Alussa on opiskelijoiden kuvitusta GeoGebra tehtävistä. Lopuksi tehtävämoniste. Pyramidi 4 Analyyttinen geometria Ohje: Tehtävät lasketaan GeoGebra 4 CAS- toimintoa käyttäen ja ne tarkistetaan algebraikkunaan piirtäen. Kahden pisteen välinen etäisyys a  x2  x1    y2  y1  2 2 Tehtävä 1. Laske pisteiden (5, 5) ja (1, 2) välinen etäisyys. Janan keskipiste  x1  x2 y1  y2  ,  2   2 Jos janan päätepisteet ovat (x1, y1) ja (x2, y2), niin se keskipiste on  Tehtävä 2. Laske pisteiden (5, 5) ja (1, 2)muodostaman janan keskipiste. Peilaus Tehtävä 3. Peilaa piste (2, 3) a) x- akselin suhteen b) y- akselin suhteen c) origon suhteen Peilaa suora 2 x  y  1  0 a) x- akselin suhteen b) y- akselin suhteen c) origon suhteen Itseisarvo Tehtävä 4. Piirrä suora y  4  x . Piirrä myös suora | Tehtävä 5. Ratkaise yhtälö ja epäyhtälö. a) 2 x  3  4  2 x |. Mitä huomaat? b) 2  x  4 Yhtälöryhmä  x  y  z  12  Tehtävä 6. Ratkaise yhtälöryhmä 2 x  y  z  5  x  3 y  z  10  x  3  Vastaus:  y  4 z  5  Suora Suunnattu kulma Kahden pisteen  x1 , y1  ja  x2 , y2  , x1  x2 , kautta kulkevan suoran kulmakerroin on k y y2  y1  x x2  x1 Tehtävä 7. Mikä on pisteiden (-1,-2) ja (1,3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin ja suuntakulma? Suoran yhtälö Pisteen (x0,y0) kautta kulkevan suoran yhtälö.  Jos suoran kulmakerroin on k, suoran yhtälö on y  y0  k ( x  x0 ) Tehtävä 8. Suora kulkee pisteiden (-1,1) ja (2,3) kautta. Määritä suoran yhtälön ratkaistu muoto ja yleinen muoto. Ratkaistu muoto y  kx  b Yleinen muoto ax  bx  c  0, a, b  0 Suorien välinen kulma Määritelmä Suorien välinen kulma kulmakertoimen avulla tan   k1  k2 1  k1k2 Tehtävä 9. Laske suorien x+y+1=0 ja 2x-3y-1=0 välinen kulma. Pisteen etäisyys suorasta  Pisteen  x0 , y0  etäisyys suorasta ax  by  c  0 saadaan kaavalla Tehtävä 10. Laske pisteen (1,-2) etäisyys suorasta y  2 x  4 . d ax0  by0  c a 2  b2 Toisen asteen käyrä Tehtävä 11. Piirrä seuraavat yhtälöt: Ellipsi x2 y 2  1 9 16 Ympyrä x 2  y 2  9 Paraabeli y  x 2 Hyperbeli x  y 2 Ympyrä Ympyrän yhtälön määritelmä (keskipistemuoto)  x  x0    y  y0   x0 , y0  keskipiste. 2 2  r 2 , jossa r on ympyrän säde ja Origokeskisen ympyrän yhtälö x 2  y 2  r 2 , siis  x0 , y0    0,0  Tehtävä 12. Mikä on ympyrän keskipiste ja säde, muuta lopuksi yhtälöt keskipistemuotoon. a) x2  2 x  1  y 2  4 y  4  9 b) x2  2 x  y 2  4 y  10  0 Tehtävä 13. Vierellä olevan ympyrän yhtälö on a) keskipistemuodossa b) yleisessä muodossa Tehtävä 14. Vierellä olevan ympyrän yhtälö on c) keskipistemuoto d) yleinen muoto Ympyrä ja suora Tehtävä 15. Pyramidi 4 t 734. Paraabeli f ( x)  ax 2  bx  c   a > 0 aukeaa ylöspäin a < 0 aukeaa alaspäin Paraabelin yhtälön perusmuoto y  ax 2  bx  c, a  0 !Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla nollakohdat! Siis y=f(x). Paraabelin yhtälö nollakohta muodossa y  a  x  x1  x  x2  , a  0 Paraabelin yhtälö huippumuodossa  y  y0   a  x  x0  2 , a  0 , missä  x0 , y0  on paraabelin huippu. Ks. Sovellusesimerkki tulee myöhemmin! Paraabelin huippu  x0 , y0  : Perusmuodosta x0  b ja vastaava y0 saadaan sijoituksella. 2a Tehtävä 16. Piirrä paraabeli x 2  2 x  2 y  4  0 . Muuta yhtälö nollakohtamuotoon ja huippumuotoon. Tehtävä 17. Pyramidi 4 t824 Huomioita tunnin kulusta. GeoGebra ei ratkaise tehtävää 5a! Matematiikan avulla se onnistuu.