Polynomit   polynomien sieventäminen eli sulkeiden poisto   nollakohta   ensimmäisen asteen yhtälö   toisen asteen   ratkaisukaava   vaillinaiset tapaukset   kuvaaja Funktion kuvaajan tulkintaa   lukusuoran välit   funktion kulku   epäyhtälö   1. asteen epäyhtälö (kuten yhtälö mutta – -merkkisellä kertominen kääntää suurempi/pienempi -merkin)   2. asteen epäyhtälö   kuvaajan avulla tai   merkkitaulukolla   funktion muutosnopeus   keskimääräinen muutosnopeus   hetkellinen (tangentin kulmakerroin) Derivaatta   Derivaatta on funktion kasvunopeuden mitta.   Jos funktion f (x) kasvunopeus on 2 kun x = 1, niin silloin tiedetään että f :n derivaatan arvo on 2 kun x = 1. f ′ (1) = 2 Derivaattafunktio   Derivaattafunktio kertoo kasvunopeuden kaikilla x:n arvoilla. f ( x ) = 3x − 4x −1 2 f ′ ( x ) = 6x − 4 f ′ (1) = 6·1 − 4 = 2 Derivaatan nollakohta   Derivaatan nollakohta kertoo millä x:n arvolla funktion kuvaaja kulkee vaakasuuntaan eli kasvunopeus on nolla.   Oheisen funktion derivaatan nollakohta on noin x ≈ 0,7. 6x − 4 = 0 2   Paraabelin huipun x-koordinaatti on x = derivaatan nollakohta ja y3 koordinaatti funktion arvo derivaatan 2 2 7 ⎛ 2⎞ nollakohdassa. 3·⎜ ⎟ − 4· −1 = − ⎝ 3⎠ 3 3 Funktion kulku   Derivaatan merkki kertoo funktion kasvun/ vähenemisen. Derivaatta positiivinen Derivaatta negatiivinen Derivaatta positiivinen f kasvaa f vähenee f kasvaa Milloin f kasvaa? f (x) = x 4 − 4x 3 Ratkaisu Huomaa, että höpötyksessäni sanon erheellisesti kolmosen tilalla luvun 5, kun annan tehtävän vastauksen. f ′(x) = 4x 3 −12x 2 4x 3 −12x 2 = 0 x 2 (4x −12) = 0 ⎧x2 = 0 ⎨ ⎩ 4x −12 = 0 ⎧ x1 = 0 ⎨ ⎩ x2 = 3 f ′(−1) = 4·(−1)3 −12·(−1)2 = −16 f ′(1) = 4·13 −12·12 = −8 f ′(5) = 4·53 −12·52 = +200 x≥ n u k svaa a k o nkti u f : s u Vasta 3 Suurin arvo suljetulla välillä   Derivoituva funktio saa suurimman/pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai väliin kuuluvissa derivaatan nollakohdissa.   Pohdi itse miksi näin on. Funktion pienin arvo välillä -1/4 ≤ x ≤ 1 2 f (x) = 4x 4 − 2x + 2 ratkaisu f ′(x) = 16x 3 − 4x 16x 3 − 4x = 0 x(16x 2 − 4) = 0 ⎧x = 0 ⎨ 2 16x −4=0 ⎩ ⎧ ⎪ x1 = 0 ⎪ 1 ⎪ x = + ⎨ 2 2 ⎪ 1 ⎪ x = − ⎪⎩ 3 2 ⎛ 1 ⎞ 121 f ⎜− ⎟ = ⎝ 4 ⎠ 64 f (1) = 4 f (0) = 2 ⎛ 1⎞ 7 f⎜ ⎟= ⎝ 2⎠ 4 7 Vastaus: pienin arvo on 4