Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 1 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Sisätulo Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus V × V → R, on sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (x, x) ≥ 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus). Määritelmä Vektoreiden x = (x1 , . . . , xn ) ja y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn pistetulo määritellään x · y = x1 y1 + . . . + xn yn . Jos x ja y ovat pystyvektoreita, niin voidaan tulkita x · y = xT y. Esimerkki Lasketaan x · y, kun x = (1, −2, 0, 2) ja y = (−1, −1, −3, −5). M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 2 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Sisätulo Sisätulon ehdot: (x, x) ≥ 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus). Esimerkki Pistetulo x · y = x1 y1 + . . . + xn yn täyttää sisätulon ehdot, sillä x · x = x12 + · · · + xn2 ≥ 0 ja x · x = 0 tarkalleen silloin kun x = 0, x · y = x1 y1 + . . . + xn yn = y1 x1 + . . . + yn xn = y · x ja (ax + by) · z = (ax1 + by1 )z1 + · · · + (axn + byn )zn = a(x1 z1 + · · · xn zn ) + b(y1 z1 + · · · yn zn ) = a(x · z) + b(y · z). M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 3 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Esimerkki 67 Välillä [a, b] jatkuvien reaalifunktioiden joukossa C 0 [a, b] Z b fg . (f , g ) = a täyttää sisätulon ehdot. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 4 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Normi Olkoon V vektoriavaruus. Vektoriavaruuden normi on kuvaus V → R, x 7→ ||x||, joka toteuttaa seuraavat ehdot: ||x|| ≥ 0 ja ||x|| = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (positiivisuus ja epädegeneratiivisuus) ||ax|| = |a| ||x|| (skalaarin siirto) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (kolmioepäyhtälö) M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 5 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Esimerkki 66 Vektoriavaruudessa Rn määritelty kuvaus ||x|| = ||(x1 , . . . , xn )|| = |x1 | + · · · + |xn | on normi, sillä ||x|| = |x1 | + · · · + |xn | ≥ 0 ja ||x|| = |x1 | + · · · + |xn | = 0 tarkalleen silloin kun x = 0, ||ax|| = |ax1 | + · · · + |axn | = |a| |x1 | + · · · + |a| |xn | = |a| (|x1 | + · · · + |xn |) = |a| ||x|| ja ||x+y|| = ||(x1 +y1 , . . . , xn +yn )|| = |x1 + y1 |+· · ·+|xn + yn | ≤ |x1 | + |y1 | + · · · + |xn | + |yn | = ||x|| + ||y||. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 6 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Lause Jos (x, y) on sisätulo, on ||x|| = harjoitustehtävänä.) p (x, x) normi. (Todistus Määritelmä Sisätulo indusoi normin ||x|| = Eukleidiseksi normiksi. p (x, x), jota kutsutaan myös Huomautus q √ Pistetulosta saadaan normi ||x|| = x · x = x12 + · · · + xn2 . Kun n = 1, 2, 3, niin tämä normi vastaa tavanomaista vektorin pituutta avaruudessa Rn . Esimerkki Lasketaan pistetulon indusoima normi ||x||, kun x = (1, −2, 0, 2). M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 7 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Etäisyys Olkoon V vektoriavaruus. Etäisyys on funktio V × V → R, joka toteuttaa seuraavat ehdot: d(x, y) ≥ 0 ja d(x, y) = 0 tarkalleen silloin kun x = y d(x, y) = d(y, x) (symmetria). d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (kolmioepäyhtälö). Lause Jokainen normi indusoi etäisyysfunktion d(x, y) = ||x − y||. (Todistus harjoitustehtävänä.) Huomautus √ Pistetulosta saatava normi ||x|| = x · x indusoi tavanomaisen vektoreiden etäisyyden Rn :ssä, kun n = 1, 2, 3. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 8 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Esimerkki Lasketaan pisteiden x = (1, −2, 0, 2) ja y = (−1, −1, −3, −5) välinen etäisyys, kun etäisyysfunktio on pistetulon indusoima. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 9 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö |(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y) eli |(x, y)| ≤ ||x||||y||. Kulma avaruudessa Rn Vektoreiden x ja y ∈ Rn välinen kulma tarkoittaa kulmaa θ ∈ [0, π], joka muodostuu origosta (pisteestä 0) pisteeseen x ja origosta pisteeseen y kulkevien janojen välille. Huomaa, että kolme pistettä x, y ja 0 kuuluvat aina samalle tasolle, joten vektoreiden välinen kulma on aina tason ominaisuus. Lause Jos θ on vektoreiden x ja y välinen kulma, niin x · y = ||x|| · ||y|| cos θ. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 10 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Seuraus Jos kumpikaan x tai y ei ole nollavektori, on cos θ = x·y ||x||||y|| Huomautus Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön mukaan |x · y| ≤ ||x||||y||, joten cos θ ∈ [−1, 1]. Esimerkki Lasketaan vektoreiden x = (1, −2, 0, 2) ja y = (−1, −1, −3, −5) välinen kulma (pistetulon suhteen). M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 11 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Määritelmä Olkoon (x, y) jokin sisätulo. Vektorit x ja y ovat ortogonaalit eli kohtisuorat jos (x, y) = 0. Määritelmä Vektorijoukko {x1 , . . . , xn } on ortogonaali, jos (xi , xj ) = 0 aina kun i 6= j. Ortogonaali joukko {x1 , . . . , xn } on ortonormaali, jos lisäksi (xi , xi ) = 1. Esimerkki 70 Rn :n luonnollinen kanta {e1 , . . . , en } on ortonormaali (pistetulon suhteen). M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 12 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Huomautus Jokaisesta ortogonaalista joukosta joka ei sisällä nollavektoria voidaan helposti saada ortonormaali kertomalla kukin xi norminsa käänteisluvulla ||x||−1 . Lause Olkoon V vektoriavaruus ja A = {x1 , . . . , xn } joukko, joka ei sisällä nollavektoria ja on ortogonaali jonkin sisätulon (x, y) suhteen. Tällöin A on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 13 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Kertausta Avaruudessa Rn L(x) = {cx | c ∈ R}. Määritelmä Olkoot x ja y 6= 0 avaruuden Rn vektoreita. Tällöin vektorin x projektio vektorilla y tarkoittaa sitä origon ja pisteen y kautta kulkevan suoran L(y) pistettä x0 , jolle x − x0 on kohtisuorassa vektoria y vastaan. Esimerkki Olkoot x = (2, 6) ja y = (2, 1) vektoreita avaruudessa R2 . Etsitään vektorin x projektio vektorille y. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 14 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Määritelmä Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus V × V → C, on Hermiten sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (x, x) ≥ 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vinosymmetria). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus 1. argumentin suhteen). Määritelmä Vektoreiden x = (x1 , . . . , xn ) ja y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Cn Hermiten pistetulo määritellään x · y = x1 y1 + . . . + xn yn . M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 15 of 22 Vektoriavaruuksien geometriaa Lause Hermiten pistetulo täyttää Hermiten sisätulon ehdot. Riittävän säännöllisten funktioiden joukolle Z (f , g ) = b fg a on Hermiten sisätulo. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 16 of 22 Etäisyyden säilyttävät kuvaukset Määritelmä Lineaarikuvaus f : V → V säilyttää etäisyyden, jos d(f (x), f (y)) = d(x, y) ∀ x, y ∈ V . Lineaarikuvaus f säilyttää normin, jos ||f (x)|| = ||x|| ∀x ∈ V. Lineaarikuvaus f säilyttää sisätulon, jos (f (x), f (y)) = (x, y) ∀ x, y ∈ V . Lause Olkoon etäisyys normin ja tämä puolestaan sisätulon indusoima. Jos lineaarikuvaus f : V → V säilyttää sisätulon, säilyttää se myös normin ja etäisyyden. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 17 of 22 Etäisyyden säilyttävät kuvaukset Määritelmä Matriisi A on ortogonaali, jos AT = A−1 , siis AT A = AAT = I . Esimerkki Matriisi −2 −2 1 1 2 −1 2 A= 3 1 −2 −2 on ortogonaali, sillä −2 −2 1 −2 2 1 1 1 AAT = 2 −1 2 −2 −1 −2 = I3 . 3 3 1 −2 −2 1 2 −2 M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 18 of 22 Lause Jos lineaarikuvauksen f : Rn → Rn matriisi Af on ortogonaali, niin kuvaus f säilyttää pistetulon (ja siis myös tämän indusoiman normin ja etäisyyden) Määritelmä T Matriisin A adjugaatti määritellään A∗ = A . Matriisi A on unitaarinen, jos A∗ = A−1 , siis A∗ A = AA∗ = I . Lause Jos lineaarikuvauksen f : Cn → Cn matriisi Af on unitaarinen, niin f säilyttää Hermiten pistetulon (ja siis myös sen indusoiman normin ja etäisyyden) M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 19 of 22 Korrelaatiokerroin Ongelmanasettelu Kaksi satunnaismuuttujaa X ja Y . Näiden havainnot x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ja y = (y1 , y2 , . . . , yn ) tapauksissa 1, 2, . . ., n. Selvitettävä, kuinka yleisesti yi ≈ c · xi + b. Muuttujien siirto Merkitään 1 = (1, 1, . . . , 1) n n 1X 1X xi ja µy = yi Keskiarvot µx = n n i=1 Määritellään x0 i=1 = x − µx 1 ja Tällöin y = cx + b1 ⇔ Lisäksi vektoreiden x0 y0 ja = y0 M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] y0 = y − µy 1. cx0 . koordinaattien summa on 0 Luentokalvot 7 20 of 22 Korrelaatiokerroin Riippuvuus Yhdensuuntaisuus y0 = cx0 merkitsee täydellistä (lineaarista) riippuvuutta. Vektoreiden x0 ja y0 kohtisuoruus merkitsee täydellistä (lineaarista) riippumattomuutta. Riippuvuuden määrää on siksi luonteva mitata vektoreiden x0 ja y0 välisellä kulmalla (tai sen kosinilla) Huomautuksen 19 mukaan (cos θ =) Corr(x, y) = M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] x0 · y0 . ||x0 ||||y0 || Luentokalvot 7 21 of 22 Korrelaatiokerroin Esimerkki 73 Demoprosentit x ∈ R36 Tenttipisteet y ∈ R36 Keskiarvot µx = 1768/36 ja µy = 645/36. x0 = x − µx 1 ja y0 = y − µy 1. Voidaan laskea x0 · y0 = 0.795 . . . · ||y0 || ||x0 || Korrelaatiota 0.795 . . . voidaan pitää hyvin voimakkaana. M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected] Luentokalvot 7 22 of 22
© Copyright 2024