1. No category

Insinöörimatematiikka D
M. Hirvensalo
[email protected]
V. Junnila
[email protected]
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Turun yliopisto
2015
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
1 of 12
Lineaariset DY:t
Lause
Jos funktiot ai ja b ovat jatkuvia, ovat epähomogeenisen DY:n
an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = b
kaikki ratkaisut muotoa
y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn + y0 ,
missä y1 , . . ., yn ovat homogeenisen DY:n riippumattomat
ratkaisut ja y0 epähomogeenisen DY:n yksittäisratkaisu.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
2 of 12
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t
Huomautus
Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n
an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt : Tällöin y 0 = λe λt ,
y 00 = λ2 e λt , . . ., y (n) = λn e λt ja sijoittamalla saadaan
an λn e λt + an−1 λn−1 e λt + . . . + a2 λ2 e λt + a1 λe λt + a0 e λt = 0
ja jakamalla e λt (6= 0) pois
an λn + an−1 λn−1 + . . . + a2 λ2 + a1 λ + a0 = 0.
Algebran peruslauseen mukaan tällä karakteristisella yhtälöllä on
ratkaisu.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
3 of 12
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t
Lause
Jos λi on karakteristisen yhtälön j-kertainen juuri, on
vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti
riippumattomat ratkaisut
e λi t , te λi t , t 2 e λi t , . . . , t j−1 e λi t .
Huomautus
Jos karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on myös
tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α + iβ ja silloin
λ = α − iβ. Edelleen voidaan kirjoittaa e (α±iβ)t = e αt e ±iβt ja
Eulerin kaavan perusteella
e αt (cos βt ± i sin βt).
Täten ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla
e αt cos(βt) ja e αt sin(βt).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
4 of 12
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t
Epähomogeeninen DY
Epähomogeeninen, vakiokertoiminen DY
an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = b(t)
voidaan ratkaista seuraavasti:
Etsitään kaikki homogeenisen DY:n ratkaisut y1 , . . ., yn
yritteellä y = e λt .
Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y0
Laplace-muunnosten avulla. (Mikäli alkuehtoja ei ole annettu,
ne voidaan valita sopivasti.)
Kaikki ratkaisut ovat tällöin muotoa y = c1 y1 + . . . cn yn + y0 .
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
5 of 12
Lineaariset DY:t
1. kertaluvun lineaarinen DY
Yhtälön
y 0 + a(x)y = b(x)
ratkaisut ovat muotoa y = Cy1 + y0 , missä y1 on homogeenisen
yhtälön
y 0 + a(x)y = 0
ratkaisu 6= 0 ja y0 on jokin alkuperäisen yhtälön ratkaisu.
Ratkaisumenetelmä
Homogeenisen yhtälön ratkaisu yH .
Vakion variointi: Sijoitetaan y = C (x)yH alkuperäiseen
DY:hyn ja ratkaistaan C (x).
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
6 of 12
Lineaariset DY:t
Esimerkki
Ratkaistaan DY
2xy 0 − 3y = x.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
7 of 12
Lineaariset DY:t
2. kertaluvun lineaarinen DY
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = c(x)
Esiintyvät erityisesti fysiikassa (klassinen ja kvanttifysiikka)
Ei yleistä integrointiin perustuvaa ratkaisumenetelmää
Erikoistapauksia tutkittu kauan
Useita ratkeavia erikoistapauksia
Lause
Jos homogeeniselle DY:lle
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0
tunnetaan yksikin ratkaisu, voidaan kaikki alkuperäisen DY:n
ratkaisut selvittää.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
8 of 12
Lineaariset DY:t
Esimerkki
Ratkaistaan DY
2x 2 y 00 + xy 0 − 3y = x.
Todetaan, että y1 = x −1 on eräs homogenisoidun DY:n
2x 2 y 00 + xy 0 − 3y = 0
ratkaisu. Etsitään sitten kaikki alkuperäisen DY:n ratkaisut.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
9 of 12
Separoituvat DY:t
Määritelmä
Muotoa
y 0 = g (x)f (y )
oleva DY on separoituva.
Separoituvan DY:n ratkaiseminen
dy
= g (x)f (y )
dx
1
⇔
dy = g (x) dx
f (y )
Z
Z
1
⇔
dy = g (x) dx + C
f (y )
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
10 of 12
Separoituvat DY:t
Esimerkki 103
Ratkaistaan separoituva DY
y 0 = −y 2 .
Esimerkki
Ratkaistaan separoituva DY
y0 =
6x 5 − 2x + 1
.
cos y + e y
Funktiota y ei saada ratkaistua eksplisiittisessä muodossa, vaan
ainostaan implisiittisessä muodossa:
sin y + e y = x 6 − x 2 + x + C .
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
11 of 12
Separoituvat DY:t
Esimerkki 104
Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa
DY:n
p 0 = ap − bp 2
Ratkaistaan yllä oleva DY.
M. Hirvensalo [email protected] V. Junnila [email protected]
Luentokalvot 10
12 of 12