1. No category

Todennäköisyyslaskentaa sivuaineopiskelijoille
1. Laskuharjoitukset torstaina 12.9.2012
Demosalit 12.9.: klo 8-10 ICT-talo B2039, klo 10-12 ICT-talo B2033, klo 12-14 Arcanum 1, klo
14-16 Arcanum 3.
Luentosalit: ma 10.9. klo 12-14 Publicum 1, ke 12.9. klo 14-16 Arcanum 1.
1 (a) Valitaan satunnainen reaaliluku. Perustele määritelmän 1.2 avulla, millä todennäköisyydellä sen toinen merkitsevä numero on 6. (1p)
(b) Valitaan satunnainen reaaliluku väliltä (1,1000). Perustele todennäköisyyden geometrisen tulkinnan (luku 1.1.2) avulla, millä todennäköisyydellä sen ensimmäinen merkitsevä
numero on 4. (2p)
2 Oletetaan, että laskuharjoitusryhmään osallistuu 21 opiskelijaa, joista jokainen on merkitsee tehdyksi kaikki 8 tehtävää.
(a)Monellako tavalla demonstraattori voi valita opiskelijat, jotka esittävät ratkaisujaan taululla, kun jokainen opiskelija esittää taululla korkeintaan yhden tehtävän. (1p)
(b) Oletetaan nyt, että demonstraattori pyytää opiskelijat taululle satunnaisesti välittämättä siitä, onko opiskelija jo ollut taululla. Millä todennäköisyydellä ainakin yksi opiskelija esittää taululla enemmän kuin yhden tehtävän. (2p)
3 Demoihin viime hetkellä saapuva opiskelija huomaa, että 6 opiskelijaa on merkinnyt laskeneensa tehtävän 5, 8 opiskelijaa tehtävän 6 ja 4 opiskelijaa tehtävän 7. Silmittömässä demopisteiden himossaan opiskelija päättää merkitä myös nämä tehtävät, vaikkei hänelle ole
aavistustakaan niiden ratkaisuista. Millä todennäköisyydellä opiskelijan huijaus paljastuu,
kun oletetaan, että yksi opiskelija voi esittää taululla useitakin tehtäviä. (2p)
4 Henri, Mauno ja Ewert ovat samalla luokalla. Keväällä luokan oppilaille jaetaan stipendejä. Kunkin stipendin voi saada korkeintaan yksi oppilas. Tutkitaan seuraavia tapauksia:
-Tapaus H: Henri saa stipendin
-Tapaus E: Ewert saa stipendin
-Tapaus M: Mauno saa stipendin
(a)Määrittele näiden tapausten avulla (unioneina, leikkauksina ja komplementteina) seuraavat tapaukset (1p):
-Ainakin yksi heistä saa stipendin.
-Kaikki kolme saavat stipendin.
-Tarkalleen kaksi heistä saa stipendin.
-Vain Ewert saa stipendin.
(b) Millä edellytyksellä tapaukset H, E ja M ovat toisensa pois sulkevia. Miten tapauksen
E todennäköisyyttä voidaan arvioida (monisteen sivut 10-11)? (1p)
5 Millä todennäköisyydellä n:stä ihmisestä ainakin yhdellä on sama vuoden päivä syntymäpäivänä kuin sinulla? (Esimerkki 1.11) (2p)
Käännä!
6 Keihäänheittopaikalla on mittaamisen apuna kalkitut valkoiset 15 cm leveät viivat aina
5 metrin välein (50 m, 55 m, 60 m jne). Oletetaan, että Ari Mannion heitto osuu heittosektorin rajaviivojen väliin ja kantaa satunnaisen matkan, joka on vähintään 57 mutta
korkeintaan 88 metriä.
(a) Millä todennäköisyydellä keihään kärki osuu viivaan? (1p)
(b) Oletetaan, että pyöreän keihään tekemän reiän säde on 2 cm. Millä todennäkoisyydellä
reikä osuu ainakin osittain valkoisen viivan päälle? (1p)
7 Toscanan herttua kysyi Galileilta: Miksi heitettäessä kolmasti noppaa saadaan silmälukujen summaksi useammin 10 kuin 9 vaikka molemmat saadaan 6 eri tavalla:
9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3
10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+4+4=2+3+5=3+3+4.
Vastaa kysymykseen Galilein puolesta. (2p)
8 Monisteen sivulla 8 luetellaan todennäköisyyden aksioomat A1, A2 ja A3. Todista vain
näihin aksioomiin sekä sivuilla 7 ja 8 annettuihin määritelmiin ja joukko-opin tuloksiin
turvautuen lauseen 1.6 väitteet a, b ja c. (3p)
9 Nostetaan jokerittomasta korttipakasta viisi satunnaista korttia. Millä todennäköisyydellä
korteista muodostuu pokerin täyskäsi (kolme numeroarvoltaan samaa korttia sekä kaksi
numeroarvoltaan samaa korttia, esim {6,6,6, J,J})? (3p)
Huom. Tällä hetkellä luennoidaan myös kurssia ”Todennäköisyyslaskenta I”, joka on tarkoitettu
matematiikan ja tilastotieteen koulutusohjelmien opiskelijoille. Lisäksi myös niiden, jotka aikovat suorittaa toisessa periodissa kurssin ”Todennäköisyyslaskenta II”, kannattaa siirtyä kurssille
”Todenäköisyyslaskenta I”.