1. No category

Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
Laskutoimitukset
implikaatioina
Tärkeimmät lukujoukot
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
1 / 37
Luonnolliset luvut (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
Lukuja 0, 1, 2, 3, . . . kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi. Jo
luolamiehet laskivat esineiden lukumääriä, ja luonnolliset
luvut riittävät juuri tähän tarpeeseen. Kaikkien luonnollisten
lukujen joukosta käytetään symbolia
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Huomaa: Joissakin lähteissä lukua nolla ei oteta mukaan
luonnollisiin lukuihin. Tällä kurssilla näin tehdään. Edelleen
käytetään, etenkin käsin kirjoitettaessa, merkintää N.
Tällaisiin eri lähteiden eroavuuksiin matematiikassa tottuu
suht’ nopeasti.
2 / 37
Luonnolliset luvut (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
■
Täsmällisemmin luonnolliset luvut (ja niiden väliset
laskutoimitukset) määritellään käyttäen ns. Peanon
aksioomia. Idea:
Nolla on luonnollinen luku.
Jos n on luonnollinen luku, niin myös n + 1 on
luonnollinen luku.
◆ Muita luonnollisia lukuja kuin, ne joiden olemassaolo
seuraa kahdesta edellisestä säännöstä ei ole.
(induktioaksiooma)
◆
◆
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
■
Joukossa N on äärettömän monta alkiota, mutta jokainen
niistä on äärellisen kokoinen, ∞ ∈
/ N. Esimerkiksi mikä
tahansa niistä voidaan kirjoittaa äärellisen monella
merkillä (=numerolla) 10-kantaisessa järjestelmässä.
3 / 37
Kokonaisluvut
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Kun otetaan mukaan luonnollisten lukujen vastaluvut,
saadaan kokonaislukujen joukko
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
■
■
Joukosta Z käytetään myös, etenkin käsin kirjoitettaessa
merkintää Z.
Joukko Z on suljettu yhteen-, vähennys- ja kertolaskun
suhteen, eli kahden kokonaisluvun summa, erotus ja tulo
ovat aina kokonaislukuja.
4 / 37
Rationaaliluvut
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
Kun halutaan tehdä myös jakolasku (muulla kuin nollalla)
mahdolliseksi, niin lukualue laajenee luonnollisesti
kokonaisluvuista rationaalilukuihin.
Laskutoimitukset
implikaatioina
■
m
Q = { | m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
■
■
Laskutoimitukset noudattavat tuttuja sääntöjä. Niistä
tarkemmin Algebran Peruskursseilla I-II, jonka termistöllä
rationaaliluvut muodostava kunnan.
2
On järkevää samaistaa kokonaisluku 2 ja rationaaliluku .
1
n
Yleisimminkin n = . Näin voidaan ajatella Z ⊂ Q.
1
Rationaaliluvulla on useita esityksiä kokonaislukujen
osamääränä. Esim.
3
6
9
= = .
2
4
6
5 / 37
Reaaliluvut (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Rationaaliluvut
“jättävät lukusuoraan aukkoja”. Esimerkiksi
√
2 ei ole rationaaliluku. Täyttämällä ‘kaikki’ tällaiset
aukkopaikat saadaan reaalilukujen joukko R (tai R).
■
Jokaisella reaaliluvulla x on ns. desimaaliesitys:
x = ±n,d1 d2 d3 . . . ,
jossa
n on jokin luonnollinen luku (etumerkki mukaan
lukien muodostaa x:n kokonaisosan)
◆ desimaalit di ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kaikille
i ∈ N, i > 0.
◆
6 / 37
Reaaliluvut (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
■
■
■
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Desimaaleja di voi siis olla äärettömän monta, mutta
jokaisella niistä on ‘positio’ (yllä i), joka on jokin
positiivinen luonnollinen luku.
Rationaaliluvun desimaaliesitys löydetään tunnetulla
tavalla jakokulmaa käyttäen =⇒ Q ⊂ R.
Joillakin reaaliluvuilla on kaksi erinäköistä
desimaaliesitystä. Tunnetuin esimerkki on
1 = 0,9999999 . . .
Induktiosta
■
■
Reaaliluvut erottaa rationaaliluvuista ns.
täydellisyys(aksiooma). Siihen palataan luvussa 2.
Reaalilukujen täsmällinen konstruktio tehdään
rationaalilukujonojen avulla myöhemmillä kursseilla
(jolloin täydellisyys voidaan todistaa).
7 / 37
Kompleksiluvuista (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
Reaaliluvun x neliölle on aina voimassa x2 ≥ 0. Myöhemmin
todistamme, että aina kun y ∈ R, y ≥ 0, niin on olemassa
x ∈ R : x2 = y. Monissa tilanteissa (harvemmin tällä
kurssilla) tarvitaan lukuja, joiden neliö on negatiivinen. Tämä
johtaa kompleksilukujen joukkoon C (tai C).
■
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Postuloidaan luku i jolle i2 = −1 (Onnistuuko? Algebran
PK II!)
■
C = {a + bi | a, b ∈ R},
Induktiosta
■
missä a on kompleksiluvun z = a + bi reaaliosa ja b sen
imaginääriosa.
Luvun z = a + bi liittoluku z = a − bi. Tällöin zz = a2 + b2 .
8 / 37
Kompleksiluvuista (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Natural 1
Natural 2
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Real 1
Real 2
Complex 1
Complex 2
■
■
Kompleksiluvut z1 = a1 + b1 i ja z2 = a2 + b2 i ovat
yhtäsuuri sjvsk a1 = a2 ja b1 = b2 .
Kompleksilukujen laskutoimitukset seuraavat säännöstä
i2 = −1. Esimerkiksi
(2 + 3i)(5 − 7i) = 2 · 5 + (3i) · 5 + 2 · (−7i) + (3i) · (−7i)
= 10 + 15i − 14i − 21i2 = 31 + i,
Laskutoimitukset
implikaatioina
ja jakolasku jakajan liittoluvulla laventamalla
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
5 − 7i
(2 + 3i)(5 − 7i)
31 + i
31 + i
=
= 2
=
.
2
2 − 3i
(2 + 3i)(2 − 3i)
2 − (3i)
13
■
Kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti suljetun
kunnan: jokaisella polynomilla, jonka kertoimet ovat
kompleksilukuja on jokin kompleksiluku nollakohtana.
9 / 37
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Laskutoimitukset implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
10 / 37
Yhteenlasku (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Koska lukujen yhteenlaskun lopputulos ei riipu siitä kuka
laskun suorittaa, miten se lasketaan jne., niin saamme
implikaation (x, y, z ∈ R) (voimassa myös kompleksiluvuille)
x = y =⇒ x + z = y + z.
■
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
■
Lukujen x ja y yhtäsuuruudesta seuraa lukujen x + z ja
y + z yhtäsuuruus olivatpa x, y, z mitä tahansa.
Eukleides ilmaisi tämän: “Kun yhtäsuuriin lisätään
yhtäsuuret saadaan tuloksiksi yhtäsuuret.” Huomaa pieni
ero, käytetään sääntöä: (a = b) ∧ (b = c) =⇒ (a = c)
osana perustelua.
11 / 37
Yhteenlasku (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Väite: Tässä itse asiassa on ekvivalenssi
a = b ⇐⇒ a + c = b + c.
Perustelu:
Suunta =⇒ saadaan yo. implikaatiosta valitsemalla
x = a, y = b, z = c. Suunta ⇐= saadaan valitsemalla
x = a + c, y = b + c, z = −c, sillä tällöin
x+z = (a+c)+(−c) = a+c−c = a
ja
y +z = (b+c)+(−c).
“Oikeanpuoleinen predikaatti seuraa vasemmasta lisäämällä z
molemmille puolille, ja vasemmanpuoleinen predikaatti seuraa
oikeanpuoleisesta vähentämällä z molemmilta puolilta.”
12 / 37
Kertolasku
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Samasta syystä on voimassa implikaatio
x = y =⇒ xz = yz.
Tässä ei kuitenkaan ole ekvivalenssi, koska
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
13 / 37
Kertolasku
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Samasta syystä on voimassa implikaatio
x = y =⇒ xz = yz.
Tässä ei kuitenkaan ole ekvivalenssi, koska
■
Käänteinen implikaatio saadaan kertomalla luvulla 1/z.
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
13 / 37
Kertolasku
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Samasta syystä on voimassa implikaatio
x = y =⇒ xz = yz.
Tässä ei kuitenkaan ole ekvivalenssi, koska
■
■
Käänteinen implikaatio saadaan kertomalla luvulla 1/z.
Mutta lukua 1/z ei ole olemassa, jos z = 0.
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
13 / 37
Yhtälöistä (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
■
■
■
Yhtälö, jossa esiintyy tuntemattomia x, y, . . . on itse
asiassa predikaatti p(x, y, . . .).
Jos predikaatti p(x) on ekvivalentti predikaatin q(x)
kanssa, eli p(x) on tosi sjvsk kun q(x) on tosi, niin näillä
kahdella yhtälöllä on samat ratkaisut.
Yhtälön ratkaisumenetelmä voidaan nähdä tapana
tuottaa sellainen ekvivalenttien predikaattien ketju, joista
viimeisessä vaiheessa on helppo nähdä millä
tuntemattomien arvoilla se on tosi. Jos esimerkiksi
p(x) ⇔ x = 3, niin tiedämme, että p(3) on tosi, ja että
p(a) on epätosi aina, kun a 6= 3. Eli olemme ratkaisseet
yhtälön p(x).
14 / 37
Yhtälöistä (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Yhteenlasku
(1/2)
Yhteenlasku
(2/2)
Kertolasku
Yhtälöistä (1/2)
Yhtälöistä (2/2)
■
Joskus ketjuun tulee mukaan implikaatio, mikä voi tuoda
mukaan ylimääräisiä ratkaisuja, jotka pitää tarkistaa.
Esimerkiksi, jos p(x) =⇒ (x = 1) ∨ (x = 3), niin
tiedämme, että p(a) on epätosi ellei a ole jompikumpi
luvuista 1 tai 3 (muutoin olisi kielletty T → E -tilanne).
Propositiot p(1) ja p(3) pitää tällöin tarkistaa erikseen.
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
15 / 37
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Lukujen järjestyksestä
Induktiosta
16 / 37
Järjestys
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Analyysin kannalta reaalilukujen järjestysrelaation
(<, ≤, ≥, >) on sangen keskeinen merkitys. Sekin määritellään
tarkemmin reaalilukujen konstruoinnin yhteydessä. Silloin
myös perustellaan sitovasti sen toivottavasti jo koulukurssilta
tutut ominaisuudet, jotka on lueteltu monisteessa Lemmassa
1.23.
Myös epäyhtälöt ovat itse asiassa predikaatteja, ja myös
epäyhtälön ratkaisemisessa on periaatteessa kyse annetun
predikaatin muuttamisesta sellaiseen sen kanssa ekvivalenttiin
muotoon, josta ratkaisut nähdään.
Induktiosta
17 / 37
Esimerkki 2.A
Tärkeimmät
lukujoukot
Perustele, miksi epäyhtälö
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Induktiosta
(1 − a)(1 − b) > 1 − a − b
on tosi kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b.
Ratkaisu:
(1 − a)(1 − b) = 1 − b − a(1 − b) = 1 − b − a + ab.
Tässä epäyhtälö ab > 0 on tunnettu. Lisäämällä sen
molemmille puolille 1 − a − b seuraa 1 − b − a + ab > 1 − b − a,
eli väite.
18 / 37
Merkkisääntö
Tärkeimmät
lukujoukot
■
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Induktiosta
■
■
■
Jos reaalilukujen x ja y etumerkit tunnetaan, niin tulon
xy etumerkki voidaan päätellä: xy > 0 jos x ja y ovat
samanmerkkisiä, ja xy < 0 jos x ja y ovat erimerkkisiä.
Koska luvuilla y 6= 0 ja 1/y on sama etumerkki, niin sama
merkkisääntö koskee myös osamäärää: x/y = x · (1/y).
Sääntö voidaan esittää/muistaa myös muodossa:
negatiivisella luvulla kertominen/jakaminen muuttaa
etumerkin.
Sääntö yleistyy useammalle kuin kahdelle tekijälle:
x1 x2 · · · xn on positiivinen, jos tekijöistä x1 , x2 , x3 , . . . , xn
(kaikki 6= 0) parillinen määrä on negatiivisia, ja
negatiivinen muulloin.
19 / 37
Esimerkki 2.B1
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Induktiosta
Tehtävä: Millä reaaliluvun x arvoilla on voimassa epäyhtälö
x3 > 4x?
Ratkaisu: Tämä on ekvivalentti epäyhtälön
x3 − 4x > 0
kanssa, joten tehtävänä on selvittää, millä x:n arvoilla lauseke
x3 − 4x on plusmerkkinen. Jaamme kyseisen polynomin
tekijöihin. Tekijä x näkyy heti, ja toinen tekijä x2 − 4 joko
tunnistetaan kahden neliön erotukseksi, tai muutoin
(nollakohdat selvittämällä) nähdään, että
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), eli
x3 − 4x = x(x − 2)(x + 2).
20 / 37
Esimerkki 2.B2
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Induktiosta
Tekijät muuttavat merkkiään nollakohdissaan, joten tulon
etumerkki saadaan selville ns. merkkikaaviosta, johon voidaan
kompaktisti tallentaa esiintyvien tekijöiden etumerkit.
Muuttujan arvon vaihtelua kuvaa (kursorisesti) yläreunan
lukusuora:
x+2
x
x−2
x(x + 2)
x(x + 2)(x − 2)
−
−
−
+
−
−2
|
|
|
|
|
+
−
−
−
+
0
|
|
|
|
|
+
+
−
+
−
2
|
|
|
|
|
+
+
+
+
+
21 / 37
Esimerkki 2.B3
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Välivaiheena edellisen kalvon taulukossa oli yksi rivi, jossa oli
mukana 2 tekijää. Lisäämällä yksi tekijä kerrallaan, on
merkkisäännön käyttäminen helpompaa. Rutinoitunut
merkkikaavion käyttäjä voi jättää näitä välivaiheita väliin
laskemalla onko kussakin sarakkeessa parillinen vai pariton
määrä miinusmerkkejä.
Merkkikaavion alimmalta riviltä nähdään, että x3 − 4x on
positiivinen väleillä (−2, 0) ja (2, ∞). Tämän vastauksen voi
kirjoittaa myös muodossa
−2 < x < 0
tai
2 < x.
Induktiosta
22 / 37
Esimerkki 2.C1
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Tehtävä: Millä x:n arvoilla epäyhtälö
10
10
−
7<
x+4 x−3
on voimassa?
Ratkaisu: Tällä kertaa on tehtävä hieman töitä epäyhtälön
muuntamiseksi sellaiseen muotoon, jossa merkkikaaviosta on
hyötyä. Yhdistetään ensin oikean puolen murtolausekkeet
10
10(x − 3) − 10(x + 4)
−70
10
−
=
=
.
x+4 x−3
(x + 4)(x − 3)
(x + 4)(x − 3)
Induktiosta
23 / 37
Esimerkki 2.C2
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Induktiosta
Viedään vakiotermi 7 toiselle puolelle. Nimittäjä on
(x + 4)(x − 3) = x2 + x − 12, joten oikealle puolelle jää
10
10
−70
−7x2 − 7x + 84
−
−7=
+
x+4 x−3
(x + 4)(x − 3)
(x + 4)(x − 3)
−7(x2 + x − 2)
−7x2 − 7x + 14
=
.
=
(x + 4)(x − 3)
(x + 4)(x − 3)
Selvittämällä osoittajan nollakohdat nähdään, että se
jakautuu tekijöihin
−7(x2 + x − 2) = −7(x − 1)(x + 2).
Tehtäväksi jää siis selvittää, milloin lauseke
f (x) = −7(x − 1)(x + 2)/((x + 4)(x − 3)) on positiivinen.
24 / 37
Esimerkki 2.C3
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Induktiosta
Merkkikaavioksi tulee siten (muistettava kerroin −7!!!)
(x − 1)
(x + 2)
(x + 4)
(x − 3)
f (x)
−
−
−
−
−
−4
|
|
|
|
|
−
−
+
−
+
−2
|
|
|
|
|
−
+
+
−
−
1
|
|
|
|
|
+
+
+
−
+
3
|
|
|
|
|
+
+
+
+
−
Vastaukseksi saadaan siis, että epäyhtälö toteutuu, kun
−4 < x < −2
tai
1 < x < 3.
25 / 37
Esimerkki 2.C4
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Oheisessa kuvassa on funktioiden y = 7 ja
y = 10/(x + 4) − 10/(x − 3) kuvaajat. Vastauksemme saa
tukea myös kuvaajasta.
y
20
10
-6
-4
2
-2
4
x
Induktiosta
-10
-20
26 / 37
Itseisarvosta (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Reaaliluvun x itseisarvo on |x| = x, jos x ≥ 0 ja |x| = −x, jos
x < 0.
■
■
Aina |x| ≥ 0 ja |x| = 0 ⇔ x = 0.
Kolmioepäyhtälö (∆-e.y.)
|x + y| ≤ |x| + |y|
on voimassa kaikille reaaliluvuille x, y. Voidaan perustella
esimerkiksi käymällä läpi kaikki etumerkkikombinaatiot.
Induktiosta
27 / 37
Itseisarvosta (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Järjestys
Esimerkki 2.A
Merkkisääntö
Esimerkki 2.B1
Esimerkki 2.B2
Esimerkki 2.B3
Esimerkki 2.C1
Esimerkki 2.C2
Esimerkki 2.C3
Esimerkki 2.C4
Abs 1
Abs 2
Analyysin teorian kehittelyssä itseisarvoa käytetään
kertomaan lukujen välinen etäisyys lukusuoralla:
■
■
Etäisyys lukujen a ja b välillä on d(a, b) = |a − b|.
Kolmioepäyhtälö saa tulkinnan
d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c).
■
Tämä nähdään oikeaksi valitsemalla x = b − a, y = c − b,
jolloin x + y = c − a.
|x − a| < r ⇔ x ∈ (a − r, a + r).
Induktiosta
28 / 37
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Induktiosta
29 / 37
Esimerkki 2.D1
Tärkeimmät
lukujoukot
Tutkitaan summia
Laskutoimitukset
implikaatioina
S(n) =
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
n
X
i=1
(2i − 1).
Nähdään, että
S(1) = (2 · 1 − 1) = 1
S(2) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) = 1 + 3 = 4
S(3) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + (2 · 3 − 1) = 1 + 3 + 5 = 9.
Näyttää siltä, että S(n) = n2 aina, kun n ∈ N.
Induktiotodistus?
30 / 37
Esimerkki 2.D2
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Meillä on muuttujasta n riipuva väite, predikaatti P (n), joka
väittää, että S(n) = n2 .
Yllä jo tarkistimme, että P (1), P (2) ja P (3) ovat tosia
(=induktion lähtökohta).
Seuraavaksi todistamme niin sanotun induktioaskeleen eli,
että implikaatio P (k) =⇒ P (k + 1) on tosi, olipa k mikä
positiivinen kokonaisluku tahansa. Koska kyseessä on
konditionaalinen väite, se on automaattisesti tosi, jos P (k) on
epätosi. Näin ollen voimme tehdä ns. induktio-oletuksen, että
P (k) on tosi (jollakin tuntemattomalla, mutta nyt
kiinnitettävällä k:n arvolla). Pääsemme käyttämään tätä
hyväksi, koska tutkittavien summien rakenteella on tärkeä
ominaisuus: summa S(k) esiintyy summan S(k + 1) osana...
31 / 37
Esimerkki 2.D3
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Nimittäin on voimassa
S(k+1) =
k+1
X
(2i−1) =
i=1
k
X
i=1
!
(2i − 1) +(2(k+1)−1) = S(k)+(2k+1
Induktioaskeleen todistus:
Induktio oletus P (k) sanoo, että S(k) = k 2 . Lisäämällä tähän
yhtälöön molemmille puolille luku 2k + 1 saadaan uusi tosi
yhtälö
S(k) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1).
Yllä olevan havainnon perusteella tässä vasemmalla puolella
on S(k + 1). Oikealla puolella on binomin neliön kaavan
perusteella juuri (k + 1)2 = k 2 + 2k + 1. Näin ollen P (k + 1)
on P (k):n seuraus kuten väitettiikin.
32 / 37
Esimerkki 2.D4
Tärkeimmät
lukujoukot
Lopuksi niin sanottu "sanaton todistus"väitteelle S(n) = n2 .
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
33 / 37
Esimerkki 1.32 (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Olkoon q jokin reaaliluku, q 6= 1, ja n luonnollinen luku.
Merkitään
S(n) =
n
X
j=0
q j (= 1 + q + q 2 + · · · + q n )
Väite: Kaikille n = 0, 1, 2, . . . on voimassa kaava
1 − q n+1
S(n) =
.
1−q
Todistus induktiolla:
Induktiolähtökohta on helppo tarkistaa, koska S(0) = 1 ja
väiteyhtälön oikea puoli (nyt n = 0)
1−q
1 − q 0+1
=
= 1.
1−q
1−q
34 / 37
Esimerkki 1.32 (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Kuten edellisessäkin induktiossa summat S(n) ja S(n + 1)
liittyvät toisiinsa läheisesti:
S(n + 1) = S(n) + q n+1 .
Implikaatio: "Kaava tosi, kun n = k =⇒ Kaava tosi, kun
n = k + 1"voidaan todistaa tämän yhteyden ja
induktio-oletuksen avulla helposti:
S(k + 1) = S(k) + q k+1
1 − q k+1 (1 − q)q k+1
=
+
1−q
1−q
1 − q (k+1)+1
1 − q k+1 + q k+1 − q k+2
=
.
=
1−q
1−q
35 / 37
Kolmioepäyhtälön yleistys (1/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Yleistetään kolmioepäyhtälö koskemaan useamman kuin
kahden luvun summan itseisarvoa seuraavasti. Olkoon n ≥ 2
jokin kokonaisluku, ja olkoot x1 , x2 , . . . , xn ∈ R mielivaltaisia.
Osoita induktiolla n:n suhteen, että
|x1 + x2 + x3 + · · · + xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |.
Todistus: Induktiolähtökohta (n = 2) saadaan
kolmioepäyhtälöstä valitsemalla siinä x = x1 ja y = x2 .
Oletetaan, että väite pitää paikkansa, kun yhteenlaskettavia
on k kappaletta. Tutkitaan tapausta n = k + 1. Koska
summa, jossa yhteenlaskettavia on yksi vähemmän esiintyy
osana isompaa summaa
x1 + x2 + x3 + · · · + xk + xk+1 = (x1 + x2 + x3 + · · · + xk ) + xk+1 ,
niin induktio tuntuu luontevalta.
36 / 37
Kolmioepäyhtälön yleistys (2/2)
Tärkeimmät
lukujoukot
Laskutoimitukset
implikaatioina
Lukujen
järjestyksestä
Induktiosta
Esimerkki 2.D1
Esimerkki 2.D2
Esimerkki 2.D3
Esimerkki 2.D4
Geom.1
Geom.2
Kolmio e.y.
Kolmio e.y.
Valitsemalla x = x1 + x2 + · · · + xk ja y = xk+1 kahden
muuttujan kolmioepäyhtälössä saadaan
|x1 +x2 +x3 +· · ·+xk +xk+1 | ≤ |x1 +x2 +x3 +· · ·+xk |+|xk+1 |.
Induktio-oletuksen nojalla tässä
|x1 + x2 + x3 + · · · + xk | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xk |, joten yo.
epäyhtälön oikea puoli ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xk | + |xk+1 |.
Soveltamalla sääntöä
(a ≤ b) ∧ (b ≤ c) =⇒ (a ≤ c)
saadaan induktioväitteen epäyhtälö.
37 / 37