1. No category

MAA3.3 Ratkaisut 2012
1. a) Ympyrän kaarella kehäkulma, vastaava keskikulma keskellä. Keskikulma on aina kaksinkertainen
vastaavaan kehäkulmaan nähden.
b) Kosini on viereisen kateetin suhde hypotenuusaan, suorakulmaisessa kolmiossa.
c) Todistettu kurssin alussa. Perustuu siihen, että vedetään yhdensuuntaiset suorat kolmion huipun
ja kannan mukaisesti. Sitten ristikulmien ja samankohtaisten kulmien kautta todistetaan, että
kolmion kulmat muodostavat oikokulman 180 astetta.
Kaikkiin edellisiin piirrokset mukaan.
2. a) kulma B 41 astetta ja kulma A 49 astetta.
5
7
7 sin 35


 5sin   7 sin 35  sin  
sin 1
b) Sinilauseella: sin 35 sin 
5
  53, 4
  180  35  53, 4
Kolmas kulma:
  91, 6
5
c
5sin 91, 6

sin 91, 6 
 c  c  8, 7
Kolmas sivu b: sin 35 sin 91, 6
sin 35
2
2
2
2
2
3. a) hypotenuusa c: c  7  19  c  7  19  410  20, 25
kulmat:
tan  
7
19
tan 1    20, 2 , tan  
tan 1    69,8
19
7
4. a) puoliympyrän säde on puolet halkaisijasa, eli 3 cm. Puoliympyrän kaari on puolet koko ympyrän
kehästä, eli
2  3
 3  9, 4 . Joten ympärysmitta on =6cm+12cm+12cm+9,4cm=39,4cm
2
Pinta-ala kannattaa ajatella suorakulmion alana, josta vähennetään pois puoliympyrän ala:
A  6 12 
  32
2
 72  4,5  57,9m2
b) Nimetään suoran L ja suoran AC:n leikkauspiste D:ksi. Olkoon jana DC=x Nyt koko suora AC=x+5.
Kolmion ACB kärjessä oleva pikkukolmio on yhdenmuotoinen ison kolmion ABC kanssa, koska niissä
on sama huippukulma ja samat kannan vastaiset kulmat (saman kohtaiset kulmat). Nyt voidaan
muodostaa verranto mittasuhteiden avulla:
4
x
20

 4( x  5)  7 x  4 x  20  7 x  20  3x  20  3x : 3 
x
7 x5
3
x  6, 67
Sivu AC=6,67+5=11,67
Pinta-ala: A 
1
1
ab sin   11, 67  7sin 40  26, 26
2
2
5. Säteen ja annetun 20 cm mitan avulla muodostuu kuvaan suorakulmainen kolmio, josta voidaan
laskea paljonko säteestä on maanpinnan yläpuolella:
Olkoon tuossa kolmiossa korkeusjana h. Nyt h2  102  152  h2  152  102
 h  125
Nyt säteestä on maan alla 15  125cm  3,82cm.
h
3
Ja maan alla olevan kalottiosan tilavuus:  h2 (r  )   3,822 (15 
3,82
)  629, 28cm3
3
6. Mallikuva:
R = 6370 km maapallon säde ja h on se Lontoon yläpuolelle nouseva korkeus, mitä haetaan.
Huomioi, että Helsingin ja Lontoon välinen etäisyys 1900 km on maata pitkin, eli ympyrän kehän
pätkä. Lasketaan tätä kehän pätkää vastaavan kulman alfa suuruus:
Koko kehä = 2 r  2  6370  12740 . Nyt
1900km 


360
12740 
1900
 360      53, 69
12740
Nyt voidaan tarkastella syntyvää kolmiota:
6370
6370
 cos53, 69  x 
 10757,34km
x
cos53, 69
Kun tästä vähennetään maapallon säde 6370km pois, saadaan korkeus h, jota haettiin:
h  10757,34km  6370km  4387,34km  4400km
Pitäisi nousta noin 4400 km korkeuteen!
7. Mallikuva:
Muodostetaan kuvan lentokoneille omat sivukuvat ja lasketaan Lentokoneiden etäisyydet AB ja AC
lennonjohdosta:
4,3
4,3
 sin 27  AB 
 9, 47km
AB
sin 27
Vastaavasti lentokone C:n kanssa:
5, 2
5, 2
 sin 47  AC 
 7,11km
AC
sin 47
Nyt ilmaan muodostuu kolmio, josta tiedetään avaruuskulma 3 ja sen viereiset sivut:
Kosinilauseella:
2
2
4,3
5, 2
 4,3   5, 2 
x 

cos 3
 
  2
sin 27 sin 47
 sin 27   sin 47 
2
2
2
4,3
5, 2
 4,3   5, 2 
x 

cos 3
 
  2
sin 27 sin 47
 sin 27   sin 47 
x  2, 4km
8. Mallikuva:
a) Lasketaan kulma alfa:
12
tan 1    76
3
  2  152
tan  
Betaa vastaava ympyrän kaarenpätkä on:
152
 2  3  7,96cm
360
Tämän verran jäätelöpallosta jää siis vohvelin sisälle. Joten ulos jää käänteisesti:
2  3cm  7,96cm  10,9cm .
Nyt sivukuvan ulkomitat ovat 12cm+12cm+10,9cm=34,9cm.
h
3
b) Taas kalotin tilavuus:  h 2 (r  ) . Pitäisi tietää tuo h, eli sen jäätölöpallon osan korkeus, joka
jää vohvelin sisälle.
x
 x  3cos 76  0, 726cm
3
 x  h  3cm  0, 726cm  h  3cm  h  3cm  0, 726cm  2, 274cm
cos 76 
h on siis 2,274cm. Nyt kalotin tilavuuden kaavalla jäätelöpallosta jää vohvelin sisälle:
h
3
 h2 (r  )   2, 2742 (3 
2, 274
)  36, 4cm3
3