Statiikkatehtävä
Punnus riippuu katosta kahden langan
varassa siten, että langat muodostavat
katon kanssa kulmat α = 35o ja = 70o.
Punnuksen massa on 4,5 kg ja lankojen
massa on pieni. Laske kummankin langan
jännitysvoiman suuruus.
Ratkaisu: Ratkaistaan tehtävä kahdella tavalla: piirtämällä voimakuvio
(Tapa I: voimakuvio) ja sijoittamalla voimat koordinaatistoon alkavaksi origosta
(Tapa II: koordinaatisto).
Piirretään voimakuvio eli vapaakappalekuva tilanteesta (kuva 1).
Punnuksen paino(voima) ̅ ̅ ja lankojen jännitysvoimat ja .
Langan jännitysvoimien ja välinen kulma on 180o - 70o – 35 = 75o.
75o
Kuva 1.
Vapaakappalekuva eli
voimakuvio.
Punnus on tasapainossa (v = 0, a = 0), joten dynamiikan
peruslain (NII) ∑ mukaan punnukseen
.
vaikuttavien voimien summa on nolla: ∑ Tällöin ̅ 0 ja voimakuvioksi
saadaan vektorien yhteenlaskulla kolmio.
Tapa I: Voimakuvio.
Kuva 2. Voimakuvio: ∑ 0.
Kuvassa 3 voimakuvioon on merkitty kulmat tehtävän ratkaisemiseksi.
55o
Kuva 3.
75o
Voimakuvio, johon on
105o
merkitty kulmat.
20o
70o
Koska kyseessä ei ole suorakulmainen kolmio, niin Käytetään sinilausetta
(MAOL s. 24 (29)) tuntemattomien voimien T1 ja T2 ratkaisemiseen:
∣∙sin55o
∙
%&∙
,
-
',)&∙*,+ . ∙
/ 37,4373 / 373.
Edelleen sinilauseella saadaan
.
∙
∣ ∙sin20o
%&∙
,
', )& ∙ *,+ . ∙
/ 15,6313 / 163.
Vastaus: Lankojen jännitysvoimat ovat T1 37 N ja T2 16 N.
N.
Langan jännitysvoima T2 voidaan ratkaista myös kosinilauseella (MAOL s. 24 (29)):
G 2 ∙ ∙ HIJ20K
4,5L ∙ 9,81
%
.
44,1453,
37,43713
O37,43713P
O44,1453P
G 2 ∙ 37,43713 ∙ 44,1453 ∙ HIJ20K
244,33123 ∣ √
/ 15,6313 / 163.
HUOM! Tehtävän voi ratkaista myös sijoittamalla punnus koordinaatistoon origon
kohdalle ja piirtää kaikki voimat alkavaksi origosta. Voimia voidaan siirtää suuruus ja
suunta säilyttäen esim. pitkin voiman vaikutussuoraa.
Tapa II: Koordinaatisto.
20o
35o
55o
70o
Punnus on tasapainossa, joten
dynamiikan peruslain eli liikeyhtälön
(NII) mukaan punnukseen vaikuttavien
voimien summa on nolla: ∑ 0
eli ̅ 0.
Tällöin myös voimien x- ja ykomponenttien summa on nolla.
∑ R 0
∑ S 0
(x)
(y)
R R 0
S S ̅ 0
(x):
(y):
Kirjoitetaan liikeyhtälöt (x) ja (y) skalaarimuodossa:
(x):
(x):
R G R 0
(y):
S S G 0
(y):
(x):
(y):
HIJ70K HIJ35K
JTU70K JTU35K (x):
VW (y):
VW JTU70K JTU35K R R
S S ∣ : cos70o
VX YZ[\]Z
YZ[^Z
VX YZ[\]Z
Sijoitetaan T1 alempaan yhtälöön (y):
YZ[^Z
∙ JTU70K VX JTU35K VX HIJ35K ∙ JTU70K
VX JTU35K HIJ70K
_
`Ka ∙b
`Kb
JTU35K c VX %&
VX d-ef∙-ghij
d-ij
(x):
VW VX YZ[\]Z
YZ[^Z
ka
,
',)&∙*,+ .
/
`Ka ∙lmb ka
W],n\Wo∙YZ[\]Z
YZ[^Z
∙b
∣ : _`Ka
`Kb
JTU35K c
W], n\Wo .
/ \^, p\^o.
Vastaus: Lankojen jännitysvoimat ovat T1 = 37 N ja T2 = 16 N.
N.