MAT-01010 Johdatus yliopistomatematiikkaan Harjoitus 5, syksy 2015, viikko 40 Jokainen vaihe on pystyttävä perustelemaan. 1. Olkoon A = {a, b, c}, B = {d, e, f, g} ja funktio f : A → B sellainen, että f (a) = d, f (b) = e, f (c) = d. a) Miksi f on funktio? b) Mikä on funktion f määrittelyjoukko? Entä maalijoukko? c) Määritä funktion f arvojoukko. d) Mitkä ovat joukon B alkioiden d, e, f ja g alkukuvat? e) Miksi funktio f ei ole injektio? Miten muuttaisit funktiota f niin, että se olisi injektio? f ) Miksi funktio f ei ole surjektio? Onko ylipäätään mahdollista muodostaa joukolta A joukkoon B funktiota, joka olisi surjektio? 2. Mikä on reaalifunktion f laajin mahdollinen määrittelyjoukko, kun a) f (x) = 3 (vakiofunktio) b) f (x) = 2x3 + x2 √ c) f (x) = x + 1 √ d) f (x) = 3 1 − x2 e) f (x) = 2x2 −2x x−1 Määritä myös funktioiden arvojoukot. 3. Tutki, ovatko väitteet ∀a, b ∈ Df : f (a + b) = f (a) + f (b) ja ∀a, b ∈ Df : f (ab) = f (a)f b) tosia vai epätosia, kun a) f (x) = x, Df = R (identtinen funktio) √ b) f (x) = x, Df = [0, ∞) c) f (x) = x + 1, Df = R 4. Funktio f : R → R, f (x) = 2x − 1 on bijektio. Määritä funktion f käänteisfunktio f −1 . Piirrä funktiot f ja f −1 sekä suora y = x samaan koordinaatistoon. Mitä huomaat? 1 5. Olkoon f (x) = x2 ja g(x) = √1 . x a) Mitkä ovat funktioiden f ja g määrittelyjoukot? b) Muodosta funktioiden f ◦ g ja g ◦ f säännöt. ((f ◦ g)(x) = . . .) c) Mitkä ovat funktioiden f ◦g ja g ◦f määrittelyjoukot? Pohdi myös, minkälaisia arvoja funktioiden on mahdollista saada. d) Laske (f ◦ g)(1) ja (g ◦ f )(−1). 6. Määritä seuraavat arvot a) sin (−π/4) b) cos (−3π/4) c) sin (7π/2) d) cos (2π/3) 7. Laske lausekkeen tarkka arvo a) sin π2 + sin2 (π) − sin 4π 3 b) 8. sin ( π6 )+cos ( π2 ) cos ( π4 )−sin ( 5π 6 ) Määritä kulma x ∈ [0, 2π], kun tiedetään, että kulmaa x vastaava kehäpiste on √ a) 23 , 12 √ b) 12 , −2 3 √ − 3 1 , −2 c) 2 1 √1 √ d) − 2 , 2 2