1. No category

UNIVERZA NA PRIMORSKEM
FAMNIT
Vrednotenje finančnega inštrumentarija
Pisni izpit
Vzorec 1
Vpisna št:
V
ZO
R
EC
Ime in priimek:
Navodila
Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 5. Na razpolago
imate 2 uri.
Naloga
1.
2.
3.
4.
5.
Skupaj
a.
b.
c.
d.
•
•
•
•
•
FM2, 2014/2015, M. Perman, M. Vidmar
1. (20) Naj bo B standardno Brownovo gibanje. Definirajte za λ ∈ R
Mt = e2λ
2
Rt
0
Bs2 ds
cos λ Bt2 − t
in Nt = e2λ
2
Rt
0
Bs2 ds
sin λ Bt2 − t .
a. (5) Pokažite, da sta procesa M in N lokalna martingala.
b. (5) Definirajte za a > 0
Z
Ta = inf{t ≥ 0 : 4
t
Bs2 ds ≥ a} .
0
Utemeljite, da je Ta čas ustavljanja in sta procesa
M̃t = Mt∧Ta
in Ñt = Nt∧Ta
martingala.
c. (5) Privzemite kot znano, da je P (Ta < ∞) = 1. Pokažite, da je
E (Mt∧Ta ) = 1 in E (Nt∧Ta ) = 0 .
Sklepajte, da je
E (MTa ) = 1 in E (NTa ) = 0 .
d. (5) Dokažite, da je BT2a − Ta ∼ N(0, a).
2
FM2, 2014/2015, M. Perman, M. Vidmar
2. (20) Naj bo B standardno Brownovo gibanje. Definirajte
1
E(B)t = eBt − 2 t
in
t
Z
E(B)−1
s (Bs dBs − Bs ds) .
Yt = Et (B)
0
a. (10) Pokažite, da je
dYt = (Yt + Bt )dBt .
b. (10) Pokažite, da Y ustreza enačbi
Z t
1
1
Yt =
Ys dBs + Bt2 − t .
2
2
0
4
FM2, 2014/2015, M. Perman, M. Vidmar
3. (20) Naj bo B standardno Brownovo gibanje in označimo tekoči maksimum z
B̄t = max Bs .
0≤s≤t
Privzemite, da je filtracija kar naravna filtracija Brownovega gibanja.
a. (5) Pojasnite enakost
B̄T = max B̄t , Bt + max (Bt+s − Bt ) .
0≤s≤T −t
Sklepajte, da je za t < T
E(B̄T |Ft ) = F (Bt , B̄t , t)
za neko funkcijo F (x, y, t) definirano za x ≤ y.
b. (10) Izračunajte F (x, y, t) za t < T .
c. (10) Poiščite prilagojen proces H, da bo
Z T
2
E
Hs ds < ∞
0
in
Z
B̄T = E(B̄T ) +
T
Hs dBs .
0
Namig: Definirajte Mt = E(B̄T |Ft ) = F (Bt , B̄t , t). Utemeljite, da je M zvezen
martingal na [0, T ] in uporabite Itôvo formula za F (Bt , B̄t , t) za t < T .
6
FM2, 2014/2015, M. Perman, M. Vidmar
4. (20) Naj bosta µ(t) in σ(t) dani zvezni funkciji na intervalu [0, T ]. Proces S naj
ustreza stohastični diferencialni enačbi
dSt = St (σ(t)dBt + µ(t)dt) .
Definirajte
Z t
Z t
Z
1 t 2
σ(s)dBs +
µ(s)ds −
σ (s)ds .
Xt = St exp −
2 0
0
0
a. (10) Definirajte
Z t
Z t
Z
1 t 2
µ(s)ds −
σ(s)dBs +
Yt = exp −
σ (s)ds .
2 0
0
0
Pokažite, da je
dhS, Y it = −σ(t)2 St Yt dt .
b. (10) Izračunajte dXt in uporabite rezultat, da najdete St .
8
FM2, 2014/2015, M. Perman, M. Vidmar
5. (20) Predpostavite za S Black-Sholesov model in naj bo izplačilo opcije v času T
dano z
rT
e
če je ST ≥ LerT
VT =
0
sicer.
kjer je L > S0 neko dano število.
a. (5) Izračunajte začetno vrednost V0 .
b. (5) Izračunajte vrednostni proces Vt za 0 ≤ t < T .
c. (5) Navedite komponento H varovalnega portfelja za 0 ≤ t < T .
d. (5) V primeru, ko je ST 6= LeRT , določite
lim Ht ?
t↑T
10