1. No category

MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 3 / viikko 39 / alkuviikko
Alkuviikon harjoitusten aihepiiri: viikon 2 kertausta ja täydennystä.
Alkuviikon tuntitehtävä 1: Säiliössä vellovan öljymäisen nesteen viskositeetti µ
riippuu nesteen paineesta
√ p funktion µ(p) mukaisesti. Nesteen paine p taas riippuu
ajasta t funktion p(t) = t mukaisesti. Jos viskositeetti muuttuu paineen suhteen
nopeudella dµ/dp = p2 , niin millä nopeudella viskositeetti muuttuu ajan suhteen?
Alkuviikon tuntitehtävä 2: Pistemäisen kappaleen paikka s, nopeus v ja kiihtyvyys a tunnetaan hetkellä t = 0. Paikka on s(0) = 2, nopeus v(0) = 4 ja kiihtyvyys on
a(0) = 3. Esitä toisen asteen Taylor-polynomi, joka approksimoi paikkaa s(t) pisteen
t = 0 ympäristössä. Mikä on tämän approksimaation arvio luvulle s(2)?
Alkuviikon tuntitehtävä 3: Tutki Taylor-kehitelmän avulla onko funktiolla f (x) =
sin3 (x3 ) paikallinen ääriarvokohta origossa. (Vihje: oikean vastauksen voi ensin arvata ja
sen jälkeen miettiä miten Taylor-kehitelmä auttaa perustelemaan sen. Myös verkkoluennosta
14 (Optimization) voi olla hyötyä.)
Alkuviikon tuntitehtävä 4: Määritä
x 2/x
.
lim 1 + arctan
x→0
2
(Vihje: ota tutkittavasta lausekkeesta ensin logaritmi.)
Tiedostoa viimeksi muokattu: 18. syyskuuta 2015 13:41
1/4
MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 3 / viikko 39 / alkuviikko
Alkuviikon kirjallinen 1: Katso prof. Ghristin luento “Lecture 14: BONUS!” osoitteessa
https://class.coursera.org/calcsing-005/lecture/preview
ja kirjoita suomenkielinen matemaattinen teksti, jossa johdetaan lauseke origon kautta kulkevalle pienimmän neliösumman suoralle.
Alkuviikon kirjallinen 2: Kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 opitaan
johtamaan kaavat
(xy) − x y
x2 y − x (xy)
,
b=
.
m=
x2 − (x)2
x2 − (x)2
tilanteelle, jossa pienimmän neliösumman suora y = mx + b ei kulje origon kautta.
Kaavoissa yläviiva kuvaa havaintojen keskiarvoa; esimerkiksi havaintojen x1 = 2,
x2 = 3 ja x3 = 7 keskiarvo on x = 4.
Oletetaan, että pakastimen säätönapin asennon ja pakastimen lämpötilan välillä vallitsee linaarinen riippuvuus. Kokeilemalla havaitaan seuraavaa:
asento
0
2
3
5
6
lämpötila
6
-1
-3
-10
-16
Määritä havaintoihin sopiva pienimmän neliösumman suora ja ennusta sen avulla
pakastimen lämpötila, kun pakastin on nelosella.
Kirjalliset tehtävät palautetaan seuraavaan loppuviikon harjoitustilaisuuteen tai laskutupaa vastapäätä olevaan lokeroon viimeistään perjantaina
25.9. klo 16:00.
Tiedostoa viimeksi muokattu: 18. syyskuuta 2015 13:41
2/4
MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 3 / viikko 39 / loppuviikko
Loppuviikon harjoitusten aihepiiri: tiistain 22.9. luento – ensimmäisen välikokeen
alue päättyy tähän.
Loppuviikon tuntitehtävä 1: Määritä x = x(t) differentiaaliyhtälöistä
a) dx = t2 dt ,
b) dx = x2 dt .
Loppuviikon tuntitehtävä 2: Itä-Siperian meressä sijaitsevalta Wrangelinsaarelta löydettiin mammutin fossiili, jossa radiohiiltä oli jäljellä 64% alkuperäisestä määrästä. Milloin mammutti kuoli? Radiohiilen 14 C puoliintumisaika T on 5600 vuotta ja
jäljellä olevan radiohiilen prosenttiosuus p toteuttaa differentiaaliyhtälön
p0 (t) = −kp(t),
missä t on aika vuosina ja k = ln 2/T on hajoamisvakio.
Loppuviikon tuntitehtävä 3: Laske Newtonin viilenemislain
dy
= k(y − 20)
dt
avulla lämpömittarin lukema kolme minuuttia sen jälkeen, kun se otettiin 72-asteisesta
uunista 20 asteen lämpötilaan. Tiedetään, että jo ensimmäisen minuutin aikana lämpötila laski 24 asteeseen.
Loppuviikon tuntitehtävä 4: Kun pallo putoaa ilmakehässä (verraten lähellä
Maan pintaa), sen kohtaama ilmanvastus on suoraan verrannollinen sen nopeuteen.
Jos pallon massa on m, niin sen liikeyhtälö on Newtonin toisen lain mukaisesti
m
dv
= mg − kv,
dt
missä v = v(t) on pallon nopeus hetkellä t, g > 0 on gravitaatiovakio ja k > 0 on
ilmanvastusvakio.
Oletetaan, että pallo pudotetaan levosta eli v(0) = 0. Johda kaava nopeudelle v(t)
kaikilla t > 0 (ennen hetkeä, jolloin pallo osuu maahan). Mitä on limt→∞ v(t)? Olisiko
tämä raja-arvo voitu johtaa myös ilman v(t):n lauseketta?
Tiedostoa viimeksi muokattu: 18. syyskuuta 2015 13:41
3/4
MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 3 / viikko 39 / loppuviikko
Loppuviikon kirjallinen 1: Tutustu aihepiiriin toisen kertaluvun lineaarinen, vakiokertoiminen, homogeeninen differentiaaliyhtälö (eng. second order linear homogeneous differential equation with constant coefficients). Se on muotoa ax00 +bx0 +cx = 0,
missä a, b, c ∈ R ja “homogeeninen” viittaa nollaan yhtälön oikealla puolella.
• Sijoittamalla yhtälöön yrite x(t) = eλt , missä λ ∈ R, johda λ:lle ns. karakteristinen yhtälö (eng. characteristic equation).
• Kerro lyhyesti miten ratkaisun x(t) muoto riippuu karakteristisen yhtälön juurista (kolme tapausta).
Loppuviikon kirjallinen 2: Esimerkkinä edelliseen ratkaise differentiaaliyhtälöt
a) x00 − 5x0 − 6x = 0
b) x00 − 4x0 + 4x = 0
c) x00 − 2x0 + 5x = 0.
Suomenkielistä materiaalia: Calculus Fennicus (IX.5, s. 617) ja Pekka Alestalon differentiaaliyhtälömoniste (löytyy MyCoursesin Materiaalit-osiosta).
Tiedostoa viimeksi muokattu: 18. syyskuuta 2015 13:41
4/4