Tilastomenetelmien peruskurssi (TILP150)
Alkio-opisto
Kevät 2011
6. harjoitukset (24.3)
1. Veikkauksen Luontoarvan voitonjako on seuraava: 100 000 kpl 2 euroa,
75 000 kpl 4 euroa, 20 000 kpl 5 euroa, 10 000 kpl 10 euroa, 1800 kpl
15 euroa, 550 kpl 40 euroa,180 kpl 100 euroa, 50 kpl 1000 euroa ja 5
kpl 15 000 euroa. Arvan painosmäärä on 1 000 000 kpl. Arvan hinta on
2 euroa.
a) Merkitään X="voiton määrä euroina". Määrää X:n mahdolliset
arvot (ts. mitä rahamääriä voi voittaa) eli xi :t (10 kappaletta).
Esim. x1 = 0 jne.
b) Laske näiden arvojen todennäköisyydet eli pi :t (klassinen toden792415
.
näköisyys). Esim. p1 = P(X = x1 ) = P(X = 0) = 1000000
c) Mikä on voiton odotusarvo µ, ts. mikä on keskimääräinen voitto
yhtä ostettuaP
arpaa kohti (vastaus 0.90 e)? Odotusarvo lasketaan
kaavalla µ = 10
i=1 xi ·pi . Mikä voisi olla sopiva arvan myyntihinta?
2. Harjoitellaan normaalijakaumataulukon käyttöä. Satunnaismuuttuja Z
noudattaa normaalijakaumaa N (0, 1). Selvitä seuraavat todennäköisyydet:
a) P(Z ≤ −1.60)
b) P(Z ≤ 2.05)
c) P(Z > 1.78)
d) P(−2.3 < Z ≤ 2.3)
3. Haluat vuokrata kalustamattoman yksiön ensi kevääksi. Merkitään X=”vuokra
kuukaudessa (e)”. Sanomalehti-ilmoituksista tehdyn satunnaisotoksen
(n = 40) perusteella vuokrien keskiarvo on 270 euroa eräällä alueella.
Oletetaan, että vuokran varianssi on tunnettu, ts. σ 2 = 452 = 2025 euroa. Oletetaan X̄:n noudattavan likimain normaalijakaumaa N (µ, 452 /40),
koska otoskoko on ”suuri” eli n ≥ 30. Arvioi odotusarvoa µ ko. alueella
a) keskiarvolla eli piste-estimaatilla.
b) 95 %:n luottamusvälillä.
c) 99 %:n luottamusvälillä.
d) Miten valittu riski vaikuttaa luottamusväliin? Vertaile kohtia b)
ja c).
2
4. Teoriatehtävä: Tarkastellaan X̄ ∼ N (µ, σn ).
Ratkaise a seuraavasta
P(a ≤ X̄) = 0.975.
Vinkki: Tee muunnos Z =
0.975.
X̄−µ
√
σ/ n
ja käytä tietoa, että P(−1.96 ≤ Z) =
5. Tutkitaan erään siemenlajikkeen itävyysprosenttia.
a) Otoksessa on 1500 (= n) siementä, joista iti 930. Laske 95 %:n
luottamusväli suhteelliselle osuudelle π.
b) Otoksessa on 3000 (= n) siementä, joista iti 1860. Laske 95 %:n
luottamusväli suhteelliselle osuudelle π.
c) Miten otoskoko vaikuttaa luottamusväliin? Vertaile kohtia a) ja
b).
6. Halutaan estimoida prosenttiosuutta siten, että luottamusvälin virhemarginaali ei ylitä arvoa 0.03, kun asetettu varmuus on 95%. Arvataan,
että todellinen prosenttiosuus π olisi 0.50. Laske otoskoko n.
Vinkki: Luottamusvälin kaava on muotoa otoksen prosenttiosuus ± virhemarginaali. Ratkaise virhemarginaaliosasta otoskoko n ja aseta virhemarginaaliksi 0.03.
Demohyvitys: 5 tehtävää= 0.8 pistettä, 3 tehtävää= 0.40 pistettä
2