1. No category

6. Trigonometriset funktiot
Kulma absoluuttisessa mitassa. Oheisessa kuviossa on ympyr¨an sektori, keskuskulma α, s¨ade r ja kaaren pituus s.
..........
.........
...... ....
.
.
.
.
.
.
.
...
.......
...
......
...
......
...
.......
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.......... ....
..
.......
..
.......
.
.
.......
.......
....
.......
.
.......
...
.......
...
.......
.
.
.......
...
.......
....... ....
..........
..........
α
s
r
Kulma α absoluuttisessa mitassa m¨aa¨ritell¨aa¨n seuraavasti
s
α= .
r
Huomattakoon, ett¨a m¨aa¨ritelm¨a on riippumaton suureista s ja r, jos kulma on
vakio; t¨am¨a seuraa yhdenmuotoisista kuvioista.
Absoluuttisen mitan yksikk¨o on radiaani, jota ei yleens¨a kirjoiteta n¨akyviin. Yhteys
asteiden ja radiaanien v¨alill¨a saadaan t¨ayden ympyr¨an avulla. T¨all¨oin nimitt¨ain
α = 360◦ ja s = 2πr, joten
360◦ =
2πr
= 2π (radiaania).
r
T¨ast¨a saadaan v¨alitt¨om¨asti yleinen muunnoskaava asteiden ja radiaanien v¨alille.
Merkitsemme α:lla kulmaa asteissa ja x:ll¨a samaa kulmaa radiaaneissa, jolloin p¨atee
180
x
π
π
x=
α.
180
α=
Seuraavassa er¨ait¨a usein esiintyvi¨a kulmia asteissa ja radiaaneissa
0◦
0
α
x
30◦
45◦
60◦
90◦
π
6
π
4
π
3
π
2
180◦ 270◦ 360◦
3π
π
2π
2
Trigonometriset funktiot. Trigonometriset funktiot on alunperin m¨aa¨ritelty
suorakulmaista kolmiota k¨aytt¨aen; siis pelk¨ast¨aa¨n jos kulma on v¨alill¨a [0, 90 ◦ ]
.....
......
......
.
.
.
.
.
.....
......
......
.....
.
.
.
.
.
.....
......
......
......
.
.
.
.
.
.....
......
......
......
.
.
.
.
.
.. .
..... ...
c
x
a
,
c
b
cos x = ,
c
sin x =
a
b
105
a
b
b
cot x =
a
tan x =
Yll¨aolevat m¨aa¨ritelm¨at yleistet¨aa¨n yksikk¨oympyr¨an avulla. Tarkastellaan aluksi
kulman k¨asitteen laajentamista. Kulma on positiivinen, jos se mitataan positiivisesta x-akselista vastap¨aiv¨aa¨n (positiivinen kiertosuunta) ja negatiivinen jos se
mitataan positiivisesta x-akselista my¨ot¨ap¨aiv¨aa¨n (negatiivinen kiertosuunta). Allaolevissa kuvissa puolisuoran OP ja positiivisen x-akselin v¨alinen kulma on vasemmanpuoleisessa kuvassa positiivinen ja oikeanpuoleisessa negatiivinen.
................................
.......
...........
......
.......
.....
......
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
......
.
...
.
.
.
..... ...
.
.
..... .....
.
..
.
.
.
.
...
.....
...
...
.....
..
...
.....
...
.....
...
.
.
.
.
....
..........
.
...
.
.
..
.
..... ..
...
..
...
..
...
....
.
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
.
..
.....
.....
.....
......
.....
.....
......
.
.
.
.
.
.
........
............... .......................
........
................................
.......
...........
......
.......
.....
......
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.....
.
...
.
...
.
.
.
...
.
..
...
.
..
...
.
.
...
.
...
.....
...
..
...
..
..... ..
...
.
...........
...
..
.....
.
.
...
.
.....
.
.....
.
...
.....
..
...
.....
...
...
.....
...
.....
...
..... ....
...
........
....
.....
...
.....
.....
......
.....
.
.
.
.
........
.
...
.
.
.
.
............
.
.
.
..........................
positiivinen kulma
negatiivinen kulma
•P
O•
O•
•P
Toinen kulmiin liittyv¨a laajennus koskee kulmia, jotka ovat suurempia kuin 360 ◦ eli
2π. T¨all¨oin ajatellaan, ett¨a puolisuoraa OP (ks. allaolevat kuvat) voidaan kiert¨aa¨
origon suhteen useampia kuin yksi kierros. Fyysisesti n¨ain saatu kulma on sama
kuin jokin v¨alill¨a [0, 2π] oleva kulma, mutta formaalisti saadaan t¨all¨a tavoin jokaista reaalilukua vastaamaan jokin kulma (tai p¨ainvastoin) jolloin trigonometriset
funktiot voidaan m¨aa¨ritell¨a koko R:ss¨a.
.............................
............
........
........
......
......
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
..... ...
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
...
....
...
...
.....
..
.....
...
.
.
.
....
.
............................
...
.
.
.
..
.
..
...
..... .... .. ...
..... .....
...
..
.............
...
....
.
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
.
..
....
.....
.....
.....
.....
......
.....
.
.
.
.
.
.......
.......
...........
.................................
.............................
............
........
........
......
......
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
.....
...
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
..
...
.
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..
.
.
. ..
..
...... ......
..
.
...
.
.
.
... ...... ...
...
.......................
...
...
.....
...
.
.....
.
.
...
.....
.
...
.....
...
.....
...
...
.....
...
..... .....
...
..... ..
....
.
.....
.....
.....
.....
......
.....
.
.
.
.
.
.......
.......
...........
.................................
kulma > 2π
kulma < −2π
•P
O
•
O
•
•P
Olkoon nyt P = (u, v) yksikk¨oympyr¨an keh¨an piste ja x kulma, jonka puolis¨ade OP
muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Mik¨ali 0 < x < π2 , niin suorakulmaisia
kolmioita koskevien tulosten nojalla
v
sin x = = v,
1
u
cos x = = u,
1
v
tan x =
u
u
cot x =
v
...................................
..........
.......
.......
......
......
.....
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
..
.....
.
.
.
..... ...
.
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
...
.
..
.
.
.
.
.
.
...
....
...
...
.....
...
...
.....
.
.
.
....
.
...
.....
.
.
.
.
..
.... ..
..
...
...
...
.
.
...
.
.
.
...
..
...
...
...
...
...
.
.
.
...
..
.....
.....
.....
.....
......
.....
.......
.
.
.
.
.
..
.........
.........................................
• P = (u, v)
sin x
O• x
•
cos x
106
M¨aa¨rittelemme nyt yll¨aolevilla yht¨al¨oill¨a sinin, kosinin, tagentin ja kotangentin
kaikille kulmille x ∈ R, joille se on mahdollista. T¨all¨oin sinin ja kosinin m¨aa¨rittelyjoukko on R. Tangentti ei ole m¨aa¨ritelty silloin kun u = 0 eli kun x = π2 tai
yleisemmin kun x = π2 + nπ, miss¨a n ∈ Z. Vastaavasti kotangentti ei ole m¨aa¨ritelty
kun v = 0 eli kun x = 0 tai yleisemmin kun x = nπ, miss¨a n ∈ Z. Seuraavassa viel¨a
yhteenveto
sin x = v,
cos x = u,
v
tan x = ,
u
u
cot x = ,
v
kaikilla x ∈ R
kaikilla x ∈ R
kaikilla x ∈ R, x 6=
π
+ nπ, n ∈ Z
2
kaikilla x ∈ R, x 6= nπ, n ∈ Z.
Koska |u| ≤ 1 ja |v| ≤ 1, niin sinin ja kosinin arvojoukko on [−1, 1]. Sinin ja kosinin
merkki eri nelj¨anneksiss¨a selvi¨aa¨ alla olevista kuvista.
............................
..........
.......
.......
......
......
.....
.
.
.
.
....
...
.
.
.
........
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
.
...
..
.
.
..
.
.
.
...
....
..
...
.....
...
...
........
.
.
.
...
.
... .
...
..
...
...
.
...
.
.
.
...
.
..
...
...
...
...
...
...
.....
.
.
.
..
.....
......
.....
........
......
.....................................
• x
cos x
............................
..........
.......
.......
......
......
.....
.
.
.
.
....
......
.
.
...
. ......
.
...
.
.....
.
.
...
.
.
.....
..
...
.
.
.....
.
.
...
.
.
..... .............
..... ...
...
....
..... ...
..
..
.
...
.
...
...
...
...
.
...
.
..
...
...
...
...
...
...
.....
.
.
.
..
.....
......
.....
........
......
.....................................
(u, v) •
• (u, v)
sin x
•
x
•
•
sin x > 0, cos x > 0
sin x > 0, cos x < 0
.........................
.......
............
......
.......
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
..
.
...
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
...
.... .......
..
.
..
...
.... ..... .
.
.
...
.
.
...
..
.
.
.
.
...
.
.
..
.
.
.
.
.
.
...
.
..
.
.
.
.
.
.
...
.
.
... .........
...
.........
...
.....
.....
.
.....
.
.
.
..
......
......
........
........................................
.........................
.......
............
......
.......
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
..
.
...
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
...
.... .......
..
.
.
...
.... ...... .
...
...
.... ........
...
........... .....
...
.
.....
.
.
...
.....
...
...
.....
..... ....
...
..... ...
...
.....
.....
...
.....
.....
......
......
........
........................................
sin x < 0, cos x < 0
sin x < 0, cos x > 0
x
•
•
x
•
•
• (u, v)
(u, v) •
Edelleen todetaan
sin2 x + cos2 x = v 2 + u2 = 1
kaikilla x ∈ R.
Tangentin ja kotangentin arvojoukko on R, mik¨a parhaiten selvinnee seuraavista
kuvista
107
....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
........
....
.......
........
....
......
......
..... .........
.....
..........
.....
.
.
.
.
..
.......
...
..... .....
...
...
.....
...
.....
...
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.....
...
.
.
.
....
.
..
.
...
.
.
..
.
.
.. ...
.
..
.
.
..
.
... .
...
..
...
..
...
....
.
...
..
...
...
...
..
...
...
.
...
.
..
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.........
.........................................
•
..
.......................................
.....
.........
.......
.....
.......
......
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..... ....
....
.
....
........
...
..... .....
...
.....
...
.
.
.
.
.
.
...
....
...
...
.....
...
.....
...
.
.
.
....
.
..
...
.
.
.
..
.
.
.. ...
...
.
.
.
..
.
... .
...
..
...
..
...
....
.
...
..
...
...
...
..
...
...
.
...
.
..
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.........
.........................................
•
tan x
• x
cot x
x
•
• x
•
Seuraavat ehdot on osittain jo esitetty edell¨a. Ne joita ei ole esitetty saadaan
helposti m¨aa¨ritelmist¨a.
sin2 x + cos2 x = 1,
| sin x| ≤ 1,
| cos x| ≤ 1
cos x
1
sin x
,
cot x =
=
tan x =
cos x
sin x
tan x
(1)
Yksikk¨oympyr¨aa¨ ja yll¨aolevia peruskaavoja k¨aytt¨aen voidaan johtaa lukuisia trigonometrisi¨a funktioita koskevia kaavoja, joista seuraavassa muutamia. Ensinn¨akin
jokaisen toisen (vastaavasti kolmannen ja nelj¨annen) nelj¨anneksen kulman trigonometrinen funktio voidaan palauttaa ensimm¨aisen nelj¨anneksen kulman trigonometriseen funktioon. Esimerkiksi jokainen toisen nelj¨anneksen kulma voidaan esitt¨aa¨
muodossa π − x, miss¨a x on ensimm¨aisen nelj¨anneksen kulma (ks. kuvat alla)
........................................
.........
.......
.......
......
.....
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
...
........
.
...
.
. .......
.
...
.
.....
.
.
...
.
.....
.
.
...
.
.
.
.....
.
.
...
.
.
.....
..... ................
...
....
.......
...
...
...
..
... ....... ....
..
...
.
...
....
.
...
.
.
.
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
.
..
.....
.....
.....
......
.....
.......
......
.
.
.
.
.
.
.........
.
........................................
........................................
.........
.......
.......
......
.....
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
........
....
.
.
..... .....
. .......
.
.
.
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.....
...
.....
...
...
.....
.
.....
.
.
.
....
...
..
......
.
.
.
...
.
.
.
...
.... ............... ....
..
.
...
...
...
...
.
...
.
.
...
..
...
...
...
...
...
...
...
.
..
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.........
........................................
(−u, v) •
•
•
π−x
x •
•
Yll¨aolevien kuvien perusteella
sin(π − x) = v = sin x
(2)
cos(π − x) = −u = − cos x
v
v
tan(π − x) =
= − = − tan x
−u
u
u
−u
= − = − cot x
cot(π − x) =
v
v
108
• (u, v)
x • x
•
Edelleen jokainen kolmannen nelj¨anneksen kulma voidaan esitt¨aa¨ muodossa π + x,
miss¨a x on ensimm¨aisen nelj¨anneksen kulma (ks. kuvat alla)
.......................................
.........
.......
.......
......
.....
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
...
..
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
..
...
.
...............
.
.
.
...
.
....
.
...
..
.
...
.
..
.
...
...
..
.... . ..
.
...
... .........
.
...
.......
...
.
.
.
...
.
.
..
.
.
.
.
.
.
...
..
..
...
.....
...
.....
...
..
... ..........
...
.
.........
.
..
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.........
.........................................
.......................................
.........
.......
.......
......
.....
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
..
.
......
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
.
...
..
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.....
...
.
.
.
....
.
..
...
.
.
.
.
..
.....
.
...
.
.
..
.
... ....... ..
...
..
........
...
...
.
.
.
.
.
...
.
.
..
.
.
.
.
.
.
...
..
..
...
.....
...
.....
...
..
... ..........
...
.
.........
.
..
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.........
.........................................
• (u, v)
π+x
•
x
•
•
x
x •
•
(−u, −v) •
•
Yll¨aolevien kuvien perusteella
sin(π + x) = −v = − sin x
cos(π + x) = −u = − cos x
−v
v
tan(π + x) =
= = tan x
−u
u
u
−u
= = cot x
cot(π + x) =
−v
v
(3)
Edelleen jokainen nelj¨annen nelj¨anneksen kulma voidaan esitt¨aa¨ muodossa 2π − x,
miss¨a x on ensimm¨aisen nelj¨anneksen kulma (ks. kuvat alla)
................................
...........
........
.......
......
......
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
....
...
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
...
....
................
.
.
...
...
.
...
..
....
..
... ..... ..
.
...
..... ..
..
...
...
...
........ .............
.
...
... .....
.
.
...
.....
.
.....
...
...
.....
...
...
.....
...
..... ....
...
.
..... ..
.
....
....
.....
.....
.....
......
.....
.
.
.
.
.
........
.......
............
.............................
2π − x •
x
................................
...........
........
.......
......
......
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
...
....
.
.
.
..... ...
.
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
...
.
..
.
.
.
.
.
.
...
....
...
...
.....
...
...
.....
.
.
.
....
.
...
.....
.
.
.
..
.
..
......... ...
...
..... ..
...
...
.....
.
.
...
.....
.
.
.....
.
...
.....
..
...
.....
...
...
.....
...
.....
...
..... ....
...
........
....
..
.....
.....
.....
......
.....
.
.
.
.
.
........
...
.
.
.
.
............
.
.
.
..........................
• (u, v)
• x
x
•
•
• (u, −v)
•
Yll¨aolevien kuvien perusteella
sin(2π − x) = −v = − sin x
(4)
cos(2π − x) = u = cos x
v
−v
= − = − tan x
tan(2π − x) =
u
u
u
u
= − = − cot x
cot(2π − x) =
−v
v
Kaavat (2)-(4) ovat voimassa kaikilla x, joilla¤kyseiset
£ funktiot on m¨aa¨ritelty vaikka
ne on yll¨a johdettukin vain tapauksessa x ∈ 0, π2 .
109
Koska kulman 2π − x trigonometriset funktiot ovat samat kuin kulman −x saadaan seuraavat negatiivisen kulman kaavat (katso kuvio)
sin(−x) = − sin x
(5)
cos(−x) = cos x
tan(−x) = − tan x
cot(−x) = − cot x
......................................
.......
.........
......
.......
.....
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
..
......
.
.
.
..... .....
.
.
.
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
..
...
.
.
..
.
.
.
...
...
..
.....
...
.
.
.
....
.
.
.
...
.
.
.
...
.
..........
.
...
.
.
..
.
....... ...
.
...
............
..
...
.....
...
.....
.
...
.
.....
.
...
.....
...
...
.....
...
.....
...
..... ....
...
..... ..
...
......
.....
....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.........
.
........................................
• (u, v)
• x
−x
• (u, −v)
Kaavat (5) ovat j¨alleen voimassa kaikilla x, joilla kyseiset funktiot ovat m¨aa¨ritellyt ja ne lausuvat: kosini on parillinen funktio, sini, tangentti ja kotangentti ovat
parittomia funktioita.
M¨
a¨
aritelm¨
a 6.1. Funktio f : R → R on parillinen jos f (−x) = f (x) kaikilla
x ∈ R. Funktio f : R → R on pariton jos f (−x) = −f (x) kaikilla x ∈ R.
Esimerkkej¨
a 6.2.
1) Funktio f (x) = x2 on parillinen, sill¨a f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), kaikilla x ∈ R
2) Funktio f (x) = x3 on pariton, sill¨a f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x), kaikilla
x∈R
3) Funktio f (x) = x + x2 ei ole parillinen eik¨a pariton, sill¨a f (−x) = −x + x2 , joten
f (−x) = f (x) ⇐⇒ −x = x ⇐⇒ x = 0
f (−x) = −f (x) ⇐⇒ x2 = −x2 ⇐⇒ x = 0
Trigonometristen funktioiden toinen t¨arke¨a ominaisuus on jaksollisuus. Jos kulmaan x liittyv¨aa¨ pistett¨a (u, v) kierret¨aa¨n yksi kierros vastap¨aiv¨aa¨n tai my¨ot¨ap¨aiv¨aa¨n yksikk¨oympyr¨an keh¨aa¨ pitkin tullaan alkuper¨aiseen pisteeseen. N¨ainollen
kulmien x, x + 2π ja x − 2π trigonometriset funktiot ovat samat.
.........................
..............
........
......
........
......
......
.....
.....
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
........
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
...
.....
...
...
.....
...
...
.............................
.
.
....
.
.
.........
...
.
.
.
.
.
.
..
..... ..
.
...
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
...
...
.
..
.
.
.
....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
...
.
.
...
.
...
...
...
...
...
...
.
.
....
....
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
..........
...................................
.........................
..............
........
......
........
......
......
.....
.....
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
........
.
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
...
.....
...
...
.....
...
...
................................
.
.
....
.
....
...
.
..
.
.
.
.
..
..... ..
.
..
.
.
....
...
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
...
.....
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
............
...
...
...
...
...
...
...
.
.
...
..
....
....
.....
.....
.....
.....
.
......
.
.
.
.
..
.......
.......
..........
...................................
kierros vastap¨
aiv¨
aa
¨n
kierros my¨
ot¨
ap¨
aiv¨
aa
¨n
• (u, v)
• (u, v)
•
x
•
x
Toisaalta kierrett¨aess¨a useampi kierros yksikk¨oympyr¨an ymp¨ari joko vasta -tai my¨ot¨ap¨aiv¨aa¨n tullaan alkuper¨aiseen pisteeseen. N¨ainollen kulmien x ja x + n2π, miss¨a
110
n ∈ Z trigonometriset funktiot ovat samat, joten mm.
(6)
sin(x + n2π) = sin x
cos(x + n2π) = cos x.
kaikilla n ∈ Z. Kaavoista (3) havaitaan, ett¨a kulmien x ja x + π tangentti ja kotangentti ovat samat. N¨aiden trigonometristen funktioiden tapauksessa riitt¨aa¨ siis
kiert¨aa¨ puoli kierrosta, niin ett¨a tullaan samoihin arvoihin. T¨ast¨a seuraa v¨alitt¨om¨asti yleisemm¨at kaavat
(7)
tan(x + nπ) = tan x
cot(x + nπ) = cot x.
kaikilla n ∈ Z.
M¨
a¨
aritelm¨
a 6.3. Funktio f : R → R on jaksollinen jos on olemassa sellainen
a ∈ R, ett¨a f (x + a) = f (x) kaikilla x ∈ R. Lukua a kutsutaan funktion f jaksoksi.
Pienint¨a positiivista jaksoa kutsutaan perusjaksoksi.
Sinin ja kosinin perusjakso on 2π, tangentin ja kotangentin π.
Esimerkki 6.4. Osoita, ett¨a cos 3x on jaksollinen. Mik¨a on perusjakso ?
Ratkaisu. Jos merkit¨aa¨n mahdollista jaksoa a:lla, niin m¨aa¨ritelm¨an nojalla on oltava voimassa
cos 3(x + a) = cos 3x
kaikilla x ∈ R. Erityisesti t¨am¨a yht¨al¨o on voimassa, kun x = 0. Siis
cos 3a = 1.
Koska kosini saa arvon 1 pisteiss¨a n2π, n ∈ Z, niin
3a = n2π ⇐⇒ a = n
2π
,
3
n ∈ Z.
Siis jos cos 3x on jaksollinen, niin sen jaksot ovat n 2π
a todettava, ett¨a
3 . On viel¨
n¨am¨a todella ovat jaksoja. Koska
cos 3(x + n
2π
) = cos(3x + n2π) = cos 3x
3
kaikilla x ∈ R, niin kyseiset luvut ovat todella jaksoja. Erityisesti perusjakso on
2π
3 .
111
Trigonometrisi¨
a kaavoja. Sinille ja kosinille ovat voimassa seuraavat yhteen ja v¨ahennyslaskukaavat, jotka voidaan johtaa koordinaatiston kierron avulla (O.
Tammi: Lukion matematiikan kertaus -ja t¨aydennyskurssi, osa α s.138), vektorilaskentaa k¨aytt¨aen (Lahtinen-Pehkonen: Matematiikkaa soveltajille, osa 1 s.55 ja 58)
tai alkeellisesti (K. V¨ais¨al¨a: Trigonometria s.27).
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Kaavat ovat voimassa kaikilla α ∈ R ja β ∈ R. Edelleen n¨aiden avulla voidaan
johtaa kaksinkertaisen kulman kaavat sinille ja kosinille. Valitaan sinin yhteenlaskukaavassa α = β, jolloin saadaan
sin 2α = 2 sin α cos α.
Vastaavasti valitsemalla kosinin yhteenlaskukaavassa α = β saadaan
cos 2α = cos2 α − sin2 α.
Kosinin kaksinkertaisen kulman kaavalle saadaan toisenlaisia esitysmuotoja k¨aytt¨am¨all¨a hyv¨aksi yht¨al¨oa¨ sin2 α + cos2 α = 1. Kun ratkaistaan t¨ast¨a vuoronper¨aa¨
sin2 α ja cos2 α ja sijoitetaan edelliseen kaavaan saadaan
cos 2α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1.
Edelleen yhteen -ja v¨ahennyslaskukaavoista saadaan seuraavat ”k¨aa¨nnetyt” kaavat,
joilla on k¨aytt¨oa¨ mm. trigonometristen funktioiden jatkuvuus -ja derivoituvuustarkasteluissa
1
1
sin x + sin y = 2 sin (x + y) cos (x − y)
2
2
1
1
sin x − sin y = 2 cos (x + y) sin (x − y)
2
2
1
1
cos x + cos y = 2 cos (x + y) cos (x − y)
2
2
1
1
cos x − cos y = −2 sin (x + y) sin (x − y)
2
2
Esimerkki 6.5. Johda tangentin yhteenlaskukaava ja kaksinkertaisen kulman kaava.
Ratkaisu. Edellisen pyk¨al¨an yht¨al¨oiden (1) nojalla
tan(α + β) =
sin(α + β)
sin α cos β + cos α sin β
=
cos(α + β)
cos α cos β − sin α sin β
112
Jaetaan viimeksisaadun lausekkeen osoittaja ja nimitt¨a j¨a tekij¨all¨a cos α cos β, jolloin
tan(α + β) =
sin α cos β
cos α cos β
cos α cos β
cos α cos β
+
−
cos α sin β
cos α cos β
sin α sin β
cos α cos β
=
Siis
1
sin β
sin α
cos α + cos β
sin α sin β
− cos
α · cos β
=
tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan α + tan β
.
1 − tan α tan β
tan(α + β) =
Valitsemalla yll¨a olevassa kaavassa α = β saadaan
tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
Esimerkki 6.6. Johda kaavat
π
2
π
cos(
2
π
tan(
2
π
cot(
2
sin(
− x) = cos x
− x) = sin x
− x) = cot x
− x) = tan x
Ratkaisu. K¨aytet¨aa¨n sinin ja kosinin v¨ahennyslaskukaavoja
sin(
π
π
π
− x) = sin cos x − cos sin x = cos x
2
| {z2}
| {z 2}
=1
=0
π
π
π
cos( − x) = cos cos x + sin sin x = sin x
2
| {z 2}
| {z2}
=0
π
2
π
cot(
2
tan(
=1
sin( π2 − x)
cos x
=
− x) =
= cot x
π
cos( 2 − x)
sin x
1
1
− x) =
=
= tan x
π
tan( 2 − x)
cot x
Toinen kaavoista voidaan johtaa my¨os k¨aytt¨am¨all¨a ensimm¨aist¨a vastakkaiseen suuntaan
π
π
π
cos( − x) = sin( − ( − x)) = sin x
2
2
2
Usein trigonometriset teht¨av¨at ratkeavat suorakulmaista kolmiota apuna k¨aytt¨aen.
113
Esimerkki 6.7. Laske sin α kun tan α =
2
3
ja 0 < α <
π
2.
Ratkaisu. Suorakulmaisen√kolmion, jossa kulman α vastainen kateetti on 2 ja viereinen 3 hypotenuusa on 13. T¨ast¨a n¨ahd¨aa¨n, ett¨a sin α = √213 .
......
...... ....
..
..
..
...
..
.
..
.
.
.
.
.
...
..
.
.
.
.
...
.
..
.
.
.
.
.
..
.
... ...
.
.
.
.
......................................................................
.....
√
......
......
.
.
.
.
.
.
13
......
......
2
α
3
Esimerkki 6.8. Tunnetaan sin α. Lausuttava tan α sen avulla.
Ratkaisu. Tarkastellaan aluksi tapausta 0 < α < π2 , jolloin voimme k¨aytt¨aa¨ suorakulmaista kolmiota apuna. Edellisen pyk¨al¨an kaavoista (1) seuraa, ett¨a
p
cos α = 1 − sin2 α.
N¨ainollen
tan α = p
........
...... ..
...... ....
.
.
.
.
.
.....
....
......
..
......
..
......
.
.
.
.
...
.
..
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
.
..
.
.. ...
.
.
.
.
.
..........................................................................
sin α
1
1 − sin2 α
p
sin α
α
1 − sin2 α
Yleinen tapaus muuttuu yll¨aolevasta vain etumerkin osalta koska
p
cos α = ± 1 − sin2 α.
N¨ainollen
tan α = ± p
sin α
1 − sin2 α
.
Merkit on valittava siten, ett¨a lausekkeet ovat samanmerkkisi¨a; siis +-merkki jos α
on 1. tai 4. nelj¨anneksen kulma ja −-merkki jos α on 2. tai 3. nelj¨anneksen kulma.
Esimerkki 6.9. M¨aa¨r¨aa¨ cos(α − β), kun sin α = − 12 ja cos β =
ja 0 ≤ β ≤ 32 π. Tarkka arvo !
1
3
sek¨a 0 ≤ α ≤ 23 π
Ratkaisu. Koska sin α < 0, niin ehdoista seuraa, ett¨a π < α < 23 π, jolloin cos α < 0.
√
Siis cos α = − 23 (ks. kuva alla)
......................................
......
........
.....
......
.....
.....
.
.
.
.
...
..
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...
..
.
...
.
.
.
.
....
.
.
.... .......
.
...
.
..
.
...
..... ...... ...
.
.
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
..
...
... .............
...
.......
...
...
.
.
.....
.
....
.....
.....
......
......
........
........................................
α
(−
√
•
•
3
, − 12 ) •
2
114
Koska cos β > 0, niin ehdoista seuraa, ett¨a 0 < β <
kuva alla).
..
....
......
... ..
... ....
.
... ..
... ..
... ....
.
.
....
...
..
...
...
...
.
.
..
......
.
.
.. .... ...
.
...........................
3
π
2,
joten sin β =
2
3
√
2 (katso
√
8
β
1
Edelleen k¨aytet¨aa¨n kosinin v¨ahennyslaskukaavaa
√
√
√
3 1
1 2 2
1 √
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β = −
· + (− )
= − ( 3 + 2 2).
2 3
2 3
6
Trigonometriset yht¨
al¨
ot. Seuraavassa on otettu l¨ahinn¨a joitakin esimerkkej¨a trigonometrisista yht¨al¨oist¨a.
Esimerkki 6.10. Ratkaise yht¨al¨o cos x = − 12
Ratkaisu.
(− 12 ,
√
3 ................................................
......
) ..
.....
2 ...........•......
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
...
.
...
.
.
...
...
....
................
...
...
... ...
..
.
.
...
. ...
.
.
...
...
.. .......
.
.
.
.
.
...
.
. ....
.
.
.
.
...
.
.
...
...
..
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.....
.
.
.
.....
√ ......... ......
......
3 .................
.......
............................
•
(− 12 , −
2
•
x
)•
Piirret¨aa¨n y-akselin suuntainen suora pisteen (− 21 , 0) kautta. Pisteet, joissa t¨am¨a
suora leikkaa yksikk¨oympyr¨an keh¨an yhdistet¨aa¨n origoon. N¨ain saadut yhdistysjanat muodostavat kysytyn kulman toisen
kyljen, toinen on positiivinen x-akseli.
Havaitaan, ett¨a toiseen (ja kolmanteen) nelj¨annekseen muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka muut kulmat ovat 30◦ ja 60◦ eli π6 ja π3 . N¨ainollen etsitty kulma x = 23 π tai x = 34 π. J¨alkimm¨ainen ratkaisu voidaan esitt¨aa¨ my¨os muodossa
x = − 23 π. Kun otetaan huomioon kosinin jakso saadaan lopullinen ratkaisu
2
x = ± π + n2π,
3
n ∈ Z.
Esimerkki 6.11. Ratkaise yht¨al¨o tan 2x = 1
Ratkaisu.
•
..............................
..
....
..........
.......
......
...... .........
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.........
...
.... .....
...
.....
...
...
.....
.
...
.
.
.
.
.
...
...
...
....
.
.
...
.
....
.
......
.
..
.
.
..
... .
.
...
..
...
...
...
.
.
.
...
..
...
..
...
...
...
...
.
.....
.
.
.
..
.....
.....
......
......
........
.....................................
• 2x
1
•
1
T¨ass¨a tapauksessa piirret¨aa¨n yksikk¨oympyr¨alle tangentti pisteeseen (1, 0), mitataan tangentilta jana, jonka pituus = 1
positiiviseen suuntaan eli yl¨osp¨ain ja yhdistet¨aa¨n lopuksi t¨all¨a tavoin l¨oydetty piste origoon. Yhdistysjanan ja positiivisen
x-akselin v¨alinen kulma on kysytty kulma
115
Kuvioon muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta, jonka muut kulmat ovat
45◦ eli π4 voidaan p¨aa¨tell¨a, ett¨a 2x = π4 . Kun otetaan huomioon tangentin jakso,
joka on nπ, saadaan
π
2x = + nπ,
n∈Z
4
ja lopullinen vastaus kun jaetaan puolittain 2:lla
x=
π
π
+n ,
8
2
n ∈ Z.
Esimerkki 6.12. Ratkaise yht¨al¨o sin 2x = − sin(x − π3 ).
Ratkaisu. Koska − sin x = sin(−x), niin tutkittava yht¨al¨o voidaan kirjoittaa muotoon
π
sin 2x = sin( − x).
3
Yht¨al¨oss¨a on itse asiassa kahden sinin yht¨asuuruus. Yksikk¨oympyr¨atarkastelulla
voidaan osoittaa
sin x = sin y ⇐⇒ x = y + n2π
tai
x = π − y + n2π
miss¨a n ∈ Z. T¨am¨an perusteella voimme kirjoittaa yll¨aolevan yht¨al¨on ratkaisun
π
sin 2x = sin( − x) ⇐⇒
3
½
2x =
π
3
− x + n2π
2x = π −
( π3
tai
− x) + n2π = 23 π + x + n2π
Tarkastelemme ratkaisuja erikseen. Ensimm¨ainen ratkaisu
2x =
π
π
π
2
− x + n2π ⇐⇒ 3x = + n2π ⇐⇒ x = + n π
3
3
9
3
Toinen ratkaisu
2x =
2
2
π + x + n2π ⇐⇒ x = π + n2π.
3
3
Siis lopulliset ratkaisut
π
2
+n π
9
3
2
x = π + n2π
3
x=
miss¨a n ∈ Z.
116
Esimerkki 6.13. Ratkaise yht¨al¨o sin 3x = cos(x + 20◦ ).
Ratkaisu. Sovellamme aiemmin johdettua kaavaa
sin x = cos(
jonka perusteella
π
− x) = cos(90◦ − x),
2
sin 3x = cos(90◦ − 3x)
N¨ainollen alkuper¨ainen yht¨al¨o saadaan muotoon
cos(90◦ − 3x) = cos(x + 20◦ )
Kyseess¨a on siis kahden kosinin yht¨asuuruus. Yksikk¨oympyr¨atarkastelulla voidaan
osoittaa
cos x = cos y ⇐⇒ x = y + n360◦ tai x = −y + n360◦
Yll¨aolevassa tapauksessa
◦
◦
cos(90 − 3x) = cos(x + 20 ) ⇐⇒
½
90◦ − 3x = x + 20◦ + n360◦
90◦ − 3x = −x − 20◦ + n360◦
Kun saaduista yht¨al¨oist¨a ratkaistaan x saadaan ratkaisut
x = 17.5◦ + n90◦
x = 55◦ + n180◦
miss¨a n ∈ Z.
Trigonometriset ep¨
ayht¨
al¨
ot. Seuraavassa on otettu l¨ahinn¨a joitakin esimerkkej¨a
trigonometrisista ep¨ayht¨al¨oist¨a.
Esimerkki 6.14. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o sin x ≤
1
2
Ratkaisu.
..............................
............
........
.......
......
......
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
....
...
.
...
.
.
.
....
.
........
.
•
•
.
.......•.....
. ........
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
...
..
.
.
.
..
.
5π/6
.
.
.
.
.......
...
....... ....................... .............
..
...
..
........
...
...
....... ................. π/6
....
...... ...
..
...
•
...
...
.
.
...
.
.
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
...
...
.....
....
.....
.....
......
.....
.
.......
.
.
.
.
.........
...
........................................
−
M¨aa¨r¨at¨aa¨n aluksi rajakulmat eli yht¨al¨on sin x = 12
ayht¨al¨on
ratkaisut. N¨am¨a ovat x = π6 ja x = 5π
6 . Ep¨
ratkaisuksi tulevat ne kulmat, jotka ovat viereisess¨a kuviossa kulman π6 ”alapuolella” ja kulman 5π
6
”yl¨apuolella” siis 0 ≤ x ≤ π6 tai 5π
≤
x
≤
2π.
K¨
a
yt6
t¨am¨all¨a kulman 5π
sijasta
negatiivista
kulmaa − 7π
6
6
7π
saadaan yhten¨ainen ratkaisujoukko − 6 ≤ x ≤ π6 .
Kun otetaan huomioon sinin jaksot saadaan lopulliseksi ratkaisuksi
7π
π
+ n2π ≤ x ≤ + n2π,
6
6
117
kaikilla n ∈ Z.
Esimerkki 6.15. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o cot2 (x − π6 ) < 3
Ratkaisu. Aluksi havaitaan
cot2 (x −
√
√
√
π
π
π
) < 3 ⇐⇒ | cot(x − )| < 3 ⇐⇒ − 3 < cot(x − ) < 3
6
6
6
√
(− 3, 1)
•..............
√
( 3, 1)
... .....•
..
.....
π/6
......
.......
............
.............. • .....................
........
......
.......
......
......
.......
.....
.....
.......
.
.
......
.
.....
..
.......
.
......
.
.
....... ...
... ............
1
........
........
.
.
.
.
....... ...
2....... ....................
5π/6............ ...2
...
.......
..
....... ....................... ............
...
....
..
........
...
.
....... ................ π/6
...
........ ...
.....
.
•
...
...
.
...
.
.
...
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
....
...
.....
.....
.....
.....
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
..........
...................................
√
M¨aa¨r¨at¨aa¨n j¨alleen aluksi rajakulmat, jotka ovat yht¨al¨oiden cot(x − π6 ) = 3 ja
√
cot(x− π6 ) = − 3 ratkaisut. N¨am¨a ovat (jaksot poislukien) x− π6 = π6 ja x− π6 = 5π
6 .
π
Kuviosta ilmenee, ett¨a kulman x − 6 on oltava n¨aiden rajakulmien v¨aliss¨a; siis
π
π
5π
+ nπ < x − <
+ nπ
6
6
6
josta kulmalle x saadaan lopulliseksi ratkaisuksi
π
+ nπ < x < (n + 1)π,
3
kaikilla n ∈ Z.
Esimerkki 6.16. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o tan3 x − 3 tan x ≤ 0.
Ratkaisu. Merkit¨aa¨n u = tan x. Sijoittamalla t¨am¨a yll¨aolevaan ep¨ayht¨al¨oo¨n saadaan u:n suhteen ep¨ayht¨al¨o
√
√
u3 − 3u ≤ 0 ⇐⇒ u(u2 − 3) ≤ 0 ⇐⇒ u ≤ − 3 tai 0 ≤ u ≤ 3.
Viimeksisaatu tulos saadaan joko merkkikaaviotarkastelulla tai 3. asteen polynomin
kuvaajaa tutkimalla. Kun palaamme alkuper¨aisiin muuttujiin saamme
√
√
tan3 x − 3 tan x ≤ 0 ⇐⇒ tan x ≤ − 3 tai 0 ≤ tan x ≤ 3
118
.. (1,
.•
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
..
...
......................................2 ....
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
. ...
......
... ..........
.....
.....
...
....
...
...
...
.
.
.
.
...
.
.
...
...
...
.
.
...
.
.
.
..
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
... π
.
....
.
...
. ....
.
..
.
.
... .. 3
...
.
•....
•.......
...
.
.
...
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
...
...
π.....
...
...
.
...
...
.
6 ......
.
...
....
...
...
.....
...
.....
.....
... .........
......
.
.
.
.
.
..
.......
.........
..........
................................... ....
2 .......
...
...
...
...
...
...
...
..
√
3)
√
• (1, − 3)
Koska tangentti voi saada vain ne arvot, jotka kuviossa on merkitty paksummalla
5π
viivalla, niin v¨altt¨am¨att¨a 0 < x < π3 tai 3π
2 < x < 3 . Koska tangentin jaksot ovat
muotoa nπ saadaan lopulliseksi ratkaisuksi
π
+ nπ,
3
π
π
− + nπ < x ≤ − + nπ,
2
3
nπ ≤ x ≤
kaikilla n ∈ Z tai
kaikilla n ∈ Z
Kolmioon liittyvi¨
a trigonometrisi¨
a lauseita.
C
...
... ....
..... ..........
... ...... ......
.
.
....
.
....
...
....
...
....
...
.
.
....
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.
....
.
.
....
.
.
.
....
.
.
.....
.
...
.
. ...
... ....
.
.
....................................................................................................................................................................................................
γ
b
h = a sin β
h = b sin α
a
α
D
c
β
=⇒ a sin β = b sin α
josta edelleen saadaan
h
A
¾
sin α
a
=
b
sin β
B
Olemme yll¨a johtaneet sinilauseen
Sinilause. Kolmion sivut suhtautuvat toisiinsa niin kuin niiden vastaisten kulmien
sinit.
Kun otetaan huomioon my¨os kolmas sivu ja sen vastainen kulma voidaan tulos
kirjoittaa muotoon
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
119
Yll¨aolevasta kolmiosta saadaan my¨os kolmion alalle helposti
Kolmion ala =
1
bc sin α
2
eli sanoin lausuttuna: kolmion ala on kahden sivun ja niiden v¨alisen kulman sinin
tulon puolikas.
Edell¨a olevasta kuviosta havaitaan my¨os
c = BD + AD = a cos β + b cos α
Kirjoitetaan t¨am¨a tulos ja sinilauseesta saatava yht¨al¨opariksi
a cos β = c − b cos α
a sin β = b sin α
Korotetaan kyseiset yht¨al¨ot puolittain neli¨oo¨n ja lasketaan yhteen, jolloin saadaan
a2 (sin2 β + cos2 β) = c2 − 2bc cos α + b2 (sin2 α + cos2 α)
{z
}
{z
}
|
|
=1
T¨ast¨a seuraa
=1
Kosinilause.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
Huomattakoon, ett¨a yll¨aolevat tulokset on johdettu sellaiselle kolmiolle ABC,
jossa kulma α on ter¨av¨a (siis 0◦ < α < 90◦ ). Tulokset ovat voimassa my¨os jos
kulma α on tylpp¨a (siis 90◦ < α < 180◦ ) (totea!).
Trigonometristen funktioiden kuvaajat. Seuraavassa on lyhyesti esitetty trigonometristen funktioiden kuvaajat. Sinin kuvaajan piirt¨amiseksi riitt¨aa¨ kun tunnetaan kuvaaja v¨alill¨a [0, π2 ]. T¨am¨an j¨alkeen piirt¨amisess¨a ovat seuraavat vaiheet
(1) Kuvaaja v¨alill¨a [ π2 , π] saadaan ”peilaamalla” suoran x = π2 suhteen. T¨am¨a
seuraa yht¨al¨ost¨a sin(π − x) = sin x.
(2) Kuvaaja v¨alill¨a [−π, 0] saadaan ”peilaamalla” origon suhteen. T¨am¨a puolestaan seuraa sinin parittomuudesta eli yht¨al¨ost¨a sin(−x) = − sin x.
(3) Kuvaaja koko R:ss¨a saadaan jaksollisuuden avulla. Sinin perusjakso on 2π.
................................
................................
.......
.......
..........
..........
......
......
.......
.......
......
......
......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.....
.
.
..
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.....
.
..
.
.....
.
.....
.
.....
.
.....
..
.
.....
.....
.
.
.
......
.
.
......
.....
.
.
.
.
......
..
.......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
........
.........................................
.........................................
−2π
π
−π
y = sin x
120
2π
Kosinin kuvaaja saadaan sinin kuvaajasta ”origon siirrolla” eli siirt¨am¨all¨a origoa
π
am¨a seuraa yht¨al¨ost¨a cos x = sin( π2 + x), joka
2 :n verran positiiviseen suuntaan. T¨
voidaan v¨alitt¨om¨asti osoittaa oikeaksi esimerkiksi sinin yhteenlaskukaavalla.
...................
................
..........................................
........
.........
........
.......
......
......
......
......
......
.....
.....
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
...
....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
..... 3π
.....
π ...........
..... 3π
..π
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
......
.....
.......
......
2
2...........
2
...... 2
.........
......
............... ....................
.......................................
........
−
−
y = cos x
Tangentin kuvaaja voidaan piirt¨aa¨ seuraavien tietojen nojalla edellytt¨aen, ett¨a kuvaaja v¨alill¨a [0, π2 ] tunnetaan.
(1) Kuvaaja v¨alill¨a [− π2 , 0] saadaan ”peilaamalla” origon suhteen, sill¨a tangentti
on pariton eli tan(−x) = − tan x.
(2) Kuvaaja koko R:ss¨a saadaan jaksollisuuden nojalla. Tangentin perusjakso
on π.
Edelleen kotangentin kuvaaja voidaan piirt¨aa¨ samojen periaatteiden mukaan kuin
tangentin. Seuraavassa kuvassa ovat kyseiset k¨ayr¨at
− 3π
2
.
...
...
.....
.
...
...
.....
..
...
...
.
.
.
...
...
....
.
.
.
.
.....
....
π
....
...
.
.
2
.
...
.
.
...
.....
.
...
...
.....
.
...
...
....
−
.
...
...
.....
.
...
...
.....
..
...
...
.
.
.
...
...
....
.
.
.
.
.....
....
π
....
...
.
.
2
.
...
.
.
...
.....
.
...
...
.....
.
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
.....
.....
.....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
...
...
.....
.
...
...
.....
..
...
...
.
.
.
...
...
....
.
.
.
.
.....
....
3π
....
...
.
.
.
2
...
.
.
...
.....
.
...
...
.....
.
...
...
.....
−π
y = tan x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
.....
.....
.....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
.....
.....
.....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
π
2π
y = cot x
Trigonometristen funktioiden jatkuvuus ja derivaatta. Johdamme aluksi
kuvalliseen tarkasteluun perustuen er¨aa¨t jatkon kannalta t¨arke¨at ep¨ayht¨al¨ot. Oletamme aluksi, ett¨a 0 < x < π2
.....
.....
........................
.....
..•
.
..........
.
.
.
.
........
.....
.......
......
.....
......
.....
..... .........
.........
....
..•
..... .......
....
...
.
.
.
.
...
..
.
.
.
.
...
...
...
.....
.
.
.
.
...
..
.
.
.
...
.
...
.
.
... tan x
.
x
. sin x
.
.
.
.
...
..
.
.
.
.
...
..
.
.
.
.
...
..
.
.
.
.
...
...
...
..........
.
.
.
.
...
... x
...
.
.
.
.
•.. .
Kuvion perusteella saamme v¨alitt¨om¨asti halutut ep¨ayht¨al¨ot
(1)
sin x < x < tan x
(tosin ep¨ayht¨al¨o x < tan x on hieman uskon varassa; t¨asm¨allist¨a todistusta varten
tarvittaisiin sarjateoriaa). Ep¨ayht¨al¨o sin x < x voidaan yleist¨aa¨ helposti kaikille
x ∈ R.
121
Apulause 6.17. | sin x| ≤ |x| kaikilla x ∈ R. Yht¨asuuruus on voimassa vain kun
x = 0.
Todistus. Kun 0 < x <
saadaan
π
2,
niin sin x > 0 ja x > 0, joten ep¨ayht¨al¨oa¨ (1) k¨aytt¨aen
| sin x| = sin x < x = |x|
Kun − π2 < x < 0, niin sin x < 0 ja x < 0, joten sinin parittomuutta ja ep¨ayht¨al¨oa¨
(1) k¨aytt¨aen saadaan
| sin x| = − sin x = sin(−x) < −x = |x|
Kun |x| ≥
π
2,
niin
| sin x| ≤ 1 <
π
≤ |x|
2
Lopuksi sin 0 = 0, joten apulause on todistettu. ¤
Yll¨aolevaa apulausetta k¨aytt¨aen voidaan todistaa sinin jatkuvuus
Lause 6.18. sin x on jatkuva R:ss¨a.
Todistus. Olkoon x0 ∈ R. T¨all¨oin aikaisempien kaavojen (s.61) ja yll¨aolevan apulauseen nojalla
1
1
| sin x − sin x0 | = |2 cos (x + x0 ) sin (x − x0 )|
2
2
1
1
= 2| cos (x + x0 )|| sin (x − x0 )|
2
2
1
≤ 2| (x − x0 )| = |x − x0 | → 0, kun x → x0
2
Siis lim sin x = sin x0 , joten sini on jatkuva pisteess¨a x0 . Edelleen x0 ∈ R oli
x→x0
mielivaltainen, joten sini on jatkuva koko R:ss¨a.
¤
Seuraus 6.19. Funktiot cos x, tan x ja cot x ovat jatkuvia m¨aa¨rittelyjoukossaan.
Todistus. Aikaisempien kaavojen nojalla cos x = sin( π2 − x) (s. 62 esimerkki 6.6).
N¨ainollen cos x on jatkuva koko R:ss¨a, koska se on yhdistetty funktio kahdesta koko
R:ss¨a jatkuvasta funktiosta nimitt¨ain funktioista sin x ja π2 − x.
sin x , joten se on kahden jatkuvan funktion osam¨aa¨r¨an¨a jatkuva,
Edelleen tan x = cos
x
kun cos x 6= 0. Samaan tapaan n¨ahd¨aa¨n funktion cot x jatkuvuus. ¤
Trigonometristen funktioiden jatkuvuutta k¨aytt¨aen voidaan ratkaista joitakin
helppoja raja-arvoteht¨avi¨a
122
x
Esimerkki 6.20. M¨aa¨rit¨a raja-arvo limπ 1 − sin
2
x→ 2 cos x
Ratkaisu. Koska sin π2 = 1 ja cos π2 = 0, niin sijoitus antaa tulokseksi
aluksi supistettava tekij¨all¨a 1 − sin x
1 − sin x
1 − sin x
1
1
1 − sin x
=
=
=
→ ,
2
2
cos x
(1 − sin x)(1 + sin x)
1 + sin x
2
1 − sin x
0
0,
joten on
kun x →
π
2
Ep¨ayht¨al¨oit¨a (1) k¨aytt¨aen todistamme seuraavan t¨arke¨an tuloksen
x =1
Lause 6.21. lim sin
x→0 x
Todistus. Jakamalla ep¨ayht¨al¨ot (1) puolittain sin x:ll¨a saadaan
1<
x
1
<
sin x
cos x
Havaitaan, ett¨a
sin x
x
=⇒
<1
sin x
x
x
1
sin x
<
=⇒ cos x <
sin x
cos x
x
1<
Siis
sin x
<1
x
Kun x → 0+, niin cos x → cos 0 = 1 (jatkuvuuden nojalla) joten viimeksi saadusta
ep¨ayht¨al¨ost¨a seuraa
sin x
lim
=1
x→0+ x
Olkoon x < 0. T¨all¨oin
cos x <
sin x
− sin x
sin(−x)
=
=
→1
x
−x
−x
kun −x → 0+ eli kun x → 0−. Yhdist¨am¨all¨a oikean -ja vasemmanpuoleista rajaarvoa koskeva tulos saadaan v¨aite. ¤
Edellinen tulos antaa aiheen moniin mielenkiintoisiin raja-arvoteht¨aviin, joista
seuraavassa muutamia esimerkkej¨a.
sin 2x
Esimerkki 6.22. M¨aa¨r¨att¨av¨a raja-arvo lim sin
3x
x→0
Ratkaisu.
2x sin2x2x
sin 2x
2
=
= ·
sin
3x
sin 3x
3
3x 3x
sin 2x
2x
sin 3x
3x
123
→
2
,
3
kun x → 0
Esimerkki 6.23. M¨aa¨r¨att¨av¨a raja-arvo lim
x→0
tan
x
− 3x
3
x
Ratkaisu.
tan x3 − 3x
sin x3
8
1 sin x3
1
1
=
· x ·
−3=− ,
−
3
=
x
x −3→
x
x cos 3
3
cos 3
3
3
3
kun x → 0
x trigonometristen funktioiden derivaatSeuraavaksi sovellamme tulosta lim sin
x→0 x
tojen m¨aa¨ritt¨amiseen.
Lause 6.24.
D sin x = cos x
D cos x = − sin x
1
= 1 + tan2 x
D tan x =
2
cos x
1
D cot x = − 2 = −1 − cot2 x
sin x
Todistus. Muodostetaan sinin erotusosam¨aa¨r¨a pisteess¨a x 0 ja sovelletaan siihen sivun 61 kaavoja sek¨a yll¨amainittua raja-arvotulosta
cos 12 (x + x0 ) sin 21 (x − x0 )
sin x − sin x0
=2
x − x0
x − x0
sin 21 (x − x0 )
1
→ cos x0 ,
= cos (x − x0 ) · 1
2
2 (x − x0 )
kun x → x0 .
Siis D sin x = cos x.
Kosinin derivaatan johtamiseksi k¨ayt¨amme edellist¨a sinin derivaattaa ja sivun 62
kaavojaa cos x = sin( π2 − x) ja sin x = cos( π2 − x). Yhdistetyn funktion derivoimiss¨aa¨nn¨on nojalla
D cos x = D sin(
π
π
− x) = − cos( − x) = − sin x
2
2
Edelleen tangentin ja kotangentin derivoimiskaavat saadaan osam¨aa¨r¨an derivoimiss¨aa¨nt¨oa¨ soveltamalla
sin x
cos x · cos x − (− sin x) sin x
cos2 x + sin2 x
D tan x = D
=
=
cos x
cos2 x
cos2 x
Koska



1
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
2

cos2 x
 1 + sin x = 1 + tan2 x
cos2 x
124
saadaan lauseessa mainitut tangentin derivoimiskaavat. Lopuksi kotangentin derivoimiskaavat saadaan k¨aytt¨aen yll¨aolevia tangentin derivoimiskaavoja.


−
1
1
1
=− 2
·
2
2
1
cos x tan x
sin x
D cot x = D
=
2
tan x 
1
+
tan
x
1
−
=−
− 1 = −1 − cot2 x. ¤
tan2 x
tan2 x
T¨am¨an j¨alkeen on mahdollista ratkoa trigonometrisiin funktioihin liittyvi¨a a¨a¨riarvoteht¨avi¨a.
Esimerkki 6.25. Mik¨a on suurin ja pienin arvo, jonka funktio f (x) = 4 sin x +
cos 2x voi saada ? Miss¨a pisteiss¨a kyseiset arvot saavutetaan ?
Ratkaisu. Teht¨av¨a voidaan palauttaa suljetun v¨alin a¨a¨riarvoprobleemaksi, kun muistetaan, ett¨a trigonometriset funktiot ovat usein (ei aina!) jaksollisia. Sinin ja kosinin perusjakso on 2π ja voimme pienell¨a laskulla tutkia onko t¨am¨a my¨os funktion
f jakso. Koska
f (x + 2π) = 4 sin(x + 2π) + cos 2(x + 2π)
= 4 sin x + cos(2x + 4π) = 4 sin x + cos 2x = f (x)
kaikilla x, niin funktion f jakso on 2π. N¨ainollen voimme rajoittaa tarkastelut
jollekin jakson pituiselle v¨alille esim. v¨alille [0, 2π]. Koska f on derivoituva ja siis
jatkuva se saa t¨all¨a v¨alill¨a suurimman ja pienimm¨an arvon, jotka saavutetaan joko
v¨alin p¨aa¨tepisteiss¨a tai derivaatan nollakohdissa.
1) V¨alin p¨aa¨tepisteet.
f (2π) = f (0) = 4 sin 0 + cos 0 = 1
2) Derivaatan nollakohdat.
Derivaatalle saadaan lauseke
f 0 (x) = 4 cos x − 2 sin 2x = 4 cos x − 4 sin x cos x = 4 cos x(1 − sin x)
Edelleen derivaatan nollakohdat
f 0 (x) = 0 ⇐⇒ cos x = 0
tai
sin x = 1
Koska
π
2
π
sin x = 1 ⇐⇒ x =
2
cos x = 0 ⇐⇒ x =
125
tai x =
3π
2
niin ainoat v¨alill¨a [0, 2π] kyseeseen tulevat derivaatan nollakohdat ovat π2 ja 3π
2 .
N¨aiss¨a
π
π
f ( ) = 4 sin + cos π = 4 − 1 = 3
2
2
3π
3π
f ( ) = 4 sin
+ cos 3π = −4 − 1 = −5
2
2
Siis suurin ja pienin arvo saavutetaan n¨aiss¨a pisteiss¨a. Lopulliseen vastaukseen on
otettava my¨os jakso mukaan
π
f ( + n2π) = 3 on suurin arvo
2
3π
f(
+ n2π) = −5 on pienin arvo
2
Funktion monotonisuutta hyv¨aksi k¨aytt¨aen voidaan tutkia er¨ait¨a ep¨ayht¨al¨oit¨a,
joita muuten olisi vaikea ratkaista. T¨am¨a ei liity pelk¨ast¨aa¨n trigonometrisiin funktioihin mutta n¨aist¨a l¨oytyy er¨ait¨a esimerkkej¨a.
2
Esimerkki 6.26. Osoita, ett¨a cos x ≥ 1 − x2 kun x ≥ 0. Milloin yht¨asuuruus on
voimassa ?
Ratkaisu. M¨aa¨rittelemme funktion f seuraavasti
f (x) = cos x − 1 +
x2
2
T¨all¨oin f on kaikkialla derivoituva ja
f 0 (x) = − sin x + x
Aikaisemman ep¨ayht¨al¨on nojalla f 0 (x) > 0 kun x > 0 ja f 0 (0) = 0. N¨ainollen f on
aidosti kasvava kun x ≥ 0 (ts. v¨alill¨a [0, ∞)). Edelleen
f (0) = cos 0 − 1 + 0 = 1 − 1 = 0,
joten f (x) > 0, kun x > 0. N¨ainollen ep¨ayht¨al¨on voimassaolo on todistettu ja
yht¨asuuruus on voimassa vain kun x = 0.
K¨
a¨
anteisfunktio. Aiemmin todettiin, ett¨a jos funktio f : A → B on bijektio, niin
sill¨a on k¨aa¨nteisfunktio f −1 : B → A, joka toteuttaa yht¨al¨on
f −1 (f (x)) = x,
∀x ∈ A
Jos merkitsemme y = f (x), niin on funktion ja k¨aa¨nteisfunktion v¨alill¨a voimassa
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y)
Lis¨aksi p¨atee
f (f −1 (y)) = y,
∀y ∈ B
Tilanne on yksinkertaisin silloin kun k¨aa¨nteisfunktion lauseke voidaan m¨aa¨ritt¨aa¨.
126
Esimerkki 6.27. Olkoon f : R → R, f (x) = 3x − 2. Koska yht¨al¨oll¨a
y = 3x − 2
on yksik¨asitteinen ratkaisu
x=
2
1
y+
3
3
jokaisella y ∈ R, niin f on bijektio ja
2
1
y + , ∀y ∈ R
3
3
Saadaksemme selville, miten k¨aa¨nteisfunktion kuvaaja suhtautuu alkuper¨aisen funktion kuvaajaan vaihdamme muuttujien nimet k¨aa¨nteisfunktion yht¨al¨oss¨a; siis
2
1
y = f −1 (x) = x +
3
3
T¨am¨an j¨alkeen piirr¨amme kuvaajat samaan koordinaatistoon
f −1 (y) =
y = 3x
−2
.
.
.....
.
.....
..
.....
..
...
....
.
.
..
..
....
...
..
...
.....
...
.
..
...
....
...
.
...
....
.
.
.
..
...
...
..........
.....
...
..........
...
..........
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
... .
..........
... .....
..........
... .... ....................
.
.
.
.
.
.
.
. ..
... ...........
...........
...............
.......... .... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.. .
..........
.. ...
..........
..... ....
..........
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
....
..........
...
..........
...
...
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
..
..
..........
...
.....
..........
..........
...
..
..........
...
.....
.
.
...
.....
...
...
..
.
.
.
.
.
.
.
...
..
...
.....
...
.
.
.
.
.
.
..
...
..
...
.....
...
.
.
.
.
.
.
....
...
..
...
....
...
.
.
.
.
.....
...
..
...
.....
...
.
.
.
...
.....
...
..
....
...
.
.
.
..
...
.....
y=x
y = 31 x +
2
3
Havaitaan, ett¨a funktion ja sen k¨aa¨nteisfunktion kuvaajat sijaitsevat symmetrisesti
suoran y = x suhteen.
Useimmiten ratkaiseminen ei ole mahdollista. Olkoon esim.
y = x5 + 3x3 + x + 1
T¨all¨oin kyseess¨a on viidennen asteen yht¨al¨o x:n suhteen eik¨a t¨allaiselle yht¨al¨olle ole
olemassa yleist¨a ratkaisukaavaa. Voidaan kuitenkin osoittaa, ett¨a my¨os yll¨aolevassa
tapauksessa funktiolla on k¨aa¨nteisfunktio. T¨am¨a perustuu seuraavaan monotonisuustulokseen
127
Lause 6.28. Jos f : I → R, miss¨a I ⊂ R on v¨ali, on aidosti monotoninen (siis
aidosti kasvava tai aidosti) v¨ahenev¨a, niin funktiolla f on k¨aa¨nteisfunktio f −1 , joka
on m¨aa¨ritelty joukossa f (I). (Voidaan osoittaa, ett¨a my¨os joukko f (I) on v¨ali).
Esimerkki 6.29. Funktiolla f (x) = x5 + 3x3 + x + 1 on k¨aa¨nteisfunktio, joka on
m¨aa¨ritelty koko R:ss¨a. T¨am¨a seuraa siit¨a, ett¨a f on aidosti kasvava koko R:ss¨a sill¨a
f 0 (x) = 5x4 + 9x2 + 1 ≥ 1 > 0,
kaikilla x ∈ R
ja lis¨aksi f (R) = R.
Seuraava tulos koskee k¨aa¨nteisfunktion derivaatan olemassaoloa ja laskemista
Lause 6.30. Olkoon f derivoituva v¨alill¨a I ja olkoon f 0 (x) 6= 0 kaikilla x ∈ I.
T¨all¨oin sen k¨aa¨nteisfunktio f −1 on derivoituva kaikilla y ∈ f (I) ja
Df −1 (y) =
1
f 0 (x)
,
miss¨a y = f (x)
Esimerkki 6.31. M¨aa¨rit¨a funktion f (x) = x5 + 2x − 1 k¨aa¨nteisfunktion derivaatta
pisteess¨a y = 2.
Ratkaisu. Koska f 0 (x) = 5x4 + 2 > 0 kaikilla x ∈ R, niin f on aidosti kasvava koko
R:ss¨a. N¨ainollen funktiolla f on k¨aa¨nteisfunktio f −1 , joka on m¨aa¨ritelty kuvajoukossa f (R) (t¨ass¨a tapauksessa f (R) = R.) Edelleen
y = f (x) = x5 + 2x − 1 = 2 ⇐⇒ x5 + 2x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 1,
N¨ainollen
Df −1 (2) =
1
f 0 (1)
=
(arvaus)
1
1
=
5+2
7
Trigonometristen funktioiden k¨
a¨
anteisfunktiot.
1) Funktio f (x) = sin x on aidosti kasvava v¨alill¨a [− π2 , π2 ], joten sill¨a on k¨aa¨nteisfunktio f −1 , joka on m¨aa¨ritelty v¨alill¨a [−1, 1] = f ([− π2 , π2 ]). T¨at¨a k¨aa¨nteisfunktiota
kutsutaan nimell¨a arkussini tai tarkemmin arkussinin p¨aa¨haara ja merkit¨aa¨n
f −1 (x) = arcsin x
π
2
.
..
..
...
.
...
...
...
....
.
.
.
....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.....
....
...
....
.
.
...
...
...
π
...
1
..........
...............
.........
.......
.
.
.
.
.
......
π
......
.....
.....
2
.
.
.
.
.....
.....
π
......
......
.
.
.
.
2
...
.......
.
.
.
.
.
.
....
..........
.......................
−
−1
−1
1
−2
y = arcsin x
y = sin x
128
, kun x ∈ ]−1, 1[.
Lause 6.32. D arcsin x = p 1
1 − x2
Todistus. Funktion ja k¨aa¨nteisfunktion perusehto t¨ass¨a tapauksessa on
y = sin x ⇐⇒ x = arcsin y
K¨aa¨nteisfunktion derivaattaa koskevan tuloksen nojalla
1
1
1
=
=
D sin x
cos x
cos(arcsin y)
1
1
=p
=q
1 − y2
1 − sin2 (arcsin y)
D arcsin y =
Yll¨a olevassa p¨aa¨ttelyss¨a on neli¨o juuren eteen valittu +-merkki koska
−
π
π
< arcsin y <
=⇒ cos(arcsin y) > 0. ¤
2
2
2) Funktio f (x) = cos x on aidosti v¨ahenev¨a v¨alill¨a [0, π], joten sill¨a on k¨aa¨nteisfunktio f −1 , joka on m¨aa¨ritelty v¨alill¨a [−1, 1] = f ([0, π]). T¨at¨a k¨aa¨nteisfunktiota
kutsutaan nimell¨a arkuskosini tai tarkemmin arkuskosinin p¨aa¨haara ja merkit¨aa¨n
f −1 (x) = arccos x
π
...
...
...
...
...
....
....
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
....
...
...
...
...
...
..
1 .......................................
.......
.......
......
......
......
.....
.....
.....
......
......
......
......
.......
........
..........
.....................
..
π
−1
−1
1
y = arccos x
y = cos x
, kun x ∈ ]−1, 1[.
Lause 6.33. D arccos x = − p 1
1 − x2
Todistus. Voidaan osoittaa, ett¨a arkussinin ja arkuskosinin v¨alill¨a on voimassa yht¨al¨o
π
arcsin x + arccos x =
2
T¨ast¨a seuraa, ett¨a
π
arccos x = − arcsin x
2
joten
1
D arccos x = −D arcsin x = − √
. ¤
1 − x2
129
3) Funktio f (x) = tan x on aidosti kasvava v¨alill¨a ] − π2 , π2 [, joten sill¨a on k¨aa¨nteisfunktio f −1 , joka on m¨aa¨ritelty R:ss¨a, R = f (] − π2 , π2 [). T¨at¨a k¨aa¨nteisfunktiota
kutsutaan nimell¨a arkustangentti tai tarkemmin arkustangentin p¨aa¨haara ja merkit¨aa¨n
f −1 (x) = arctan x
− π2
.
...
..
...
.....
.
...
...
.....
..
...
...
.
.
..
...
....
.....
.
.
.
.
.....
π
....
...
2
...
.
.
.
.
.
...
.....
.
...
...
.....
.
...
...
....
.
................................................
......................
..........
.......
.
.
.
.
.....
.....
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...............
......................................................
y = arctan x
y=
π
2
y = − π2
y = tan x
1 , kun x ∈ R.
1 + x2
Todistus. Funktion ja k¨aa¨nteisfunktion perusehto t¨ass¨a tapauksessa on
Lause 6.34. D arctan x =
y = tan x ⇐⇒ x = arctan y
K¨aa¨nteisfunktion derivaattaa koskevan tuloksen nojalla
D arctan y =
1
1
1
=
. ¤
=
2
D tan x
1 + y2
1 + tan x
4) Funktio f (x) = cot x on aidosti v¨ahenev¨a v¨alill¨a ]0, π[, joten sill¨a on k¨aa¨nteisfunktio f −1 , joka on m¨aa¨ritelty R:ss¨a, R = f (]0, π[). T¨at¨a k¨aa¨nteisfunktiota kutsutaan
nimell¨a arkuskotangentti tai tarkemmin arkuskotangentin p¨aa¨haara ja merkit¨aa¨n
f −1 (x) = arccot x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
.....
.....
.....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
0
π
.......................................................
..................
..........
.......
.....
.....
.....
......
........
..............
.................................
...............................
y = arccot x
y = cot x
130
y=π
y=0
1 , kun x ∈ R.
1 + x2
Todistus. Funktion ja k¨aa¨nteisfunktion perusehto t¨ass¨a tapauksessa on
Lause 6.35. D arccot x = −
y = cot x ⇐⇒ x = arccot y
K¨aa¨nteisfunktion derivaattaa koskevan tuloksen nojalla
D arccot y =
1
1
1
=−
=
. ¤
2
D cot x
1 + y2
−1 − cot x
131