1. No category

MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta
Tentti 5.3.2014 / Kimmo Vattulainen
• Vastaa jokainen tehtävä eri konseptille.
• Funktiolaskin sallittu.
1.
Henkilöt A, B ja C aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A :n saapumistodennäköisyys on 0.50, B:n 0.60 ja C:n 0.80.
a) Millä todennäköisyydellä peli-ilta onnistuu eli vähintään kaksi henkilöä tulee paikalle?
b) Huoneessa on valot, joten ainakin joku on tullut paikalle. Millä todennäköisyydellä B on
paikalla?
c) Neljäs henkilö D sanoo tulevansa mukaan todennäköisyydellä 0.70, jos kaikki muutkin tulevat. Muulloin D tulee todennäköisyydellä 0.40. Millä todennäköisyydellä D tulee paikalle?
2.
Henkilön tuli olla 60 minuutin päästä töissä. Hänellä on 3 eri matkustustapaa A, B
ja C. Millä tavalla matkustaen henkilö ehtii suurimmalla todennäköisyydellä ajoissa töihin?
Muut matkaan kuuluvat ajat (kävelyajat pysäkille ym.) sisältyvät ilmoitettuihin aikoihin.
Tapa A: Bussi kulkee säännöllisesti 30 minuutin välein, mutta henkilö ei tiedä aikataulua.
Bussimatka kestää 35 minuuttia.
Tapa B: Taksiasemalle tulee keskimäärin 4 taksia tunnissa. Saapuvien taksien lukumäärä
noudattaa Poisson-jakaumaa. Taksimatka kestää 30 minuuttia.
Tapa C: Kävellen matka kestää keskimäärin 50 minuuttia, mutta olosuhteista johtuen aika
vaihtelee, varianssin ollessa 100. Kävelyaika oletetaan normaalisti jakautuneeksi.
3.
Laske odotusarvo E(X 2 ) ja todennäköisyys P (X 2 > 4), kun
a) X noudattaa diskreettiä jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) =
b) X ∼ Bin(3, 0.4)
c) X noudattaa jatkuvaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) =
d) X ∼ N(2, 9)
x
, x ∈ Ω = {1, 2, 3, 4}
10
2x
, x ∈ Ω = [1, 4]
15
4.
Sähköyhtiö myy pörssisähköä, jolloin sähkön hinta vaihtelee päivittäin ja on kiinteän
hintainen aina yhden vuorokauden ajan. Kuluttaja on todennut pörssisähkön hinnan X (euroa/100 kWh) noudattavan jakaumaa
f (x) =
3 2
x , x ∈ ΩX = [3, 5]
98
Kuluttajan oman vuorokausikulutuksen Y (100 kWh/vrk) jakauma on
2
g(y) = y, y ∈ ΩY = [1, 2]
3
Oletetaan, että kulutus on riippumaton sähkön hinnasta.
a) Mikä on yhden vuorokauden kulutuksen hinnan odotusarvo?
b) Keskimäärin kuinka monena päivänä vuodessa (365 päivää) vuorokauden kulutus maksaa
6.00 euroa tai enemmän?
MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta
Tentti 5.3.2014 / Ratkaisut
1.
Merkitään tapahtumia A="A tulee paikalle", B="B tulee paikalle", C="C tulee paikalle",
D="D tulee paikalle". Nyt P (A) = 0.50, P (B) = 0.60, P (C) = 0.80.
a) Ainakin kaksi tulee paikalle, jos kaikki 3 tulevat tai joku pareista AB, AC, BC tulee paikalle
ja kolmas ei tule. Koska tulemiset (ja myös poisjäämiset) ovat toisistaan riippumattomia,
saadaan kysytyksi todennäköisyydeksi
P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
= 0.50 · 0.60 · 0.80 + 0.50 · 0.60 · 0.20 + 0.50 · 0.40 · 0.80 + 0.50 · 0.60 · 0.80
= 0.700
b) Kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys
P (B)
P (B ∩ (A ∪ B ∪ C))
=
P (A ∪ B ∪ C)
1 − P (A ∩ B ∩ C)
0.60
=
= 0.625
1 − 0.50 · 0.40 · 0.20
P (B | A ∪ B ∪ C) =
c) Tehtävässä on annettu ehdolliset todennäköisyydet P (D | A ∩ B ∩ C) = 0.70 ja
P (D | A ∩ B ∩ C) = 0.40. Kokonaistodennäköisyyden avulla saadaan kysytty todennäköisyys
P (D) = P (D | A ∩ B ∩ C)P (A ∩ B ∩ C) + P (D | A ∩ B ∩ C)P (A ∩ B ∩ C)
= 0.70 · 0.50 · 0.60 · 0.80 + 0.40 · (1 − 0.50 · 0.60 · 0.80) = 0.472
2.
Tapa A: Bussi kulkee 30 minuutin välein, mutta hän ei tiedä aikataulua. Tällöin odotusaika X ∼ Tas(0, 30). Kun bussimatka kestää 35 minuuttia, henkilö ehtii ajoissa töihin, jos
bussi tulee 25 minuutin kuluessa eli jos X ≤ 25.
P (X ≤ 25) =
25
= 0.833
30
Tapa B: Taksiasemalle tulee 4 taksia tunnissa. Saapuvien taksien lukumäärä noudattaa
Poisson-jakaumaa. Koska taksimatka kestää 30 minuuttia, pitäisi ainakin yhden taksin tulla 30 minuutin kuluessa. 30 minuutissa saapuu keskimäärin 2 taksia. Kun X ="saapuvien
taksien lukumäärä 30 minuutissa", X ∼ Poi(2) ja kysytty todennäköisyys on
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
20 −2
e = 0.865
0!
Tapa C: Kävellen matka kestää keskimäärin 50 minuuttia, mutta olosuhteista johtuen aika
vaihtelee, varianssin ollessa 100. Kävelyaika oletetaan normaalisti jakautuneeksi. Nyt kävelyaika X ∼ N(50, 100) ja kysytty todennäköisyys on
X − 50
60 − 50
P (X ≤ 60) = P
= Φ(1.00) = 0.841
≤
10
10
Varmin tapa ehtiä töihin on mennä taksilla.
3.
Laske odotusarvo E(X 2 ) ja todennäköisyys P (X 2 > 4), kun
x
a) X noudattaa diskreettiä jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) = , x ∈ Ω = {1, 2, 3, 4}
10
Nyt
2
3
4
1
+ 22 ·
+ 32 ·
+ 42 ·
= 10
E(X 2 ) = 12 ·
10
10
10
10
7
P (X 2 > 4) = P (X = 3) + P (X = 4) =
10
b) X ∼ Bin(3, 0.4)
E(X 2 ) = 02 · 0.63 + 12 · 3 · 0.4 · 0.62 + 22 · 3 · 0.42 · 0.6 + 32 · 0.43 = 2.160
P (X 2 > 4) = P (X = 3) = 0.43 = 0.064
c) X noudattaa jatkuvaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) =
Z
2
E(X ) =
1
2
4
2x
x ·
dx =
15
2
2x
, x ∈ Ω = [1, 4]
15
1
.4 x4
2x3
255
dx =
=
= 8.500
15
30
30
Z
4
Z
4
1
P (X > 4) = P (X > 2) =
2
.4 x2
2x
12
dx =
=
= 0.800
15
15
15
1
d) X ∼ N(2, 9). Koska Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 on
E(X 2 ) = Var(X) + [E(X)]2 = 9 + 4 = 13
−2 − 2
2−2
X −2
X −2
<
>
+P
P (X > 4) = P (X < −2) + P (X > 2) = P
3
3
3
3
= Φ(−1.333) + Φ(0) = (1 − 0.9082) + 0.5000 = 0.5918
2
4.
a) Yhden vuorokauden kulutuksen hinta on satunnaismuuttuja XY . Sen odotusarvo
E(XY ) = E(X)E(Y ), koska X ja Y ovat riippumattomia satunnaismuuttujia. Määritetään
erikseen odotusarvot E(X) ja E(Y )
Z
5
E(X) =
3
Z
E(Y ) =
1
.5 3
3
204
3 2
x4 =
(625 − 81) =
= 4.163
x · x dx =
98
392
392
49
3
2
.2 2
2
2
14
y· y=
y 3 = (8 − 1) =
= 1.556
3
9
9
9
1
ja kulutuksen hinnan odotusarvo E(XY ) =
204
49
·
14
9
=
136
21
= 6.476
b) Lasketaan todennäköisyys P (XY ≥ 6). Tätä varten tarvitaan yhteisjakauman tiheysfunktio, joka riippumattomille satunnaismuuttujille X ja Y on
f (x, y) = f (x)g(y) =
3 2 2
1
x · y = x2 y
98
3
49
Otosavaruus
ΩXY = {(x, y) | 3 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2}
Kysytty todennäköisyys on
Z 5Z 2
Z 5 .2
1 2
1 2 2
6
P (XY ≥ 6) = P Y ≥
=
x y dydx =
y x dx
X
98
3
6/x 49
3
6/x
Z 5
Z 5
.5 1 2x3
1
36
1
2
2
=
(2x − 18) dx =
− 18x
4 − 2 x dx =
x
49
3
3 98
3 49
3
1 250
88
=
− 90 − 18 + 54 =
= 0.599
49
3
147
Vuodessa on siis 0.599 · 365 = 218.6 ≈ 219 päivää, jolloin kulutetun sähkön hinta on yli 6.00
euroa.