Tasovektorit

Tasovektorit
y
Paikkavektori
JJJG
Tason pisteen P ( x, y ) paikkavektori OP = [ x, y ] määritellään
vektorina origosta O(0, 0) pisteeseen P.
P(x, y)
JJJG
OP = [ x, y ]
x
Täten jokainen xy-tason vektori a voidaan esittää
yksikäsitteisenä paikkavektorina P = [a1, a2]. Tässä esityksessä
lukuja a1 ja a2 nimitetään vektorin a (skalaari)komponenteiksi, ja käytännössä komponentti a1
ilmaisee minkä verran ja kumpaan suuntaan x-akselin suunnassa on siirryttävä (a2 vastaavasti
y-akselin suhteen).
Toisin sanoen yhtälö a = [a1, a2] ilmaisee, että vektorin a alkupisteen ollessa origo sen kärkenä on
piste (a1, a2).
Tason perusvektorit
y
Pisteen (1,0) paikkavektorista käytetään merkintää i ja pisteen (0,1)
paikkavektorista merkintää j:
i = [1, 0] ja j = [0, 1].
(0,1)
j
i
(1,0)
y
Täten i ja j ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevia
yksikkövektoreita. Niitä nimitetään xy-tason
perusvektoreiksi. Kaikilla reaaliluvuilla x ja y on
voimassa:
[x, y] = xi + yj.
(x, y)
yj
[x, y] = xi + yi
j
i
x
xi
Kaikilla vektoreilla a = [a1, a2] ja b = [b1, b2] ja reaaliluvuilla λ on voimassa:
1)
2)
3)
4)
x
a + b = [a1+b1, a2+b2],
−a = [−a1, −a2],
a − b = [a1−b1, a2−b2],
λa = [λa1, λa2].
Pisteiden A = (a1,a2) ja B = (b1,b2) välinen etäisyys d = (a1 − b1 ) 2 + (a 2 − b2 ) 2 .
Kun A(a1, a2) ja B(b1, b2) ovat xy-tason pisteitä, niin
JJJG JJJK JJJG
AB = OB − OA ja AB = (a1 − b1 ) 2 + (a2 − b2 ) 2 .
Erityisesti vektorin a = [a1, a2] pituus a = a12 + a22 .
A
AB = B − A
A
B
O
B
Esimerkki 4.
Pisteiden A(2, −1) ja B(4,3) paikkavektorit ovat
JJJK
OA = [2, −1] = 2i − j, ja
JJJG
OB = [4,3] = 4i + 3j.
Esimerkki 5.
Käyttäen
esimerkin pisteitä A ja B vektori
JJJG JJJK edellisen
JJJK
AB = OB − OA = [4,3] − [2, −1] = [2, 4] ,
ja pisteiden A ja B välinen etäisyys
JJJK
d = AB = 22 + 42 = 20 = 2 5 .
Esimerkki 6.
Olkoot a = [1,2] ja b = [2,5]. Tällöin
a) a + b = [1+2,2+5] =[3,7] = 3i + 7j,
b) −a = [−1,−2] = −i −2j,
c) a − b = [1−2, 2−5] =[−1,−3] = −i −3j,
d) 7a = [7⋅1, 7⋅2] = [7,14] = 7i +14j,
e) 3a −2b = [3,6] − [4,10] = [−1,−4] = −i −4j.
Esimerkki 7.
Olkoon a = [-2,1].
Tällöin |a| = 4 + 1 = 5.
Vektorin a suuntainen yksikkövektori on siis
1
1
a0 = a =
[−2, 1] = [−2 / 5, 1/ 5].
a
5
Esimerkki 8.
JJJG
Olkoot A(-2,9) ja B(2,-3). Määritä sellainen vektori, joka on vektorin AB
suuntainen ja pituudeltaan 10 .
JJJG
AB = 4 i − 12 j
JJJG
AB = 42 + 122 = 160 = 4 10
JJJG 0
1
AB =
( 4 i − 12 j )
4 10
Vektori, jonka pituus on 10 saadaan, kun yksikkövektori kerrotaan luvulla 10 :
JJJG 0
1
1
10 ⋅ AB = 10
( 4 i − 12 j ) = 4 ( 4 i − 12 j ) = i − 3 j .
4 10