1. No category

Insinöörimatematiikka D
M. Hirvensalo
[email protected]
V. Junnila
[email protected]
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Turun yliopisto
2015
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
1 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Sisätulo
Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus V × V → R, on
sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:
(x, x) ≥ 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0
(epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus).
(x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus).
(ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus).
Määritelmä
Vektoreiden x = (x1 , . . . , xn ) ja y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn pistetulo
määritellään x · y = x1 y1 + . . . + xn yn . Jos x ja y ovat
pystyvektoreita, niin voidaan tulkita x · y = xT y.
Esimerkki
Lasketaan x · y, kun x = (1, −2, 0, 2) ja y = (−1, −1, −3, −5).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
2 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Sisätulo
Sisätulon ehdot:
(x, x) ≥ 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0
(epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus).
(x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus).
(ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus).
Esimerkki
Pistetulo x · y = x1 y1 + . . . + xn yn täyttää sisätulon ehdot, sillä
x · x = x12 + · · · + xn2 ≥ 0 ja x · x = 0 tarkalleen silloin kun
x = 0,
x · y = x1 y1 + . . . + xn yn = y1 x1 + . . . + yn xn = y · x ja
(ax + by) · z = (ax1 + by1 )z1 + · · · + (axn + byn )zn =
a(x1 z1 + · · · xn zn ) + b(y1 z1 + · · · yn zn ) = a(x · z) + b(y · z).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
3 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Esimerkki 67
Välillä [a, b] jatkuvien reaalifunktioiden joukossa C 0 [a, b]
Z
b
fg .
(f , g ) =
a
täyttää sisätulon ehdot.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
4 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Normi
Olkoon V vektoriavaruus. Vektoriavaruuden normi on kuvaus
V → R, x 7→ ||x||, joka toteuttaa seuraavat ehdot:
||x|| ≥ 0 ja ||x|| = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (positiivisuus
ja epädegeneratiivisuus)
||ax|| = |a| ||x|| (skalaarin siirto)
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (kolmioepäyhtälö)
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
5 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Esimerkki 66
Vektoriavaruudessa Rn määritelty kuvaus
||x|| = ||(x1 , . . . , xn )|| = |x1 | + · · · + |xn | on normi, sillä
||x|| = |x1 | + · · · + |xn | ≥ 0 ja ||x|| = |x1 | + · · · + |xn | = 0
tarkalleen silloin kun x = 0,
||ax|| = |ax1 | + · · · + |axn | = |a| |x1 | + · · · + |a| |xn | =
|a| (|x1 | + · · · + |xn |) = |a| ||x|| ja
||x+y|| = ||(x1 +y1 , . . . , xn +yn )|| = |x1 + y1 |+· · ·+|xn + yn | ≤
|x1 | + |y1 | + · · · + |xn | + |yn | = ||x|| + ||y||.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
6 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Lause
Jos (x, y) on sisätulo, on ||x|| =
harjoitustehtävänä.)
p
(x, x) normi. (Todistus
Määritelmä
Sisätulo indusoi normin ||x|| =
Eukleidiseksi normiksi.
p
(x, x), jota kutsutaan myös
Huomautus
q
√
Pistetulosta saadaan normi ||x|| = x · x = x12 + · · · + xn2 . Kun
n = 1, 2, 3, niin tämä normi vastaa tavanomaista vektorin pituutta
avaruudessa Rn .
Esimerkki
Lasketaan pistetulon indusoima normi ||x||, kun x = (1, −2, 0, 2).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
7 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Etäisyys
Olkoon V vektoriavaruus. Etäisyys on funktio V × V → R, joka
toteuttaa seuraavat ehdot:
d(x, y) ≥ 0 ja d(x, y) = 0 tarkalleen silloin kun x = y
d(x, y) = d(y, x) (symmetria).
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (kolmioepäyhtälö).
Lause
Jokainen normi indusoi etäisyysfunktion d(x, y) = ||x − y||.
(Todistus harjoitustehtävänä.)
Huomautus
√
Pistetulosta saatava normi ||x|| = x · x indusoi tavanomaisen
vektoreiden etäisyyden Rn :ssä, kun n = 1, 2, 3.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
8 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Esimerkki
Lasketaan pisteiden x = (1, −2, 0, 2) ja y = (−1, −1, −3, −5)
välinen etäisyys, kun etäisyysfunktio on pistetulon indusoima.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
9 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö
|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y) eli |(x, y)| ≤ ||x||||y||.
Kulma avaruudessa Rn
Vektoreiden x ja y ∈ Rn välinen kulma tarkoittaa kulmaa
θ ∈ [0, π], joka muodostuu origosta (pisteestä 0) pisteeseen x ja
origosta pisteeseen y kulkevien janojen välille.
Huomaa, että kolme pistettä x, y ja 0 kuuluvat aina samalle
tasolle, joten vektoreiden välinen kulma on aina tason ominaisuus.
Lause
Jos θ on vektoreiden x ja y välinen kulma, niin
x · y = ||x|| · ||y|| cos θ.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
10 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Seuraus
Jos kumpikaan x tai y ei ole nollavektori, on
cos θ =
x·y
||x||||y||
Huomautus
Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön mukaan |x · y| ≤ ||x||||y||, joten
cos θ ∈ [−1, 1].
Esimerkki
Lasketaan vektoreiden x = (1, −2, 0, 2) ja y = (−1, −1, −3, −5)
välinen kulma (pistetulon suhteen).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
11 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Määritelmä
Olkoon (x, y) jokin sisätulo. Vektorit x ja y ovat ortogonaalit eli
kohtisuorat jos (x, y) = 0.
Määritelmä
Vektorijoukko {x1 , . . . , xn } on ortogonaali, jos (xi , xj ) = 0 aina kun
i 6= j. Ortogonaali joukko {x1 , . . . , xn } on ortonormaali, jos lisäksi
(xi , xi ) = 1.
Esimerkki 70
Rn :n luonnollinen kanta {e1 , . . . , en } on ortonormaali (pistetulon
suhteen).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
12 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Huomautus
Jokaisesta ortogonaalista joukosta joka ei sisällä nollavektoria
voidaan helposti saada ortonormaali kertomalla kukin xi norminsa
käänteisluvulla ||x||−1 .
Lause
Olkoon V vektoriavaruus ja A = {x1 , . . . , xn } joukko, joka ei sisällä
nollavektoria ja on ortogonaali jonkin sisätulon (x, y) suhteen.
Tällöin A on lineaarisesti riippumaton.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
13 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Kertausta
Avaruudessa Rn
L(x) = {cx | c ∈ R}.
Määritelmä
Olkoot x ja y 6= 0 avaruuden Rn vektoreita. Tällöin vektorin x
projektio vektorilla y tarkoittaa sitä origon ja pisteen y kautta
kulkevan suoran L(y) pistettä x0 , jolle x − x0 on kohtisuorassa
vektoria y vastaan.
Esimerkki
Olkoot x = (2, 6) ja y = (2, 1) vektoreita avaruudessa R2 . Etsitään
vektorin x projektio vektorille y.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
14 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Määritelmä
Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus V × V → C, on
Hermiten sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:
(x, x) ≥ 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0
(epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus).
(x, y) = (y, x) (vinosymmetria).
(ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus 1. argumentin
suhteen).
Määritelmä
Vektoreiden x = (x1 , . . . , xn ) ja y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Cn Hermiten
pistetulo määritellään x · y = x1 y1 + . . . + xn yn .
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
15 of 22
Vektoriavaruuksien geometriaa
Lause
Hermiten pistetulo täyttää Hermiten sisätulon ehdot.
Riittävän säännöllisten funktioiden joukolle
Z
(f , g ) =
b
fg
a
on Hermiten sisätulo.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
16 of 22
Etäisyyden säilyttävät kuvaukset
Määritelmä
Lineaarikuvaus f : V → V säilyttää etäisyyden, jos
d(f (x), f (y)) = d(x, y) ∀ x, y ∈ V .
Lineaarikuvaus f säilyttää normin, jos
||f (x)|| = ||x||
∀x ∈ V.
Lineaarikuvaus f säilyttää sisätulon, jos
(f (x), f (y)) = (x, y)
∀ x, y ∈ V .
Lause
Olkoon etäisyys normin ja tämä puolestaan sisätulon indusoima.
Jos lineaarikuvaus f : V → V säilyttää sisätulon, säilyttää se myös
normin ja etäisyyden.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
17 of 22
Etäisyyden säilyttävät kuvaukset
Määritelmä
Matriisi A on ortogonaali, jos AT = A−1 , siis AT A = AAT = I .
Esimerkki
Matriisi


−2 −2 1
1
2 −1 2 
A=
3
1 −2 −2
on ortogonaali, sillä

 

−2 −2 1
−2 2
1
1
1
AAT =  2 −1 2  −2 −1 −2 = I3 .
3
3
1 −2 −2
1
2 −2
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
18 of 22
Lause
Jos lineaarikuvauksen f : Rn → Rn matriisi Af on ortogonaali, niin
kuvaus f säilyttää pistetulon (ja siis myös tämän indusoiman
normin ja etäisyyden)
Määritelmä
T
Matriisin A adjugaatti määritellään A∗ = A . Matriisi A on
unitaarinen, jos A∗ = A−1 , siis A∗ A = AA∗ = I .
Lause
Jos lineaarikuvauksen f : Cn → Cn matriisi Af on unitaarinen, niin
f säilyttää Hermiten pistetulon (ja siis myös sen indusoiman
normin ja etäisyyden)
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
19 of 22
Korrelaatiokerroin
Ongelmanasettelu
Kaksi satunnaismuuttujaa X ja Y .
Näiden havainnot x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ja y = (y1 , y2 , . . . , yn )
tapauksissa 1, 2, . . ., n.
Selvitettävä, kuinka yleisesti yi ≈ c · xi + b.
Muuttujien siirto
Merkitään 1 = (1, 1, . . . , 1)
n
n
1X
1X
xi ja µy =
yi
Keskiarvot µx =
n
n
i=1
Määritellään
x0
i=1
= x − µx 1 ja
Tällöin y = cx + b1 ⇔
Lisäksi vektoreiden
x0
y0
ja
=
y0
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
y0
= y − µy 1.
cx0 .
koordinaattien summa on 0
Luentokalvot 7
20 of 22
Korrelaatiokerroin
Riippuvuus
Yhdensuuntaisuus y0 = cx0 merkitsee täydellistä (lineaarista)
riippuvuutta.
Vektoreiden x0 ja y0 kohtisuoruus merkitsee täydellistä
(lineaarista) riippumattomuutta.
Riippuvuuden määrää on siksi luonteva mitata vektoreiden x0
ja y0 välisellä kulmalla (tai sen kosinilla)
Huomautuksen 19 mukaan
(cos θ =) Corr(x, y) =
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
x0 · y0
.
||x0 ||||y0 ||
Luentokalvot 7
21 of 22
Korrelaatiokerroin
Esimerkki 73
Demoprosentit x ∈ R36
Tenttipisteet y ∈ R36
Keskiarvot µx = 1768/36 ja µy = 645/36.
x0 = x − µx 1 ja y0 = y − µy 1.
Voidaan laskea
x0 · y0
= 0.795 . . .
· ||y0 ||
||x0 ||
Korrelaatiota 0.795 . . . voidaan pitää hyvin voimakkaana.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 7
22 of 22