1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%:n ja 99%:n luottamusvälit tiivisterenkaiden halkaisijan odotusarvolle. Vastaus: [0.592, 0.608] ja [0.590, 0.610] 2. Kuinka suuri otos vähintään tarvitaan, jos halutaan, että edellisen tehtävän tiivisterenkaiden halkaisijan odotusarvon 99%:n luottamusvälin pituus on korkeintaan 0.02 tuumaa? Vastaus: Otoskoko 107 kpl 3. Erään paperilaadun neliöpaino vaihtelee normaalijakauman mukaan ja hajonnan tiedetään olevan σ = 1.3 g/m2 . Kun halutaan estimoida odotusarvoa, niin kuinka suuri otos tarvitaan, jotta odotusarvon 99%:n luottamusvälin pituus olisi alle 1 g/m2 ? Vastaus: 45 4. Estimoidaan normaalijakautuneen satunnaismuuttujan X odotusarvoa µ tilanteessa, jossa hajonta σ tunnetaan. Kuinka suuri otos tarvittaisiin, jotta odotusarvon 99%:n luottamusvälin pituus olisi alle a) σ, b) 0, 1σ? Vastaus: a) 27 b) 2654 5. Pakkauskoneella pakatuista laatikoista otettiin 8 kappaleen näyte, jossa painot (kg) olivat 5.0 4.5 5.2 5.4 4.7 4.8 5.6 5.0 a) Estimoi painon odotusarvo ja varianssi. b) Määrää odotusarvon 99% :n luottamusväli. Vastaus: b) 5.025 ± 0.452 6. Jauhimen toiminnan valvonnassa tarkkaillaan jauhetun massan raekoon vaihtelua. Suoritetussa rutiinimittauksessa saatiin n=25 rakeen otoksesta hajonnaksi s=0.75 kg. Mitä arvoa pienempi raekoon todellinen hajonta σ on 95%:n varmuudella? Oletetaan, että raekoko on normaalijakautunut. Vastaus: σ = 0.9758831 ≈ 0.98 7. Mediatutkimuksessa poimittiin suomalaisista 150 hengen otos ja kysyttiin mm. kuinka moni katsoi säännöllisesti erästä uutta televisiosarjaa. 57 henkeä ilmoitti katsovansa kyseistä sarjaa. Laske tämän perusteella 95%:n luottamusväli katsojien suhteelliselle osuudelle koko väestössä. Vastaus: 38 ± 8% 8. Tutkitaan suhteellisen osuuden, esim. puoluekannatuksen väliestimointia 95%:n varmuudella: miten suuri otoskoon olisi oltava, jotta saavutettaisiin a) 5, b) 1 prosenttiyksikön tarkkuus kannatusosuuden p estimoinnissa, kun p̂ = 0.25. Kuinka väliestimaatti muuttuu p̂:n muuttuessa? Vastaus: a) n ≥ 289 b) n ≥ 7203 9. Halutaan selvittää, onko virvoitusjuomien pullottamoon asennettu uusi kuljetinrata lyhentänyt läpimenoaikaa. Läpimenoajat (ennen ja jälkeen) voidaan olettaa normaalijakautuneiksi ja varianssit yhtäsuuriksi. Estimoi keskimääräisen läpimenoajan lyheneminen µ1 − µ2 ja määritä sen 95%:n luottamusväli seuraavasta koeaineistosta: ennen jälkeen n1 = 12 n2 = 10 x1 = 35.2 x2 = 31.5 s1 2 = 24.4 s2 2 = 20.0 Vastaus: 3.7 ± 4.2 10. Vertailtiin kahden valmistajan polttimoiden kestoikää ja havaintoaineistoista oli laskettu: Tyyppi 1: n1 = 80, x1 = 1200, s21 = 40000 Tyyppi 2: n2 = 100, x2 = 900, s22 = 35000 Määritä 99%:n luottamusväli kestoiän odotusarvojen erolle. 11. Valmistetaan laakerikuulia, joiden halkaisijan tulisi olla mahdollisimman tarkkaan 5 mm. Halkaisija X on normaalijakautunut odotusarvona säätöarvo µ ja keskihajontana σ = 0, 2 mm. Säätöarvo tarkastetaan mittaamalla n = 20 satunnaisesti valitun laakerikuulan halkaisija ja testaamalla riskitasolla α = 0,05 hypoteeseja H0 : µ = 5, H1 : µ 6= 5. Suorita testaus, kun tarkastuksessa saatiin keskiarvoksi x = 5, 06 mm. Mikä on tuloksen P-arvo? Vastaus: P-arvo ∼ 0, 18 12. Kemiallisen prosessin valvonnassa tarvitaan liuoksen pH:n mittaamista. Prosessin toiminnan kannalta oikea pH-arvo on 7, 90. Liian suuret poikkeamat kumpaankin suuntaan ovat haitallisia. Onko pH pysynyt halutussa arvossa, jos kahdeksasta mittauksesta saadaan keskiarvoksi 7, 85 ja keskihajonnaksi 0, 04? Testaa hypoteeseja H0 :µ = 7, 90 H1 :µ 6= 7, 90 Käyttäen riskitasoa α = 0, 05 Vastaus: Ei ole. 13. Määrätyillä testeillä mitattu älykkyysosamäärä on normaalijakautunut ja sen keskiarvo Suomen koko väestössä on 100, keskihajontana 24. Erään pikkukaupungin teknillisen korkeakoulun opiskelijoista poimittiin satunnaisesti 10 testattavaa. Näiden ÄO-lukemien keskiarvoksi saatiin x̄ = 109.6 ja keskihajonnaksi s = 18.1. Mitä johtopäätöksiä tuloksista voidaan vetää? 14. Eräässä rahapelissä kone simuloi rahanheittoa. Eräs pelaaja epäilee, että kone "vetää"kotiinpäin, eivätkä kruuna ja klaava ole yhtä todennäköisiä. Pidettyään kirjaa tuloksista hän havaitsi, että 100 heitolla tuli 39 kruunaa ja 61 klaavaa. Voidaanko päätellä, ettei rahanheiton tulos ole täysin satunnainen? Käytä kaksisuuntaista testiä. Vastaus: Melkein merkitsevä 15. Eräässä valtiossa presidentti valitaan kaksivaiheisella kansanäänestyksellä, jossa ensimmäinen vaihe ratkaisee vaalin, mikä joku ehdokkaista saa yli 50% äänistä. Ennen vaalia suoritetussa kyselyssä kantansa ilmoitti 1496 henkilöä, joista 779 ilmoitti äänestävänsä ehdokasta N.N. Olkoon p kyseisen ehdokkaan kannatusosuus koko äänestäjäkunnassa. Testaa riskitasolla α = 0.05 hypoteesit H0 : p ≤ 0, 5 H1 : p > 0, 5 Vastaus: H0 jää voimaan 16. Kahden autonrengastyypin keskimääräinen kesto on 50000 km. Halutaan testata onko tyypin 1 kestoajan hajonta suurempi kuin tyypin 2. Kestotesti suoritettiin 21 tyypin 1 renkaalle ja 16 tyypin 2 renkaalle. Otoshajonnoiksi saatiin tyypille 1 s1 = 8400 km ja tyypille 2 s2 = 5600 km. Suorita testaus riskitasolla α = 0.05. Vastaus: Tyypin 1 kestoajan hajonta ei ole suurempi kuin tyypin 2 kestoajan hajonta. 17. Pakkauskoneella pakatuista laatikoista otettiin 6 kappaleen näyte, jossa painot (kg) olivat 4,5 5,0 5,2 5,4 5,1 5,7 Painon vaarianssi ei saisi olla yli 0, 15kg 2 . Laske otosvarianssi ja testaa hypoteesit H0 : σ 2 ≤ 0, 15 H1 : σ 2 > 0, 15 18. Muovilaadun kimmoisuus saattaa riippua valmistusprosessista. Tämän siekan tutkimiseksi otettiin kahdesta eri valmistusmenetelmällä tehdystä muovilaadusta 60 näytettä kummastakin ja laskettiin otoskeskiarvot ja -hajonnat: Menetelmä 1: n1 = 60 X 1 = 8, 08 s1 = 1, 76 Menetelmä 2: n2 = 60 X 2 = 6, 97 s2 = 1, 13 Testaa riskitasolla α = 0, 01, ovatko keskimääräiset kimmoisuudet yhtä- vai erisuuret. Oletetaan, että kimmoisuudet noudattavat normaalijakaumaa, mutta hajontoja ei voida olettaa yhtäsuuriksi. Vastaus: Erisuuret. 19. Epäillään, että edellisessä tehtävässä mainitun menetelmällä 1 tehdyn muovin kimmoisuus vaihtelee enemmän kuin menetelmällä 2 tehdyn. Testaa riskitasolla α = 0, 01 hypoteesit H0 : σ 1 = σ 2 H1 : σ1 > σ2 20. Tutkittiin kahden ammatiryhmän, sairaanhoitajien ja tietotekniikkainsinöörien, työperäistä stressiä. alittiin kahdeksan satunnaista koehenkilöä kummastakin ryhmästä. Stressiarvo lasketaan painotettuna keskiarvona eräistä fyysisistä ja psyykkisistä testeistä: mitä korkeampi arvo, sitä stressaantuneempi henkilö. Tulokset olivat seuraavat: Sairaanhoitajat Tietotekniikkainsinöörit 15 10 12 5 5 2 14 8 6 3 17 12 3 1 9 3 Testaa sopivalla 2-suuntaisella testillä, onko ammattiryhmien keskimääräisissä tuloksissa eroa. Voidaan olettaa, että perusjoukkojen varianssit ovat yhtäsuuria. (Testisuureen arvo 2.0) 21. Testaa, onko tehtävän edellisen aineiston perusteella sairaanhoitajien ja tietotekniikkainsinöörien stressiarvoissa yhtä paljon vaihtelua vai vaihtelevatko sairaanhoitajien arvot enemmän (varianssien testaus). 22. Pankissa tutkittiin asiakkaan palveluajan jakautumista. 80 asiakkaan otoksessa ajat jakautuivat seuraavasti: min: 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 lkm: 9 23 22 15 11 Tutki κ 2 -yhteensopivuustestin avulla, riskitasolla α = 0,001, voidaanko palveluajan katsoa noudattavan eksponentiaalijakaumaa. Jakauman parametriksi 1 . Luokkatodennäköisyydet ekponentiaalijakaumalle on estomoitu λ = x1 = 4,9 lasketaan kaavalla P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) = e−λa − e−λb , paitsi viimeisen luokan todennäköisyys on P (X ≥ 8). Vastaus: 2 Koska κ 2 > κ0,999 (3), H0 hylätään riskitasolla α = 0,001 ⇒ Jakauma poikkeaa erittäin merkittävästi Exp -jakaumasta 23. Neljä eri konetta valmistavat samaa tuotetta. Kunkin koneen tuotannosta otettiin 200 kappaleen näyte ja saatiin viallisten lukumääriksi 2, 9, 10 ja 3. Testaa 5%:n merkitsevyystasolla, poikkeavatko koneiden tuottamien virhekappaleiden osuudet toisistaan. Vastaus: On eroja, eli poikkeavat.