Insinöörimatematiikka C
Demonstraatio 4, 3.4.2015
1. a) Osoita, että
lim sinc(τ x) =
τ →∞
1, jos x = 0
0 muutoin.
Vastaus: Jos x = 0, on sinc(τ x) = sinc 0 = 1. Jos x 6= 0, on
sin πτ x τ →∞
≤ 1 −
−−→ 0
|sinc τ x| = πτ x πτ |x|
b) Osoita, että raja-arvoa
lim τ sinc(τ x)
τ →∞
ei ole olemassa missään pisteessä x 6= 0. Miten on pisteen x = 0 laita?
Vastaus: Jos x 6= 0, on
τ sinc(τ x) = τ
sin πτ x
sin πτ x
=
πτ x
πx
1
1
Kun τ → ∞, saa ylläoleva lauseke arvoja πx
:n ja − πx
:n väliltä saavuttaen
molemmat ääripäät äärettömän monta kertaa. Näin ollen raja-arvoa ei ole olemassa.
Jos x = 0, on selvästi lim τ sinc(τ x) = ∞.
τ →∞
2. Laske F[e−|x| ](y) suoraan Fourier-muunnoksen määritelmään perustuen. Vas2
taus:
, mutta esitä yksityiskohdat ja perustelut.
2 2
1 + 4π y
Vastaus:
−|x|
F[e
Z
∞
](y) =
e
−∞
Z 0
=
=
e
=
e
x(1−2πiy)
Z
0
dx =
Z
dx +
−∞
0
.
−∞
=
−|x| −2πixy
e
−|x|−2πixy
−∞
∞
x(−1−2πiy)
e
Z
∞
dx +
e−|x|−2πixy dx
0
dx
0
∞
.
1
1
ex(1−2πiy) +
ex(−1−2πiy)
1 − 2πiy
−1 − 2πiy
0
1
1
1
1
−
=
+
1 − 2πiy −1 − 2πiy
1 + 2πiy 1 − 2πiy
2
1 + 4π 2 y 2
3. Määritä
F[
1
](y).
1 + x2
Ohje: Etsi edelliseen tehtävän, lineaarisuuden ja skaalausperiaatteen avulla sel1
lainen funktio f (x), jolle F[f (x)](y) = 1+y
2 . Käytä lopuksi duaaliperiaatetta.
Vastaus: Ohjeessa mainittujen periatteiden mukaan
F[αe−|βx| ](y) = α
1
2
β 1 + 4π 2 ( βy )2
Nyt siis α ja β pitäisi valita siten, että
ja α = π .
Duaaliperiaatteen mukaan
2α
β
= 1 ja
4π 2
β2
= 1, jolloin siis β = 2π
1
](x) = πe−2π|−x| = πe−2π|x| .
1 + y2
F[
4. Esitä Fourier-integraali
∞
Z
1 2πixy
e
dy
iπy
−∞
reaalisessa muodossa ja laske sen arvo hyödyntämällä luentomateriaalin sopivaa
esimerkkiä sekä sopivaa sijoitusta integraaliin.
2
Vastaus: A(y) = F (−y) + F (y) = 0 ja B(y) = i(F (y) − F (−y)) = πy
, joten
integraali saa muodon
Z
∞
0
2
sin(2πxy) dy.
πy
Jos x = 0, on integraalin arvo selvästikin 0.
z
Jos x > 0 ja sijoitetaan integraaliin y = 2x
, jolloin saadaan
Z
∞
0
Z
2
sin(2πxy) dy =
πy
∞
0
4x
1
sin(πz) ·
dz = 2
πz
2x
∞
Z
sinc z dz.
0
Jos taas x < 0 ja tehdään sama sijoitus, saadaan
Z
0
∞
2
sin(2πxy) dy =
πy
Z
−∞
4x
1
sin(πz) ·
dz = −2
πz
2x
0
Z
0
sinc z dz.
−∞
Koska F[Π(x)](y) = sinc y , on
∞
Z
sinc ye2πixy dy,
Π(x) =
−∞
ja sijoittamalla x = 0 nähdään, että
Z
∞
1=
sinc y dy.
−∞
Toisaalta taas sinc-funktion parillisuuden perusteella integraalin arvo positiivisella ja negatiivisella reaaliakselilla on sama, siis
Z
0
Z
sinc y dy =
−∞
0
∞
1
sinc y dy = .
2
Näin ollen kysytty integraali on 1, kun x > 0 ja −1, kun x < 0,
5. Etsi funktion f (x) = x1 Fourier-muunnos hyödyntämällä sgn-funktion Fouriermuunnosta ja duaalisuusperiaatetta.
1
1
Vastaus: Koska F[sgn(x)](y) = πiy
, on duaalisuusperiaatteen mukaan F[ πix
](y) =
1
sgn(−y) = − sgn(y) ja lineaarisuuden perusteella F[ x ](y) = −πi sgn(y).
6. Etsi funktion f (x) = x12 Fourier-muunnos soveltamalla derivointiperiaatetta
edelliseen tehtävään.
d 1
1
d 1
1
Vastaus: x12 = − dx
x , joten F[ x2 ](y) = −F[ dx x ](y) = −(2πiy)F[ x ](y) =
(2πiy) · πi sgn(y) = −2π 2 y sgn(y).
7. Käytä derivointi-, integrointi-, tai duaalisuusperiaatetta tai määritelmää selvittääksesi mitä on F[xf (x)](y).
Vastaus: Tapa 1: Koska
F[f 0 (x)](y) = 2πiyF (y),
on duaaliperiaatteen mukaan
F[2πiyF (y)](x) = f 0 (−x).
Lisäksi
f 0 (−x) = −
d
f (−x) = F[F (y)](x).
dx
Yhdistämällä nämä saadaan
F[yF (y)](x) = −
1 d
F[F (y)](x)
2πi dx
ja vaihtamalla F (y):n tilalle f (x) saadaan ylläoleva yhtälö muotoon
F[xf (x)](y) = −
Tapa 2: Olkoon
Z
∞
F (y) =
1 0
F (y).
2πi
f (x)e−2πixy dx,
−∞
josta
0
Z
∞
−2πixy
F (y) =
f (x)e
Z
∞
(−2πix) dx = −2πi
−∞
xf (x)e−2πixy dx
−∞
= −2πiF[xf (x)](y),
ja siis
F[xf (x)](y) =
F 0 (y)
−2πi
8. Olkoon f (x) = e−πx . Laske f 0 (x) ja esitä se f (x):n avulla dierentiaaliyhtälönä, jossa f 0 esiintyy vasemmalla ja f oikealla puolella.
Vastaus:
2
2
f 0 (x) = e−πx (−2πx) = −2πxf (x).
9. Hyödynnä edellisessä tehtävässä saamaasi dierentiaaliyhtälöä (Tarkistuksen
vuoksi, pitäisi olla f 0 (x) = −2πxf (x)) ja selvitä tämän perusteella millaisen
dierentiaaliyhtälön F[f ] toteuttaa.
Vastaus: Laskemalla Fourier-muunnokset puolittain dierentiaaliyhtälöstä saadaan
0
2πiyF (y) = −2π
mikä sievenee muotoon
F (y)
,
−2πi
F 0 (y) = −2πyF (y).
10. Oletetaan tunnetuksi
2
2
F[e−πx ](y) = e−πy .
Määritä tämän perusteella Fourier-muunnokset seuraaville funktioille:
a) e−x
b) e−π(x−1) + e−π(x+1)
2
2
Vastaus: a) F[e−x ](y) = F[e−π(
b)
2
2
√x )2
π
2
](y) =
√
2
πe−π(
c)
√
πy)2
2
− 2πxe−πx
=
√
πe−π
2
2 y2
.
2
F[e−π(x−1) + e−π(x+1) ](y) = F[e−π(x−1) ](y) + F[e−π(x+1) ](y)
2
2
2
= e−πy e−2πiy + e−πy e2πiy = 2e−πy cos(2πy).
c)
2
F[−2πxe−πx ](y) = F[
d −πx2
2
e
](y) = 2πiye−πy .
dx