1. No category

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015
Harjoitus 3 / viikko 39 / alkuviikon kirjalliset
Ratkaisuehdotuksia / MS-A0103, MS-A0105
AV Kirjallinen 1:
Katso prof. Ghristin luento “Lecture 14: BONUS!” osoitteessa
https://class.coursera.org/calcsing-005/lecture/preview
ja kirjoita suomenkielinen matemaattinen teksti, jossa johdetaan lauseke origon kautta
kulkevalle pienimmän neliösumman suoralle
Vastaus
Tieteellisestä kokeesta saatua dataa voidaan kuvata origon kautta kulkevalla pienimmän
neliösumman suoralla
y = mx,
jos kyseisessä testissä ollut selitettävä muuttuja y on lineaarisesti riippuvainen selittävästä
muuttujasta x ja datapisteet (xi , yi ) kulkevat origon kautta. Järkevin keino sovittaa suora
datapisteiden mukaan on minimoida datapisteiden (yi ) ja suoran y arvojen erotusten
summa (virhe). Merkitään tätä summaa kirjaimella S(m). Näin sovitettu suora kulkee
mahdollisimman lähellä datapisteitä.
Koska datapiste voi osua joko suoran ylä- tai alapuolelle, täytyy virheet korottaa toiseen
potenssiin:
S(m) =
X
(yi − mxi )2 .
i
Koska haluamme pienimmän mahdollisimman S(m):n arvon, täytyy meidän etsiä minimi,
joka löytyy derivaatan nollakohdasta. Lasketaan siis derivaatta:
X
X
dS(m) X
=
−2xi (yi − mxi ) = −2
xi yi + 2m
x2i
dm
i
i
i
Etsitään derivaatan nollakohta:
2
X
xi yi = 2m
i
X
i
1
x2i ,
josta saamme vakiolle m arvon
P
xi y i
m = Pi 2 .
i xi
Jotta tämä olisi funktion minimi, on summan S(m) toisen derivaatan oltava koko ajan
positiivinen. Lasketaan siis toinen derivaatta:
X
d2 S(m)
=
2
x2i ,
dm2
i
mikä on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Eli kunhan meillä on ainakin yksi positiivinen datapiste, niin voimme sovittaa datapisteisiin (xi , yi ) pienimmän neliösumman
suoran y = mx, missä vakio
P
xi y i
m = Pi 2
i xi
antaa pienimmän virheen suoran sovituksessa.
AV Kirjallinen 2:
Kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 opitaan johtamaan kaavat
¯ − x̄ȳ
¯
(xy)
x¯2 ȳ − x̄(xy)
m = ¯2
,
b
=
x − (x̄)2
x¯2 − (x̄)2
tilanteelle, jossa pienimmän neliösumman suora y(x) = mx + b ei kulje origon kautta.
Kaavoissa yläviiva kuvaa havaintojen keskiarvoa.
Oletetaan, että pakastimen säätönapin asennon ja pakastimen lämpötilan välillä vallitsee
linaarinen riippuvuus. Kokeilemalla havaitaan seuraavaa:
asento lämpötila
0
6
2
-1
3
-3
5
-10
6
-16
Määritä havaintoihin sopiva pienimmän neliösumman suora ja ennusta sen avulla pakastimen lämpötila, kun pakastin on nelosella.
Vastaus
Lasketaan ensin x̄ ja ȳ:
x̄ =
0+2+3+5+6
16
=
5
5
2
ȳ =
6 − 1 − 3 − 10 − 16
−24
=
.
5
5
¯
Tämän jälkeen laskemme vielä x¯2 :n ja (xy):n:
74
0 + 4 + 9 + 25 + 36
=
x¯2 =
5
5
¯ = 0 − 2 − 9 − 50 − 96 = −157
(xy)
5
5
Näiden avulla voimme laskea m:n ja b:n:
m=
b=
−157
−24
− 16
5
5 5
74
− ( 16
)2
5
5
=−
74 −24
−157
− 16
5 5
5
5
16 2
74
−
(
)
5
5
=
401
≈ −3, 52
114
368
≈ 6, 46.
57
Vakioiden m ja b avulla saamme PNS-suoran
y(x) = −
368
401
x+
.
114
57
Kohdassa x = 4 saamme suoran avulla lämpötilan arvioksi
y(4) = −
401
368
434
4+
=−
≈ −7, 61.
114
57
57
3