1. No category

MAA6 Kurssikoe 21.11.2014
Jussi Tyni ja Juha Käkilehto
Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien
ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
A-OSIO: Laske kaikki tehtävät. Ei saa käyttää laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla esillä.
A1.
a)
Kahta noppaa heitetään. Millä todennäköisyydellä
silmälukujen summa on vähintään 9 ?
(2p)
b)
Satunnaismuuttuja Z noudattaa normaalijakaumaa N~ (0,1). Laske todennäköisyydet
b1) (𝑍 ≤ 1,35)
b2) 𝑃(−0,70 ≤ 𝑍 ≤ 0,45)
(2p)
A2.
Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus:
Laatikossa on 8 sukkaa, joista 5 valkoista ja 3 harmaata. Kolmessa valkoisessa ja yhdessä harmaassa
sukassa on reikä. Nostetaan laatikosta sokkona kaksi sukkaa. Millä todennäköisyydellä
a) Molemmat sukat ovat ehjät?
b) Molemmat sukat ovat valkoiset?
c) Molemmat sukat ovat harmaat ja ehjät?
d) Molemmat sukat ovat harmaat tai molemmat ovat rikkinäiset?
4p
A3.
Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus:
a) Erään bussilinjan bussi saapuu pysäkille aina tasatunnein ja aina 20 minuuttia yli tasan. Pekka
tulee pysäkille satunnaiseen aikaan. Kuinka suurella todennäköisyydellä hän selviytyy lyhyemmällä
kuin 7 minuutin odotuksella?
b) Erään matematiikan ryhmän arvosanat on esitetty seuraavassa taulukossa:
Arvosana
4
5
6
7
8
9
10
Yhteensä
Frekvenssi
1
2
4
6
4
2
1
20
-
Määritä arvosanojen moodi
Määritä arvosanojen mediaani
Määritä arvosanojen keskiarvo
4p
B-OSIO: Valitse seuraavasta kuudesta tehtävästä neljä, joihin vastaat. Saa käyttää laskinta ja MAOL:ia!
B4.
Renkaiden valmistaja haluaa testata renkaiden kulutuskestävyyttä. Renkaiden annettiin kulua loppuun jolloin
mitattiin kunkin renkaan kestämä matka. Tuloksena saatiin oheiset lukemat ( yksikkönä 1000 km )
43,9 42,9 47,2 45,6 47,3 51,6 44,7 47,9 48,8 50,1
45,7 42,8 49,6 45,9 48,0 49,9 49,0 47,9 48,1 51,1
a)
b)
c)
B5.
Luokittele aineisto neljään tasaväliseen luokkaan siten, että ensimmäinen luokka on 40,1-43,0.
Laske luokkakeskukset ja niiden avulla kulutuskestävyyden keskiarvo ja keskihajonta 3p
Havainnollista aineistoa sopivalla diagrammilla
2p
a) Rengastetuista kanahaukoista tavataan myöhemmin 15 %. Millä todennäköisyydellä 20 rengastetusta
kanahaukan poikasesta tavataan myöhemmin ainakin kolme?
b) Kolikko heitetään ämpäriin. Millä todennäköisyydellä ämpärin pohjan ja kolikon keskipisteiden etäisyys on
pienempi kuin 10 cm, kun ämpärin pohjan halkaisija on 40 cm ja kolikon halkaisija 24 mm?
B6
a) Alokkaat Aaltonen, Berg ja Cajanus saavat alikersantin mukaan aseen purettua tavoiteajassa
todennäköisyyksin 88 %, 77 % ja 66 %. Laske todennäköisyys, a1) että tasan yksi heistä saa purettua aseen
tavoiteajassa ja a2) vähintään kaksi saa purettua aseen tavoiteajassa, kun jokaisella on yksi suorituskerta.
b) Soveltuvuuskokeen keskiarvo oli 16,2 pistettä ja keskihajonta 4,0 pistettä. Määritä sellainen pisteraja, että
saadaan selville parhaiden hakijoiden 7 % kärkiryhmä, kun tulosten oletetaan noudattavan
normaalijakaumaa.
B7
a) Ykkösiä on 7 ja kakkosia on 3. Ykkösiä lisätään yhtä monta kuin kakkosia. vastaa perustellen esim
epäyhtälön avulla, montako lukua on lisättävä, jotta keskiarvo ylittää luvun 1,49
b) Korttipakassa on neljää maata (hertta, ruutu, pata ja risti), kutakin 13 kpl. Millä todennäköisyydellä kaikki
kolme käteen nostettavaa korttia ovat samaa maata?
c) Kenopömpelissä on 70 palloa numeroituna yhdestä 70: een. Pömpelistä valitaan satunnaisesti 10 palloa.
Millä todennäköisyydellä Pekka arvasi tasan kolmen pallon numerot oikein?
B8.
Koneen valmistamista tuotteista 8 % on lievästi väriviallisia ja 7 % pintaviallisia. Viat esiintyvät toisistaan
riippumatta. Virheettömät tuotteet myydään A-laatuna. Tuotteet, joissa on vain toinen vika, myydään Blaatuna. Tuotteet joissa on molemmat viat, särjetään. A-laatuinen tuote voidaan myydä 500 euron voitolla ja
B-laatuinen tuote 100 euron voitolla. Särjetystä tuotteesta tulee 10 000 euroa tappiota. Kuinka suuri on
yhdestä tuotteesta saatavan voiton odotusarvo?
B9.
a) Millä vakion k arvolla funktio f ( x)  
 1  kx, kun 0  x  2
sopii jatkuvan satunnaismuuttujan X
0, kun x  0 tai x  2
tiheysfunktioksi.
1  0,95t , kun t  0
b) Lampun eliniän kertymäfunktio F (t )  
, missä aika t on ilmaistu viikkoina. Laske
 0, kun t  0
todennäköisyys, että lampun elinikä on neljästä kuuteen viikkoon.
Ratkaisut:
A1
a) Mahdolliset kahden nopan silmäluvut:
11
21
31
41
51
61
12
22
32
42
52
62
13
23
33
43
53
63
14
24
34
44
54
64
15
25
35
45
55
65
16
26
36
46
56
66
2
3
4
5
6
7
Vastaavasti summat:
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
7
8
9
10
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
P(summa on vähintään 9) =10/36=5/18
b) b1: 𝑃(𝑍 ≤ 1,35) ≤ 0,9115 => 91%
b2: 𝑃(−0,70 ≤ 𝑍 ≤ 0,45) = Φ(0,45) − (1 − Φ(0,7)) = 0,6736 − (1 − 0,758)
= 0,6736 − 0,2420 = 0,4316 ≈ 0,43
A2
4 3
1 3
3
a) 𝑃(𝐸ℎ𝑗ä 𝑗𝑎 𝐸ℎ𝑗ä) = 8 ∙ 7 = 2 ∙ 7 = 14
5 4
1 5
5
b) 𝑃(𝑉𝑎𝑙𝑘𝑜𝑖𝑛𝑒𝑛 𝑗𝑎 𝑉𝑎𝑙𝑘𝑜𝑖𝑛𝑒𝑛) = 8 ∙ 7 = 2 ∙ 7 = 14
2 1
2
1
c) 𝑃(𝐻𝑎𝑟𝑚𝑎𝑎 𝑒ℎ𝑗ä 𝐽𝐴 ℎ𝑎𝑟𝑚𝑎𝑎 𝑒ℎ𝑗ä) = 8 ∙ 7 = 56 = 28
3 2
4 3
6
12
18
9
d) 𝑃(𝐻 𝑗𝑎 𝐻 𝑡𝑎𝑖 𝑅𝑖𝑘𝑘𝑖 𝑗𝑎 𝑅𝑖𝑘𝑘𝑖) = 8 ∙ 7 + 8 ∙ 7 = 56 + 56 = 56 = 28
A3
a) Tunnin jakson tarkastelu:
Yhden tunnin aikana on 60 minuuttia, joiden aikana Pekka voi kaiken kaikkiaan saapua pysäkille.
Mallikuvasta nähdään, että on 2 x 7 = 14 min suotuisia aika-alueita, joiden aikana Pekka selviytyy
alle 7 min odotuksella. Eli P(Pekka odottaa alle 7 min.)=14/60=7/30
b) – Moodi on tyyppiarvo, eli mitä esiintyy eniten. => 7.
- Mediaani on keskiluku, eli järjestetään arvosanat suuruusjärjestyksessä jonoon ja valitaan
keskimmäinen => 7
4+5∙2+6∙4+7∙6+8∙4+9∙2+10
4+10+24+42+32+18+10
140
- Keskiarvo =
=
=
=7
20
20
20
B4
a)
40,143,0
43,146,0
46,149,0
49,152,0
f
luokkakeskus
2
41,55
5
44,55
8
47,55
5
50,55
20
b) Luokkakeskus=(alaraja+yläraja)/2
2∙41,55+5∙44,55+8∙47,55+5∙50,55
Keskiarvo: 𝑥̅ =
= 46,95
20
Keskihajonta: 𝑠 = √
2∙(41,55−46,95)2 +5∙(44,55−46,95)2 +8∙(47,55−46,95)2 +5∙(50,55−46,95)2
20
774
=√
5
=
2,78 ≈ 2,8
c)
Renkaiden kulutuskestävyys
10
8
6
4
2
0
40,1-43,0
43,1-46,0
46,1-49,0
49,1-52,0
B5
a) Toistokoe: P(tavataan myöhemmin ainakin kolme)=1-P(tavataan 0 tai 1 tai 2)
= 1 − (𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2))
20
20
20
= 1 − (( ) 0,150 ∙ 0,8520 + ( ) 0,151 ∙ 0,8519 + ( ) 0,152 ∙ 0,8518 )
0
1
2
= 0,824442 ≈ 0,82 => 82% 𝑡𝑜𝑑𝑒𝑛𝑛ä𝑘ö𝑖𝑠𝑦𝑦𝑑𝑒𝑙𝑙ä 𝑡𝑎𝑣𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑎𝑖𝑛𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑒.
b) Mallikuva:
Kolikon putoamispaikkaa mallinnetaan sen keskipisteen kautta. Mallikuvasta havaitaan, että kolikon
keskipisteen pitää pudota ämpärin keskipisteen ympärille muodostuvan 10 cm säteeltään olevan ympyrän
sisään.
Koko ämpärin pohjan pinta-ala: 𝐴ä𝑚𝑝ä𝑟𝑖 = 𝜋202 = 400𝜋 ja
Kolikon putoamisalueen pinta-ala: 𝐴𝑘𝑜𝑙𝑖𝑘𝑘𝑜 = 𝜋102 = 100𝜋
100𝜋
1
Siis P(keskipisteiden etäisyys on alle 10cm)=400𝜋 = 4 => 25%
B6
a) a1:P(Tasan yksi saa purettua tavoiteajassa)
= 𝑃(𝐴 𝑗𝑎 𝐵̅ 𝑗𝑎 𝐶̅ 𝑡𝑎𝑖 𝐴̅ 𝑗𝑎 𝐵 𝑗𝑎 𝐶̅ 𝑡𝑎𝑖 𝐴̅ 𝑗𝑎 𝐵̅ 𝑗𝑎 𝐶̅ )
= 0,88 ∙ 0,23 ∙ 0,34 + 0,12 ∙ 0,77 ∙ 0,34 + 0,12 ∙ 0,23 ∙ 0,66 ≈ 0,118 => 11,8%
a2: P(ainakin kaksi saa purettua tavoiteajassa)=1-P(0 tai 1 saa purettua tavoiteajassa)
= 1 − (0,12 ∙ 0,23 ∙ 0,34 + 0,118) ≈ 0,8722 => 87,2 %
b) 1 − 𝜙(𝑧) = 0,07 ⟺ 1 − 0,07 = 𝜙(𝑧) ⟺ 0,93 = 𝜙(𝑧)
sopiva z-arvo taulukosta => z=1,475
𝑋−𝑥̅
𝑋−16,2
Normeeraus: 𝑧 = 𝑠 ⟺ 1,475 = 4 ⟺ 𝑋 = 22,1 ≈ 22 𝑝𝑖𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡ä
B7
7+2∙3+𝑥+2∙𝑥
> 1,49 𝑙𝑎𝑠𝑘𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑥 < −5 𝑡𝑎𝑖 𝑥 > 95 => negatiivinen vastaus ei
tietenkään käy, eli x:n pitää olla 96 tai suurempi, silloin keskiarvo ylittää 1,49. Eli lisätään 96 ykköstä
ja 96 kakkosta, yhteensä 192 lukua.
b) 𝑃(𝑘𝑜𝑙𝑚𝑒 𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎 𝑚𝑎𝑎𝑡𝑎) = 𝑃(𝐻𝐻𝐻 𝑡𝑎𝑖 𝑅𝑖𝑅𝑖𝑅𝑖 𝑡𝑎𝑖 𝑅𝑢𝑅𝑢𝑅𝑢 𝑡𝑎𝑖 𝑃𝑃𝑃 )
13 12 11
22
= 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 4 = 425 ≈ 0,052 => 5,2% (kaikkien kolme samaa maata kombinaatioiden tod.
näköisyys on ihan sama)
10
60
c) Suotuisat: ( ) ∙ ( )
3
7
70
Kaikki mahdolliset kymmenen pallon valinnat: ( )
10
a)
10+2𝑥
P(tasan kolme oikeaa)=
(
10 60
)∙( )
3
7
70
( )
10
= 0,117 => 11,7%
B8
𝑃(𝑣ä𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒𝑛) = 𝑃(𝐶) = 0,08 => 𝑃(𝐶̅ ) = 0,92
̅ ) = 0,93
𝑃(𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑣𝑖𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒𝑛) = 𝑃(𝐷) = 0,07 => 𝑃(𝐷
̅ ) = 0,92 ∙ 0,93 = 0,8556
𝑃(𝐴 − 𝑙𝑎𝑎𝑡𝑢𝑎) = 𝑃(𝐶̅ 𝑗𝑎 𝐷
̅ ) = 0,92 ∙ 0,07 + 0,08 ∙ 0,93 = 0,1388
𝑃(𝐵 − 𝑙𝑎𝑎𝑡𝑢𝑎) = 𝑃(𝐶̅ 𝑗𝑎 𝐷 𝑡𝑎𝑖 𝐶 𝑗𝑎 𝐷
P(Särjetään)= 𝑃(𝐶 𝑗𝑎 𝐷) = 0,0056
Jakauma:
Voitto:
A-laatu=500€
B-laatu=100€
särjetään=-10000€
p
0,8556
0,1388
0,0056
𝐸(𝑣𝑜𝑖𝑡𝑡𝑜) = 500€ ∙ 0,8556 + 100€ ∙ 0,1388 − 10000€ ∙ 0,0056 = 385,68€
B9
a) On tiheysfunktio, kun käyrän alle jäävä pinta-ala = 1
y=kx+1 on suoran yhtälä. Voi olla nouseva tai laskeva.
Pinta-ala on puolisuunnikas ja A=1, siis
𝑎+𝑏
𝐴=
∙ℎ =1
2
𝑁𝑦𝑡 𝑎 = 1 𝑗𝑎 𝑏 = 𝑓(2) = 2𝑘 + 1 sekä h=2
1+2𝑘+1
1
1 = 2 ∙ 2 ⟺ 2𝑘 + 2 = 1 ⟺ 𝑘 = − 2 , oli laskeva suora
b) Kertymäfunktio ilmoittaa suoraan kertyneen pinta-alan, eli
𝑃(4 ≤ 𝑡 ≤ 6) = 𝐹(6) − 𝐹(4) = 1 − 0,956 − (1 − 0,954 ) = 0,0794