1. No category

1
Integraalimuunnokset
Metropolia/A. Koivumäki
Tässä on tekstiä, joka on alunperin aikoinaan kirjoitettu Stadian Tietoliikenneteoria-kurssin
materiaaliksi, mutta soveltuu oivallisesti Integraalimuunnokset-kurssin Fourier-analyysiä
käsitteleväksi materiaaliksi. Matemaattisesti orientoituneempi esitys aiheesta löytyy kirjasta
Launonen, Sorvali, Toivonen: Sarjat ja F-, L- ja Z-muunnos (Teknisten ammattien matematiikka
3E).
Sisältö
Sisältö ..........................................................................................................................................1
2.
Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa ........................................2
2.1 Tietoliikenne, informaatio, signaali ......................................................................................2
2.2 Signaalien aaltomuotoja eli tarkastelua aika-alueessa...........................................................3
2.3 Sinimuotoinen signaali..........................................................................................................5
Reaalinen sinisignaali..............................................................................................................5
Kompleksinen sinisignaali ......................................................................................................7
2.4 Jaksollisen signaalin spektri: Fourier-sarja ...........................................................................9
Jaksollisen signaalin teho ......................................................................................................15
2.5 Ei-jaksollisen signaalin spektri: Fourier-muunnos..............................................................18
Ei-jaksollisen signaalin energia.............................................................................................22
2.6 Fourier-analyysin työkaluja.................................................................................................24
Symmetriset signaalit. ...........................................................................................................24
Duaalisuus .............................................................................................................................24
Signaalien summaaminen......................................................................................................26
Signaalin viive.......................................................................................................................26
Derivointi ..............................................................................................................................27
Integrointi ..............................................................................................................................27
Taajuuskonversio ..................................................................................................................29
2.7 Impulssi ...............................................................................................................................31
2.8. Konvoluutio........................................................................................................................34
2
2. Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa
2.1 Tietoliikenne, informaatio, signaali
Käyttökelpoisena määrittelynä käsitteelle "sähköinen tietoliikenne" voidaan pitää esimerkiksi
tätä:
Sähköinen tietoliikenne on informaation siirtämistä paikasta toiseen sähköisten signaalien avulla.
Määritelmään sisältyy kaksi keskeistä käsitettä: informaatio ja signaali.
Informaatio on käsitteenä varsin monisyinen. Sitä voidaan tutkia esim. filosofisena tai
sosiaalisena tai psykologisena käsitteenä. Mutta informaatio voidaan myös määritellä eksaktina
matemaattisena käsitteenä, ja siihen liittyviä asioita voidaan esittää yhtälöinä ja lukuarvoina.
Näin tehdään informaatioteoria nimisessä tietoliikennetekniikan (tai yhtä hyvin matematiikan)
osa-alueessa. Informaatioteoriasta on omat oppikirjansa, nyt siihen ei syvennytä.
Tässä yhteydessä riittää, kun tietää, että tietoliikennetekniikassa informaation määrän
perusyksikkö on bitti (ja sen kerrannaiset kilobitti, megabitti jne.) ja informaation siirtonopeuden
perusyksikkö on bittiä sekunnissa (ja sen kerrannaiset). Ja itse asiassa noita yksiköitäkään ei
tarvitse kovin usein tämän kirjan aikana muistella, koska käsittelyn pääpaino on määritelmän
toisessa käsitteessä, eli signaalissa. Käytännönläheinen informaation määritelmä tässä
yhteydessä voisi mennä vaikka näin: "Informaatio on sitä mitä siirtyy, kun ihmisellä on asiaa
toiselle ihmiselle." Nyt siis opiskelemme sitä, miten tuo informaatio siirtyy sähköisessä
tietoliikenteessä. Ja aivan ensimmäiseksi opiskellaan sitä, mitä tärkeitä ominaisuuksia tuossa
siirtymisessä tarvittavilla signaaleilla on.
Kun tietoliikenteen määritelmässä mainitaan termi "sähköiset signaalit", saattaa tulla mieleen
vastalauseita tyliin "entä optinen tiedonsiirto?" tai "eikös äänisignaalit siirräkään informaatiota?".
Määritelmä on kuitenkin vain apuväline, jonka tarkoitus on toimia apuna, kun opiskelun aikana
tulee mieleen kysymys: "Mihin tämä kaikki nyt taas liittyykään?" On hyödyllistä vastata tuohon
kysymykseen palauttamalla mieleen tuo tietoliikenteen määritelmä.
Kun ollaan opiskelemassa tietoliikennesignaalien ymmärtämistä, signaalin käsite kannattaa rajata
vieläkin tarkemmin. Käytännönläheisesti voi määritellä vaikkapa näin:
Tietoliikennesignaali on vaihtojännite, jonka jännitevaihtelut on saatu aikaan muuttamalla
informaatiota sähköksi.
Se, että informaatiota sisältävä signaali voi esiintyä muutenkin kuin jännitteenä, esim.
sähkövirtana, valona, radioaaltoina (eli sähkö- ja megneettikenttänä), äänenä (eli akustisena
signaalina) jne. ilmenee esimerkeissä käytännön laite- ja järjestelmäratkaisuista ja niissä
tapahtuvasta signaalinkäsittelystä. Silloin, kun ollaan kiinnostuneita vain signaaleista yleisellä
tasolla ja halutaan oppia, mitkä ovat signaalien tärkeät ominaisuudet, kannattaa signaali
ymmärtää edellä olevan käytännönläheisen määritelmän tavalla.
Se, miten "informaation muuttaminen sähköksi" tapahtuu, on aiheena tämä kirjan myöhemmissä
luvuissa. Silloin tutustutaan mm. modulaation käsitteeseen. Kun on kyseessä digitaalinen
tiedonsiirto (jolloin informaatio on muutettu biteiksi), tarvitaan modulaation ohella myös
koodausta. Toistaiseksi ei kuitenkaan puututa siihen, miten informaatiota sisältävät signaalit on
saatu aikaan. Keskitytään vain siihen, mitä tärkeitä ominaisuuksia noilla signaaleilla on ja miten
ne ominaisuudet saadaan selville.
3
2.2 Signaalien aaltomuotoja eli tarkastelua aika-alueessa
Todellisen tietoliikennesignaalin ominaisuuksia voidaan selvitellä mittaamalla. Kun ajatellaan
signaalia ajan suhteen vaihtelevana jännitteenä, tulee varmaankin mieleen tutkia signaalia
oskilloskoopilla, jolloin kuvaruudulla näkyy signaalin aaltomuoto, eli graafinen esitys, jossa on
vaaka-akselilla aika sekunteina (tai millisekunteina tai mikrosekunteina jne.) ja pystyakselilla
jännite voltteina (tai millivoltteina jne.). Tällöin sanotaan, että signaalia tutkitaan aikatasossa eli
aika-alueessa (engl. time domain).
Kuvassa 2.1 on esimerkkejä signaalien aaltomuodoista. Kun signaaleja tarkastellaan
teoreettisesti, niiden oletetaan aina olevan kestoltaan äärettömän pitkiä, jolloin niiden aaltomuoto
on alkanut ajanhetkellä -∞ ja jatkuu hetkeen +∞ asti. Siksi osaan signaalien kuvaajia on merkitty
kolme pistettä, joka tarkoittaa, että signaalin aaltomuoto jatkuu äärettömyyteen asti samalla
tavoin. Jos kolmea pistettä ei ole piirretty, signaalin nollasta poikkeava osa on kokonaan
näkyvissä, jolloin äärettömyyteen asti jatkuvan osan jännite = 0. Viimeksi mainitussa
tapauksessa on siis kyseessä kertaluonteinen jänniteilmiö, jonka kesto on rajallinen. Silti
tällaistakin signaalia pidetään äärettömän pitkäkestoisena; nyt vaan signaalin arvo on nolla
muulloin kuin tuon kertaluonteisen ilmiön tapahtumahetkellä.
Kuva 2.1. Joukko signaalien aaltomuotoja
4
Kuvassa 2.1 olevat signaalit voidaan luokitella jaksollisiin signaaleihin ja ei-jaksollisiin
signaaleihin. Jaksollisessa signaalissa sama aaltomuoto toistuu säännöllisin välein, eijaksollisessa signaalissa toistumista ei esiinny. Tosin ei-jaksollisessakin signaalissa voi olla
säännöllistä toistoa, mutta yksikin poikkeama toistossa aiheuttaa sen, että signaali on
nimenomaan ei-jaksollinen.
Jaksollisuus määritellään seuraavasti.
Signaali v(t) on jaksollinen, mikäli
v(t + n ⋅ T0 ) = v(t ) kaikilla kokonaisluvuilla n
(2.1)
Tässä T0 on signaalin jaksonpituus. Yhtälö siis kertoo sen, että kun aika-akselilla siirrytään
kokonaislukumäärän jaksoja eteen- tai taaksepäin, signaalin arvo pysyy samana.
Kuvan 2.1 signaaleista ovat jaksollisia numerot 1 (siniaalto), 5 (pareittain esiintyvien
piikkimäisten pulssien jono), 6 (kolmioaalto), 11 (kokoaaltotasasuunnattu siniaalto), 12 (ei
erityistä nimeä), 15 (suorakulmaisten pulssien jono) ja 16 (sakara-aalto). Muut ovat eijaksollisia.
Kun halutaan siirtää todellista informaatiota tietoliikennejärjestelmässä, informaation siirrossa
käytettävä signaali ei voi olla jaksollinen. Kun jaksollisesta signaalista on nähty yksi jakso, on
nähty koko signaali. Tällöin on myös vastaanotettu kaikki signaaliin sisältyvä informaatio, joten
uutta informaatiota ei myöhemmissä jaksoissa enää ole.
Aito informaatio on luonteeltaan ennustamatonta; jos se pystyttäisiin ennustamaan, ei se enää
olisi uutta informaatiota. Siksi todellinen tietoliikennesignaali on aina ei-jaksollinen.
Kuvassa 2.2 on vielä yksi todellisesta maailmasta poimittu signaalin aaltomuoto. Kyseessä on
noin 25 ms pitkä näyte ihmisäänestä sanomassa i-kirjainta.
Kuva 2.2. Näyte puhesignaalin aaltomuodosta
Tästä aaltomuodosta ei kovin helposti pysty päättelemään mitään kovin olennaisia puhesignaalin
luonteeseen liittyviä asioita. Siksi tietoliikennesignaaleja useimmiten tarkastellaankin
taajuustasossa eli taajuusalueessa (engl. frequency domain). Silloin tarkastelun kohteena on
signaalin spektri.
Kuvan 2.2 puhesignaalin spektri on kuvassa 2.3. Spektristä nähdään että i-kirjaimen lausumisesta
syntyvä signaali sisältää voimakkaimmin n. 340 Hz:n taajuutta. Sen lisäksi siinä näyttäisi
5
erityisesti olevan muitakin n. 170 Hz:n kerrannaistaajuuksia. Lisäksi taajuusvälillä 2 - 2.5 kHz
näyttäisi olevan enemmän tavaraa kuin esim. taajuusvälillä 1 - 1.5 kHz. Näitä spektristä helposti
nähtävissä olevia tärkeitä tietoja ei mitenkään pysty näkemään suoraan kuvan 2.2 aaltomuodosta.
Puheen spektrin monipuolinen ymmärtäminen on oleellista esimerkiksi silloin, kun mietitäään
puheen siirtämistä mahdollisimman tehokkaasti digitaalisessa matkapuhelinverkossa.
Kuva 2.3. Puhesignaalin spektri
Taajuusalueen matemattinen analyysi perustuu tutkittavan signaalin spektrin esittämiseen
eritaajuisten sinisignaalien avulla. Siksi ennen spektrianalyysiin siirtymistä käydään lävitse
sinimuotoiseen signaaliin liittyvät perusasiat.
2.3 Sinimuotoinen signaali
Reaalinen sinisignaali
Sinimuotoisen signaalin yhtälö on
v(t ) = A cos(2πft + ϕ )
(2.2)
missä A on signaalin amplitudi eli huippuarvo, f on sen taajuus ja ϕ on sen vaihekulma.
Se, miksi yhtälössä on järkevää olla kosinifunktio eikä sinifunktio, selviää luvussa 2.3. Kosinista
huolimatta kuitenkin usein käytetään nimitystä "sinisignaali" tai vain "sini".
Sinisignaalin jaksonpituus T0 on myös tärkeä ominaisuus. Taajuus ja jaksonpituus ovat toistensa
1
1
käänteislukuja: f =
eli T0 =
eli f T0 = 1 . Tämän käänteislukuyhteyden voi todeta edellä
T0
f
olevasta sinisignaalin yhtälöstä seuraavasti. Tietyllä ajanhetkellä t1 sinisignaalin arvo on
v ( t 1 ) = A cos 2 π f t + ϕ
ja jaksonpituuden kuluttua eli hetkellä t1+T0 sen arvo on





1
1
v(t1 + T0 ) = A cos[2πf (t1 + T0 ) + ϕ ] = A cos 2πf  t1 +  + ϕ  = A cos 2πft1 + 2πf + ϕ 
f 
f





(
)
= A cos[2πft1 + 2π + ϕ ] = A cos[2πft1 + ϕ ] = v(t1 )
Tuossa käytettiin hyväksi tietoa siitä, että kosinifunktion jaksonpituus on 2π radiaania eli 360°.
6
On tärkeää ymmärtää, että sinisignaali on ajan t funktio, mutta sinisignaalin yhtälössä
esiintyvä kosinifunktio on kulman funktio. Yhtälössä (2.2) suluissa oleva kosinin argumentti
2πft + ϕ muuttaa ajan kulumisen kulman arvon kasvamiseksi. Myös on tärkeää ymmärtää,
milloin kulman arvoa pitää käsitellä radiaaneina ja milloin asteina. Mukana oleva termi 2π
viittaa radiaaneihin, mutta toisaalta käytännössä vaihekulma ϕ annetaan usein asteina. Niinpä
esimerkiksi sinisignaalin v(t ) = 5 cos(2π ⋅ 1 kHz ⋅ t + 60°) yhtälö kannattaa mielessään muuttaa
muotoon v(t ) = 5 cos(2π ⋅ 1 kHz ⋅ t + π 3) tai muotoon v(t ) = 5 cos(360° ⋅ 1 kHz ⋅ t + 60°) ainakin
siihen asti, kunnes oppii käsittelemään luontevasti lausekkeita, joissa esiintyy sekä radiaaneina
että asteina annettuja kulma-arvoja.
Usein taajuuden f sijaan sinisignaalin yhtälössä esiintyy kulmataajuus ω. Näiden välillä on
yhteys ω = 2πf . Kulmataajuuden yksikkö on periaatteessa sama kuin taajuuden eli 1/s, jota
voidaan kutsua myös hertsiksi. Kulmataajuuden yhteydessä ei kuitenkaan ole suositeltavaa
käyttää yksikkönä hertsiä, koska se on varattu nimenomaan taajuuden yksiköksi.
Kulmataajuuden yksikkö on 1/s, jonka voi sanoa myös muodossa "radiaania sekunnissa".
Kulmatajuus nimittäin kuvaa sinisignaalin yhtälössä esiintyvän kulman 2πft + ϕ
muuttumisnopeutta.
Käytännössä kun puhutaan erilaisista tietoliikennesignaaleista, ei koskaan puhuta signaalien
kulmataajuuksista. Siis esimerkiksi radiossa juontaja sanoo: "Täällä Radio Megapolis, 96,8
megahertsiä". Hän ei sano: "Täällä Radio Megapolis, 608,2 megaradiaania sekunnissa". Siksi
tämän kirjan tekstissä ja yhtälöissä esiintyy lähes poikkeuksetta taajuus f, ei kulmataajuus ω.
Kuvassa 2.4 on sinisignaalin aaltomuodon kuvaaja kun vaihekulma ϕ=0, kun ϕ > 0 ja kun ϕ < 0.
Kuva 2.4. Sinisignaaleja. Paksulla viivalla piirretyn sinin vaihe = 0, katkoviivalla piirretyistä
vasemmanpuoleisen vaihe on >0 ja oikeanpuoleisen <0.
Vaihekulma siis määrää aaltomuodon paikan aika-akselilla. Sillon kun sinisignaali esiintyy
yksinään, ei vaihekulman arvolla ole merkitystä, sen arvo on itse asiassa sopimuskysymys.
Amplitudi ja taajuus sen sijaan ovat tietysti oleellisia myös yksinäisellä sinisignaalilla. Mutta heti
kun vähintään kaksi sinisignaalia esiintyy jossain yhtä aikaa, toisiinsa summautuneina, myös
yksittäisten sinien vaihekulmien arvoilla on yhtä tärkeä osuus kokonaissignaalin
muodostumisessa kuin amplitudeilla ja taajuuksillakin. Kuvassa 2.5 on kahden signaalin
kuvaajat, jotka kumpikin noudattavat yhtälöä
v1 (t ) = cos(2πf 1t ) + cos(2πf 2 t )
(2.3)
v2 (t ) = cos(2πf1t ) + cos(2πf 2 t + 90°)
(2.4)
7
missä taajuudet ovat f1 =1 kHz, f2 = 2 kHz. Signaalit eroavat siis vain suurempitaajuisen
komponenttinsa vaihekulman osalta.
Kuva 2.5. Kahdesta eritaajuisesta sinisignaalista (1 kHz ja 2 kHz) koostuva signaali saattaa
näyttää esimerkiksi jommalta kummalta näistä.
Nähdään, että nyt yhden vaihekulman muuttuminen muuttaa signaalin aaltomuotoa. Tässä
tapauksessa vaikutus ei ole erityisen dramaattinen, joissakin toisissa tapauksissa signaaliin
sisältyvien sinikomponenttien vaihekulmien muuttumisella voi olla hyvinkin suuri vaikutus
signaalin aaltomuotoon.
Kompleksinen sinisignaali
Kun vaihtovirtapiirien analyysissä tutkitaan sinimuotoisia jännitteitä ja virtoja piireissä, jotka
sisältävät resistansseja ja reaktansseja, käytetään kompleksilukumatematiikkaan perustuvaa
osoitinlaskentaa, jolloin sini- ja kosinifunktioiden sijaan käsitellään kompleksisia
eksponenttifunktioita. Piirien analysointi voitaisiin periaatteessa tehdä ilman
kompleksilukumatematiikkaakin, mutta silloin tuloksena olisi tavattoman monimutkaisia
trigonometrisia yhtälöitä. Siksi asian näennäisellä monimutkaistamisella (kompleksisten
eksponenttifunktioiden käyttöönotto) saadaan aikaan yksinkertaisempi tulos.
Myös tietoliikennesignaalien analyysi yksinkertaistuu, jos signaalien tarkastelu perustuu
reaalisten sinisignaalien sijaan kompleksisiin eksponenttifunktioihin. Tosin käytännössä tuo
siirtyminen kompleksimatematiikkaan ei ole täydellinen, koska ainakin jotkut signaalien
ominaisuuksiin liittyvät asiat on järkevää käsitellä reaalisina.
8
Siirtyminen kompleksianalysiin perustuu näihin tuttuihin trigonometrian perusyhtälöihin:
cos( x) =
1
2
(e
sin( x) =
1
j2
(e
jx
jx
+ e − jx
)
(2.5)
− e − jx
)
(2.6)
Kun näistä ylempää sovelletaan yhtälöön (2.2), saadaan tietoliikennesignaalien analyysin
perustana oleva sinimuotoisen signaalin yhtälö kompleksimuotoon
v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) =
A j ( 2πft +ϕ ) A − j ( 2πft +ϕ ) A j 2πft jϕ A − j 2πft − jϕ
e
+ e
= e e + e
e
2
2
2
2
(2.7)
Jos sinisignaali olisi yhtälössä (2.2) alunperin määritelty sinifunktiota käyttäen, olisi nyt pitänyt
soveltaa alempaa yhtälöä, jolloin v(t):n yhtälöön olisi nimittäjiin ilmestynyt imaginääriyksikkö j.
Silloin imaginääriyksikkö ilmestyisi tästä eteenpäin moniin muihinkin paikkoihin. Siksi oli
järkevä valinta käyttää yhtälössä (2.2) kosinifunktiota määriteltäessä sinisignaalia.
Yhtälön (2.7) tulkitsemiseksi pitää hieman kerrata kompleksilukujen ominaisuuksia. Kuten
matematiikan ja piirianalyysin kursseissa on opittu, kompleksiluku voidaan esittää graafisesti
kompleksitasoon piirrettynä vektorina eli osoittimena:
Im
b
r
α
Re
a
Kuva 2.6. Kompleksilukua z = a+jb vastaava kompleksinen osoitin
jα
Kompleksisen osoittimen yhtälö voidaan esittää muodossa z = re , missä r on osoittimen
pituus eli z:n itseisarvo ja α on positiivisen reaaliakselin ja osoittimen välinen kulma eli z:n
vaihekulma. Koska termi "vaihekulma" on kuitenkin otettu jo aiemmin reaalisen sinisignaalin
määrittelyn yhteydessä hieman toisenlaiseen käyttöön, käytetään jatkossa sekaannusten
välttämiseksi termin "kompleksiluvun vaihekulma" sijaan nimitystä "kompleksiluvun kulma".
Nyt yhtälön (2.7) oikea puoli voidaan tulkita kahtena kompleksitasossa sijaitsevana osoittimena,
joiden
• kummankin itseisarvo = A/2
• kulmat ovat 2πft + ϕ ja − 2πft − ϕ .
9
Im
A/2
kulma 2πft+ϕ
Re
kulma -2πft-ϕ
A/2
Kuva 2.7 Sinisignaali koostuu kahdesta kompleksisesta osoittimesta.
Osoittimien kulmissa (jotka ovat toistensa vastaluvut) esiintyy aikamuuttuja t. Se tarkoittaa sitä,
että kulmat eivät ole vakioita, vaan ne muuttuvat ajan kuluessa. Osoittimet siis pyörivät
kompleksitasossa. Pyörivin osoittimiin liittyvät mm. seuraavat seikat:
• Toinen osoitin pyörii myötäpäivään, toinen pyörii vastapäivään.
• Kummankin osoittimen pituus = A/2. Tätä voidaan kutsua osoittimen amplitudiksi.
• Kumpikin osoitin pyörähtää täyden ympyrän ajassa 1/f. Siis reaalisen sinisignaalin
1
jaksonpituus T0 =
vastaa nyt osoittimen yhtä kierrosta.
f
• Vastapäivään pyörivän osoittimen kulma muuttuu nopeudella 2πf ja myötäpäivään pyörivän
nopeudella −2πf.
• Kulman muuttumisnopeuden itseisarvo = kulmataajuus ω. On luontevaa määritellä
vastapäiväinen pyörimissuunta positiiviseksi ja myötäpäiväinen negatiiviseksi. Silloin
osoittimien pyörimistaajuudet ovat ±f ja niiden pyörimiskulmataajudet ovat ±ω.
• Osoittimien kulmat ovat aina toistensa vastaluvut. Silloin osoittimia vastaavien
kompleksilukujen (eli osoittimien kärkien) imaginääriosat ovat toistensa vastaluvut, joten
osoittimien summa on aina puhtaasti reaalinen. Niinpä yhtälössä (2.7) olevan reaalisen
sinisignaalin voidaan ajatella olevan osoitin, jonka kärki liikkuu edestakaisin reaaliakselilla
välillä -A ... A.
• Hetkellä t = 0 osoittimien kulmat ovat ±ϕ. Koska kulmien itseisarvot ovat samat kuin
lähtökohtana olleen reaalisen sinisignaalin vaihekulma, niitä voi sanoa osoittimien
vaihekulmiksi.
Edellisen tarkastelun perusteella voidaan todeta:
Reaalinen sinisignaali A cos(2πft + ϕ ) koostuu kahdesta kompleksisesta sinisignaalista:
A j 2πft jϕ
A
A
e e
ja e − j 2πft e − jϕ , joiden kummankin amplitudi on , joiden taajuudet ovat f ja −f ja
2
2
2
joiden vaihekulmat ovat ϕ ja −ϕ.
2.4 Jaksollisen signaalin spektri: Fourier-sarja
Nyt kun sinimuotoisen signaalin olemus on selvitetty, voidaan ottaa käsittelyyn muut
aaltomuodot. Kaikille tietoliikennesignaaleille (ja muillakin luonnontieteiden ja tekniikan aloilla
esiintyville signaaleille ja aaltomuodoille) pätee:
10
Kaikki signaalit, niin jaksolliset kuin ei-jaksollisetkin, koostuvat eritaajuisista sinisignaaleista.
Voidaan osoittaa, että jaksolliselle signaalille v(t) tuo tarkoittaa sitä, että signaali voidaan aina
lausua yhtälönä
∞
v(t ) = ∑ An cos(2πnf 0 t + ϕ n ) .
(2.8)
n =0
Tämä on signaalin v(t) reaalinen Fourier-sarjakehitelmä.
Yhtälö kertoo, että mikä tahansa jaksollinen aaltomuoto voidaan lausua äärettömän monen
eritaajuisen sinisignaalien summana niin, että
•
•
sinimuotoisten komponenttien taajuudet ovat v(t):n perustaajuuden f0
kokonaislukumonikertoja
kullakin sinimuotoisella nf0-taajuisella komponentilla on oma amplitudi An ja oma
vaihekulma ϕn
Jaksollisen signaalin perustaajuus f0 on jaksonpituuden käänteisluku:
f0 =
1
T0
(2.9)
Perustaajuuden monikertoja kutsutaan signaalin v(t) harmonisiksi taajuuksiksi; Taajuus nf0 on
signaalin n:s harmoninen taajuus.
Jos siis tunnetaan jaksollisen signaalin jaksonpituus, tiedetään heti, että signaali koostuu
taajuuksista 0, f0, 2f0, 3f0, 4f0 jne. Mutta miten saadaan selville, mitä ovat eri
taajuuskomponenttien amplitudit A0, A1, A2, A3, A4 jne. ja vaiheet ϕ0, ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4 jne? Ne
voidaan ratkaista tekemällä signaalin v(t) Fourier-analyysi, johon palataan pian.
Ilman erityistä Fourier-analyysiakin voi lähes triviaalina esimerkkinä todeta, että sinimuotoisen
perussignaalin v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) reaalisen Fourier-sarjan amplitudit ja vaiheet ovat
A1 = A
An = 0, kun n ≠ 1
ϕ1 = ϕ
ϕn = 0, kun n ≠ 1
Toinen yksinkertainen tapaus on tasasähkösignaali v(t) = U. Sen reaalisen Fourier-sarjan
parametrit ovat
A0 = U
An = 0, kun n ≥ 1
ϕn = 0 kaikilla n:n arvoilla
Tasasähköhän voidaan tulkita nollataajuiseksi sinisignaaliksi: U = U ⋅ cos(2π ⋅ 0 ⋅ t ) .
Yleinen tapaus, jossa jaksollisen signaalin aaltomuoto ei ole sinimuotoinen, vaatii
mutkikkaampaa matemaattista analyysiä. Ei kuitenkaan kannata jatkaa yhtälön (2.8) mukaisen
reaalisen Fourier-sarjan tutkimista, vaan kannattaa siirtyä kompleksiseen Fourier-sarjaan.
Siirtyminen tapahtuu edellä luvussa 2.3 esitetyllä tavalla. Korvataan siis yhtälössä (2.8) olevan
11
kosini kompleksisilla eksponenttifunktioilla, eli tarkastellaan, miten jaksollinen sinaali
koostuu eritaajuisista kompleksisista sinisignaaleista. Tuloksena on jaksollisen signaalin v(t)
kompleksisen Fourier-sarjan yhtälö
v (t ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅ e j 2π ⋅nf 0 ⋅t
(2.10)
Nyt signaali v(t) esitetään eritaajuisten kompleksisten sinisignaalien summana. Perustaajuus f0 on
sama kuin edellä, siis jaksonpituuden käänteisluku, ja signaali v(t) koostuu yhä harmonisista
taajuuskomponenteista nf0. Erona on se, että nyt myös negatiiviset n:n arvot ovat mukana.
Kuitenkaan ei puhuta esimerkiksi jaksollisen signaalin negatiivisista harmonisista taajuuksista
(esim. "miinus kolmas harmoninen"). Termi "n:s harmoninen" tarkoittaa nyt sekä taajuutta nf0
että taajuutta −nf0. Tämäntaajuiset kompleksiset eksponenttifunktiothan muodostavat yhdessä
nf0-taajuisen reaalisen sinisignaalin.
Kompleksisen Fourier-sarjan yhtälössä ei näy erikseen nf0-taajuisen komponentin amplitudia ja
vaihekulmaa samalla tavalla kuin reaalisen Fourier-sarjan yhtälössä (2.8). Yhtälön (2.10)
kertoimet cn ovat kompleksilukuja, jolloin nf0-taajuisen komponentin
•
amplitudi on kertoimen itseisarvo c n
•
vaihe on kertoimen vaihekulma arg(cn).
Eri taajuuskomponenttien amplitudit ja vaiheet saadaan selville integraalilausekkeesta
cn =
1
v(t )e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt
∫
T0 T0
Tässä merkintä
∫
(2.11)
tarkoittaa määrättyä integraalia T0:n pituisen ajanjakson yli. Integroinnin
T0
alaraja on vapaasti valittavissa, mutta yläraja on alaraja+T0. Joissakin tapauksissa cn:n saa
lasketuksi helpoiten integroimalla −T0/2:sta T0/2:een, toisissa tapauksissa integrointi 0:sta T0:aan
johtaa helpommin sieventyvään cn:n lausekkeeseen.
Jaksollisen signaalin spektrin kuva on Fourier-sarjan kertoimien cn arvojen graafinen esitys
taajuuden funktiona. Yleensä amplitudispektri eli kertoimien itseisarvot |cn| ja vaihespektri eli
kertoimien vaihekulmat arg(cn) esitetään erikseen. Signaalin spektri siis kertoo seuraavat asiat:
•
•
•
Mitä taajuuksia signaali sisältää (eli minkätaajuisista sinimuotoisista komponenteista se
koostuu).
Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän (sinimuotoisen) komponentin amplitudi. Tämän kertoo
amplitudispektri.
Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän (sinimuotoisen) komponentin vaihe. Tämän kertoo
vaihespektri.
Amplitudispektri on käytännössä yleensä tärkeämpi. Usein vaihespektistä ei tarvita tietoa, ja
myös sen mittaaminen vaatii mutkikkaammat ja kalliimmat laitteet kuin pelkän
amplitudispektrin mittaaminen.
****************** Esimerkki alkaa **************************************
12
Esimerkki 2.1 Määritetään sakara-aallon (kuva 2.8) kompleksisen Fourier-sarjan kertoimet ja
piirretään sakara-aallon spektri.
v(t)
A
...
-T0
...
2 T0 t
T0
-A
Kuva 2.8 Sakara-aalto eli suorakulma-aalto eli "kanttiaalto"
Ratkaisu. Jotta yhtälön (2.11) integraalin voi laskea, pitää tutkittavan signaalin v(t) yhtälö ensin
kirjoittaa integraalilausekkeen alle. Riittää, että signaalia tarkastellaan yhden jakson mittaisella
aikajaksolla. Sakara-aallon amplitudi on A ja sen jaksonpituus on T0, joten sen yhtälö aikavälillä
-T0/2 ... T0/2 on
− A
v(t ) = 
A
kun t on välillä − T0 2 K 0
(2.12)
kun t on välillä 0 L T0 2
Nyt Fourier-sarjan kertoimen yhtälöksi tulee
1
cn =
T0
T0 2
∫ v(t )e
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
−T0 2
A
=−
T0
/
0
−T0 2
1
dt =
T0
0
∫ (− A) ⋅ e
−T0 2
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
A
+
− j 2π ⋅ nf 0 T0
0
=
A
(
1 − e )−
(e
j 2π ⋅ n
j 2π ⋅ n
=
(2 − e
j 2π ⋅ n
A
A
jπn
jπn
)
− e − jπn =
j2 A
 2A
=−

π ⋅n
=  jπ ⋅ n
0

T0 2
/
− jπn
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
1
dt +
T0
T0 2
∫ A⋅e
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
dt
0
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
− j 2π ⋅ nf 0
)
−1
A
j 2π ⋅ n
[2 − 2 cos(πn )] =
A
[1 − cos(πn )]
jπ ⋅ n
jos n on pariton
jos n on parillinen
Lopputulokseen päädyttiin toteamalla, että cos(πn ) on 1 tai −1 riippuen siitä, onko kokonaisluku
n parillinen vai pariton. T0 ja f0 katoavat matkan varrella, koska T0f0 = 1.
Sakara-aalto siis sisältää vain parittomat harmoniset taajuudet (koska parillisten harmonisten
amplitudi = 0), ja parittomille n:n arvoille pätee, että sakara-aaltoon sisältyvän nf0-taajuisen
komponentin
13
2A
πn
•
amplitudi =
•
− 90° kun n > 0
vaihekulma = 
kun n < 0
90°
(2.13)
(2.14)
Kuvassa 2.9 on sakara-aallon amplitudispektrin ja vaihespektrin kuvaaja. Amplitudispektrin
kuvaajan pystyakselilla on kaksi eri asteikkoa. Oikeassa reunassa on absoluttinen
amplitudiasteikko, vasemmassa reunassa on suhteellinen eli normalisoitu asteikko. Suhteelliset
amplitudiarvot saadaan antamalla suurimmalle esiintyvälle amplitudille arvoksi 1, jolloin muut
amplitudit ovat arvoltaan ≤ 1.
2A/π
1,6A/π
1,2A/π
0,8A/π
0,4A/π
Kuva 2.9. Sakara-aallon amplitudi- ja vaihespektri.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
14
Sakara-aaltoesimerkissä 2.1 saadun kaltaista spektriä, jossa esiintyy vain tiettyjä
pistetaajuuksia, kutsutaan viivaspektriksi. Ja kun spektri liittyy kompleksiseen Fouriersarjakehitelmään, eli siinä esiintyvät sekä negatiiviset että positiiviset taajuudet, puhutaan
kaksipuolisesta spektristä.
Jos jaksollisen signaalin spektriä lähdetään tarkastelemaan reaalisen Fourier-sarjan pohjalta, on
tuloksena yksipuolinen spektri, jossa on vain positiivinen taajuusakseli. Reaalisen Fouriersarjan, yhtälö (2.8), amplitudeille An ja vaihekulmille ϕn on vastaava integraalilauseke kuin
yhtälössä (2.11) oleva kompleksisen Fourier-sarjan kertoimen cn lauseke. Sitä ei kannata tässä
ryhtyä käsittelemään, mutta voidaan silti päätellä millainen on sakara-aallon yksipuolinen
spektri.
Oletetaan, että n on positiivinen kokonaisluku. Jaksollisen signaalin n:nteen harmoniseen
taajuuteen liittyvät kompleksisen Fourier-sarjan kertoimet cn ja c-n. Tällöin tuo n:s harmoninen
taajuuskomponentti kokonaisuudessaan on
vn (t ) = c−n e − j 2π ⋅nf0 ⋅t + cn e j 2π ⋅nf0 ⋅t
= c−n e j⋅arg( c−n ) e − j 2π ⋅nf0 ⋅t + cn e j⋅arg( cn ) e j 2π ⋅nf0 ⋅t
Tässä on muutettu kompleksiluvut c-n ja cn eksponenttifunktiota käyttävään osoitinmuotoon.
Sovelletaan tätä sakara-aaltoon, jolle edellä laskettiin
cn =
− j2 A
, kun n on pariton
πn
Saadaan
vn (t ) =
2 A − j 2π ⋅nf0 ⋅t + jπ / 2 2 A j 2π ⋅nf0 ⋅t − jπ / 2
e
+
e
πn
πn
2A
4A
=
2 cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t − π 2 ) =
cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t − π 2)
πn
πn
Tämä on siis sakara-aallon n:nnen harmonisen taajuuskomponentin yhtälö silloin kun n on
pariton luku. Jos n on parillinen, on cn = c-n = 0. Koko sakara-aallon yhtälöksi voi silloin
kirjoittaa
∞
v(t ) = ∑ v n (t ) =
n =0
∞
4A
cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t − π / 2)
n =1, 3,5 ,... πn
∑
joten reaalisessa Fourier-sarjassa sakara-aallon parittoman n:nnen harmonisen
•
amplitudi =
•
vaihe = −π/2
4A
πn
Voidaan varsin helposti osoittaa, että jos jaksollisen signaalin kompleksisessa Fourier-sarjassa
positiivista n:ää vastaa kerroin cn, on saman signaalin reaalisessa Fourier-sarjassa
15
An = 2 ⋅ c n
ϕ n = arg(c n )
Tarkkaan ottaen edellä sanottu pätee vain, kun signaalin aaltomuodon yhtälö on reaalinen. Mutta
toisaalta, jos v(t):n yhtälö on kompleksinen, ei sen reaalisen Fourier-sarjan tutkimisessa ole
juurikaan mieltä.
Jaksollisen signaalin teho
Tietoliikennesignaalin sähköinen teho on usein käytännössä tärkeä tarkasteltava suure.
Lähdetään tarkastelemaan signaalitehoa sähköopin perusteista tutusta tilanteesta, kuva 2.10
u(t)
i(t)
R
Kuva 2.10 Jännite vastuksen yli
Jos vastuksen yli vaikuttava jännite on tasajännite, eli u(t) = U, niin vastuksen häviöteho
U2
P=
ilmoittaa millä teholla sähköenergia muuttuu vastuksessa lämpöenergiaksi.
R
Jos jännite on vaihtojännite, niin vastuksen hetkellinen häviöteho saadaan samalla tavalla:
u 2 (t )
p (t ) =
. Yleensä hetkellinen teho ei ole oleellinen asia (joskus on), vaan useimmiten ollaan
R
kiinnostuneita keskimääräisestä tehosta, jonka symbolina käytetään myös P:tä. Nyt
keskimääräinen teho tarkoittaa tietysti tehon aikakeskiarvoa. Kun jännite u(t) on jaksollinen, on
myös teho p(t) jaksollinen, jolloin riittää määrittää tehon aikakeskiarvo jakson T0 pituisena
aikana. Keskimääräinen teho signaalin periaatteessa äärettömän pitkänä kestoaikana on sitten
sama keskimääräinen teho yhden jakson aikana.
On helppo osoittaa, että jaksollisen tehon p(t) aikakeskiarvo jakson pituisena aikana on
P = p (t ) =
1
T0
∫ p(t )dt ,
(2.15)
T0
missä on myös esitelty aikakeskiarvon merkintätapa < >-sulkuja käyttäen. Integraalin
merkintätapa on selostettu edellä yhtälön (2.11) yhteydessä.
Kun p(t):n paikalle sijoitetaan jännite ja resistanssi, tulee tehoksi
u 2 (t )
u 2 (t )
U2
P = p(t ) =
=
=
R
R
R
(2.16)
Tuossa on lopuksi otettu käyttöön vaihtojännitteen u(t) tehollisarvo U, joka siis on
16
U=
u 2 (t )
(2.17)
Määrittelemällä tehollisarvo saadaan vaihtojännitteen häviöteholle sama yhtälö kuin
tasajännitteen häviöteholle.
Aivan samalla tavalla voidaan järkeillä, mikä on vastuksen häviöteho vastuksen läpi kulkevan
vaihtovirran i(t) avulla lausuttuna:
P = i 2 (t ) ⋅ R = I 2 ⋅ R
(2.18)
Jotta varsinainen asia, eli tietoliikennesignaalien tehoon liittyvä tarkastelu onnistuisi
mahdollisimman yleispätevästi ja ilman sähköteknisten yksityiskohtien (kuten tehon yhtälössä
esiintyvän resistanssin R arvon) pohtimista, kannattaa tehdä seuraavat sopimukset:
• Signaaleilla ei ole yksikköjä. Siis jos jännitettä u(t) tai virtaa i(t) tai jotain muuta sähköistä
suuretta tarkastellaan tietoliikennesignaalina, sille käytetään symbolia v(t), joka ei ole
voltteja eikä ampeereja eikä mitään muutakaan vastaavaa, vaan se on pelkästään aaltomuoto,
jonka arvot ovat paljaita lukuja. [Tietysti signaalista voidaan käyttää muutakin merkintää
kuin v(t); tässä kirjassa esiintyvät mm. signaalit w(t), x(t), y(t) ja z(t).]
• Sovitaan, että kaikki signaalit esiintyvät 1 Ω:n suuruisen resistanssin yhteydessä. Samalla
jätetään tuostakin yksikkö pois, jolloin myös teho on ilman yksikköä.
Lopputuloksena saadaan jaksollisen tietoliikennesignaalin v(t) keskimääräiselle teholle yhtälön
P = v 2 (t )
(2.19)
Jos halutaan olla tarkkoja, pitää ottaa huomioon sellainen teoreettinen mahdollisuus, että
signaalin aaltomuodon yhtälö v(t) voi olla kompleksinen. Käytännön signaalilla näin ei voi olla,
mutta esimerkiksi edellä kompleksiseksi sinisignaaliksi kutsuttu eksponenttifunktio on
kompleksinen signaali. Sellaisessa tapauksessa yhtälö (2.19) antaa teholle kompleksiarvon, joka
ei ole mahdollista. Yleispätevä tehon lauseke, joka pätee myös kompleksisille signaaleille, on
P = v(t )v * (t ) = v(t )
2
(2.20)
Merkintä v * (t ) tarkoittaa v(t):n kompleksikonjugaattia. Jatkossa käytetään jälkimmäistä,
itseisarvon sisältävää lauseketta, vaikka itseisarvo useimmiten onkin tarpeeton.
Yhtälö (2.20) antaa signaalin tehon, kun sen aaltomuoto tunnetaan. Entä jos tunnetaan vain
signaalin spektri? Jaksollisen signaalin tapauksessa tämä tarkoittaa sitä, että tunnetaan sen
Fourier-sarjan kertoimet cn. Silloin signaali tunnetaan yhtälön (2.10) antamassa muodossa. Kun
tuo yhtälö sijoitetaan tehon yhtälöön (2.20), saadaan helpohkosti tulos
P=
∞
∑c
n = −∞
2
n
(2.21)
Tulos on varsin järkeenkäypä, koska yhtälö kertoo sen, että signaalin kokonaisteho on signaalin
Fourier-komponenttien tehojen summa.
17
Yhtälöä (2.21) kutsutaan Parsevalin yhtälöksi tai Parsevalin teoreemaksi. Parsevalin yhtälöä
voidaan käyttää mm. tutkimaan, miten signaalin sisältämä teho jakautuu eri taajuuksien kesken.
Tätä valaisee esimerkki 2.2.
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.2 Sakara-aallon jaksonpituus on 50 µs. Montako prosenttia sen kokonaistehosta on
a) perustaajuudella (20 kHz)?
b) alle 120 kHz:n taajuuksilla?
c) yli 200 kHz:n taajuuksilla?
Muistutus: Kun sanotaan "alle 120 kHz:n taajuuksilla", tarkoitetaan kaksipuolisesta spektristä
puhuttaessa taajuusväliä −120 kHz ... 120 kHz.
Ratkaisu:
Jaksollisen signaalin tehon voi laskea kahdella tavalla:
Aaltomuodosta: P = v(t )
2
ja spektristä: P =
∞
∑c
n= −∞
2
n
Sakara-aallon kokonaisteho on helposti pääteltävissä. Signaalin toinen potenssi on tietysti vakio
eli A2, joten sen aikakeskiarvokin on tietysti A2. Siis nyt P = A2
Sitten pitää selvittää, miten tuo kokonaisteho jakautuu eri taajuuksien kesken. Se selviää P:n
toisesta lausekkeesta.
a) Perustaajuuteen liittyvät Fourier-sarjan kertoimet ovat c1 ja c-1. Silloin perustaajuinen teho on
2
2
2
 2A   2A  8A
2
Pa = c−1 + c1 = 
 +
 = 2 = 0,8106 ⋅ A .
π
 π  π 
Siispä perustaajuinen teho on 81,06 % kokonaistehosta.
2
2
b) Alle 120 kHz:n taajuudet tarkoittavat nyt harmonisia taajuksia 0, ±20, ±40, ±60, ±80 ja ±100
kHz, joihin liittyvät indeksin n arvot 0, ±1, ±2, ±3, ±4 ja ±5. Mutta kun sakara-aallolla kertoimet
cn ovat nollasta poikkeavia vain parittomilla n:n arvoilla, tulee tarkasteltavan osatehon (eli alle
120 kHz:llä olevan tehon) arvoksi nyt
Pb =
5
5
(
∑ cn = 2∑ cn = 2 ⋅ c1 + c3 + c5
2
n = −5
n =1
2
2
2
2
) = 2 ⋅  4πA

2
2
+
4 A2 4 A 2 

+
9π 2 25π 2 
= 0,9547 ⋅ A 2
Tuossa käytettiin hyväksi myös sitä, että sakara-aallolla
c−n = cn
. Vastaus siis on, että alle
120 kHz:n taajuuksilla esiintyvä teho on 95,47 % kokonaistehosta.
c) Teho yli 200kHz:n taajuuksilla on helpointa laskea vähentämällä kokonaistehosta teho, joka
on taajuuksilla ≤ 200 kHz. Jälkimmäinen teho taas lasketaan samalla tavalla kuin b-kohdassa
18
ottamalla mukaan parittomat harmoniset komponentit yhdeksänteen asti. Tämän kohdan
vastaus saadaan näin:
9
(
Pc = P − ∑ cn = A 2 − 2 ⋅ c1 + c3 + c5 + c7 + c9
2
n = −9
2
2
2
2
2
)
 4 A2 4 A2 4 A 2
4 A2
4 A2 
 = 0,0404 ⋅ A 2
= A 2 − 2 ⋅  2 + 2 +
+
+
2
2
2 
π
9
π
25
π
49
π
81
π


Siis yli 200 kHz:n taajuuksilla on 4,04 % kokonaistehosta.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
2.5 Ei-jaksollisen signaalin spektri: Fourier-muunnos
Jos signaali ei ole jaksollinen, sillä ei tietenkään ole jaksonpituutta, jolloin sillä ei ole
perustaajuutta eikä harmonisia taajuuksia. Voidaan kuitenkin tulkita, että ei-jaksollisen signaalin
jaksonpituus lähestyy ääretöntä, jolloin sen perustaajuus lähestyy nollaa ja harmoniset taajuudet
(jotka ovat perustaajuuden monikertoja) ovat äärettömän tiheässä. Silloin ei-jaksollinen signaali
sisältää kaikki taajuudet, jolloin sen spektri ei ole viivaspektri, vaan jatkuva.
Jos edellä oleva tarkastelu tehdään matemaattisesti, päädytään tuloksena signaalin v(t) Fouriermuunnokseen:
∞
V ( f ) = ∫ v (t )e − j 2πft dt
(2.22)
−∞
Fourier-muunnos V(f) on samalla signaalin v(t) spektri.
Tässä Fourier-muunnosyhtälö on kompleksisessa muodossa. Yhtälön reaalista muotoa ei kannata
ryhtyä tutkimaan lainkaan.
Vaikka Fourier-muunnokseen päädyttiin ei-jaksollisten signaalien kautta, antaa yhtälö (2.22)
myös jaksollisen signaalin v(t) spektrin. Yhtälön voidaan osoittaa antavan spektriksi
c
V( f ) =  n
0
kun f = n ⋅ f 0
kaikilla muilla taajuksilla
(2.23)
missä cn saadaan yhtälöstä (2.11). Spektristä V(f) nähdään, että signaali v(t) sisältää vain
harmoniset taajuudet, ja se voidaan esittää yhtälönä (2.10).
Fourier-muunnos toimii myös toisin päin. Jos signaalin v(t) spektri V(f) tunnetaan, niin signaalin
aaltomuoto saadan selville Fourier-käänteismuunnoksella:
∞
v (t ) = ∫ V ( f )e j 2πft df
(2.24)
−∞
Fourier-muunnokselle ja -käänteismuunnokselle käytetään mm. seuraavia merkintätapoja, kun ei
haluta kirjoittaa täydellisiä integraalilausekkeita:
19
V ( f ) = F [v(t )]
v(t ) = F −1 [V ( f )]
v(t ) ↔ V ( f )
Ei-jaksollisen signaalin Fourier-muunnokseen ja spektriin liittyvät asiat tulevat esiin parhaiten
esimerkin kautta.
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.3
Määritetään suorakulmaisen pulssin eli sakarapulssin Fourier-muunnos ja piirretään sen spektrin
kuvaaja.
Suorakulmainen pulssi on tärkeä ei-jaksollinen perussignaali. Pulssin aaltomuoto on kuvassa
2.11.
v(t)
A
t
−τ/2
τ/2
Kuva 2.11. Suorakulmainen pulssi
Pulssin kestoaikaa merkitään τ:lla ja sen korkeutta A:lla. Pulssin yhtälö voidaan kirjoittaa näin:
A
v(t ) = 
0
kun − τ / 2 < t < τ / 2
muualla
(2.25)
Jotta jatkossa voitaisiin kirjoittaa suorakulmaisia pulsseja sisältävien signaalien yhtälöitä
kätevästi, otetaan käyttöön tällainen merkintätapa kuvan 2.11 ja yhtälön (2.25) τ:n kestoiselle
A:n korkuiselle suorakulmaiselle pulssille v(t):
t
v(t ) = AΠ 
τ 
(2.26)
Suorakulmaisen pulssin symbolina käytetään siis isoa pii-kirjainta Π. Pulssin korkeuden A
merkintätapa on selvä, mutta pulssin keston τ merkintä ikäänkuin jakajaksi saattaa hämätä.
Kyseessä siis ei ole jakolasku, vaan sopimus pulssin keston merkintätavasta.
Suorakulmaisen pulssin Fourier-muunnos saadaan varsin suoraviivaisella integroinnilla:
20
∞
V ( f ) = ∫ v(t )e
− j 2πft
dt =
−∞
τ /2
∫ Ae
− j 2πft
−τ / 2
τ /2
dt = A
/
−τ / 2
e − j 2πft
− j 2πf
=
(
A
e − jπfτ − e jπfτ
− j 2πf
)
A
sin(πfτ )
sin(πfτ ) = Aτ
πf
π fτ
= Aτ ⋅ sinc( fτ )
=
Lopputulos siis on
t
AΠ  ↔ Aτ ⋅ sinc( fτ )
τ 
(2.27)
Spektrin yhtälö on lopussa saatettu tarkoituksella (laventamalla τ:lla) muotoon, josta se voidaan
kirjoittaa sinc-funktiota käyttäen. Tietoliikennetekniikassa (ja muillakin aloilla) esiintyy melko
usein muotoa sin(πx) πx oleva lauseke, joten on katsottu tarpeelliseksi ottaa käyttöön tuolle
lausekkeelle oma nimitys.
Sinc-funktion määritelmä on
sinc( x) =
sin(πx)
πx
(2.28)
Sinc-funktion tärkeimmät ominaisuudet ovat:
•
sinc(0) = 1 (Esim. laskimella ei voi laskea suoraan lauseketta sin(0)/0, mutta on helppo
 sin(πx) 
osoittaa, että raja-arvona lim 
= 1.
x →0
 πx 
•
sinc(x) =0 aina kun x on kokonaisluku (paitsi jos x=0)
Sinc-funktion kuvaaja on kuvassa 2.12. Monien käytännön tietoliikennesignaalien
amplitudispekristä löytyy samanlaisia piirteitä kuin sinc:n itseisarvon kuvaajasta. Spektrissä on
yleensä korkea pääkeila ja joukko matalampia sivukeiloja. Jonkin verran epähavainnollinen
termi 'keila' on vastine englannin kielen sanalle 'lobe'.
21
Kuva 2.12. Sinc-funktio ja sen itseisarvo
Kuvassa 2.13 on suorakulmaisen pulssin amplitudispektri, kun pulssille on oletettu todellinen
kestoaika, tässä tapauksessa τ = 10 µs. Pulssin korkeus on A. Silloin pulssin spektri on
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ )
jolloin sinc-funktion nollakohdat sattuvat taajuuksille, joilla fτ = kokonaisluku, eli taajuuksille
f = n⋅
1
τ
= n ⋅ 100 kHz , missä n on mikä tahansa kokonaisluku paitsi 0.
22
Kuva 2.13. Suorakulmaisen pulssin (τ = 10 µs) amplitudispektri
Koska nyt spektri on puhtaasti reaalinen, ovat vaihespektrin ainoat mahdolliset arvot 0 ja ±180°.
Vaihe on ±180° (eli ±π) silloin, kun V(f) on negatiivinen.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
Kuvan 2.13 kaltaisten spektrien yhteydessä puhutaan usein signaalin kaistanleveydestä (engl.
bandwidth), jonka symbolina käytetään useimmiten B:tä tai W:tä. Eri symboleja käytetään,
koska, kuten luvussa 3 tulee esille, myös tietoliikennejärjestelmillä ja -laitteilla on kaistanleveysniminen ominaisuus. Järjestelmän kaistanleveyttä merkitään yleensä B:llä, joten jos samassa
yhteydessä puhutaan myös signaalin kaistanleveydestä, on järkevää että sillä on eri symboli W.
Signaalin kaistanleveys voidaan määritellä eri tavoin. Sillä saatetaan tarkoittaa spektrin pääkeilan
leveyttä, kuitenkin niin, että vain positiivisella taajuusakselilla olevan osa otetaan huomioon. τ:n
kestoisen suorakulmaisen pulssin kaistanleveys näin määriteltynä on siis W = 1/τ. Joskus
puhutaan 3 dB:n kaistanleveydestä, joka myös määritetään spektrin positiivisella taajuusakselilla
olevan osan perusteella. Suorakulmaisen pulssin tapauksessa 3 dB:n kaistanleveys saadaan
ratkaisemalla f pulssin yhtälöstä
Aτ ⋅ sinc( fτ ) = 0,708 ⋅ Aτ
(2.29)
eli ratkaisemalla se taajuus, jolla spektrin arvo on pudonnut 3 dB verrattuna spektrin
maksimiarvoon Aτ. Amplitudin pieneneminen 3 dB tarkoittaa kertomista luvulla 0,708, koska
20 ⋅ log(0,708) = −3 . Yhtälön ratkaisuna saadaan suorakulmaisen pulssin 3 dB:n kaistanleveyden
0.44
arvoksi W3dB =
. Myös muita desibeliarvoja voidaan käyttää kaistanleveyden määrittelyyn,
τ
voidaan puhua esim 10 dB:n kaistanleveydestä.
Ei-jaksollisen signaalin energia
Jos signaali on esimerkiksi kuvan 2.11 mukainen pulssi tai jokin muu kertaluonteinen ilmiö, on
sen keskimääräinen teho nolla. Luvun 2.2 alussahan todettiin, että signaaleja pidetään aina
kestoltaan äärettöminä, jolloin kestoltaan äärellisen signaalin äärellinen kokonaisenergia
23
jakaantuu äärettömän pitkälle ajalle, jolloin lopputulos on nolla. Siksi ei-jaksollisen signaalin
tapauksessa on järkevämpää tutkia tehon asemasta signaalin energiaa.
Samanlaisella sähköteknisellä tarkastelulla kuin luvussa 2.4 oleva jaksollisen signaalin
tehotarkastelu voidaan päätellä että signaalin v(t) energia on
E=
∞
∫ v(t )
2
dt
(2.30)
−∞
Parsevalin tehoyhtälö (2.21) antaa jaksollisen signaalin keskimääräisen tehon signaalin
spektrikomponenttien amplitudien avulla. Samantyppinen yhtälö voidaan johtaa signaalin
energialle:
∞
E = ∫ V ( f ) df
2
(2.31)
−∞
Energian yhtälön voi tulkita samalla tavalla kuin Parsevalin tehoyhtälön (2.21), eli kyseessä on
signaalin spektrikomponenttien energioiden summa. Kun spektri ei koostu yksittäisistä
taajuuksista, vaan on jatkuva, on yhtälössä summauksen sijaan integrointi. Yhtälöä (2.31)
kutsutaan Rayleigh'n teoreemaksi tai Rayleigh'n yhtälöksi.
2
Energian laskemisessa esiintyvää amplitudispektrin toista potenssia V ( f ) kutsutaan signaalin
v(t) energiaspektriksi. Myös nimityksiä 'energiaspektrin tiheys' tai pelkkä 'spektrin tiheys'
käytetään. Energiaspektri siis kertoo, miten signaalin sisältämä kokonaisenergia on jakautunut
eri taajuuksien kesken. Myös käytetään termejä 'tehospektri' ja 'tehospektrin tiheys', koska
joissakin tapauksissa myös ei-jaksollisen signaalin yhteydessä voidaan puhua signaalin
keskimääräisestä tehosta. Silloin tehospektri kertoo miten tuo teho on jakautunut eri taajuuksien
kesken. Käyttämällä nimitystä 'spektri tiheys' voidaan puhua amplitudispektrin toisesta
potenssista ilman, että pitää yksilöidä, käsitelläänkö energiaa vai tehoa.
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.4. Tutkitaan suorakulmaisen pulssin energian jakautumista eri taajuuksille. Laske,
montako prosenttia kuvan 2.11 suorakulmaisen pulssin energiasta on pulssin spektrin pääkeilan
alueella.
Pulssin kokonaisenergian saa helposti aika-alueen energiayhtälöstä (2.30). Kun pulssin yhtälö
(2.25) sijoitetaan integraaliin, tulee energia laskutoimituksella
E=
∞
∫ v(t )
2
dt =
−∞
τ /2
τ /2
∫ A dt = A τ/
τ
2
− /2
2
t = A 2τ
− /2
Spektrin pääkeilan määräämällä taajuuskaistalla olevan energian saa laskemalla Rayleigh'n
yhtälön integraalin vain mainitun taajuuskaistan yli. Esimerkissä 2.3 kävi ilmi, että
suorakulmaisen pulssin pääkeila on taajuusvälillä −1/τ ... 1/τ, joten pitää laskea integraali
∞
E = ∫ V ( f ) df =
−∞
2
sin (πfτ )
 A
A 2τ 2 ⋅ sinc 2 ( fτ )df =   ⋅ ∫
df = 0.92 ⋅ A2τ
2
∫
f
 π  −1/ τ
−1 / τ
1/τ
2
1/τ
2
24
Integraalia ei voi laskea suljetussa muodossa, joten lopputulos on laskettu numeerisesti
tietokoneella.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
2.6 Fourier-analyysin työkaluja
Kaikkien mahdollisten aaltomuotojen spektri on ainakin periaatteessa määritettävissä suoraan
Fourier-muunnosintegraalin (2.22) avulla. Useissa tapauksissa Fourier-muunnoksen laskeminen
määritelmän avulla on kuitenkin tarpeetonta, koska jo tiedossa olevia spektrejä voidaan käyttää
hyväksi määritettäessä uusien signaalien spektrejä. Seuraavassa esitetään tärkeimmät tavat johtaa
uuden signaalin Fourier-muunnos aiemmin tunnetuista muunnoksista. Kaikki esitetyt tulokset on
varsin helppo johtaa Fourier-muunnoksen määritelmästä lähtien. Yksityiskohtaisia johtamisia
tässä ei esitetä.
Symmetriset signaalit.
Signaalin aaltomuoto voi olla symmetrinen aika-akselin origon suhteen kahdella tavalla:
•
Parillisesti symmetriselle signaalille pätee v(−t ) = v(t ) . Esimerkiksi kosinifunktiolla
määritelty sinimuotoinen signaali v(t ) = A ⋅ cos(2πft ) on parillisesti symmetrinen. Esimerkki
ei-jaksollisesta parillisesta signaalista on kuvan 2.11 suorakulmainen pulssi. Myös
jäljempänä olevassa kuvassa 2.16 oleva pulssipari on parillisesti symmetrinen. Parillisen
signaalin Fourier-muunnoksen yhtälö sieventyy puhtaasti reaaliseen muotoon
∞
V ( f ) = 2 ∫ v(t ) cos( 2πft ) dt
(2.32)
0
•
Parittomasti symmetriselle signaalille pätee: v(−t ) = −v(t ) . Esimerkiksi sinifunktiolla
määritelty sinimuotoinen signaali v(t ) = A ⋅ sin(2πft ) on parittomasti symmetrinen.
Esimerkki ei-jaksollisesta parittomasti symmetrisestä signaalista on kuvassa 2.18
Parittoman signaalin Fourier-muunnoksen yhtälö sieventyy puhtaasti imaginääriseen
muotoon
∞
V ( f ) = j 2 ∫ v(t ) sin( 2πft ) dt
(2.33)
0
Duaalisuus
Fourier-muunnoksen ja -käänteismuunnoksen yhtälöt (2.22) ja (2.24) muistuttavat toisiaan
melkoisesti. On melko yksinkertaista todistaa, että aaltomuodolla ja sen spektrillä on seuraava
ominaisuus:
Jos aaltomuodon v(t) spektri on V(f), niin silloin aaltomuodon V(t) spektri on v(-f).
Tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että kun suorakulmaisen pulssin spektri on sinc-funktion
muotoinen, on vastaavasti sinc-funktion muotoisen pulssin spektri suorakulmio. Esimerkki 2.5
valaisee asiaa.
25
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.5. Määritetään oheisen sinc-muotoisen pulssin spektri.
t
-5T
-4T
-3T
-2T
-T
T
2T
3T
4T
5T
Kuva 2.14 Sinc-pulssi
Ratkaisu. Kuvan 2.14 signaalin yhtälö on
1
v(t ) = C ⋅ sinc(t ⋅ )
T
Voidaan käyttää hyväksi aiemmin kerrottua Fourier-muunnoksen duaalisuusominaisuutta.
Tiedetään, että
t
AΠ  ↔ Aτ ⋅ sinc( fτ ) ,
τ 
joten soveltamalla suoraan duaalisuusperiaatetta, saadaan
− f 
Aτ ⋅ sinc(tτ ) ↔ AΠ

 τ 
Nyt sinc-pulssissa on Aτ:n sijaan C ja τ:n sijaan 1/T (jolloin myös voidaan kirjoittaa
A = CT). Lisäksi koska suorakulmaista pulssia kuvaava Π-funktio on parillisesti symmetrinen,
voidaan oikean puolen miinusmerkki jättää pois. Näin saadaan sinc-pulssin spektri:
1
 f 
C ⋅ sinc(t ⋅ ) ↔ CTΠ
.
T
 1/ T 
Sinc-pulssin spektrin taajuuskaista on siis tarkasti rajattu. Jos pulssin pääkeilan kesto on 2T, niin
sen kaksipuolisen spektrin leveys on 2/T. Kuitenkin puhuttaessa signaalin kaistanleveydestä
tarkoitetaan positiivisella taajuusakselilla olevan spektrin osan leveyttä, joten nyt sinc-pulssin
kaistanleveys on 1/T.
26
V(f)
CT
f
-1/T
1/T
Kuva 2.15 Sinc-pulssin spektri.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
Signaalien summaaminen
Jos signaali kerrotaan vakiolla, myös sen spektri tulee kerrotuksi samalla vakiolla:
av(t ) ↔ aV ( f )
(2.34)
Jos kaksi signaalia summataan, myös niiden spektrit summautuvat:
v1 (t ) + v 2 (t ) ↔ V1 ( f ) + V2 ( f )
(2.35)
Yhdistämällä ja yleistämällä edelliset saadaan Fourier-muunnoksen superpositioperiaate:
a1v1 (t ) + a 2 v 2 (t ) + a 3 v3 (t ) + K ↔ a1V1 ( f ) + a 2V2 ( f ) + a3V3 ( f ) + K
(2.36)
Signaalin viive
Jos signaalille v(t) aiheutetaan td:n suuruinen viive (alaindeksi d tulee sanasta delay, viive) niin
tuloksena on viivästetty signaali v(t-td), jonka aaltomuoto on sama, mutta joka on siirtynyt aikaakselilla td:n verran. Jos viive on negatiivinen, siirtyy v(t) viiveen ansiosta tietysti negatiiviseen
suuntaan (eli vasemmalle) aika-akselilla. Viive aiheuttaa signaalin spektriin vaihetermin:
v (t − t d ) ↔ V ( f )e − j 2πft d
(2.37)
Koska spektriin ilmestyvän kompleksisen eksponenttitermin itseisarvo = 1, ei viive vaikuta
signaalin amplitudispektriin. Sen sijaan vaihespektriin tulee tajuudesta riippuva muutos, eli ftaajuisen komponentin vaihekulma muuttuu viiveen vaikutuksesta määrällä − j 2πft d .
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.6. Määritä kuvassa 2.16 olevan pulssiparin spektrin lauseke
27
v(t)
τ
τ
A
t
T
-T
Kuva 2.16. Kahdesta suorakulmaisesta pulssista koostuva signaali.
Ratkaisu. Nyt voidaan soveltaa yhtälössä (2.36) esitettyä superpositioperiaatetta, koska
signaalin voidaan ajatella olevan kahden pulssin summa. Noilla kahdella suorakulmaisella
pulssilla on viiveet -T ja T, joten yhtälössä (2.26) esiteltyä merkintätapaa käyttäen ja ottamalla
viiveet huomioon tutkittavan signaalin aikatason yhtälö voidaan kirjoittaa
 t − (−T ) 
t −T 
v(t ) = AΠ
 + AΠ

 τ

 τ 
Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi yhtälössä (2.27) annettua
suorakulmaisen pulssin Fourier-muunnosta sekä yhtälössä (2.37) annettua viiveen vaikutusta:
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πf ( −T ) + Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πfT
Ensimmäisessä termissä miinusmerkit tietysti kumoavat toisensa (siinä on edelleen -T
muistuttamassa siitä, että ensimmäisen pulssin viive on negatiivinen) jolloin kompleksiset
eksponentit muodostavat yhtälön (2.5) mukaisesti kosinifunktion. Lopputulokseksi saadaan
V ( f ) = 2 Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ cos(2πfT )
****************** Esimerkki loppuu **************************************
Derivointi
Signaalin derivointi ajan suhteen aiheuttaa spektriin kertoimen j2πf:
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f )
dt
(2.38)
Integrointi
Signaalin integrointi ajan suhteen aiheuttaa spektriin jakajan j2πf:
t
∫ v ( λ ) dλ ↔
−∞
V( f )
j 2πf
(2.39)
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.7. Määritetään kuvassa 2.17 olevan kolmiopulssin spektrin yhtälö.
28
v(t)
A
t
−τ
τ
Kuva 2.17 Kolmiopulssi
Ratkaisu. Koska myös kolmiopulssi on varsin perustavanlaatuinen ei-jaksollinen signaali, on
sillekin käytössä samantyyppinen merkintätapa kuin mitä esiteltiin suorakulmaiselle pulssille
yhtälössä (2.26). Kuvan pulssin yhtälö kirjoitetaan näin:
t
v(t ) = AΛ 
τ 
(2.40)
Kolmiopulssin symbolina käytetään isoa lambda-kirjainta Λ. Huomaa, että nyt pulssin
kestoaikaan liittyvä symboli τ tarkoittaa eri asiaa kuin suorakulmaisella pulssilla. Kolmiopulssin
kestoa merkitään 2τ:lla, kun suorakulmaisen pulssin kesto = τ. Tähän omituisuuteen saadaan
selitys pian.
Kuvan 2.17 kolmiopulssin spektrin saisi kyllä lasketuksi suoraan Fourier-muunnoksen yhtälöstä
(2.22), mutta melko työläästi. Helpommalla päsee oivaltamalla, että kolmiopulssin derivoiminen
ajan suhteen antaa kaksi suorakulmaista pulssia. Silloin tuon derivaattasignaalin spektrin lauseke
selviää melko helpolla, ja sen jälkeen yhtälöä (2.38) käyttäen selviää saman tien myös
alkuperäisen kolmiopulssin spektri.
Kuvan 2.17 kolmiopulssi koostuu kahdesta suorasta. Ensin on nouseva suora, jonka
kulmakerroin on A/τ ja sitten laskeva suora, jonka kulmakerroin on −A/τ. Suoran derivaattahan
on sama kuin sen kulmakerroin, joten kolmiopulssin derivaattasignaali on kuvassa 2.16.
v(t)
A/τ
τ
−τ
t
-A/τ
Kuva 2.18 Kolmiopulssin aikaderivaatta
Kolmiopulssin derivaatassa on kaksi suorakulmaista pulssia, joiden kummankin kesto on τ,
korkeudet ovat A/τ ja −A/τ ja viiveet −τ/2 ja τ/2. Silloin ratkaisu etenee samalla tavalla kuin
edellä esimerkissä 2.6
Kuvan 2.18 derivaattasignaalin yhtälö on
29
x(t ) =
A
τ
Π t − (−τ / 2)  − A Π t − τ / 2 
τ


τ

τ

joten derivaattasignaalin spektri on
X(f ) =
τ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πf ( −τ / 2) − τ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πfτ / 2
τ
τ
A
A
Kun supistetaan τ:t ja 2:t ja huomioidaan miinusmerkit, yhtälö saadaan mm. yhtälön (2.6)
perusteella helposti muotoon
X ( f ) = j 2 A ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(πfτ )
Nythän koska
x(t ) =
dv(t )
,
dt
on yhtälön (2.38) mukaan
X ( f ) = j 2πf ⋅ V ( f ) ,
joten etsitty kolmiopulssin spektri on
V( f ) =
V ( f ) j 2 A ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(πfτ )
=
j 2πf
j 2πf
Kun supistaa pois j2:t ja laventaa τ:lla (jolloin osoittajassa olevasta sinistä ja nimittäjästä saa
aikaan sinc-funktion), tulee lopputulokseksi
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc 2 ( fτ )
Kolmiopulssin spektri eroaa siis suorakulmaisen pulssin spektristä vain eksponentiltaan. On
kuitenkin muistettava, mitä edellä sanottiin pulsin kestoaikaan liittyvästä τ:sta. Jos τ tarkoittaisi
kummallakin pulssimuodolla samaa, eivät spektrien lausekkeet olisi aivan noin samankaltaiset.
Itse asiassa τ on määritelty niin, että kummankin pulssin pinta-alan antaa sama lauseke, eli Aτ.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
Taajuuskonversio
Signaalin kertominen sinimuotoisella signaalilla siirtää sen spektrin sekä ylös- että alaspäin
taajuusakselilla:
1
1
v(t ) ⋅ cos(2πf c t ) ↔ V ( f − f c ) + V ( f + f c )
2
2
(2.41)
Alkuperäisen signaalin v(t) spektri V(f) siis kahdentuu niin että spektrin se kohta, joka alun perin
oli taajuuden f=0 kohdalla, siirtyy taajuuksien ±fc kohdalle. Tällaista spektrin siirtämistä
taajuusakselilla toiseen paikkaan kutsutaan taajuuskonversioksi.
30
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.8 Tarkastellaan tutkapulssia ja sen spektriä.
Pulssitutka lähettää kuvassa 2.19 esitetyn kaltaisia siniaaltopurskeita, joiden yhtälön voi
kirjoittaa muodossa
t 
v(t ) = Π  ⋅ A cos(2πf c t )
τ 
Kuva 2.19 Tutkapulssi
Soveltamalla suoraan yhtälöitä (2.27) ja (2.41) tämän spektrin lausekkeen voi kirjoittaa:
V( f ) =
1
1
Aτ sinc[( f + f c )τ ] + Aτ sinc[( f − f c )τ ]
2
2
31
Kuva 2.20 Tutkapulssin amplitudispektri.
Kuvassa on vain positiivinen taajuusakseli. Negatiivisella akselilla kohdassa f = −fc on
samanlainen spektri. Kuvan spektri on samanlainen kuin esimerkissä 2.13 oleva suorakulmaisen
pulssin amplitudispektri. Koska sinc-funktion muotoinen spektri on kuitenkin siirtynyt pois
nollataajuuden kohdalta, on signaalin kaistanleveys kaksinkertainen verrattuna pelkän τ:n
kestoisen suorakulmaisen pulssin kaistanleveyteen. Kaistanleveyttä määriteltäessähän otetaan
huomioon vain positiivisella taajuusakselilla oleva spektrin osa (ks. luku 2.5). Suorakulmaisen
pulssin spektrin pääkeilasta vain puolet on positiivisella taajuusakselilla, joten sen kaistanleveys
on W= 1/τ. Sen sijaan nyt tutkitun tutkapulssin spektrissä koko pääkeila on positiivisella
taajuusakselilla, joten kaistanleveys on W= 2/τ.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
2.7 Impulssi
Luvussa 2.5 tarkasteltiin suorakulmaisen pulssin spektriä ja saatiin tulos
t
AΠ  ↔ Aτ ⋅ sinc( fτ )
τ 
Valitaan pulssin kesto ja korkeus niin, että niiden tulo (eli pulssin pinta-ala) Aτ = 1. Silloin
tietysti tulee ongelmia suureiden yksiköiden kanssa, mutta ei anneta sen haitata. Pulssin spektrin
yhtälö on tällöin sinc(fτ). Sitten annetaan pulssin lyhentyä niin, että sen korkeus samalla muuttuu
niin, että koko ajan Aτ = 1. Pulssin spektrin muoto noudattaa kuvassa 2.12 olevaa sinc-muotoa.
Function sinc(x) nollakohdat ovat kohdissa x = kokonaisluku, joten pulssin spektrin sinc(fτ)
nollakohdat ovat taajuuksilla f = kokonaisluku ⋅ (1/τ).
Kun pulssi kapenee niin, että sen keskikohta pysyy aika-akselin origossa ja koko ajan sen pintaala = 1, sen spektrin pääkeila levenee, mutta pääkeilan maksimiarvo säilyy ykkösenä.
Pääkeilahan on taajuusakselilla välillä -1/τ ... 1/τ ja nyt pulssin kesto τ pienenee. On helppo
päätellä, että kun pulssin kesto lähestyy nollaa (jolloin sen korkeus lähestyy ääretöntä), spektri
lähestyy vaakasuoraa viivaa, jonka arvo = 1.
Teoreettisena rajatapauksena saadaan äärettömän lyhyt, äärettömän korkea pulssi, jonka pinta-ala
= 1 ja jonka spektri = 1. Tuota pulssia kutsutaan impulssiksi ja sen symboli on δ(t).
Impulssille siis pätee:
δ (t ) ↔ 1
(2.42)
Impulssin spektri siis on taajuudesta riippumaton vakio. Impulssi on signaali, joka sisältää
kaikkia taajuuksia yhtä paljon.
Impulssi δ(t) sijaitsee aika-akselin nollakohdassa. Sen piirrossymbolina käytetään ylöspäin
osoittavaa 1:n korkuista nuolta. Tuo nuolen korkeus ei siis ilmoita impulssin korkeutta (joka on
ääretön), vaan sen pinta-alan. Voidaan sanoa, että δ(t) on perusimpulssi, jonka arvo = 1 ja joka
tapahtuu hetkellä t = 0.
Impulssi voi sijaita myös muualla aika-akselilla ja sen arvo voi olla muutakin kuin 1. Kuvassa
2.21 on A:n arvoinen td:n verran viivästetty impulssi Aδ(t-td).
32
v(t)
A
t
td
Kuva 2.21 Impulssi Aδ(t-td) aika-akselilla
Soveltamalla yhtälöitä (2.36) ja (2.42) voidaan kirjoittaa suoraan yleisen impulssin Fouriermuunnos
Aδ (t −t d ) ↔ Ae − j 2πftd
(2.43)
Impulssin pinta-alaominaisuus voidaan ilmaista seuraavalla yhtälöllä:
∞
∫ δ (t )dt = 1
(2.44)
−∞
Koska impulssi on äärettömän kapea, voidaan kirjoittaa
ε
∫ δ (t )dt = 1
(2.45)
−ε
missä ε on mielivaltaisen pieni positiivinen luku.
Suoraan yhtälöstä (2.44) seuraa tämä impulssin ominaisuus:
∞
∫ v(t )δ (t − t
d
)dt = v(t d )
(2.46)
−∞
jonka voi ajatella näytteeksi signaalista v(t) hetkellä t = td.
Spektrianalyysin kannalta tärkeä impulssiin liittyvä asia on signaalin arvon askelmaisen
muutoksen derivaatan tulkinta impulssina. Askelfunktiolla u(t) tarkoitetaan signaalia, jonka arvo
hyppää arvosta 0 arvoon 1 hetkellä t = 0. Kuvassa 2.22 on A:n suuruinen hetkellä t = td tapahtuva
askel, jonka yhtälö siis on v(t) = Au(t − td).
v(t)
A
t
td
33
Kuva 2.22. Askelmainen signaali
dv(t )
arvo nolla
dt
kaikkialla muualla paitsi juuri askeleen kohdalla eli hetkellä t = td. Koska muutos on pystysuora,
on derivaatta tuossa kohdassa arvoltaan ääretön. Derivaatta siis muistuttaa kovasti impulssia,
koska se on nolla muulloin paitsi äärettömän lyhyen ajan, jolloin se on ääretön. Voidaankin
osoittaa, että seuraava tulkinta on oikeutettu:
Jos kuvan signaali v(t) derivoidaan ajan suhteen, on derivaattasignaalin
d
[Au (t − t d )] = Aδ (t − t d )
dt
(2.47)
Siis A:n korkuisen askeleen derivaatta on A:n arvoinen impulssi. Yhtälö (2.47) on varsin
käyttökelpoinen työkalu, kun halutaan selvittää erilaisten, erityisesti pulsseista koostuvien
signaalien spektrejä. Esimerkki 2.9 valaisee asiaa.
****************** Esimerkki alkaa **************************************
Esimerkki 2.9 Määritetään esimerkissä 2.6 käsitellyn pulssiparin spektri uudestaan käyttäen
hyväksi impulsseja.
Ratkaisu. Derivoidaan kuvassa 2.16 oleva signaali. Tulos:
x(t ) =
dv(t )
= Aδ [t − (− T − τ / 2 )] − Aδ [t − (− T + τ / 2 )] + Aδ [t − (T − τ / 2 )] − Aδ [t − (T + τ / 2 )]
dt
Tämän derivaattasignaalin Fourier-muunnos saadaan soveltamalla jokaiseen impulssiin yhtälöä
(2.43):
X ( f ) = Ae − j 2πf (−T −τ / 2) ) − Ae − j 2πf (−T +τ / 2) ) + Ae − j 2πf (T −τ / 2) ) − Ae − j 2πf (T +τ / 2) )
= Ae j 2πfT e jπfτ − Ae j 2πfT e − jπfτ + Ae − j 2πfT e jπfτ − Ae − j 2πfT e − jπfτ
(
)
(
= Ae j 2πfT e jπfτ − e − jπfτ + Ae − j 2πfT e jπfτ − e − jπfτ
(
)(
= A e j 2πfT + e − j 2πfT e jπfτ − e − jπfτ
= A ⋅ 2 cos(2πfT ) ⋅ j 2 sin(πfτ ) ⋅
)
)
Ja koska yhtälön (2.38) mukaan
X ( f ) = j 2πf ⋅ V ( f )
saadaan
V( f ) =
V ( f ) A ⋅ 2 cos(2πfT ) ⋅ j 2 sin(πfτ )
=
= 2 Aτ ⋅ cos(2πfT ) ⋅ sinc( fτ )
j 2πf
j 2πf
eli täsmälleen sama lauseke kuin mitä saatiin jo aiemmin esimerkissä 2.6.
****************** Esimerkki loppuu **************************************
34
Edellä on käsitelty aika-alueen impulsseja. Myös spektrissä voi esiintyä impulsseja. Yhtälössä
(2.23) on esitetty jaksollisen signaalin v(t) spektrin V(f) yhtälö Fourier-sarjan kertoimia käyttäen.
Saman yhtälön voi impulsseja käyttäen kirjoittaa
V( f ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅δ ( f − n ⋅ f0 )
(2.48)
Harmonisten taajuuksien n ⋅ f 0 kohdalla olevia spektriviivoja siis voi pitää impulsseina. Koska
Fourier-sarjan kertoimet cn voivat olla myös kompleksisia, tulee tässä samalla todetuksi, että on
olemassa myös kompleksisia impulsseja.
2.8. Konvoluutio
Vaikka konvoluutio ei olekaan varsinaisesti spektrianalyysiin liittyvä asia, vaan paljon laajempi
tietoliikenne- ja muiden signaalien käyttöön liittyvä ilmiö, on sen esittely tässä yhteydessä
perusteltua. Konvoluution käsitettä tarvitaan luvussa 3, ja sitä voi käyttää myös spektrien
määrittämisen apuvälineenä.
Konvoluutio on ilmiö, joka esiintyy luonnossa koko ajan. Esimerkiksi kaikki se informaatio,
mitä saamme näkö- ja kuuloaistimme välityksellä on erilaisten konvoluutioiden tulosta. Pari
esimerkkiä:
•
Kun kuuntelet kotona radiota, et kuule radion kaiuttimen ääntä, vaan kuulet kaiuttimesta
tulevan äänen ja huoneakustiikasta riippuvan suureen (eli huoneen impulssivasteen; tähän
palataan luvussa 3) konvoluution.
•
Kun otat valokuvan, ei filmille talletu kuvattava kohde, vaan sinne tallettuu kuvattavan
kohteen ja mm. optiikan ominaisuuksista ja kameran mahdollisesta tärähtämisestä riippuvan
suureen konvoluutio.
Konvoluutiossa tapahtuu signaalien eräänlainen sekoittuminen toisiinsa. Kahden signaalin
konvoluution tuloksena oleva uusi signaali tavallaan perii ominaisuuksia molemmilta
alkuperäisiltä signaaleilta. Silloin konvoluutiosignaali muistuttaa jollain tavalla kumpaakin
alkuperäistä signaalia.
Matemaattisesti tarkasteltuna konvoluutio on kahden signaalin välinen tapahtuma, jonka
määrittelee yhtälö
x(t ) * y (t ) =
∞
∫ x(λ ) y(t − λ )dλ
(2.49)
−∞
Yhtälön selitystä:
• Vasen puoli luetaan "x:n ja y:n konvoluutio" tai täsmällisemmin "signaalien x(t) ja y(t)
välinen konvoluutio".
• Tulos eli konvoluutio on ajan t funktio. Se on siis samalla tavalla aikatason signaali kuin
konvoloituvat sigaalit x(t) ja y(t).
• Integroinnissa käytetään apumuuttujaa λ. Sille, että se on juuri λ, ei ole mitään erityistä
syytä, se voisi periaatteessa olla mikä tahansa muukin kirjain. Oleellista on se, että vaikka
integrointi tapahtuukin ajan suhteen koko aika-akselin yli −∞:stä ∞:ään, ei
integrointimuuttujana voi käyttää normaalia ajan symbolia t, koska se on integroinnin
lopputulokseen jäävä aikamuuttuja.
35
•
•
Integroitavana on λ-akselille asetettujen signaalien x ja y tulo. Signaali x on λ-akselilla
sellaisenaan, mutta y-signaalin paikka λ-akselilla riippuu aikamuuttujan t arvosta. Lisäksi ysignaali kääntyy peilikuvakseen, koska argumenttina on −λ.
Aikamuuttujaa t voi ajatella "kuluvana aikana", jolloin t kasvaa koko ajan. Tämä tarkoittaa
sitä, että λ-akselille sijoitettu y-signaali liukuu koko ajan vasemmalta oikealla, kun t kasvaa.
Esimerkki 2.10 pyrkii selventämään konvoluutiointegraalin laskemista.
****************** Esimerkki alkaa **************************************
 t 
 t
Esimerkki 2.10 Määritä suorakulmaisten pulssien x(t ) = A∏   . ja y (t ) = B∏ 
 τ1 
τ2
konvoluutio. Oletetaan τ 1 ≥ τ 2 .



Ratkaisu:
Kuvassa 2.23 on signaalit sijoitettuna λ-akselille yhtälön (2.49) jälkeen olevan selityksen
mukaisesti. Nyt y-signaalin kääntyminen peilikuvakseen ei näy, koska pulssi on symmetrinen.
Pulssi x on origossa, mutta pulssin y paikka riippuu kuluvan ajan t arvosta. Kuvaan on piirretty ypulssi viidellä eri t:n arvolla. Nimittäin se, mitä konvoluutiointegraalin alle tulee, riippuu siitä,
miten paljon signaalit x ja y ovat päällekkäin λ-akselilla. Nyt kun y-pulssi on kapeampi kuin xpulssi, on kolme eri tapausta:
• Pulssit eivät ole yhtään päällekkäin (kuvan kohdat a ja e)
• Pulssit ovat osaksi päällekkäin (kuvan kohdat b ja d)
• y-pulssi on kokonaan x-pulssin päällä (kuvan kohta c)
•
a)
b)
y(t-λ )
y(t-λ )
x(λ )
x(λ )
λ
λ
t
c)
t
d)
y(t-λ )
x(λ )
y(t-λ )
x(λ )
λ
t
λ
t
36
e)
y(t-λ )
x(λ )
λ
t
Kuva 2.23 Konvoloituvat pulssit ajan t eri arvoilla
Silloin kun pulssit eivät ole yhtään päällekkäin (kuva 2.23 a ja e), on yhtälön (2.49) integroitava
tietysti nolla kaikilla λ:n arvoilla, joten saadaan konvoluution määrittämisen ensimmäinen
osatulos:
x(t ) * y (t ) = 0, kun t < − τ 1 2 − τ 2 2 ja kun t > τ 1 2 + τ 2 2
Kun y-pulssi on ylittänyt x-pulssin vasemman reunan, mutta on vielä osaksi x-pulssin
ulkopuolella (kuva 2.23 b), eli kun − τ 1 / 2 − τ 2 / 2 ≤ t ≤ −τ 1 / 2 + τ 2 / 2 , on integraalin alla olevan
lausekkeen arvo = AB silloin kun λ on välillä − τ 1 / 2 ... t + τ 2 / 2 , joten mainitulla t-välillä
konvoluution arvo on
x(t ) * y (t ) =
t +τ 2 / 2

∫ AB dλ =AB t +
τ
−
τ1 + τ 2 
1/2


2
Kun y-pulssi on kokonaan x-pulssin päällä (kuva 2.23 b), eli kun
− τ 1 / 2 + τ 2 / 2 ≤ t ≤ τ 1 / 2 − τ 2 / 2 , on integraalin alla olevan lausekkeen arvo = AB silloin kun λ
on välillä t − τ 2 / 2 ... t + τ 2 / 2 , joten mainitulla t-välillä konvoluution arvo on
x(t ) * y (t ) =
t +τ 2 / 2
∫ AB dλ =ABτ
2
t −τ 2 / 2
Ja lopuksi, kun y-pulssi on ylittänyt x-pulssin oikean reunan, mutta on vielä osaksi x-pulssin
päällä (kuvan 2.23 d), eli kun τ 1 / 2 − τ 2 / 2 ≤ t ≤ τ 1 / 2 + τ 2 / 2 , on integraalin alla olevan
lausekkeen arvo = AB silloin kun λ on välillä t − τ 1 / 2 ... τ 2 / 2 , joten mainitulla t-välillä
konvoluution arvo on
x(t ) * y (t ) =
τ2 / 2

∫ AB dλ =AB − t +
τ
t−
1
/2
τ1 + τ 2 
2


Konvoluution kuvaaja on piirretty kuvaan 2.24. Konvoluutio on yleisessä tapauksessa
puolisuunnikas. Jos pulssit ovat samanlevyiset, eli τ 1 = τ 2 tulee konvoluution kuvaajasta
kolmion muotoinen pulssi.
37
x(t)*y(t)
C
t
-T1 -T2
T2
T1
Kuva 2.24 Suorakulmaisten pulssien konvoluutio.
Kuvassa on selvyyden vuoksi käytetty seuraavia symboleja:
T1 =
τ1
2
+
τ2
2
, T2 =
τ1
2
−
τ2
2
, C = ABτ 2 .
****************** Esimerkki loppuu **************************************
Konvoluution vaikutus spektriin voidaan johtaa sijoittamalla konvoluutiointegraali (2.49)
Fourier-muunnosintegraaliin (2.22). Tulos on varsin yksinkertainen:
x(t ) * y (t ) ↔ X ( f )Y ( f )
(2.50)
Aikatason konvoluutio siis aiheuttaa spektrien kertolaskun.
Edellä on esitetty aikatasossa tapahtuva konvoluutio. Myös spektrit voivat konvoloitua, ja niin
tapahtuu silloin, kun aikatason signaaleja kerrotaan keskenään. Nimittäin voidaan johtaa tulos
x(t ) y (t ) ↔ X ( f ) * Y ( f )
(2.51)
Nämä kaksi tulosta ovat hyvin keskeisiä tietoliikennesignaalien käsittelyn kannalta ja niihin
palataan myöhemmin tässä kirjassa.
On helppo osoittaa, että konvoluution leveys (siis aaltomuotojen tapauksessa
konvoluutiosignaalin kesto ja spektrien tapauksessa konvoluutiospektrin leveys) on
konvoloitavien asioiden leveyksien summa. Näinhän kävi edellä esimerkissä 2.10. Siis yhtälön
(2.51) perusteella voidaan päätellä, että jos kaksi signaalia, joiden kaistanleveydet ovat B1 ja B2
kerrotaan keskenään, on lopputuloksen kaistanleveys B1 + B2.
Edellisessä luvussa käsitelty impulssi esiintyy usein konvoluution yhteydessä. Voidaan osoittaa,
että
v(t ) * δ (t − t d ) = v(t − t d )
(2.52)
Siis signaalin konvoloiminen viivästetyn impulssin kanssa antaa tulokseksi alkuperäisen
signaalin viivästettynä.