MAA6 koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF)

MAA6 Kurssikoe 21.11.2014
Jussi Tyni ja Juha Käkilehto
Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien
ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
A-OSIO: Laske kaikki tehtävät. Ei saa käyttää laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla esillä.
A1.
a)
Kahta noppaa heitetään. Millä todennäköisyydellä
silmälukujen summa on vähintään 9 ?
(2p)
b)
Satunnaismuuttuja Z noudattaa normaalijakaumaa N~ (0,1). Laske todennäköisyydet
b1) (๐‘ โ‰ค 1,35)
b2) ๐‘ƒ(โˆ’0,70 โ‰ค ๐‘ โ‰ค 0,45)
(2p)
A2.
Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus:
Laatikossa on 8 sukkaa, joista 5 valkoista ja 3 harmaata. Kolmessa valkoisessa ja yhdessä harmaassa
sukassa on reikä. Nostetaan laatikosta sokkona kaksi sukkaa. Millä todennäköisyydellä
a) Molemmat sukat ovat ehjät?
b) Molemmat sukat ovat valkoiset?
c) Molemmat sukat ovat harmaat ja ehjät?
d) Molemmat sukat ovat harmaat tai molemmat ovat rikkinäiset?
4p
A3.
Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus:
a) Erään bussilinjan bussi saapuu pysäkille aina tasatunnein ja aina 20 minuuttia yli tasan. Pekka
tulee pysäkille satunnaiseen aikaan. Kuinka suurella todennäköisyydellä hän selviytyy lyhyemmällä
kuin 7 minuutin odotuksella?
b) Erään matematiikan ryhmän arvosanat on esitetty seuraavassa taulukossa:
Arvosana
4
5
6
7
8
9
10
Yhteensä
Frekvenssi
1
2
4
6
4
2
1
20
-
Määritä arvosanojen moodi
Määritä arvosanojen mediaani
Määritä arvosanojen keskiarvo
4p
B-OSIO: Valitse seuraavasta kuudesta tehtävästä neljä, joihin vastaat. Saa käyttää laskinta ja MAOL:ia!
B4.
Renkaiden valmistaja haluaa testata renkaiden kulutuskestävyyttä. Renkaiden annettiin kulua loppuun jolloin
mitattiin kunkin renkaan kestämä matka. Tuloksena saatiin oheiset lukemat ( yksikkönä 1000 km )
43,9 42,9 47,2 45,6 47,3 51,6 44,7 47,9 48,8 50,1
45,7 42,8 49,6 45,9 48,0 49,9 49,0 47,9 48,1 51,1
a)
b)
c)
B5.
Luokittele aineisto neljään tasaväliseen luokkaan siten, että ensimmäinen luokka on 40,1-43,0.
Laske luokkakeskukset ja niiden avulla kulutuskestävyyden keskiarvo ja keskihajonta 3p
Havainnollista aineistoa sopivalla diagrammilla
2p
a) Rengastetuista kanahaukoista tavataan myöhemmin 15 %. Millä todennäköisyydellä 20 rengastetusta
kanahaukan poikasesta tavataan myöhemmin ainakin kolme?
b) Kolikko heitetään ämpäriin. Millä todennäköisyydellä ämpärin pohjan ja kolikon keskipisteiden etäisyys on
pienempi kuin 10 cm, kun ämpärin pohjan halkaisija on 40 cm ja kolikon halkaisija 24 mm?
B6
a) Alokkaat Aaltonen, Berg ja Cajanus saavat alikersantin mukaan aseen purettua tavoiteajassa
todennäköisyyksin 88 %, 77 % ja 66 %. Laske todennäköisyys, a1) että tasan yksi heistä saa purettua aseen
tavoiteajassa ja a2) vähintään kaksi saa purettua aseen tavoiteajassa, kun jokaisella on yksi suorituskerta.
b) Soveltuvuuskokeen keskiarvo oli 16,2 pistettä ja keskihajonta 4,0 pistettä. Määritä sellainen pisteraja, että
saadaan selville parhaiden hakijoiden 7 % kärkiryhmä, kun tulosten oletetaan noudattavan
normaalijakaumaa.
B7
a) Ykkösiä on 7 ja kakkosia on 3. Ykkösiä lisätään yhtä monta kuin kakkosia. vastaa perustellen esim
epäyhtälön avulla, montako lukua on lisättävä, jotta keskiarvo ylittää luvun 1,49
b) Korttipakassa on neljää maata (hertta, ruutu, pata ja risti), kutakin 13 kpl. Millä todennäköisyydellä kaikki
kolme käteen nostettavaa korttia ovat samaa maata?
c) Kenopömpelissä on 70 palloa numeroituna yhdestä 70: een. Pömpelistä valitaan satunnaisesti 10 palloa.
Millä todennäköisyydellä Pekka arvasi tasan kolmen pallon numerot oikein?
B8.
Koneen valmistamista tuotteista 8 % on lievästi väriviallisia ja 7 % pintaviallisia. Viat esiintyvät toisistaan
riippumatta. Virheettömät tuotteet myydään A-laatuna. Tuotteet, joissa on vain toinen vika, myydään Blaatuna. Tuotteet joissa on molemmat viat, särjetään. A-laatuinen tuote voidaan myydä 500 euron voitolla ja
B-laatuinen tuote 100 euron voitolla. Särjetystä tuotteesta tulee 10 000 euroa tappiota. Kuinka suuri on
yhdestä tuotteesta saatavan voiton odotusarvo?
B9.
a) Millä vakion k arvolla funktio f ( x) ๏€ฝ ๏ƒญ
๏ƒฌ 1 ๏€ซ kx, kun 0 ๏‚ฃ x ๏‚ฃ 2
sopii jatkuvan satunnaismuuttujan X
๏ƒฎ0, kun x ๏€ผ 0 tai x ๏€พ 2
tiheysfunktioksi.
๏ƒฌ1 ๏€ญ 0,95t , kun t ๏‚ณ 0
b) Lampun eliniän kertymäfunktio F (t ) ๏€ฝ ๏ƒญ
, missä aika t on ilmaistu viikkoina. Laske
๏ƒฎ 0, kun t ๏€ผ 0
todennäköisyys, että lampun elinikä on neljästä kuuteen viikkoon.
Ratkaisut:
A1
a) Mahdolliset kahden nopan silmäluvut:
11
21
31
41
51
61
12
22
32
42
52
62
13
23
33
43
53
63
14
24
34
44
54
64
15
25
35
45
55
65
16
26
36
46
56
66
2
3
4
5
6
7
Vastaavasti summat:
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
7
8
9
10
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
P(summa on vähintään 9) =10/36=5/18
b) b1: ๐‘ƒ(๐‘ โ‰ค 1,35) โ‰ค 0,9115 => 91%
b2: ๐‘ƒ(โˆ’0,70 โ‰ค ๐‘ โ‰ค 0,45) = ฮฆ(0,45) โˆ’ (1 โˆ’ ฮฆ(0,7)) = 0,6736 โˆ’ (1 โˆ’ 0,758)
= 0,6736 โˆ’ 0,2420 = 0,4316 โ‰ˆ 0,43
A2
4 3
1 3
3
a) ๐‘ƒ(๐ธโ„Ž๐‘—ä ๐‘—๐‘Ž ๐ธโ„Ž๐‘—ä) = 8 โˆ™ 7 = 2 โˆ™ 7 = 14
5 4
1 5
5
b) ๐‘ƒ(๐‘‰๐‘Ž๐‘™๐‘˜๐‘œ๐‘–๐‘›๐‘’๐‘› ๐‘—๐‘Ž ๐‘‰๐‘Ž๐‘™๐‘˜๐‘œ๐‘–๐‘›๐‘’๐‘›) = 8 โˆ™ 7 = 2 โˆ™ 7 = 14
2 1
2
1
c) ๐‘ƒ(๐ป๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž๐‘Ž ๐‘’โ„Ž๐‘—ä ๐ฝ๐ด โ„Ž๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž๐‘Ž ๐‘’โ„Ž๐‘—ä) = 8 โˆ™ 7 = 56 = 28
3 2
4 3
6
12
18
9
d) ๐‘ƒ(๐ป ๐‘—๐‘Ž ๐ป ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐‘…๐‘–๐‘˜๐‘˜๐‘– ๐‘—๐‘Ž ๐‘…๐‘–๐‘˜๐‘˜๐‘–) = 8 โˆ™ 7 + 8 โˆ™ 7 = 56 + 56 = 56 = 28
A3
a) Tunnin jakson tarkastelu:
Yhden tunnin aikana on 60 minuuttia, joiden aikana Pekka voi kaiken kaikkiaan saapua pysäkille.
Mallikuvasta nähdään, että on 2 x 7 = 14 min suotuisia aika-alueita, joiden aikana Pekka selviytyy
alle 7 min odotuksella. Eli P(Pekka odottaa alle 7 min.)=14/60=7/30
b) โ€“ Moodi on tyyppiarvo, eli mitä esiintyy eniten. => 7.
- Mediaani on keskiluku, eli järjestetään arvosanat suuruusjärjestyksessä jonoon ja valitaan
keskimmäinen => 7
4+5โˆ™2+6โˆ™4+7โˆ™6+8โˆ™4+9โˆ™2+10
4+10+24+42+32+18+10
140
- Keskiarvo =
=
=
=7
20
20
20
B4
a)
40,143,0
43,146,0
46,149,0
49,152,0
f
luokkakeskus
2
41,55
5
44,55
8
47,55
5
50,55
20
b) Luokkakeskus=(alaraja+yläraja)/2
2โˆ™41,55+5โˆ™44,55+8โˆ™47,55+5โˆ™50,55
Keskiarvo: ๐‘ฅฬ… =
= 46,95
20
Keskihajonta: ๐‘  = โˆš
2โˆ™(41,55โˆ’46,95)2 +5โˆ™(44,55โˆ’46,95)2 +8โˆ™(47,55โˆ’46,95)2 +5โˆ™(50,55โˆ’46,95)2
20
774
=โˆš
5
=
2,78 โ‰ˆ 2,8
c)
Renkaiden kulutuskestävyys
10
8
6
4
2
0
40,1-43,0
43,1-46,0
46,1-49,0
49,1-52,0
B5
a) Toistokoe: P(tavataan myöhemmin ainakin kolme)=1-P(tavataan 0 tai 1 tai 2)
= 1 โˆ’ (๐‘ƒ(0) + ๐‘ƒ(1) + ๐‘ƒ(2))
20
20
20
= 1 โˆ’ (( ) 0,150 โˆ™ 0,8520 + ( ) 0,151 โˆ™ 0,8519 + ( ) 0,152 โˆ™ 0,8518 )
0
1
2
= 0,824442 โ‰ˆ 0,82 => 82% ๐‘ก๐‘œ๐‘‘๐‘’๐‘›๐‘›ä๐‘˜ö๐‘–๐‘ ๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘‘๐‘’๐‘™๐‘™ä ๐‘ก๐‘Ž๐‘ฃ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘Ž๐‘› ๐‘Ž๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘˜๐‘–๐‘› ๐‘˜๐‘œ๐‘™๐‘š๐‘’.
b) Mallikuva:
Kolikon putoamispaikkaa mallinnetaan sen keskipisteen kautta. Mallikuvasta havaitaan, että kolikon
keskipisteen pitää pudota ämpärin keskipisteen ympärille muodostuvan 10 cm säteeltään olevan ympyrän
sisään.
Koko ämpärin pohjan pinta-ala: ๐ดä๐‘š๐‘ä๐‘Ÿ๐‘– = ๐œ‹202 = 400๐œ‹ ja
Kolikon putoamisalueen pinta-ala: ๐ด๐‘˜๐‘œ๐‘™๐‘–๐‘˜๐‘˜๐‘œ = ๐œ‹102 = 100๐œ‹
100๐œ‹
1
Siis P(keskipisteiden etäisyys on alle 10cm)=400๐œ‹ = 4 => 25%
B6
a) a1:P(Tasan yksi saa purettua tavoiteajassa)
= ๐‘ƒ(๐ด ๐‘—๐‘Ž ๐ตฬ… ๐‘—๐‘Ž ๐ถฬ… ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐ดฬ… ๐‘—๐‘Ž ๐ต ๐‘—๐‘Ž ๐ถฬ… ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐ดฬ… ๐‘—๐‘Ž ๐ตฬ… ๐‘—๐‘Ž ๐ถฬ… )
= 0,88 โˆ™ 0,23 โˆ™ 0,34 + 0,12 โˆ™ 0,77 โˆ™ 0,34 + 0,12 โˆ™ 0,23 โˆ™ 0,66 โ‰ˆ 0,118 => 11,8%
a2: P(ainakin kaksi saa purettua tavoiteajassa)=1-P(0 tai 1 saa purettua tavoiteajassa)
= 1 โˆ’ (0,12 โˆ™ 0,23 โˆ™ 0,34 + 0,118) โ‰ˆ 0,8722 => 87,2 %
b) 1 โˆ’ ๐œ™(๐‘ง) = 0,07 โŸบ 1 โˆ’ 0,07 = ๐œ™(๐‘ง) โŸบ 0,93 = ๐œ™(๐‘ง)
sopiva z-arvo taulukosta => z=1,475
๐‘‹โˆ’๐‘ฅฬ…
๐‘‹โˆ’16,2
Normeeraus: ๐‘ง = ๐‘  โŸบ 1,475 = 4 โŸบ ๐‘‹ = 22,1 โ‰ˆ 22 ๐‘๐‘–๐‘ ๐‘ก๐‘’๐‘ก๐‘กä
B7
7+2โˆ™3+๐‘ฅ+2โˆ™๐‘ฅ
> 1,49 ๐‘™๐‘Ž๐‘ ๐‘˜๐‘–๐‘š๐‘’๐‘ ๐‘ก๐‘Ž ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ฃ๐‘’๐‘Ÿ๐‘–๐‘™๐‘™๐‘Ž ๐‘ฅ < โˆ’5 ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐‘ฅ > 95 => negatiivinen vastaus ei
tietenkään käy, eli x:n pitää olla 96 tai suurempi, silloin keskiarvo ylittää 1,49. Eli lisätään 96 ykköstä
ja 96 kakkosta, yhteensä 192 lukua.
b) ๐‘ƒ(๐‘˜๐‘œ๐‘™๐‘š๐‘’ ๐‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘Ž ๐‘š๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž) = ๐‘ƒ(๐ป๐ป๐ป ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐‘…๐‘–๐‘…๐‘–๐‘…๐‘– ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐‘…๐‘ข๐‘…๐‘ข๐‘…๐‘ข ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ )
13 12 11
22
= 52 โˆ™ 51 โˆ™ 50 โˆ™ 4 = 425 โ‰ˆ 0,052 => 5,2% (kaikkien kolme samaa maata kombinaatioiden tod.
näköisyys on ihan sama)
10
60
c) Suotuisat: ( ) โˆ™ ( )
3
7
70
Kaikki mahdolliset kymmenen pallon valinnat: ( )
10
a)
10+2๐‘ฅ
P(tasan kolme oikeaa)=
(
10 60
)โˆ™( )
3
7
70
( )
10
= 0,117 => 11,7%
B8
๐‘ƒ(๐‘ฃä๐‘Ÿ๐‘–๐‘ฃ๐‘–๐‘Ž๐‘™๐‘™๐‘–๐‘›๐‘’๐‘›) = ๐‘ƒ(๐ถ) = 0,08 => ๐‘ƒ(๐ถฬ… ) = 0,92
ฬ… ) = 0,93
๐‘ƒ(๐‘๐‘–๐‘›๐‘ก๐‘Ž๐‘ฃ๐‘–๐‘Ž๐‘™๐‘™๐‘–๐‘›๐‘’๐‘›) = ๐‘ƒ(๐ท) = 0,07 => ๐‘ƒ(๐ท
ฬ… ) = 0,92 โˆ™ 0,93 = 0,8556
๐‘ƒ(๐ด โˆ’ ๐‘™๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ž) = ๐‘ƒ(๐ถฬ… ๐‘—๐‘Ž ๐ท
ฬ… ) = 0,92 โˆ™ 0,07 + 0,08 โˆ™ 0,93 = 0,1388
๐‘ƒ(๐ต โˆ’ ๐‘™๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ž) = ๐‘ƒ(๐ถฬ… ๐‘—๐‘Ž ๐ท ๐‘ก๐‘Ž๐‘– ๐ถ ๐‘—๐‘Ž ๐ท
P(Särjetään)= ๐‘ƒ(๐ถ ๐‘—๐‘Ž ๐ท) = 0,0056
Jakauma:
Voitto:
A-laatu=500โ‚ฌ
B-laatu=100โ‚ฌ
särjetään=-10000โ‚ฌ
p
0,8556
0,1388
0,0056
๐ธ(๐‘ฃ๐‘œ๐‘–๐‘ก๐‘ก๐‘œ) = 500โ‚ฌ โˆ™ 0,8556 + 100โ‚ฌ โˆ™ 0,1388 โˆ’ 10000โ‚ฌ โˆ™ 0,0056 = 385,68โ‚ฌ
B9
a) On tiheysfunktio, kun käyrän alle jäävä pinta-ala = 1
y=kx+1 on suoran yhtälä. Voi olla nouseva tai laskeva.
Pinta-ala on puolisuunnikas ja A=1, siis
๐‘Ž+๐‘
๐ด=
โˆ™โ„Ž =1
2
๐‘๐‘ฆ๐‘ก ๐‘Ž = 1 ๐‘—๐‘Ž ๐‘ = ๐‘“(2) = 2๐‘˜ + 1 sekä h=2
1+2๐‘˜+1
1
1 = 2 โˆ™ 2 โŸบ 2๐‘˜ + 2 = 1 โŸบ ๐‘˜ = โˆ’ 2 , oli laskeva suora
b) Kertymäfunktio ilmoittaa suoraan kertyneen pinta-alan, eli
๐‘ƒ(4 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 6) = ๐น(6) โˆ’ ๐น(4) = 1 โˆ’ 0,956 โˆ’ (1 โˆ’ 0,954 ) = 0,0794