1. No category

Luvun 3 laskuesimerkit
Esimerkki 3.1
Radio-ohjattavan auton nopeus on:
~
v = (−0.5
m/s2 ) · t ^i + (1.0 m/s + (0.075 m/s2 ) · t 2 ) ^j.
a) Mikä on auton keskimääräinen kiihtyvyys aikavälillä
b) Mikä on hetkellinen kiihtyvyys ajan hetkellä
a)
~aav =
∆~
v
∆t
=
~
v1 = ~v (0s) = 1.0 m/s ^j ja
~
v2 = ~v (2s) = −1.0 m/s ^i + 1.3
Nyt
= 2.0
0 − 2.0 s?
s?
~
v2 − ~v1
.
t2 − t1
m/s ^j
Näin ollen keskimääräiseksi kiihtyvyydeksi saadaan
~aav =
~
v2 − ~v1
t2 − t1
~aav = −0.5
=
−1.0
m/s ^i + 1.3 m/s ^j − 1.0 m/s ^j
2s
m/s2 ^i + 0.15 m/s2 ^j
b)
~a =
d ~v
dt
=
d ^ ^
(v i + vy j)
dt x
m/s2 ^i + 2.0 · 0.075 m/s2 · t ^j
= −0.5 m/s2 ^i + 0.15 m/s2 · t ^j
~a(2s) = −0.5 m/s2 ^i + 0.3 m/s2 ^j
= −0.5
Huomautus 1: edellä on annettu sekä keskimääräinen kiihtyvyys
että hetkelliset kiihtyvyydet vektorimuodossa, kiihtyvyyksien
itseisarvojen laskeminen vektorimuodoista on triviaalia.
Huomautus 2: Tehtävässä annetusta nopeuden lausekkeesta
voidaan laskea kappaleen paikka (integroimalla) halutulla hetkellä
jos tiedämme paikan esim. hetkellä
t = 0 s.
Esimerkki 3.2
20.0 m korkean
15.0 m/s. Laske
Pallo heitetään
nopeudella
talon katolta vaakasuoraan
a) pallon kantama
b) lentoaika
c) kulma, jossa se putoaa maahan.
Tarvittavat kaavat:
x = v0x t
y = y0 + v0y t − (1/2)gt 2 ,
missä y0 = 20.0 m ja v0y = 0.0 m/s.
y = 0.
2y0 /g , missä negatiivinen
Aloitetaan b)-kohdasta: lentoajan lopussa
→ 0 = y0 − (1/2)gt →
2
t=±
aika ei ole mielekäs ratkaisu.
t=
s
p
2 · 20.0 m
= 2.02 s.
9.80 m/s2
a) Kantama
x = v0x · t = 15.0 m/s · 2.02 s = 30.3 m
Huom: 3 merkitsevää numeroa.
c) Kulma
α
saadaan nopeusvektorin komponenttien avulla.
tan α =
"
α = arctan
vy
vx
=
v0y − gt
v0x
m/s2 · 2.02 s
15.0 m/s
−9.80
=−
gt
v0x
#
= −52.8◦ ≈ −53◦ .
Esimerkki 3.3
Tarkastellaan tasaisella maalla tapahtuvaa heittoliikettä. Määritä
lauseke
a) heiton lentoajalle
b) kantamalle ja
c) lähtökulmalle, jolla saavutetaan maksimikantama.
x = v0x t , y = v0y t − (1/2)gt 2 ja
vy = v0y − gt .
Peruskaavat ovat:
vx = v0x ,
Ja
v0x = v0 · cos α, v0y
= v0 sin α.
Oletetaan nyt heiton lähtevän ja lennon päättyvän tasolla
T
→ 0 = v0y T − (1/2)gT 2
a) Lentoaika
T
b) kantama
=
2v0 sin α
g
R , sij. t = T :
R = v0x ·
2 · v0 · sin α
g
R=
v
= 0 · 2 · sin α cos α
2
g
v02 · sin 2α
.
g
y = 0.
c) maksimikantama saavutetaan kun edellisessä kaavassa
saa maksimin, eli kun
2α = 90◦ → α = 45◦ .
maksimikantama
Rmax =
v02
.
g
Tällöin
sin 2α
Esimerkki 3.4
Lentokoneen vaakasuuntainen keskeiskiihtyvyys on
5
g . Jos koneen
nopeus on 2 Mach, niin mikä on lentokoneen radan säde?
1 Mach = äänen nopeus ilmassa,
≈ 340
m/s.
arad = 5 g = 5 · 9.80 m/s2 = 49 m/s2 .
v = 2 · 340 m/s = 680 m/s.
arad
=
v2
r
→
r=
v2
arad
Lentokoneen radan säde on
=
m/s2
49 m/s2
(680)2
9.4 km.
= 9437
m.
Esimerkki 3.5
Kappale on ympyräradalla, jonka säde on
4.00 m.
Tietyllä hetkellä
vauhti kasvaa ja kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti saa
arvon
2.00 m/s2 .
Samalla hetkellä keskeiskiihtyvyyden arvo on
6.00 m/s2 .
Mikä on tuolla hetkellä kappaleen vauhti ja kokonaiskiihtyvyyden
suuruus?
arad
√
→ v = arad · r = [6.00
4.9 m/s.
=
v2
r
m/s2 · 4.00 m]1/2 =
√
24 m/s =
Kokonaiskiihtyvyys
~a = ~arad + ~atan
q
2 + a2 = [2.002 + 6.002 ]1/2
|~a| = a = arad
tan
6.32 m/s2 .
m/s2 =
Esimerkki 3.6
Lentäjä yrittää lentää koneellaan pohjoiseen ja nopeusmittarin
mukaan lentonopeus
VP = 240 km/h on. Mittari antaa kuitenkin
nopeuden ilman suhteen.
Jos tuuli puhaltaa itään nopeudella
VA = 100 km/h (maan
suhteen), niin mikä on koneen nopeus suhteessa maahan?
~
vP /A = 240 km/h ^j, ~vA/E = 100 km/h ^i,
missä P = lentokone (plane), A = tuuli (ilma,
air) ja
~
vP /E = ~vP /A + ~vA/E
= 240 km/h ^jp
+ 100 km/h ^i.
v = |~vP /E | = 2402 + 1002 km/h ≈ 260
km/h.
(earth).
E = maa
Suunta
α:
α = arctan
~
vA/E
~
vP /A
!
100 km/h
= arctan
240 km/h
≈ 22.6◦ .
Jatkokysymys: mihin suuntaan lentäjän pitää ohjata konetta
lentääkseen oikeasti pohjoiseen? Mikä on tällöin
v P /E ?
vP /A = 240 km/h, mutta mikä on suunta? ~vA/E
= 100
Luennolla esitetystä kuvasta (voit piirtää itse) näemme:
100 km/h
β = arcsin
240 km/h
= 24.6◦
km/h ^i,
Nopeus:
tan β =
→ vP /E =
VA/E
vP /E
→ vP /E =
vA/E
tan β
100 km/h
= 218 km/h.
tan 24.6◦