1. No category

Matematiikan ylioppilaskokeen tulevaisuus
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
Si tu veux construire un bateau, ne rassemble
pas des hommes pour aller chercher du bois,
préparer des outils, répartir les tâches, alléger
le travail – mais enseigne aux gens la nostalgie
de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-Exupéry, Citadelle
Taustaa
I
FT matematiikka, PsM, MPhil mathematics education
I
Matematiikan opettajakoulutuksen professori vuodesta 2006
I
YTL:n apujäsen vuodesta 2010
I
YTL:n jäsen ja matematiikan kokeen kehittämis- ja
seurantaryhmän pj vuodesta 2013
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
2 / 16
Taustaa
I
FT matematiikka, PsM, MPhil mathematics education
I
Matematiikan opettajakoulutuksen professori vuodesta 2006
I
YTL:n apujäsen vuodesta 2010
I
YTL:n jäsen ja matematiikan kokeen kehittämis- ja
seurantaryhmän pj vuodesta 2013
Esitelmässä kerron omista ajatuksistani
I
I
I
viralliset päätökset virallisia reittejä
Si tu veux
construire un bateau, ne rassem
ennakkotieto antaa opettajille mahdollisuuden
kommentoida
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
ja vaikuttaa suunnitelmiin
talgie de l’infini de la mer.
I
Pidän blogia kokeen kehittämisestä osoitteessa
http://phasto.wordpress.com
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
Antoine de Saint-E
2 / 16
Pisteytys
¿ Esimerkiksi viime kevään pitkän matematiikan yo:n
tehtävässä 3 b) sai täydet pisteet pelkästään symbolisella
laskimella tehdystä sievennyksestä. Miksi?
I
Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan
tehtäväkohtaisesti. Analysointia vaativien tehtävien
ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman
muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä
riittää rutiinitehtävissä, esimerkiksi lausekkeiden
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches,
alléger le travail – mais enseign
muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen
sekä
talgie de l’infini de la mer.
funktioiden derivointi ja integrointi. (Laskin ohje)
Antoine de Saint-E
I
Koe muuttuu hitaasti (2014 syksy jo lyöty lukkoon).
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
3 / 16
Rutiinitehtävistä
I
Onko “Ratkaise yhtälö 7x 2 − 6x = 0” (K2007P)
rutiinitehtävä?
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
4 / 16
Rutiinitehtävistä
I
I
Onko “Ratkaise yhtälö 7x 2 − 6x = 0” (K2007P)
rutiinitehtävä?
Ongelmanratkaisukirjallisuudessa “dikotomia”
rutiinitehtävä/ongelmatehtävä seuraavasti:
I
I
I
rutiinitehtävä on sellainen johon ratkaisijalla on tiedossa
(mekaaninen)menetelmä joka antaa oikean ratkaisun;
ongelmatehtävä on sellainen johon ratkaisija ei tunne
ratkaisurutiinia mutta pystyy johtamaan ratkaisun
tuntemillaan työkaluillaan.
Hyvin dokumentoitu on myös sellaiset opiskelijat
Si tu veux jotka
construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches,
alléger le travail – mais enseign
sähläävät rutiinitehtävät koska ovat huonolla
menestyksellä
talgie de l’infini de la mer.
yrittäneet opetella rutiinin ulkoa. . .
Antoine de Saint-E
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
4 / 16
Rutiinitehtävistä
I
I
Onko “Ratkaise yhtälö 7x 2 − 6x = 0” (K2007P)
rutiinitehtävä?
Ongelmanratkaisukirjallisuudessa “dikotomia”
rutiinitehtävä/ongelmatehtävä seuraavasti:
I
I
rutiinitehtävä on sellainen johon ratkaisijalla on tiedossa
(mekaaninen)menetelmä joka antaa oikean ratkaisun;
ongelmatehtävä on sellainen johon ratkaisija ei tunne
ratkaisurutiinia mutta pystyy johtamaan ratkaisun
tuntemillaan työkaluillaan.
I
Hyvin dokumentoitu on myös sellaiset opiskelijat
Si tu veux jotka
construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches,
alléger le travail – mais enseign
sähläävät rutiinitehtävät koska ovat huonolla
menestyksellä
talgie de l’infini de la mer.
yrittäneet opetella rutiinin ulkoa. . .
Antoine de Saint-E
I
Jos yllä olevan lähtisi ratkaisemaan faktorisaatiolla
x(7x − 6) = 0, niin kyse saattaisi olla ei-rutiini
lähestymistavasta.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
4 / 16
Sähköistys/filosofia
¿ Mitkä ovat lukiomatematiikan tavoitteet? Ovatko ne samat
kuin ylioppilaskokeen tavoitteet? Onko sähköinen yo-koe
realistinen tapa saavuttaa oppimisen tavoitteet?
¿ Tarvitseeko tekniikan opiskelija matematiikan teorian
hienouksia?
¿ Mikä on sähköistämisen lisäarvo matematiikan tapauksessa?
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
5 / 16
Sähköistys/filosofia
¿ Mitkä ovat lukiomatematiikan tavoitteet? Ovatko ne samat
kuin ylioppilaskokeen tavoitteet? Onko sähköinen yo-koe
realistinen tapa saavuttaa oppimisen tavoitteet?
¿ Tarvitseeko tekniikan opiskelija matematiikan teorian
hienouksia?
¿ Mikä on sähköistämisen lisäarvo matematiikan tapauksessa?
OPS:n mukaan opetuksen tavoitteena on, että opiskelija
I
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn ja oppii
kautta
messitä
pour aller
chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä,
taitoihinsa
ja
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
ajatteluunsa
I
rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen
keksimiseen sekä niiden kriittiseen arviointiin
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
5 / 16
I
ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten
seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan
matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, ja
oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen
selkeyttä
I
oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena
I
kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja
ongelmanratkaisutaitojaan
I
harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella
tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden
oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekäSiarvioimaan
tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä.
I
harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja
hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita
I
osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä,
teknisiä apuvälineitä ja tietolähteitä.
talgie de l’infini de la mer.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
Antoine de Saint-E
6 / 16
Minun näkemys
I
Matematiikassa tärkein on ymmärtäminen ja päättely, kaikilla
tasoilla (e.g., Dewey, 1933)
I
Vuoden 2010 yo-tehtävä “osoita, että kahden parittoman
luvun summa on parillinen” esiintyy Deborah Ballin ala-asteen
3-luokan ryhmätehtävänä!
I
Reasoning should be age-appropriate, incremental, and
socially shared, but also consistent and hence cumulative (A.
Stylianides, 2007)
I
Matematiikan pitäisi olla aine jossa opiskelijat ovat kaikkein
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
vähiten ulkoisten auktoriteettien (opettaja/mallivastaus/
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
wikipedia) varassa.
talgie de l’infini de la mer.
I
YO-kokeen pitää olla linjassa opetuksen kanssa, kuitenkinAntoine de Saint-E
niin, että koe on omalta osaltaan kannustamassa/pakottamassa opiskelijat ja opettajat kohti oikean parempaa
matemaattista ymmärrystä.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
7 / 16
Funktiotehtäviä
I
Etsi k, jolle g (x + 1) = g (x) + k, kun g (x) = 3x + 5. Missä
pisteessä funktio g saa arvon 8?
I
Ilmaise ympyrän läpimitta (eli halkaisija) sen pinta-alan
funktiona; piirrä funktion kuvaaja.
Anna tässä tehtävässä esimerkki, joka osoittaa
seuraavanlaisten funktioiden olemassaolon tai selitä, miksei
funktiota voi olla olemassa.
I
1. Funktio, jonka kaikki arvot ovat samat. Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher
2. Funktio jonka arvo kokonaisluvuilla on ei-kokonaisluku,
ja du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
ei-kokonaisluvuilla kokonaisluku?
3. Funktio, joka jokaiselle nollasta poikkeavalle luvulle saa Antoine de Saint-E
arvokseen luvun neliön ja nollalle arvon 1.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
8 / 16
. . . jatkuu
Oheisessa kuvaajassa on esitetty erään funktion f graafi ja sen
muunnoksia. Yhdistä muunnosten a–c graafit niittä vastaaviin
lausekkeisiin A–H.
f (x )
a
b
c
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
A. f (x + 1)
B. f (x − 1)
Peter Hästö
C. f (2x)
D. 2f (x)
E. −f (x)
F. f (−x)
http://phasto.wordpress.com
G. f (x) + 1
H. f (x) − 1
9 / 16
Mathematics sample tasks
. . . jatkuu
Mathematics unit 36 : Water Tank
1.0 m
Question 36.1
A water tank has shape and dimensions as shown in the diagram.
At the beginning the tank is empty. Then it is filled with water at the rate of
one litre per second.
1.5 m
3
1.5 m
Water tank
Which of the following graphs shows how the height of the water surface changes over time?
A
B
Height
Height
Time
Time
D
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
E
Height
Height
Time
Peter Hästö
C
Height
Time
http://phasto.wordpress.com
TAKE THE TEST: SAMPLE QUESTIONS FROM OECD’S PISA ASSESSMENTS - ISBN 978-92-64-05080-8 - © OECD 2009
135
10 / 16
tuna. c) Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katet‐ tua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla? 15. Alla on funktion f ( x)  A sin(bx) kuvaaja välillä x  [720 , 720 ]. Määritä kuvaajan perus‐
15.
. . . jatkuu
teella a) vakion A arvo b) vakion b arvo c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L  0 ja f ( x  L)  f ( x) kaikilla x. y
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
11 / 16
Yhtälöryhmätehtävä
Kalle on ratkaisut yhtälöryhmän (*) seuraavasti:
s~
(i-)~
(
~3
~Xt
~
~
oa~t
7
VQ~1jR s~2~
ytG~~3
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
Kalle saa saman vastauksen kuin kirjassa, ja on tähän tyytyväinen.
Tarkkasilmäisempi Liisa huomaa kuitenkin päättelyssä virheen.
1a) Kopio Kallen laskut konseptille, ja merkkaa siinä oleva virhe.
1b) Korjaa virhe ja suorita lasku loppuun oikein.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
12 / 16
Rakenne
¿ Milloin saamme tehtävätyypeistä malliesimerkkejä?
I
Vuoden 2015 kokeiden osalta vuoden 2013 loppuun
mennessä, jne.
¿ Voisiko matematiikassa tulevaisuudessa olla yksi koe ilman
teknologiaa ja taulukkokirjaa ja toinen koe apuvälineillä?
I
Jos halutaan testata rutiiniosaamista tämä on varmaan hyvä
keino. Todennäköisesti vuonna 2015 on käytössä.
I
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
Valinnaisuuden määrä tuo ongelmia mukanaan:
jos uudistus
mes pour aller chercher du bois, préparer
les tâches, alléger le travail – mais enseign
koskee vain muutamaa tehtävää niin ne jätetään
valitsematta.
talgie de l’infini
de la mer.
I
Antoine de Saint-E
Voisiko kokeessa olla 3 helpompaa neljän pisteen tehtävää?
(+ 10*6 + 2*9) =⇒ korkeampi A-raja ja matalampi L-raja.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
13 / 16
Sähköistys/konkretia
I
Sähköinen koe matematiikassa keväällä 2019.
¿ Miten varmistetaan, että laitteet toimivat?
¿ Millaisia välineitä (laskinta, tablettia tai tietokonetta) on
tarkoitus käyttää?
I
Tekniset tiedot: digabi.fi.
¿ Missä voi oppia käyttämään uutta teknologiaa opetuksessa?
I
Täydennyskoulutuksia pitäisi olla tulossa (MAOL,
LUMA-verkosto, . . . )
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
mes pour aller chercher du bois, préparer
¿ Mitä kannattaa suositella ensi syksynä opiskelijoille,
kun
he – mais enseign
les tâches, alléger
le travail
talgie de l’infini de la mer.
miettivät ostavatko he tabletin ja siihen laskinohjelman vai
Antoine de Saint-E
laskimen?
I
Toisaiseksi laskin, epäselvää tuleeko tabletti käyttöön edes
2019.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
14 / 16
Sähköistys/konkretia 2
¿ Millä ohjelmalla on tarkoitus kirjoittaa matematiikan
yo-kirjoitus?
I
Koe suoritetaan koejärjestelmässä jossa voi ajaa normaaleja
ohjelmia. Todennäköisesti tulee lista sallituista ohjelmista.
¿ Onko sähköistäminen johtamassa tilanteeseen, jossa hidas
lukija joutuu tässäkin aineessa kahlaamaan läpi pitkän tarinan
ja etsimään tietoa verkosta?
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
I
pour aller chercher du bois, préparer
Muutama tällainen tehtävä tullee mukaan,mes
tarkoituksena
les
tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
testata matemaattisen tiedon käsittelyä. Muunkinlaisia
Antoine de Saint-E
tehtäviä tulee olemaan.
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
15 / 16
Viimeiset ajatukset
Much more important than specific mathematical results
are the habits of mind used by the people who create
those results. We envision a curriculum that elevates the
methods by which mathematics is created and the
techniques used by researchers to a status equal to that
enjoyed by the results of that research.
Si tu veux construire un bateau, ne rassem
pour aller
chercher du bois, préparer
Cuoco, Goldenberg &mesMark
(1996)
les tâches, alléger le travail – mais enseign
talgie de l’infini de la mer.
Antoine de Saint-E
Peter Hästö
http://phasto.wordpress.com
16 / 16