1. No category

Dynamiikka
1
Liite lukuun 6.
Jäykän kappaleen tasokinetiikka - harjoitustehtäviä
6.1 Avolavapakettiauton massa on
1500 kg . Auto lähtee levosta liikkeelle
10 % ylämäkeen ja saavuttaa vakioG
kiihtyvyydellä
nopeuden
50 km / h
0,6 m
1
10
60 m matkalla. Laske pyöräparien nor1,5 m
1,5 m
maalivoimat ja vetävien takapyörien kitkavoima. Tien ja renkaiden välinen kitkakerroin on vähintään 0,8 . Vast. NE = 6550 N NT = 8100 N Fμ = 3880 N
C
0,6 m
B
1,5
m
D
G
M
C
1,5
m
1,8 m
6.2 Sauvan AC massa on 150 kg ja AG = GC . Sauva
nostetaan levosta kohdasta θ = 0 o massattomien varsien AC ja BD avulla kohtaan C vaikuttavalla momentilla M = 5 kNm . Määritä varsien kulmakiihtyvyys α
kulman θ funktiona ja laske varren BD normaalivoima, kun θ = 30 o .
Vast. α = ( 14,18 − 6,54 cos θ ) 1/ s 2 BD = 2,14 kN
A
θ
G
1,2 m
A
6.3 Porakonetta kuljetetaan auton lavalla
ja kuljettaja on unohtanut kiinnittää koneen
lavaan. Lepokitkakerroin kohdassa A on
0,6 ja porakoneen massakeskiö on G.
Määritä suurin kiihtyvyys a, joka autolla voi
olla, jotta porakone ei luista eikä kaadu
lavalla.
Vast. 4,91 m / s 2
a
0,6 m
a
15 o
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
6.4 Kuvan mukaisella kuljettimella
siirretään homogeenisia sylintereitä
ylöspäin 15 o kulmassa vaakatasoon
nähden. Sylinterin pohjan halkaisija
on puolet sylinterin korkeudesta.
Määritä suurin kiihtyvyys, jolla hihna
voidaan käynnistää niin, että sylinterit
eivät kaadu. Vast. 2,20 m / s 2
© Matti Lähteenmäki
Dynamiikka
2
6.5 Kuvan mekanismia käytetään siirtämään laatikoita tasolta A tasolle B. Mekanismia ohjataan hydraulisesti siten, että kulma θ muuttuu ajan mukana funktion
480 mm
G
A
D
F
θ
B
12
00
m
m
C
E
600 mm
π
π
πt
( 1 − cos ) mukaisesti, missä ajan t yksikkö on sekunti ja 0 ≤ θ ≤ . Määritä
3
6
2
π
niveleen D kohdistuva voima, kun a) θ = 0 + , t = 0 + ja b) θ = , t = 1 s . Laatikon ja
6
nostotason yhteinen massa on 200 kg ja massakeskiö G. Nostovarsien massaa ei
oteta huomioon. Vast. a) 1714 N b) 2178 N
θ( t ) =
θ
θ
6.6 Laatikon massa on 900 kg ja sen massakeskiö G on geometrisessa keskiössä. Laatikko on ripustettu vaijereilla A ja B sekä vaakasuoralla köydellä C. Köysi C irrotetaan äkillisesti, kun θ = 60 o . Laske vaijerin A rasitus välittömästi köyden irrottamisen jälkeen.
Vast. 1616 N
C
900 mm
B
A
G
900 mm
0,6 m
0,3 m
O
P=1,80 kN
45o
A
300 kg
6.7 300 kg betonimassaa nostetaan kuvan
mukaisella mekanismilla. Nostorummut on
kiinnitetty toisiinsa jäykästi ja niiden yhteinen
massakeskiö on O. Rumpujen massa on
150 kg ja hitaussäde akselin O suhteen
450 mm . Moottori A aiheuttaa nostovaijeriin
vakio voiman P = 1,80 kN . Määritä betonimassan pystysuuntainen kiihtyvyys ja laakerin O tukireaktioresultantti.
Vast. 1,03 m / s 2 6130 N
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
© Matti Lähteenmäki
Dynamiikka
3
6.8 Kuvan heilurin massakeskiö on G, massa 7,5 kg ja hitaussäde akselin O suhteen on 295 mm . Heiluri päästetään
O
θ
25
lepoasennosta θ = 0 o liikkeelle. Määritä laakerin O tukireaktioresultantti, kun θ = 60 o . Laakerin kitkaa ei oteta huomioon. Vast. 156 N
m
0m
G
(a)
(b)
0,25 m
0,25 m
20 kg
20 ⋅ 9,81N
0,25 m
A
B
O
0,25 m
C
0,25 m
A
B
0,5 m
0,
25
m
A
0,15 m
ω
B
C
6.11 Sauvoilla OA ja BC on sama massa 8 kg . Ne on
kiinnitetty toisiinsa hitsaamalla kohdasta A ja muodostavat yhdessä T-muotoisen kappaleen, joka pyörii akselin O ympäri vapaasti. Kappaleen kulmanopeus on
4 1/ s sauvan OA ollessa vaaka-asennossa. Laske
laakerin O tukireaktioresultantti. Vast. 101 N
6.12 Sauva AC pyörii vakio kulmanopeudella ω = 10 1/ s
akselin O ympäri myötäpäivään. Kummankin varren AB ja
CD massa on 4 kg ja niitä pidetään kuvan asennossa
vaijereiden OB ja OD avulla. Vaijerit ovat kohtisuorassa
sauvaa AC vastaan. Laske vaijereiden OB ja OD rasitus.
Vast. 30 N
0,
25
m
0,15 m
D
O
α b = 3,49 1/ s 2
6.10 Hammaspyörän A massa on 24 kg ja hitaussäde
akselin suhteen 150 mm . Hammaspyörän B vastaavat
suureet ovat 6 kg ja 75 mm . Laske pyörän B kulmakiihtyvyys, kun pyörään A vaikuttaa momentti
M = 8 Nm . Vast. 23,7 1/ s 2
M
0,125 m
6.9 Nostorummun massa on 100 kg
ja hitaussäde akselin suhteen
375 mm . Laske rummun kulmakiihtyvyys tapauksissa (a) ja (b), kun
laakerin kitkaa ei oteta huomioon.
Vast. α a = 3,20 1/ s 2
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
© Matti Lähteenmäki
Dynamiikka
r
20
G
4
6.13 Metallirengas päästetään levosta liikkumaan pitkin
kaltevaa tasoa. Renkaan säde on 150 mm , tason kal-
tevuuskulma on 20 o , lepokitkakerroin μ s = 0,15 ja liikekitkakerroin μ k = 0,12 . Määritä aika jonka kuluttua rengas on liikkunut tasolla 3 m ja laske tätä hetkeä vastaava renkaan kulmakiihtyvyys.
Vast. 1,63 s 7,37 1/ s 2
o
0,45 m
0,15 m
6.14 Rummulle A annetaan vakio kulmakiihtyvyys α 0 = 3 1/ s 2 , josta aiheutuu rullan
B liike vaakatasolla. Rullan hitaussäde massakeskiönsä G suhteen on 250 mm . Rullan ja vaakatason välinen lepokitkakerroin on
0,25 . Määritä vaijerin
G
rasitus ja vaakatasosta
α0
rullaan kohdistuva kit0,25 m
kavoima.
B
Vast. 155 N 76 N
A
A
150 N
θ
G
B
O
6.15 Sauvan AB päät liikkuvat pitkin pystytasossa olevia johteita kuvan mukaisesti. Sauva on aluksi levossa asennossa
θ = 30 o , kunnes voima 150 N alkaa vaikuttaa. Laske seurauksena oleva sauvan AB kulmakiihtyvyys ja rullien A ja B
tukireaktiot. Kitkaa ei oteta huomioon.
Vast. 4,69 1/ s 2 337 N 77 N
a
ω
θ
6.16 Auton ovi on epähuomiossa jäänyt hieman raolleen,
kun autoa aletaan jarruttaa vakio hidastuvuudella a. Johda
lauseke oven kulmanopeudelle ω oven ollessa kohdassa
θ = 90 o ja laske saranoiden tukireaktiokomponentit kulman
θ funktiona. Oven massa on m, massakeskiön etäisyys akselista O on r ja hitaussäde akselin O suhteen on k.
Vast. ω(90 o ) = 2 a r / k
ω
G
O
0,1 m
GO=0,04 m
6.17 Tasapainottamaton rengas vierii liukumatta vaakatasolla.
Renkaan massa on 10 kg ja kuvan asennossa sen kulmanopeus on 2 1/ s . Renkaan hitaussäde massakeskiön G suhteen on 64 mm . Laske kuvan asentoa vastaava alustan ja
renkaan välinen normaalivoima ja kitkavoima.
Vast. 88 N 24 N
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
© Matti Lähteenmäki
Dynamiikka
5
6.18 Raketti lentää maan ilmakehän yläpuolella 400 km korkeudella, jolloin pu-
toamiskiihtyvyys on 8,69 m / s 2 . Raketti lentää pystysuuntaan nähden 30 o kulmassa
ja sen jäljellä oleva massa on 300 kg . Rakettimoottorin
työntövoima on T = 4 kN ja suutin on kuvan mukaisesti
o
30
kääntyneenä 1o lentosuunnasta. Laske raketin massakeskiön G kiihtyvyyskomponentit a x ja a y sekä raketin
kulmakiihtyvyys α . Raketin hitaussäde massakeskiön
suhteen on 1,5 m .
Vast. 6,87 m / s 2 2,74 m / s 2 0,31 1/ s 2
3m
G
T
o
1
6.19 Kiertokangen AB massa on 0,6 kg ja hitaussäde
massakeskiön G suhteen on 28 mm . Männän ja männäntapin A yhteenlaskettu massa on 0,82 kg . Kampiakselin pyörimisnopeus on vakio 3000 r / min , jolloin
vastaava kulmanopeus on 100 ⋅ π 1/ s . Laske männän-
μ=0
m
75 m
A
32,5
mm
G
tappiin A kohdistuva voima asennossa θ = 90 o , kun
komponenttien painovoimia eikä männän yläpuolista
painetta oteta huomioon. Vast. 1522 N
θ
B
O
ω
m
5m
42,
6.20 Pyörä vierii liukumatta ylös kaltevaa tasoa, kun 100 N voima vaikuttaa pyörän
kehältä purkautuvaan köyteen. Laske pyörän kulmanopeus, kun sen keskipiste on
liikkunut 3 m alkuasemasta, jossa pyörä
100 N
oli lepotilassa. Pyörän massa on 40 kg ,
0,1 m
0,2 m
massakeskiö on O ja hitaussäde massakeskiön suhteen 150 mm . Määritä myös
O
100 N voiman teho, kun pyörä on liikkuo
15
nut 3 m . Vast. 30,3 1/ s 908 W
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
© Matti Lähteenmäki
Dynamiikka
6.21 Sauvan ABD massa on 20 kg ja massakeskiö B.
A
k
θ
450 mm
60
0m
m
60
0m
m
D
B
6
Sauva päästetään levosta liikkeelle, kun kulma θ = 0 + .
Rulla B liikkuu pystysuuntaisessa johteessa ja rulla A
vaakasuuntaisessa johteessa, jossa oleva jousi alkaa
puristua, kun sauva on kallistunut riittävästi. Määritä (a)
sauvan kulmanopeus kohdassa θ = 30 o ja (b) nopeus,
jolla rulla B osuu vaakatasoon. Jousivakio k = 5 kN / m
ja johteet ovat kitkattomat. Vast. 2,74 1/ s 2,15 m / s
6.22 Kuvan mekanismin pyörien A massa on
vB
30 kg ja hitaussäde massakeskiön O suhteen
OB=375 mm
100 mm . Varsien OB massa on 10 kg ja niitä
B
voidaan pitää ohuina sauvoina. Luistin B massa
θ
θ
A
A
on 7 kg ja se liikkuu kiinteätä pystysuuntaista
150 mm
150 mm
sauvaa
pitkin
kitkattomasti.
Jousivakio
O
O
v0
k = 30 kN / m ja luistin alaosa koskettaa juuri
k
jousta varsien OB ollessa vaakasuorassa. Luisti
päästetään levosta liikkeelle asemasta θ = 45 o
ja kitka riittää estämään pyörien A luiston. Määritä (a) luistin nopeus sen osuessa
jouseen ja (b) jousen suurin puristuma. Vast. 2,54 m / s 60,1 mm
A
m
0m
8
4
C
O
B
120 mm
6.23 Sauvan ACB massa on 20 kg ja hitaussäde massakeskiön C suhteen 160 mm ja se on kiinnitetty homogeeniseen ympyrälevyyn, jonka massa on 130 kg . Levy
ja sauva päästetään levosta liikkeelle kuvan mukaisesta
alkuasemasta. Laske levyn suurin kulmanopeus seurauksena olevan liikkeen aikana. Levy vierii liukumatta.
Vast. 0,98 1/ s
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
0,9m
0,45m
6.24 Kaapeli on kiedottu symmetriselle kelalle kuvan mukaisesti. Kaapelin päähän
vaikuttava voima kasvaa funktion P( t ) = 6,5 ⋅ t N / s , t ≥ 0 osoittamalla tavalla. Kelan
massakeskiön nopeus hetkellä t = 0 on 0,9 m / s vasemmalle. Kelan massa on
60 kg ja hitaussäde massakeskiön suhteen 250 mm . Määritä
vO
kelan
kulmanopeus
hetkellä
G
t = 10 s , kun tiedetään, että kela
P
vierii liukumatta.
Vast. 2,60 1/ s myötäpäivä än
© Matti Lähteenmäki
Dynamiikka
6.25 Kuvassa esitetyn nostolaitteen pyörän E massa on
30 kg ja hitaussäde massakeskiön C suhteen 250 mm .
Kuorman D massa on 40 kg . Kuorma liikkuu alussa nopeudella 1,2 m / s alaspäin, kunnes nostorumpuun A alkaa vaikuttaa myötäpäiväinen momentti, joka pitää nostovaijerin B
rasituksen vakioarvossa 380 N . Laske pyörän E kulmanopeus, kun 5 s on kulunut momentin vaikutuksen alkamisesta sekä vaijerin O rasitus momentin vaikuttaessa. Kitkaa ei
oteta huomioon. Vast. 8,53 1/ s 368 N
A
O
B
E
C
375 mm
v0
D
7
6.26 Suorakulmaisen särmiön muotoinen
laatikko liukuu vaakatasoa pitkin vaG
v
kionopeudella v, kun se osuu kohdassa O
c
b
olevaan matalaan korokkeeseen. Laske,
G
mikä on nopeuden v pienin arvo, jolla laaO
tikko nousee asentoon A ilman loppunopeutta. Törmäyksen kohtaan O oletetaan tapahtuvan siten, että laatikko ei ponnahda
takaisinpäin, vaan alkaa heti kääntyä. Laske myös törmäyksessä tapahtuva suhteellinen energiahäviö ΔE / E , kun b = c . Vast. 62,5 %
A
200 mm
125 mm
M
B
A
6.27 Hammaspyörät A ja B ovat aluksi levossa ja
momentti M = 0 , jolloin pyörien akseleihin kohdistuvat
rungosta voimat R A = 120 N ja R B = 64 N , jotka vaikuttavat ylöspäin ja aiheutuvat hammaspyörien painovoimista. Pyörään A alkaa sitten vaikuttaa momentti M = 6,8 Nm . 4 s kuluttua pyörän A liikemää-
rän momentti akselinsa suhteen on 15 kg m 2 / s 2
myötäpäivään ja pyörän B liikemäärän momentti ak2
2
selinsa suhteen on 5 kg m / s . Laske tätä hetkeä vastaavat rungosta akseleihin
~
~
kohdistuvat voimat R A ja R B . Ratkaise tehtävä tarkastelemalla pyöriä A ja B yhtäaikaa kappalesysteeminä. Vast. 107 N 77 N
Jäykän kappaleen tasokinetiikka – harjoitustehtäviä
© Matti Lähteenmäki