DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
1.
a)
vh = 9,2 m/s
t = 7,8 s
s = 60 m
a=?
Tutkitaan ensin, onko delfiini kulkenut koko matkan jo kiihdytyksen aikana vai kulkeeko se osan
matkasta huippunopeudella. Lasketaan, kuinka pitkälle delfiini pääsisi, jos koko aika olisi tasaista
kiihdytystä.
1
x1 = at2
2
Sijoitetaan a =
vh
.
t
1 vh 2
t
2 t
1
= vh t
2
1
= · 9,2 m/s · 7,8 s
2
= 35,88 m.
x1 =
Koko matka oli 60 m, joten delfiinin täytyy siis kulkea osa matkasta huippunopeudella. Merkitään
kiihdytykseen kuluvaa aikaa t1 :llä ja huippunopeudella kuljettua aikaa t2 = t − t1 .
1
s = at21 + vh (t − t1 )
2
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
Sijoitetaan kiihdytykseen kuluva aika t1 =
vh
.
a
1 vh 2
vh
s= a
+ vh t −
2
a
a
2
2
v
1 vh
+ vh t − h
s=
2 a
a
1 vh2
s = vh t −
2 a
a
1 vh2
= vh t − s k ·
2 a
vh t − s
vh2
a=
2(vh t − s)
(9,2 m/s)2
=
2(9,2 m/s · 7,8 s − 60 m)
= 3,5986 . . . m/s2
≈ 3,6 m/s2
Vastaus: Delfiinin huippukiihtyvyys on 3,6 m/s2 .
b) Lasketaan kiihdytykseen kuluva aika.
t=
vh
9,2 m/s
=
= 2,556 . . . s.
a
3,5986 . . . m/s2
Piirretään nopeuden kuvaaja:
m
s
v
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
s
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
2.
h1 = 1,62 m
h2 = 3,00 m
α1 = 90◦ − 58◦
= 32◦
Taittumislaki
sin α1
n2
=
sin α2
n1
sin 32◦
sin α2 =
1,33
α2 = 23,480 . . .◦
a) Avaimista silmää kohti tuleva valonsäde tulee optisesti tiheämmästä aineesta, eli vedestä, optisesti
harvempaan aineeseen eli ilmaan. Valonsäde taittuu tällöin rajapinnan normaalista poispäin. Yllä
olevasta kuvasta nähdään, että katsoja havaitsee avainten olevan katkoviivan osoittamassa paikassa,
eli todellista kauempana.
b)
y
z
tan α2 =
h1
h2
y = h1 tan α1
z = h2 tan α2
tan α1 =
x = y + z = h1 tan α1 + h2 tan α2
x = 1,62 m · tan 32◦ + 3 m · tan 23,480 . . .◦
x = 2,315 . . .
x ≈ 2,32 m
Vastaus: Avaimien etäisyys altaan seinämästä on 2,32 m.
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
3.
` = 0,6 m
α = 20°
β = 45°.
a) Mekaaninen energia säilyy. Sovitaan potentiaalienergian nollataso pyörimisakselin korkeudelle.
Ep0 + Er0 = Ep1 + Er1
Ep0 = Er1
1
mghmkp = Jω 2
2
Sijoitetaan hmkp = 2` sin(α) ja J = 13 m`2 .
1 1 2 2
· ω
m`
2 3
1
g` sin(α) = (`ω)2
3
mg
`
sin(α) =
2
Sijoitetaan v = `ω.
1
g` sin(α) = v 2 k · 3
3
2
v = 3g` sin(α)
+)
v = (−
q
=
q
3g` sin(α)
3 · 9,81 m/s2 · 0,6 m · sin(20°)
= 2,4575 . . . m/s
≈ 2,5 m/s.
Vastaus: Tangon pään nopeus vaakatasossa on 2,5 m/s.
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
b)
r
45°
G
Pyörimisen liikeyhtälö pyörimisakselin suhteen:
X
M = Jα
Gr = Jα
Sijoitetaan G = mg, r = cos(β) 2` ja J = 13 m`2 .
mg
1 2
α
cos(β) = m`
2
3
`
Sijoitetaan `α = a.
g cos(β)
1
= a k·3
2
3
3g cos(β)
a=
2
3 · 9,81 m/s2 · cos(20°)
=
2
= 13,8275 . . . m/s2
≈ 14 m/s2 .
Vastaus: Tangon pään kiihtyvyys 45° vaakatason alapuolella on 14 m/s.
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
4.
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
5.
a)
A = 1,3 cm2 = 1,3 · 10−4 m2
` = 20 cm = 0,20 m
2
µg · m2
−10 kg · m
κ = 0,74
=
7,4
·
10
s2
s2
Ympyrän pinta-ala:
A = πr2 k : π
A
k( )2
r2 =
π
2
A
4
r =
π
(1)
Aineistosta direktiomomentin lauseke:
ηπr4
k Sij. (2)
2`
2
ηπ
A
κ=
·
2`
π
ηA2
2π`
κ=
k· 2
2π`
A
2π`κ
η=
A2
2π · 0,20 m · 7,4 · 10−10
=
(1,3 · 10−4 m2 )2
kg
= 0,055024 . . .
m · s2
kg
≈ 0,055
.
m · s2
κ=
Vastaus: Liukukerroin η on 0,055
kg·m2
s2
kg
.
m · s2
b) Kiertokulman lauseke aineistosta:
θ(t) = θmax sin(2πf t + θ0 ).
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
Kiertokulman derivaatta ajan suhteen on
θ0 (t) = θmax · 2πf · cos(2πf t + θ0 ).
Toinen derivaatta on
θ00 (t) = θmax · (2πf )2 · (− sin(2πf t + θ0 )) = −(2πf )2 θ(t).
Sijoitetaan tämä aineiston yhtälöön
Jθ00 (t) = −κθ(t)
−J(2πf )2 θ(t) = −κθ(t)
Tästä seuraa, että
J(2πf )2 = κ k : J
κ
(2πf )2 =
J
κ
2 2
(2π) f =
k : (2π)2
J
1 κ
f2 =
(2π)2 J
r
1 κ
f=
2π J
Jaksonaika on taajuuden käänteisluku:
T =
1
f
s
T = 2π
J
.
κ
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
6.
a) Momentin tekemä työ on
W = M θ.
Toisaalta momentti on
M = Jα = κθ,
eli mometin kuvaaja kiertokulman funktiona on
M
κθ1
W
0
θ1
Tästä saadaan graafisella integroinnilla
W =
1
1
· κθ1 · θ1 = κθ12 ,
2
2
missä θ1 on kiertokulma ja κ on direktiomomentti.
b)
` = 10 cm = 0,10 m
r = 0,8 cm = 0,008 m
η = 22 kg/m · s2
R = 3 cm = 0,03 m
m = 68 g = 0,068 kg
θ = 2π.
Kuituun varastoitunut potentiaalienergia on
1
Ep = κθ2 .
2
θ
DIA-kurssi, fysiikan harjoituskoe A
Sijoitetaan teoriassa annettu lauseke direktiomomentille
ηπr4
2`
ηπr4 2
θ .
Ep =
4`
κ=
(2)
Tasapainoasemassa θ = 0, joten potentiaalienergia on muuttunut sylinterin pyörimisenergiaksi.
Er = Ep
1 2
Jω = Ep .
2
Sijoitetaan umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 12 mR2 ja (2).
1
ηπr4 2
mR2 ω 2 =
θ k : (mR2 )
4
4 `
ηπr4 θ2
ω2 =
mR2 `
r
ηπ r2 θ
ω=
s m` R
22 kg/m · s2 · π (0,008 m)2 · 2π
=
·
0,068 · 0,10 m
0,03 m
(rad)
= 1,35135 . . .
s
(rad)
≈ 1,4
.
s
Vastaus: Kuidun pyörimisnopeus on 1,4 (rad)/s.