1. No category

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015
Insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
A1
Pallo (massa m = 1,20 kg, säde r = 6,00 cm) nojaa kur
van mukaisesti pystysuoraan seinään ja tasoon, jonka kal◦
tevuuskulma θ = 21,0 . Laske kuinka suurilla voimilla
θ
seinä ja taso vaikuttavat palloon, kun kaikki pinnat ovat
kitkattomia.
Tehtävän 1 kuva.
Sarjoittaiset arvot:
m
θ
(kg)
(◦ )
A 1,20 21,0
B 1,40 22,0
C 1,60 28,0
D 1,70 32,0
Pallo on levossa, joten Newton II:n tai
dynamiikan peruslain mukaan (tai pallo on tasapainossa)
∑ ~F = 0:
x:
N2 − N1 sin θ = 0
y:
N1 cos θ − G = 0
y
N1
x
N2
θ
G
Voimakuvio.
y-suunnassa saadaan ratkaistua tukivoima N1 :
N1 =
G
mg
=
= 12,6 N
cos θ
cos θ
Sijoittamalla yllä oleva tulos x-suuntaiseen voiman yhtälöön saadaan tukivoimalle N2 :
N2 = G tan θ = mg tan θ = 4,52 N
Oikeat vastaukset:
A:
B:
C:
D:
N1
(N)
12,6
14,8
17,8
19,7
trk+1
(N)
12,61
14,81
17,78
19,67
N2
(N)
4,52
5,55
8,35
10,4
trk+1
(N)
4,519
5,549
8,346
10,42
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015
Insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
A2
Veturi (massa M = 77,0 · 103 kg) lähtee asemalta liikkeelle ajanhetkellä t0 = 0,0
min. Oheinen kuvaaja esittää veturin kiskojen suunnassa vaikuttavaa kokonaisvoimaa ajan funktiona.
a) Laske veturin kiskojen suuntainen kiihtyvyys ajanhetkellä t1 = 1,5 min. (1p)
b) Mikä seuraavista väittämistä kuvaa veturin
liikettä ajanhetkellä t2 = 3,5 min:
(i) Veturi on levossa,
(ii) veturi on tasaisessa liikkeessä,
(iii) veturi on kiihtyvässä liikkeessä?
Perustele. (2p)
c) Laske veturin nopeus hetkellä
t3 = 6,0 min. (3p)
c) (max 3p) Impulssiperiaatteen mukaan veturin liikemäärän muutos on yhtä suuri
kuin kokonaisvoiman impulssi, eli
∆p = I
Kokonaisvoiman impulssi voidaan laskea kokonaisvoiman kuvaajan ja t-akselin väliin
jäävästä pinta-alasta:
F kN
I=
10
0
min
1
2
3
4
5
6
7
8 t
Z t3
0
F dt = 1,50 · 106 N
Koska veturi lähtee liikkeelle levosta (v(0) = 0 m/s) on sen liikemäärän muutos
∆p = mv(t3 ) − mv(0) = mv(t3 )
-10
Tehtävän 2 kuva.
a) (max 1p) Kuvaajasta voidaan lukea veturiin kiskojen suuntaisesti vaikuttava
kokonaisvoima ajanhetkellä t1 = 1,5 min:
ja loppunopeus näin ollen
I
=
v ( t3 ) =
m
R t3
0
F dt
= 19 m/s
m
trk+1: 19,5 m/s,
F (1,5 min) = 15 kN
Newton II:sta (∑ F = ma) saadaan ratkaistua veturin kiihtyvyys:
a=
F
= 0,19 m/s2
m
trk+1: 0,195 m/s2 ,
b) (max 2p) Oikea väittämä: (ii).
Perustelut: Ajanhetkellä t2 = 3,5 min veturiin vaikuttava kokonaisvoima on
0 N. Newton II:n (tai dynamiikan peruslain) mukaan veturilla ei tällöin ole
kiihtyvyyttä. Koska veturiin on ajanjaksolla 0 . . . 3 min vaikuttanut positiivinen kokonaisvoima, on se lähtenyt liikkeelle ja kiihdyttänyt aina ajanhetkeen
3 min. Tästä seuraa että veturi ajanhetkellä t2 = 3,5 on tasaisessa liikkeessä.
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015
Insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
A3
Oheisissa kuvaajissa A ja B on kuvattu seisovaa aaltoliikettä kielessä jollakin
ajanhetkellä (A) ja kielen värähtelyä kohdassa x = 60,0 cm (B). Määritä kuvaajia apuna käyttäen
a) aallon aallonpituus, (1p)
b) aallon nopeus, (2p)
c) värähtelevän kielielementin suurin nopeus kohdassa x = 60,0 cm. (3p)
y [cm]
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
y [cm]
λ
10
20
A
30
40
50
60
70
8
6
4
2
x
0
[cm]
80
-2
-4
-6
-8
3
4
5
dy
dt
nähdään, että kielielementillä on suurin nopeus niillä ajanhetkillä, joilla kuvaajan tangentin kulmakerroin on suurimmillan, eli kohdissa, missä B kuvaaja leikkaa t-akselin.
Kuvaajaan piirretyn tangentin avulla saadan suurimmalle nopeudelle arvo
vmax =
∆y
2
v=
∆t
T
1
c) (max 3p) Tapa 1: Nopeuden määritelmästä
∆y
= 0,2 m/s
∆t
trk+1: 0,19 m/s,
t
6 [s]
B
Tehtävän 3 kuvat.
a) (max 1p) Kuvaajasta A voidaan lukea seisovan aallon aallonpituus λ kahden
samassa vaiheessa olevan kohdan etäisyyserosta, esimerkiksi kuvassa merkittyjen kahden aallon huipun etäisyydestä toisistaan.
λ = ∆x = 40 cm
trk+1: 42 cm,
b) (max 2p) Kuvaajasta B voidaan lukea seisovan aallon jaksonaika T kahden samassa vaiheessa olevan kohdan aikaerosta. Kuvassa merkittyjen kahden huipun aikaerosta saadaan T = 2,5 s.
Aallon nopeus voidaan laskea jakson ja aallonpituuden avulla:
v = λf =
λ
= 0,2 m/s
T
trk+1: 0,17 m/s,
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015
Insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
A4
Pitkä johdinsilmukka (resistanssi R = 0,37 Ω)
työnnetään kuvan mukaisesti vakionopeudella
v = 0,45 m/s liikettä vastaan kohtisuorassa
olevaan homogeeniseen magneettikenttään
(B = 0,41 T). Silmukan pituus on a = 80,0 cm
ja leveys b = 13,0 cm.
B
v
Indusoitunut virta saadaan Ohmin laista:
I=
b
a
Oikeat vastaukset:
Tehtävän 4 kuva.
a) Mihin suuntaan virta kulkee silmukassa? Perustele. (2p)
b) Laske virran suuruus kuvan mukaisessa tilanteessa. (4p)
Sarjoittaiset arvot:
R
v
(Ω) (m/s)
A 0,37
0,45
B 0,36
0,45
C 0,35
0,45
D 0,38
0,45
B
(T)
0,41
0,43
0,46
0,44
b
(cm)
13,0
15,0
16,0
15,0
E
Bvb
=
= 0,065 A
R
R
A:
B:
C:
D:
I
(A)
0,065
0,081
0,095
0,078
trk+1
(A)
0,0648
0,0806
0,0946
0,0782
E
(V)
0,0240
0,0290
0,0331
0,0297
a) (max 2p) Vastapäivään. Kun silmukkaa työnnetään kenttään indusoituu
silmukkaan Lenzin (tai Faradayn) lain mukaan lähdejännite ja edelleen Ohmin lain mukaan sähkövirta. Induktiovirran muodostama magneettikenttä
pyrkii vastustamaan magneettivuon muutosta jonhdinsilmukan läpi. Tällöin
indusoitunut magneettikenttä silmukan sisäpuolella on vastakkaissuntainen
~B:n kentän kanssa ja induktiovirran suunta on vastapäivään.
b) (max 4p) Silmukkaan indusoitunut lähdejännite saadaan induktiolain (tai
Faradayn lain) avulla:
dΦ
E = − B,
dt
missä Φ B on magneettivuo silmukan läpi. Magneettivuo hetkellä t on
~ = − Bvtb,
Φ B = ~B · A
missä A = vtb on magneettikentän läpäisemä osa silmukan pinta-alasta, kun
silmukan vasen reuna tulee kenttään ajanhetkellä t = 0 vakionopeudella v.
~ on tässä vastakkaissuuntainen magneettikenttään ~B.
Pintavektori A
Silmukkaan indusoitunut jännite on näin ollen
E=B
d
(vtb) = Bvb
dt
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015
Insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
A5
Juna, jonka pituus omassa lepokoordinaatistossaan on L j0 = 11,2 km, kulkee vakionopeudella ~v sillan yli oheisen kuvan mukaisesti. Sillan pituus sillan
lepokoordinaatistossa on Ls0 = 8,20 km.
a) Kuinka suuri junan nopeus on siltakoordinaatistossa, jos juna juuri ja juuri
mahtuu kokonaisuudessaan sillalle siltakoordinaatistossa levossa olevan
havaitsijan mukaan?
b) Kuinka kauan junan etupää on sillalla junan etupäässä olevan havaitsijan
mukaan?
Hj2
Ls0
Tehtävien 5 ja 6 kuva.
a) (max 3p) Kun juna juuri ja juuri mahtuu sillalle, sillalla olevan havaitsijan mukaan, on sen pituus siltakoordinaatistossa Ls0 . Yhteys junan pituudella
silta- ja junakoordinaatistojen välillä saadaan pituuskontraktion kaavalla (14):
q
Ls0 = 1 − (v/c)2 L j0 .
Tästä voidaan ratkaista junan nopeus v
v
!2
u
u
Ls0
t
v = c 1−
= 0,681c = 2,04 · 108 m/s
L j0
Sarjoittaiset arvot:
A
B
C
D
L j0
(km)
11,2
11,1
10,9
10,8
Ls0
(km)
8,20
8,70
8,20
8,70
Oikeat vastaukset:
A:
B:
C:
D:
∆t =
Ls0
v
Koska junan etupäässä oleva havaitsija liikkuu nopeudella v siltaan nähden, tulee
hän mittaamaan lyhyemmän ajan ∆t0 siltaylitykselle kuin siltakoordinaatistossa oleva
havaitsija. Yhteys aikojen välillä saadaan aikadilataation kaavalla (10):
∆t = γ∆t0 .
Tästä voidaan ratkaista junan etupäässä olevan havaitsijan mitaama aika;
r
v 2 L
∆t
s0
0
∆t =
= 1−
= 2,94 · 10−5 s = 29,4 µs
γ
c
v
v
Hj1
b) (max 3p) Tapa 1: Juna on tasaisessa liikkeessä, joten ajanjakso jonka junan etupää
on sillalla siltakoordinaatistossa olevan havaitsijan mukaan on
v
(m/s)
2,04 · 108
1,86 · 108
1,98 · 108
1,78 · 108
trk+1
(m/s)
2,042 · 108
1,862 · 108
1,975 · 108
1,776 · 108
Tapa 2: Junakoordinaatistossa silta liikkuu nopeudella v kohti junaa. Näin ollen pituuskontraktiosta johtuen sillan pituus junakoordinaatistossa on:
q
Lsj = 1 − (v/c)2 Ls0 .
Kun silta liikkuu vakionopeudella v junakoordinaatistossa, on junan etupäässä oleva
havaitsija sillalla ajanjakson:
r
v 2 L
Lsj
s0
0
∆t =
= 1−
= 2,94 · 10−5 s = 29,4 µs
v
c
v
Oikeat vastaukset:
A:
B:
C:
D:
∆t0
(µs)
29,4
36,6
31,2
39,5
trk+1
(µs)
29,40
36,62
31,23
39,45
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015
Insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
A6
Tehtävän 5 junan päissä ovat havaitsijat H j1 ja H j2 . Havaitsijat ampuvat laserpistooleilla junan lepokoordinaatistossa samanaikaisesti merkit suoraan alapuolellaan olevaan junarataan.
a) Kuinka suuri laukausten välinen aikaero on siltakoordinaatistossa? (3p)
b) Kumpi laukauksista ammutaan ensin siltakoordinaatistossa? (1p)
c) Kuinka kaukana toisistaan merkit junaradalla ovat
siltakoordinaatistossa? (2p)
b) (max 1p) Koska a)-kohdan aikaero on positiivinen, tapahtuu havaitsijan H j1 laukaus ensin siltakoordinaatistossa.
c) (max 2p) Käänteisellä Lorentz-muunnoksella (6) saadaan myös laukausten paikkakoordinaatit siltakoordinaatistossa:
x Hj1
= γx 0Hj1 + γvt0Hj1
x Hj2
= γx 0Hj2 + γvt0Hj2
Junakoordinaatistossa laukaukset tapahtuvat samanaikaisesti, eli t0Hj1 = t0Hj2 . Tästä
seuraa että junaradalla olevien merkkien etäisyysero siltakoordinaatistossa on
v
Hj1
Hj2
Ls0
∆x = x Hj2 − x Hj1 = γ( x 0Hj2 − x 0Hj1 ) = γL j0 = 15,3 km
Oikeat vastaukset:
Tehtävien 5 ja 6 kuva.
Sarjoittaiset arvot:
A
B
C
D
L j0
(km)
11,2
11,1
10,9
10,8
Ls0
(km)
8,20
8,70
8,20
8,70
v
(m/s)
2,042 · 108
1,862 · 108
1,975 · 108
1,776 · 108
A:
B:
C:
D:
∆t
(µs)
34,8
29,3
31,8
26,5
trk+1
(µs)
34,76
29,34
31,84
26,50
∆x
(km)
15,3
14,2
14,5
13,4
trk+1
(km)
15,30
14,16
14,49
13,41
a) (max 3p) Laserpistoolien laukausten ajankohdat siltakoordinaatistossa saadaan käänteisellä Lorentz-muunnoksella (7):
t Hj1
= γt0Hj1 + γ
t Hj2
= γt0Hj2 + γ
vx 0Hj1
c2
vx 0Hj2
c2
Junakoordinaatistossa laukaukset tapahtuvat samanaikaisesti, eli t0Hj1 = t0Hj2 .
Laukausten välinen aikaero siltakoordinaatistossa on näin ollen:
γv γv
∆t = t Hj2 − t Hj1 = 2 x 0Hj2 − x 0Hj1 = 2 L j0 = 34,8 µs
c
c
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto