisteen (0,1) paikkavektorista merkintää j: i = [1, 0] ja j = [0, 1]. (0,1) j i (1,0) y Täten i ja j ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevia yksikkövektoreita. Niitä nimitetään xy-tason perusvektoreiksi. Kaikilla reaaliluvuilla x ja y on voimassa: [x, y] = xi + yj. (x, y) yj [x, y] = xi + yi j i x xi Kaikilla vektoreilla a = [a1, a2] ja b = [b1, b2] ja reaaliluvuilla λ on voimassa: 1) 2) 3) 4) x a + b = [a1+b1, a2+b2], −a = [−a1, −a2], a − b = [a1−b1, a2−b2], λa = [λa1, λa2]. Pisteiden A = (a1,a2) ja B = (b1,b2) välinen etäisyys d = (a1 − b1 ) 2 + (a 2 − b2 ) 2 . Kun A(a1, a2) ja B(b1, b2) ovat xy-tason pisteitä, niin JJJG JJJK JJJG AB = OB − OA ja AB = (a1 − b1 ) 2 + (a2 − b2 ) 2 . Erityisesti vektorin a = [a1, a2] pituus a = a12 + a22 . A AB = B − A A B O B Esimerkki 4. Pisteiden A(2, −1) ja B(4,3) paikkavektorit ovat JJJK OA = [2, −1] = 2i − j, ja JJJG OB = [4,3] = 4i + 3j. Esimerkki 5. Käyttäen esimerkin pisteitä A ja B vektori JJJG JJJK edellisen JJJK AB = OB − OA = [4,3] − [2, −1] = [2, 4] , ja pisteiden A ja B välinen etäisyys JJJK d = AB = 22 + 42 = 20 = 2 5 . Esimerkki 6. Olkoot a = [1,2] ja b = [2,5]. Tällöin a) a + b = [1+2,2+5] =[3,7] = 3i + 7j, b) −a = [−1,−2] = −i −2j, c) a − b = [1−2, 2−5] =[−1,−3] = −i −3j, d) 7a = [7⋅1, 7⋅2] = [7,14] = 7i +14j, e) 3a −2b = [3,6] − [4,10] = [−1,−4] = −i −4j. Esimerkki 7. Olkoon a = [-2,1]. Tällöin |a| = 4 + 1 = 5. Vektorin a suuntainen yksikkövektori on siis 1 1 a0 = a = [−2, 1] = [−2 / 5, 1/ 5]. a 5 Esimerkki 8. JJJG Olkoot A(-2,9) ja B(2,-3). Määritä sellainen vektori, joka on vektorin AB suuntainen ja pituudeltaan 10 . JJJG AB = 4 i − 12 j JJJG AB = 42 + 122 = 160 = 4 10 JJJG 0 1 AB = ( 4 i − 12 j ) 4 10 Vektori, jonka pituus on 10 saadaan, kun yksikkövektori kerrotaan luvulla 10 : JJJG 0 1 1 10 ⋅ AB = 10 ( 4 i − 12 j ) = 4 ( 4 i − 12 j ) = i − 3 j . 4 10