1. No category

MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
1. Laske raja-arvot:
2x2  9x  4
b) xlim
 4 x 2  7 x  12
25  x 2
a) lim
x 5 2 x  10
6p
2. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f ( x)  3x  2 x derivaatta
2
f ´(2) .
1 3
f
(
x
)


x  9 x  2 on kasvava? Perustele
b) Millä välillä funktio
3
vastauksesi derivaatan avulla.
4
3. a) Derivoi f ( x)  x 
6p
2x 2

5 x2
3x 2  5 x
b) Derivoi f ( x) 
4  5x2
6p
4. Määritä minkä suuruisen rajatun pinta-alan muodostavat funktion
g ( x) 
1 2
x  4 x  2 kohtaan x=10 piirretty tangentti, x-akseli ja y-akseli.
2
6p
5. a) Derivoi f ( x)  ( x  4 x)
3
b) Määritä funktion f (x) = x +
7
(2p)
2
pienin ja suurin arvo välillä [1, 3]. Ilmoita
x2
tarkka vastaus, sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (4p)
6p
6. Määritä funktion f ( x)  ( x  2 x)(3x  5) ääriarvot.
2
Käännä! =>
5
6p
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
7. Jussi piti mehukioskia uimarannalla. Kun mehulasin hinta oli 90 senttiä, hän
myi 60 lasillista päivässä. Hän totesi, että jokainen 5 sentin lisäys mehulasin
hintaan pienensi päivämenekkiä kolmella lasillisella. Millä hinnalla hän saa
parhaan myyntituoton? Kuinka suuri tämä tuotto on?
6p
8.
Halutaan valmistaa metallista suorakulmaisen särmiön muotoisia kannettomia
3
laatikoita, joiden tilavuus on 0,5 m ja joiden pohja on neliön
muotoinen.(Kuva1). Pohjasta halutaan vankka, joten sen valmistuskustannukset
ovat kolminkertaiset seinämateriaaliin verrattuna.
Määritä laatikon mitat (pohjaneliön sivu, korkeus), niin että
valmistuskustannukset ovat mahdollisimman pienet.
6p
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
BONUS (+2p)
Ratkaise murtoepäyhtälö:
Kuva 1
4  2x
0
2 x 2  18
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
Ratkaisut:
1. a)
25  x 2
(5  x)(5  x)
1( x  5)(5  x)
lim
 lim
 lim
x 5 2 x  10
x 5
x 5
2( x  5)
2( x  5)
1(5  x) 1(5  5) 10
 lim


 5
x 5
2
2
2
b) Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin
2
2x –9x+4=0
x=
9  81  32 9  49 9  7
=
=
4
4
4
⟺
x=4∨x=
1
2
2
x – 7 x + 12 = 0
7  49  48 7  1 7  1
=
=
⟺
x=4∨x=3
2
2
2
1

2( x  4)  x  
2
2x  9x  4
2  2x 1

=
=
→ 7, kun x → 4
2
( x  4) ( x  3)
x  7 x  12
x 3
Vastaus: 7
x=
2. a)
f ( x)  3 x 2  2 x
3x 2  2 x  f (2)
3x 2  2 x  8
f ´(2)  lim
 lim

x 2
x 2
x2
x2
4
3( x  2)( x  ( ))
3  lim 3( x  4 )  lim 3 x  4  10
lim
x 2
x 2
x2
3 x 2
Tuossa toisella rivillä polynomi on jaettu tekijöihin nollakohtiensa avulla:
4
3x 2  2 x  8  0  x1  2 ja x2  
3
4
 3x 2  2 x  8  3( x  2)( x  ( ))
3
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
b)
1
2
2
f ( x)   x3  9 x  2

x

9

0

9

x
3
Derivaatan nollakohdat:
2
x1  3 ja x2  3
f ´( x)   x  9
Merkkikaavio:
-3
f´(x)
-
3
+
-
+
f(x)
-
-
Funktio on siis kasvava välillä [-3,3].
3. a)
2x 2
2
1
2
 2  x 4  x  2  2  x 4  x  2  x 2
5 x
5
x
5
2
2
1
2 4
f ´( x)  4 x3   2  (2) x 3  4 x 3   4 3  4 x3   3
5
5
x
5 x
f ( x)  x 4 
b)
 6 x  5  4  5 x 2   (10 x)(3x 2  5 x)
3x 2  5 x
f ( x) 
 f ´( x) 
2 2
4  5x2
4

5
x



24 x  30 x3  20  25 x 2  30 x3  50 x 2
 4  5x

2 2

25 x 2  24 x  20
 4  5x2 
2
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
4. Käyrän
1 2
x  4 x  2 derivaatta on g´( x)  x  4 . Derivaatta kohdassa x=10:
2
g´(10)  10  4  6 . Tämä on siis kohtaan x=10 piirretyn tangentin kulmakerroin.
g ( x) 
Tangentti kulkee pisteen x=10 kautta. Tällöin se kulkee myös pisteen
y
1 2
1
x  4 x  2  102  4 10  2  8 kautta. Eli koordinaatin (10,8). Nyt suoran
2
2
yhtälö:
y  y0  k ( x  x0 )  y  8  6( x  10)  y  6 x  60  8  y  6 x  52
Tangentti siis leikkaa y-akselin korkeudella -52 . Lasketaan x-akselin leikkauspiste, eli siis
yhtälön 6 x  52  0 nollakohta, ratkaisu:
52 26
. Nyt tangentti, x-akseli ja y-akseli muodostavat rajatun

6
3
suorakulmaisen kolmion, jonka yksi kärki on x-akselilla kohdassa x=26/3, yksi kärki on origossa
ja yksi kärki on y-akselilla kohdassa y=-52.
6 x  52  0  6 x  52  x 
Tämän kolmion pinta-ala on:
26
 52
1
A 3
 225 yksikköä
2
3
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
5. a)
f ( x)  ( x3  4 x)7  f ´( x)  7( x3  4 x)6  (3x2  4)  ( x3  4 x)6 (21x2  28)
6.
2
b) f (x) = x + x 2 pienin ja suurin arvo välillä [1, 3]:
7. f ( x)  x  2  x  2 x 2  f ´( x)  1  2  (2) x 3
2
x
 1 4 
1
4

1

x3
x3
Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista tai suljetulla välillä välin
päätepisteistä:
1
4
4
 0  1  3 x3  x3  4
3
x
x
 x  3 4  1,59
3
Merkkikaavio:
1,59
f´(x)
-
+
f(x)
1,59
+
-
1
3
Graafisesti tulkittuna on löydetty min. kohta, kun x = 1,59. Max. kohta löytyy välin
päätepisteistä. Pitää laskea sijoittamalla alkuperäiseen funktioon:
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
2
 1 2  3
12
2
2 29
f (3)  3  2  3  
3
9 9
f (1)  1 
Max. kohta on siis x=3 ja Max. arvo on
2
3
4
2
43 4
2
f ( 4)  4 




2
2
2
2
3
3
3
3
1
4
4
4
4
3
Min. arvo:
29
 3.22
9

3
3
4 2
3
4
2
3
2
3

42
3
4
2
6

3
4
2
 2,38
6.
f ( x)  ( x2  2 x)(3x  5)5
f ´( x)  (2 x  2)(3x  5)5  5(3x  5) 4  3( x 2  2 x)
 (3x  5) 4 (2 x  2)(3x  5)  5  3( x 2  2 x) 
 (3x  5) 4 6 x 2  10 x  6 x  10  15 x 2  30 x 
 (3x  5) 4  21x 2  46 x  10 
Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista:
(3 x  5) 4  21x 2  46 x  10   0
 (3 x  5) 4  0 tai 21x 2  46 x  10  0
(3 x  5)5  0  3 x  5  0  3 x  5  x 
5
3
21x 2  46 x  10  0
(46)  (46) 2  4  2110 46  1276 46  4  319


2  21
42
42
46  2 319 46 2 319 23
319





42
42
42
21
21
23
319
23
319
x1 

 1,946 ja x2 

 0, 245
21
21
21
21
x
Merkkikaaviosta nollakohtien kulku:
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
0,245
+
5/3
-
1,946
-+
f´(x)
f(x)
1,946
0,245
5/3
Eli paikallinen max kohta on x=0,245 ja paikallinen min. kohta on x=1,946
Ääriarvot: paikallinen max. arvo = f(0,245)=606,8
Paikallinen min. arvo=f(1,946)=-0,04
7.
Merkitään hinnan muutos x (yksikkönä 5 senttiä) ja myyntituotto m
2
m (x) = (90 + 5 x) (60 – 3 x) = – 15 x + 30 x + 5400
Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten se saa suurimman arvonsa
derivaatan nollakohdassa
m’(x) = – 30 x + 30 = 0
⟺
x=1
m (1) = 0,95 · 57 = 54,15
Vastaus: Hinta 95 senttiä ja myyntituotto 54,15 €
8.
Merkitään laatikon pohjaneliön sivun mitaksi x ja
korkeudeksi y. Nyt tiedetään, että
V  0,5m3  x 2 y

2
 A  3x  4 xy
Pinta-alaa mietittäessä pohjan pinta-ala on kerrottu kolmella, koska sen
valmistuskustannukset ovat kolminkertaiset. Ratkaistaan tilavuuden
lausekkeesta y:
MAA7 7.1 Koe
Jussi Tyni
29.1.2013
Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet
näkyviin!
0,5m3  x 2 y 
0,5
 y ja sijoitetaan tämä pinta-alan lausekkeeseen, jolloin siitä tulee x:ää
x2
sisältävä funktio:
0,5
2
 3x 2 
2
x
x
2
A´( x)  6 x  2 x 2  6 x  2
x
A( x)  3x 2  4 x
Ääriarvot derivaatan nollakohdista:
6x 

2
2 2
1
1
3
3
3

0

6
x

x

6
x

2

x


x

x2
x2
3
3
1
 0, 693
3
3
Tarkastellaan merkkikaaviolla, onko kyseessä min. vai max. kohta!
0,693
0,693
+
A´(x)
-
+
-
A(x)
On löydetty pinta-alan (=valmistuskustannusten) min. kohta.
Valmistuskustannukset min, kun pohjaneliön sivu x=0,683m ja korkeus
y
0,5
 1 
3 
 3
2
2
 0,5 3 3  1, 04m