Jakso 3: Dynamiikan perusteet
Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.
Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön
muodossa ΣFi = ma. Muutamissa tämän jakson tehtävissä pitää muistaa, että ympyräliikkeessä
normaalikiihtyvyys eli kiihtyvyys kohtisuoraan liikettä vastaan on
.
T 3.1 (pakollinen): Luettele alla esitetyissä tilanteissa kappaleisiin vaikuttavat kaikki voimat ja
niiden suunnat. Voimien suuruutta tai kiihtyvyyttä ei tarvitse laskea.
a) Henkilö vetää vaakasuoralla narulla voimalla F kelkkaa tasaisella vaakasuoralla jäällä siten, että
systeemi on kiihtyvässä liikkeessä. Kelkan massa kuormineen on m. Liukukitkakerroin kelkan
jalasten ja jään välillä on µ.
b) Henkilö vetää kelkkaa mäkeä ylös mäen pinnan suuntaisella narulla voimalla F siten, että kelkka
on kiihtyvässä liikkeessä oikealle. Kelkan kuormineen on m. Liukukitkakerroin kelkan jalasten ja
jään välillä on µ. Mäen kaltevuuskulma on 27o.
A
c) Heiluri koostuu kappaleesta, jonka massa on m, ja langasta, jonka pituus on L. Aluksi heiluri on
levossa kohdassa A (katso kuvaa). Heiluria poikkeutetaan tasapainoasemastaan ja vapautetaan
kohdassa B, missä langan ja pystysuoran suunnan välinen kulma on 15o. Määritä kappaleeseen
kohdistuvat voimat kohdissa A ja B.
o
15
L
B
A
d) Alla olevassa kuvassa on kartioheiluri. Siinä kappale, jonka massa on m, liikkuu pitkin
vaakasuoraa ympyrärataa (säde r) vakionopeudella v kulman α pysyessä vakiona. Langan pituus on
L ja kulma α = 15o.
L
α
r
e) Volkswagen Golfia (massa m) ajetaan vakionopeudella v pitkin tietä, jossa on ympyränkaaren
muotoinen mutka (kaarevuussäde r). Tietä on kallistettu 10o sisäkaarretta kohden. Lepokitkakerroin
auton renkaiden ja tien pinnan välillä on µ. Ilmoita vain ne voimat, jotka ovat kohtisuorassa auton
kulkusuuntaa vastaan. Huomaa: Kitkavoima voi osoittaa kahteen eri suuntaan erilaisissa
tapauksissa.
T 3.2: Kappale, jonka massa on 2,9 kg, liikkuu siten että sen paikka ja nopeus ajanhetkellä t = 0 on
r = (3i − 4j − 7k) m ja v = (2i + j + 3k) m/s. Ajanhetkellä t = 1,0 s voima F = (i − 3j + 2k) N alkaa
vaikuttaa kappaleeseen ja vaikutus kestää kaksi sekuntia. Laske kappaleen paikka ja nopeus, kun
t = 4,5 s.
T 3.3: Tässä tehtävässä arvioidaan erään automallin moottorijarrutusvoimaa, jonka oletamme
vakioksi. Autoa ajetaan moottoritiellä nopeudella 119 km/h. Poistumisrampin alkupäässä autolla on
edelleen tämä nopeus, jolloin kuljettaja nostaa jalan kaasulta ja moottorijarrutus alkaa. Kuljettaja ei
käytä muuta jarrutusta. Poistumisramppi on nousevan suoran muotoinen ja sen pituus on 620
metriä. Rampin loppupää on 8,0 metriä korkeammalla kuin alkupää. Auton nopeus rampin
yläpäässä on 42 km/h. Laske auton kiihtyvyys (hidastuvuus) ja moottorijarrutusvoiman suuruus,
kun auton massa kuormineen on 1300 kg. Käsittele vierimiskitkavoimaa samalla tavalla kuin
liukukitkavoimaa, jonka kitkakerroin on 0,01 eli yhtälöllä µN. Tämä lasku on tarkoitettu
laskettavaksi liikeyhtälöllä, ei energiaperiaatteella.
T 3.4: Heiluri koostuu kappaleesta, jonka massa on m = 120 g ja langasta, jonka pituus on L = 1,50
m. Heiluria poikkeutetaan tasapainoasemastaan ja vapautetaan kohdassa B, missä langan ja
pystysuoran suunnan välinen kulma on 15o. Määritä langan jännitys ja kappaleen kiihtyvyys
kohdassa B.
o
15
L
B
A
T 3.5: Ihminen (m = 70,2 kg) seisoo hississä, joka liikkuu ylöspäin kiihtyvyyden ollessa
1,41 m/s2. Kuinka suurella voimalla ihminen painaa hissin lattiaa? Kuinka suuri tämä lattiaan
kohdistuva voima olisi, jos hissi liikkuisi alaspäin samalla kiintyvyydellä 1,41 m/s2?
T 3.6: Alla olevassa kuvassa on kartioheiluri. Siinä kappale, jonka massa on m = 25 g, liikkuu
pitkin vaakasuoraa ympyrärataa (säde r) vakionopeudella v kulman α pysyessä vakiona. Langan
pituus on L = 24 cm ja kulma α = 15o. Määritä langan jännitys ja kappaleen nopeus v.
L
α
r
T 3.7: Volkswagen Golfia (massa m) ajetaan vakionopeudella pitkin tietä, jossa on ympyränkaaren
muotoinen mutka (kaarevuussäde r = 52 m). Tietä on kallistettu 10o sisäkaarretta kohden.
Lepokitkakerroin auton renkaiden ja tien pinnan välillä on (huonolla ajokelillä) 0,15. Mikä on
pienin ja suurin nopeus, jolla kaarteessa voi ajaa ilman, että auto joutuisi sivuluisuun.
T 3.8: Kappale, jonka massa on m, lähtee liikkeelle paikasta x0 pitkin x-akselia voiman
F 
K
x2
vaikutuksen alaisena. Osoita, että kappaleen nopeus paikassa x noudattaa yhtälöä
v2 
2K
m
1 1 
  
 x x0 
Opastus: Kiihtyvyys on a 
dv dv dx dv

 v
dt dx dt dx
Jakso 3: Vastaukset
T 3.2: r = (13,7i – 4,67j + 9,95k) m
T 3.3: -0,77 m/s2, 710 N
T 3.4: 1,14 N, 2,54 m/s2
T 3.5: 788 N, 590 N
T 3.6: 0,25 N, 0,40 m/s
T 3.7: