”Retkiopas” pdf-kirjaan ”Löytöretkiä matematiikan maisemaan” (Tämä pdf-versio on vastaa sisällöllisesti v. 2009 tekemääni vihkosta ”Retkiopas” kirjaan Patikkaretkiä matematiikan maisemaan.) Ajatuksia matematiikasta ja sen opettamisesta niille, joita kiinnostaa matematiikka ja lukujen salaperäinen maailma Matematiikan dosentti Matti Lehtinen: Aittokallion laskento ei ole ”leiki, laula ja puuhaile jotain kivaa” -toimintaa, vaan ihan oikeaa tavaraa. Kirjassa ANKKALINNAN SÄPINÄT (Sanoma Magazines Finland Oy, 2006) on aivan ihastuttava kertomus ”Aku Ankka matematiikan valtakunnassa”. Roope-sedän kovat lainaehdot pakottivat Akun yrittämään apua Tupun, Hupun ja Lupun matematiikan kirjasta. Lopputulos näkyy tuossa ensimmäisellä sivulla olevassa kuvassa. Matematiikan henki saa houkutelluksi Akun mielenkiintoiselle ja jännittävälle seikkailulle matematiikan maailmaan. Tämän retken ansiosta Aku pystyi narauttamaan Roope-setää sillä sakkilautajekulla, joka on minunkin kirjassani kerrottu sivulla 222. Kertomuksen viimeisessä kuvassa (alla) kävelee todella itsevarma mies. Olisin halunnut julkaista nämä kaksi kuvaa kirjani esipuheessa, mutta siihen ei Aku Ankka valitettavasti suostunut. Olen kuitenkin saanut palautetta, jonka mukaan jotkut ovat löytäneet kirjani avulla matematiikkaa kohtaan mielenkiinnon, jonka koulu oli onnistunut sammuttamaan. 1 Alkusanat Kun on ollut jo vuosia poissa aktiivisesta opetustyöstä, on tietyllä tavalla uhkarohkeata lähteä kirjoittamaan ajatuksia matematiikasta ja sen opetukseen liittyvistä asioista. Teenkin tämän tiedostaen sen, että ajatukset ovat vain minun, ja jokainen lukija voi oman kokemuksensa ja tietämyksensä pohjalta ottaa sen, mikä tuntuu hyvältä ja hylätä rohkeasti sen, johon ei voi yhtyä. Koska en ole koskaan opettanut matematiikkaa kahdella alimmalla luokalla, rohkaisen lukijaa siltä osin hyvin kriittiseen arviointiin. Useat alkuopettajatkin ovat kuitenkin olleet kiinnostuneita kirjasta ja sitä hankkineet. Eräs lähetti minulle kysymyksen, sopiiko kirja myös alkuopettajalle. Vastailen tähän kysymykseen näitten alkusanojen lomassa. Varsinaisena oppikirjana kirjaa ei voi käyttää millään asteella, mutta mielestäni siitä saa eniten irti opettaja, joka opettaa luokilla 3-6. Tätä väliä minä jauhoin opettajana koko urani ajan, ja näille luokille kuuluvista matematiikan aiheista suurinta osaa olen kirjassa käsitellyt. Yläluokkien opettaja saa kirjasta erilaisia virikkeitä, ja yläluokkien oppilas, joka on innostunut matematiikasta, voi kirjan kanssa tehdä monenlaisia tutkimusretkiä matematiikan mielenkiintoiseen maailmaan. Jos itse olisin alkuopettaja, en uskoisi saavani kirjasta kovin paljon materiaalia opetustyöni avuksi. Siihen, miksi voisin kuitenkin harkita kirjan hankkimista, löydän kolme syytä: 1. Vaikka opettaisinkin vain alkeita, on hyvä päästä kurkistamaan hiukan eteenpäin siihen maailmaan, jota olen avaamassa pienille ja aloitteleville matemaatikoille. Jos olen itse löytänyt matematiikan mielenkiintoiset maisemat, se heijastuu väistämättä minun opetuksessani, ja minun on helpompi innostaa pieniä oppilaita kärsivälliseen odottamiseen: mitä pitemmälle edetään, sitä mielenkiintoisemmat ja jännittävämmät maisemat ovat edessä. 2. Uskaltaisin alkuluokillakin jättää välillä oppikirjan syrjään ja askarrella jotakin jännittävää. Kirjan Pulmanurkka antaa muutamia kivoja aiheita myös pienille. Eräs keskisuomalainen opettaja, joka pitää matematiikkakerhoa 2-6 luokkien oppilaille, kiitti kirjasta ja sanoi, että on löytänyt kirjasta paljon ainesta, jota voi käyttää kerhossa. On todella kova haaste pitää kerhoa, jossa osallistujien ikähaitari on näinkin laaja. 3. Alkuopettajana saatan jatkaa luokkani mukana myös luokille 3.-6., ja tällöin minulla on jo ennakkoon valmiudet avata matematiikan huikeita näköaloja isommille oppilaille. Esimerkkinä askartelutehtävästä, johon eka- ja tokaluokkalaiset varmasti innostuvat, on tässä retkioppaassa sivulla 5 kuvatut kortit, joilla voi arvata kaverin päästä luvun 1-7. Oppilaat tekevät taatusti innoissaan näitä "temppuja" kavereilleen, vaikka he tietävätkin korttien salaisuuden. Vielä innokkaammin he hämmästyttävät "maagisella taidollaan" kotona vanhempansa. Lapsenlapseni ovat näillä korteilla hämmästyttäneet tovereitaan ja ohjaajiaan esikoulussa. Haluan korostaa, että tämä ei ole varsinainen opaskirjanen – nimi Retkiopas on lainausmerkeissä – vaan pikemminkin suppea kokoelma ajatuksia ja havaintoja lukujen maailmasta ja matematiikan opetuksesta. Kirjan kirjoitin alusta loppuun niin, ettei käsissäni ollut yhtäkään peruskoulun matematiikan kirjaa. Nämäkin rivit kirjoittelen työpöytäni ääressä tutustumatta muiden kirjoittamiin ajatuksiin. Ehkä juuri sen tähden mukaan voi tulla ajatuksia, jotka saattavat tuntua jostakin lukijasta jopa yllättäviltä. Joka tapauksessa olisi hyvä, että matematiikasta ja sen opetuksesta käytäisiin keskustelua mahdollisimman laajalla rintamalla. Muuttaisimmeko lukutapaa ongelmallisella välillä 11 - 19? Suomen kielen tavassa ilmaista lukuja on eräs heikkous, joka aiheuttaa lapsille hankaluuksia vielä myöhemminkin esim. muistinumeron merkitsemisessä allekkain kertolaskuissa ja jonkin verran myös yhteenlaskussa. Olette varmaan huomanneet tämän itsekin. Jos kertolaskussa on tulos 35 (kolme kymmentä viisi), kolmonen kirjoitetaan muistiin ja viitonen alas. Sekaannusta aiheuttavat nimenomaan kymmenen ja kahdenkymmenen välissä olevat luvut. Kun tuloksena on 14 (neljä toista), nelonen livahtaa helposti muistiin, kun se kaikuu luvusta ensimmäisenä. 2 Huomasin aikanaan liitutaulun avulla kertolaskualgoritmia opettaessani, että oli hyvä kirjoittaa tulos sivuun näkyviin ja todeta, että aina vasemmalla (eli kymmenien paikalla) oleva numero kirjoitetaan ylös muistiin ja ykkösten paikalla oleva alas. Vaikka jouduinkin ottamaan käyttöön tavan merkitä muistinumero oikealle, pitäisin parempana tätä vanhanaikaista tapaa merkitä se ylös, jolloin se on ”odottamassa” käyttöönottoa oikeassa paikassa. Lisäksi siinä kertomisen tulos on kymmenjärjestelmääkin ajatellen sijoitettuna loogisemmin. Painotin oppilaille, että merkitsevät aina ensin muistinumeron. Samaa tapaa muistinumeron merkitsemisessä korostin myös allekkain yhteenlaskussa. Muistinumeron merkitseminen olisi helpompaa ja johdonmukaisempaa, jos luvut 11–19 luettaisiin matemaattisesti samoin kuin luvut 20:stä ylöspäin. Jotkut voisivat oikeasti kokeilla erilaista lukutapaa alimmilla luokilla. Tässä ongelmia aiheuttavassa välissä suomen kielessä luetaan ensin ykköset ja sitten kasvamassa oleva toinen kymmenjoukko (1 toista, 2 toista, 3 toista, jne.), kun taas luvusta 20 alkaen luetellaan ensin kymmenet ja perään ykköset (2 kymmentä 1, 2 kymmentä 2, 2 kymmentä 3, jne.). Jotta lukutapa olisi matemaattisesti looginen, tämä ongelmallinen väli pitäisi lukea näin: 1 kymmen 1, 1 kymmen 2, 1 kymmen 3, jne. Tämä lukutapa selkiinnyttäisi lukujen rakentumista loogisesti tällä pienille oppilaille kaikkein keskeisimmällä lukualueella (ks. alla oleva kuvio). Luvut luettaisiin kautta linjan niin, että ensin luetellaan suuremmat lukujoukot ja viimeiseksi vasta ykköset. Vanha suomen kielen lukutapa oli johdonmukainen, kun luvut lueteltiin kauttaaltaan niin, että ensin mainittiin ykköset ja sen jälkeen kasvamassa oleva kymmenluku: 6 toista, 7 toista, 8 toista, 9 toista, 2 kymmentä, 1 kolmatta, 2 kolmatta, 3 kolmatta, jne.). Tähän lukutapaan palaamista en kuitenkaan suosittele, koska siinä on omat heikkoutensa. Kymppiparit ja kymmenjärjestelmä tutuksi 1. -2. luokilla Matemaattiset valmiudet ovat koulunkäynnin aloittavilla lapsilla hyvin kirjavat. Joku saattaa laskea oikein hyvinkin hankalia päässälaskuja, toinen ei välttämättä osaa luetella lukuja vielä kovinkaan pitkälle. Esikoulu tekee tässä suhteessa hyvää työtä, kun se parantaa niiden lasten valmiuksia, joille ei kotona ole opetettu matematiikan alkeita. Matematiikan opiskelun alkumetreillä minun mielestäni kaksi keskeisintä asiaa ovat kymppiparit ja kymmenjärjestelmä. Kymmenjärjestelmää voisi lähestyä sadunomaisesti vaikkapa siten, miten olen sitä kirjassa sivulla 13 käsitellyt. Luku kymmenen on pienille lapsille matematiikan tärkein luku, ja siksi se kannattaa tehdä heille mahdollisimman tutuksi mahdollisimman aikaisin. Havaintovälineitä apuna käyttäen ja riittävin harjoituksin varmistetaan luvun kymmenen keskeinen paikka matematiikassa. Mitä paremmin lapsi hallitsee nämä kaksi asiaa, sitä vaivattomammin hän pystyy päättelemään helppojen yhteen- ja vähennyslaskujen tulokset ja siirtymään niistä sitten vaikeampiin tehtäviin. Tästä aiheesta hiukan lisää alempana. Kertotaulujen osaamista ei voi korostaa liikaa Matematiikan opiskelun alkumetreillä lukuja rakennellaan ja pilkotaan lähinnä yhteen- ja vähennyslaskulla. Mutta toisella luokalla löydetään myös kertolasku ja aletaan tehdä tuttavuutta kertotaulujen kanssa. Kolmannesta luokasta alkaen on tärkeätä, että lapsi oppii ymmärtämän lukuja myös alkulukujen/ alkutekijöiden kautta. Mitä paremmin lapsi hallitsee kertotaulut, sitä paremmin lukujen ymmärtäminen tekijöiden tulona hahmottuu. Kertotaulujen opiskelun yhteydessä on tärkeätä jatkaa jokaista kertotaulua vielä yli sen rajan, missä kertojana on luku 10. Näitä ylempänä olevia lukuja ei tietenkään opiskella ulkoa, mutta lapsen on hy- 3 vä ymmärtää, että esim. luvun 30 jälkeen joka kolmas luku äärettömiin saakka on kolmen kertotaulussa. Sama on tilanne kaikissa muissakin kertotauluissa. Tähän aiheeseen liittyy hyvin läheisesti lukujen jaollisuussääntöjen hallinta, mihin palaan hiukan myöhemmin. Kertotaulut kannattaa päntätä päähän todella hyvin kolmannen luokan aikana. Tiedän omasta kokemuksesta, että vaatii opettajalta aika tavalla sitkeyttä viedä prosessi onnistuneesti läpi. Tämän tiedoston lopussa on valmis pohja kertotaulukorteista, joiden käyttö auttoi minua tuon päämäärän saavuttamiseksi. Kirjassa kortit ovat sivulla 295, mutta helpoiten saat kortit tulostettua tämän oppaan viimeiseltä sivulta. Kuvaa voi tarvittaessa suurentaa, jos koulun kone pystyy tulostamaan A4-kokoa suurempia arkkeja. Korttien käyttövinkit löytyvät kirjan sivulta 294. Kertotaulujen kertaus on suoritettava neljännen, viidennen ja tarvittaessa vielä kuudennenkin luokan alussa. Kirjassa korostan sitä, että potenssimerkintä kannattaisi opettaa jo kolmannella luokalla, jos siihen vain suinkin löytää ajan. Merkinnän omaksuminen ei tuota minkäänlaisia vaikeuksia, kokeilin asiaa mm. toisella luokalla olevalle lapsenlapselleni. Merkinnän oppimisesta olisi hyötyä heti ja toki sitä tarvitaan siitä eteenpäin opiskelujen kaikissa vaiheissa. Potenssimerkintää käsittelen hyvin lyhyesti kirjassa sivulla 54. Pinta-alasta löytää mielenkiintoisia ulottuvuuksia Hyppään aiheeseen sivulla 31 melko yllättävästä suunnasta, kun lähden siihen lätäkön ääreltä. Asian käsittely tällä tavalla antaa oppilaille heti mielenkiintoista askartelua oman laskuvihon ruudukossa. Lisäksi he oppivat siinä sujuvasti kaksi tärkeätä käsitettä, alalakiarvon ja ylälikiarvon, joita käsitteitä tarvitaan muuallakin matematiikassa. Esimerkiksi lukujen pyöristäminen kannattaa mielestäni opettaa niin, että tuloksen etsimisessä käytetään aina näitä kahta likiarvoa. Käsittelen asiaa sivuilla 104–108. Vaikka Pickin lausetta (s. 37) ei oppilaille voi alaluokilla perustella, se on todella mielenkiintoinen sellaisen monikulmion pinta-alan laskemiseksi, jonka kärkipisteet ovat kaikki ruudukkoviivojen leikkauspisteissä. Useimmille oppilaille se on varmasti mielenkiintoinen tuttavuus. Jos kolmion kärkipisteet ovat ruudukkoviivojen leikkauspisteissä, sen pinta-alaa voi tutkia hyvin monella eri tavalla (käväisepä kirjan sivuilla 32, 34–35, 37 ja 176). Vuosien varrella huomasin, että alaluokkien matematiikan kirjoista siirrettiin monia aiheita yläluokkien kirjoihin. Alaluokkien opetussuunnitelmaa kevennettiin. Tätä suuntausta en pitänyt hyvänä. Kyllä alaluokillakin pitää olla oikeita haasteita, eikä liikaa mekaaniseen laskemiseen panostamista. Ruutuvihko ja erilaiset monikulmiot antavat mukavasti mahdollisuuksia matemaattiseen askarteluun. Vaativampaa haastetta tarjoaa mm. puolisuunnikas (s. 172). Aikanani annoin oppilaiden itse etsiä erilaisia ratkaisuja puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi, kun kolmion ja suunnikkaan pinta-alat olivat heillä hyvin hallinnassa. Leijakin, jota suomalaisissa matematiikan kirjoissa tuskin mainitaan, tarjoaa kivaa askartelua (s. 175). Ympyrän pinta-alan johtaminen siten, että ympyrä muutetaan kolmioksi, oli minulle aikanani löytö, josta olin suorastaan ylpeä, kun olin sen omalla pohdiskelullani löytänyt. Tämä löytö on esiteltynä kirjassa sivuilla 179 – 180. Pohdintoihin pakotti ärsyyntyminen siitä, että kirjassa annettiin vain pinta-alan kaava, mutta ei selvitetty, miksi se on sellainen. Kuudesluokkalaiset ymmärtävät hyvin pinta-alan laskukaavan johtamisen tällä tavalla. Ellipsin (s. 178) kanssa voi tehdä tuttavuutta rakentamalla välineet, joilla voi piirrellä erilaisia ellipsejä ja tutkia niiden ominaisuuksia, vaikka itse ellipsiin liittyvät laskemiset jäävätkin odottamaan. Prosenttilaskusta Opettajaurani varrella panin merkille, että alaluokkien matematiikan kirjat pikku hiljaa kevensivät prosenttilaskujen osuutta opetettavassa aineksessa. Kirjantekijät jättivät ainakin perusarvon laskemisen alaluokkien ohjelmasta pois, koska ilmeisesti ajattelivat sen tuottavan ylimääräistä vaikeutta. Yleinen piirre matematiikan kirjoissa taitaa olla vieläkin, että prosenttilaskuja ratkotaan monen erilaisen kaavan avulla. Oppilaat menevät helposti sekaisin näitten kaavojen kanssa. 4 Kun aikanani hyvinkin perusteellisesti yritin pohtia, miten opettaa prosenttilasku alaluokkien kuudesluokkalaisille, huomasin, että kaikki prosenttilaskut voidaan ratkaista samalla periaatteella yksinkertaisesta verrannosta. Totean kirjassa sivulla 116, että ”verranto on verraton apu”. Oppilas saa siitä apua monissa muissakin tehtävissä. Siihen saakka, kun ei tarvitse laskea korkoa korolle, voidaan kaikki prosenttilaskut selvittää yksinkertaisella verrannolla. Kirjassa on asiaa käsitelty melko perusteellisesti sivulta 133 alkaen. Sain pitkän kirjeen eräältä kirjan hankkineelta keski-ikäiseltä naisihmiseltä (ei opettaja), joka kertoi, ettei oikein koulussa tykännyt matematiikasta eikä sitä oikein ymmärtänyt. Hän oli kuitenkin kahlaillut kirjan kiinnostuneena läpi ja mainitsi, että nyt hänkin ymmärtää prosenttilaskuja, jotka koulussa jäivät hänelle hämärään. Olen nähnyt, että peruskoulun kuudesluokkalainen pystyy tällä yksinkertaisella tavalla ratkaisemaan jopa hyvin hankalilta näyttäviä lukiotason liuoslaskuja. Tällaisesta tehtävästä on esimerkki kirjan sivulla 138. Alkutekijät ja alkuluvut Alkulukujen maailma on kiehtonut pitkään matemaatikkoja, jotka ovat yrittäneet löytää suurempia ja suurempia alkulukuja. Tällä hetkellä suurin tunnettu alkuluku lienee 257 885 161 – 1. Luvussa on 17 425 170 numeroa. Luku on niin pitkä, että minun kirjoittamaani kirjaa pitäisi olla noin viisitoista päällekkäin, jotta luku saataisiin kokonaisuutena näkyviin. Tässäkin huomaamme, miten kätevä tuo potenssimerkintä on. Internet tarjoaa aiheesta mielenkiintoisia sivuja varsinkin englannin kielellä. Jos haluat tutkia näitä lukuja ja leikkiä niillä, kirjoita hakukoneeseen sanat prime number calculator. Löydät vaikkapa tällaisen sivun http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm. Materiaalia leikkiin löytyy yllin kyllin, ja sitä pystyy hyödyntämään, varsinkin jos selain tukee Javaa ja sen käyttö on sallittu selaimen asetuksissa. Olen selvittänyt alkulukuja sivulla 53 ja johdatellut pitemmälle sivuilla 192–193. Leikki sikseen ja hyödyllisempiin töihin. Sivuilla 55–56 on selvitetty erittäin tärkeitä ja hyödyllisiä harjoituksia lukujen pilkkomisesta, jonka tuloksena nähdään, miten luvut rakentuvat alkutekijöittensä tulona. Nämä harjoitukset eivät onnistu, jos kertotaulut eivät ole hyvin hallinnassa. Harjoitukset pitää aloittaa jo kolmannella luokalla, mutta eritoten niitä kannattaa tehdä paljon neljännellä, viidennellä ja vielä kuudennellakin luokalla. Kuudennella luokalla lapset pystyvät pilkkomaan jo aika hankaliakin lukuja, jos lukujen jaollisuussäännöt ovat hallinnassa. Kokemukseni mukaan lapset tykkäävät näistä harjoituksista. Miksi nämä harjoitukset ovat tärkeitä? Kokonaislukujen matematiikka (diskreetti matematiikka) on hyvin keskeinen osa matematiikkaa. Kun perusasiat kertotauluista alkaen ovat kunnossa, on paljon helpompi kohottaa uusia kerroksia aina mielenkiintoisemmaksi ja jännittävämmäksi rakentuvaan ”matematiikkataloon”. Matematiikan kirjat eivät valitettavasti ainakaan alaluokilla – tuskin pahemmin yläluokillakaan – vastaile esim. kysymykseen, milloin kokonaislukujen jako menee tasan, tai mistä tiedän etukäteen, päättyykö jakolasku. Jos edellä olevat asiat ovat selvät, lapsi pystynee omatoimisestikin löytämään vastaukset näihin kahteen kysymykseen, joita olen käsitellyt kirjassa sivuilla 59–64 ja 101–103. Luvun 9 jaollisuussääntö ansaitsee aivan erityishuomion Ennen kuin jatkat pitempään, käväise vilkaisemassa kirjasta sivulta 59, mikä minua koulussa tosissaan harmitti. Samalla voit selvittää siellä itsellesi – ellei se jo ole selvillä – mihin luvun 9 jaollisuussääntö perustuu. Tähän jaollisuussääntöön rakentuu hyvin moni mielenkiintoinen kirjassa esitetty asia: - Laskutoimitusten tarkistaminen lukujen redusoidun summan avulla (sivut 65–69). - Eurosetelin ”aitouden” tarkistaminen (s. 69). - Matemaattinen ”taikatemppu” (s. 220). Tästä tempusta voi tehdä lukemattomia muunnelmia luvun 9 jaollisuussääntöä käänteisesti soveltaen. Pitää tietää vain keino, miten mistä tahansa kokonaisluvusta voi tehdä 9:llä jaollisen luvun. Keinoja on kolme erilaista, ja ne löydät sivuilta 242 ja 285. 5 - Sivuilla on selvitetty myös, miksi luku näillä toimenpiteillä muuttuu 9:llä jaolliseksi. Sivun 231 ”Luen ajatuksia 4” perustuu myös luvun 9 jaollisuussääntöön. Päättelykykyä voi kehittää tämän jaollisuussäännön avulla (s. 230). Kun lukujen pilkkominen ja rakentaminen alkutekijöillä on kunnossa, ja jaollisuussäännöt mielessä, siitä on suuri apu myös murtolukujen syvällisempään hallintaan. Supistaminen ja laventaminen (s. 122–125) on helpompi ymmärtää niin, ettei niitä tarvitse omaksua vain ulkoa opeteltavana rutiinina. Sellaista matematiikan opiskelu ei saisi olla missään vaiheessa. Eri lukujärjestelmät Vaikka kymmenjärjestelmä on matematiikan opetuksessa kaiken perusta, sen ”vangiksi” ei saa jäädä. Kymmenjärjestelmäkin ymmärretään syvällisemmin vasta, kun on tutustuttu myös muihin lukujärjestelmiin. Historian saatossa kymmenjärjestelmä on muodostunut yleisimmin käytetyksi järjestelmäksi varmasti siitä syystä, että meillä on kymmenen sormea. Mutta maailmassa näkyy jälkiä myös 20-järjestelmästä, 5-järjestelmästä ja jopa 60-järjestelmästä. Mielenkiintoista on huomata, että esim. ranskan kielen lukusanat paljastavat, että muinaisessa Galliassa on mitä todennäköisimmin käytetty 20-järjestelmää. Onhan esim. luku 80 ranskan kielestä suomennettuna ”neljä kaksikymmentä”. 60-järjestelmä on hyvin vahvasti näkyvissä meidänkin aikanamme mm. ajan mittaamisessa. Yksi tunti muodostuu 60 minuutista, ja yksi minuutti puolestaan 60 sekunnista. Lisäksi kulman mittaamisessa käytetään edelleen yleisimmin 60-järjestelmää. Yksi aste on 60 minuuttia, yksi minuutti on 60 sekuntia. Tiedetään, että muinaishistoriassa esim. sumerilaiset ja babylonialaiset käyttivät 60-järjestelmää eli seksagesimaalijärjestelmää. Heiltä olemme perineet nämä ”poikkeukselliset” järjestelmät ajan ja kulmien mittaamiseen. Miksi 60-järjestelmä saattaisi olla yleisestikin hyvin käytännöllinen? Mitä etua sillä olisi 10-järjestelmään verrattuna? Kymmenjärjestelmän kantaluku on tietenkin luku 10, jonka alkutekijät ovat 2 ja 5. Vain nämä kokonaisluvut (1:n ja 10:n lisäksi) sisältyvät tasan kymmeneen. 60-järjestelmän etu perustuisi siihen, että lukuun 60 sisältyy tasan hyvin moni luku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, ja 60. Kirjassa olen käsitellyt lukujärjestelmiä sivuilla 158–163. Tutuksi tulevat osittain kaikki lukujärjestelmät 2-järjestelmästä 10-järjestemään sivujen 158 ja 159 taulukoissa. Lisäksi käsittelen näillä sivuilla perusteellisemmin 4-järjestelmää ja 5-järjestelmää. Sivuilla 168–169 kurkistetaan hiukan tietokoneen ajattelutapaan ja samalla myös 2-järjestelmään (binäärijärjestelmään) ja 16-järjestelmään. Siellä näemme myös, miten helppo on muuntaa binäärijärjestelmän luku 16-järjestelmään (eli heksadesimaalijärjestelmään) ja päinvastoin. Binäärijärjestelmään tutustuminen ja sen ymmärtäminen olisi hyödyllistä jo hyvinkin aikaisessa vaiheessa, suosittelisin käsittelyä jo alaluokkien puolella. Kirjan Pulmanurkassa on useita binäärijärjestelmään liittyviä tehtäviä. Kallen ilmiömäinen kyky laskea vaikeitakin kertolaskuja (s. 221) perustuu pelkästään binäärijärjestelmään. Siihen perustuu myös sivulla 220 oleva ”Luen ajatuksia 2”. Binäärijärjestelmä tulee tutuksi, jos jaksaa paneutua näiden pulmatehtävien ratkaisuihin. Kallen tapauksessa ymmärtäminen on selvästi vaativampi haaste. Ennen ”Luen ajatuksia 2” –tehtävää voisi rakennella vieressä olevan kuvan mukaiset kolme korttia, joilla voi arvata naapurin päästä lukuja 1-7. Ymmärtäminen on sitten helpompaa neljän ja viidenkin kortin tehtävissä. Korteista voi helposti nähdä miten luvut rakentuvat luvun 2 potensseista: 1 = 20 ja voi siis olla vain ensimmäisessä kortissa, 2 = 21 ja voi olla ainoastaan toisessa kortissa, 3 = 21 + 20, joten sen on oltava ensimmäisessä ja toisessa kortissa, 4 = 22 ja voi siis esiintyä vain kolmannessa kortissa, 5 = 22 + 20, joten sen on oltava ensimmäisessä ja kolmannessa kortissa, 6 = 22 + 21, joten sen on oltava toisessa ja kolmannessa kortissa ja 7 = 22 + 21 + 20, joten sen on siis esiinnyttävä jokaisessa kolmessa kortissa. 6 Korttien vasemmassa ylänurkassa ovat nimikkoluvut eli luvun 2 potenssit nousevassa järjestyksessä. Jokainen kokonaisluku voidaan rakentaa luvun 2 potenssien summana. Idea on siis se, että annetaan kaverin valita päähänsä luku 1-7, jonka luvun hän pitää omana tietonaan. Sitten korttien omistaja näyttää hänelle ensin kortin, jossa vasemmassa yläkulmassa on luku 4 ja kysyy: onko se luku tässä? Jos on, painaa nelosen mieleensä. Sitten hän näyttää korttia, jossa nimikkolukuna on 2 ja kysyy samalla tavalla. Jos vastaus on myöntävä, kysyjän päähän on rakentunut jo luku kuusi. Jos kysyjä vastaa vielä viimeisenkin kortin kohdalla myöntävästi, kaverin ajattelema luku on 7. Kun kysyjä esittää kortit tässä järjestyksessä, hänen ei tarvitse itse nähdä ollenkaan korttien numerosivuja. Murtolukujen syventelyä eri lukujärjestelmien avulla Pelkään, että monet kokevat murtolukujen opiskelun kohtalaisen tylsäksi. Näin ei tarvitse olla. Murtolukuja voidaan havainnollistaa monin eri tavoin, ja eläviä esimerkkejä löytyy pilvin pimein käytännön elämästä. Voimme esim. paloitella piirakoita tai latoa laatikkoon erivärisiä palloja, ellemme halua heti käyttää matemaattista alustaa, esimerkiksi lukusuoraa. Kun kokonaislukujen jakaminen alkutekijöihin (s. 55-56) on hyvin hallinnassa, supistaminen ja laventaminen ovat luonnostaan niin selvät, ettei tarvitse päntätä päähän kirjoissa toistettua sääntöä: supistaminen on sitä. että osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Ei myöskään laventamissääntöä. Kirjassa (s.123) olen käyttänyt sanaa supistusketju, jonka avulla olen johdatellut lukijaa ymmärtämään, että supistaminen on sitä, että osoittajasta ja nimittäjästä voidaan poistaa kaikki yhteiset tekijät, ja luvun arvo säilyy muuttumattomana. Laventamisen kohdalla tilanne on samanlainen, vaikkakin päinvastainen. Siinä vain lisätään sama tekijä sekä osoittajaan että nimittäjään (ks. s. 123-124). Kun kymmenjärjestelmän perusteet ovat selvillä, ja on tutustuttu alustavasti kokonaislukujen avulla eri lukujärjestelmiin (s. 158-163), on hyvä syvennellä asiaa tutkimalla, miten eri luvut käyttäytyvät pilkun jälkeen eri lukujärjestelmissä. Tässä tutkistelussa kannattaa jättää luvun kokonaisosa pois ja käyttää siis vain 0, alkuisia lukuja ja syöttää koneeseen aluksi luku, jossa on vain yksi numero pilkun jälkeen. On hyvä palauttaa mieliin myös se, että lukujärjestelmän suurin numeromerkki on yhtä pienempi kuin lukujärjestelmän kantaluku. Me elämme 10-järjestelmästä, jonka kantaluku on siis 10. Tiedämme, että suurin numero tässä järjestelmässä on 9. Viisijärjestelmässä suurin numero on 4 jne. Matikkaretkien sivuilla on mielenkiintoinen muunnoskone (http://www.matikkaretket.fi/index.php?id=16), jonka avulla voi tehdä näitä tutkimuksia ja samalla syvennellä murtolukujen hallintaa. Koska en Internetin tarjonnasta löytänyt riittävän monipuolista muunnoskonetta, pyysin poikaani tekemään sellaisen. Hän onnistui mielestäni erinomaisesti. Omaehtoiset tutkimusretket lukujen kiehtovaan maailmaan saattavat olla hyvinkin innostavia ja haastavia. Yritän seuraavassa muutamin esimerkein havainnollistaa, millaisia harjoituksia muunnoskoneen kanssa voisi tehdä. Kokeillessa jokainen löytää vaivattomasti omia polkujaan. Ennen tutkimuksen aloittamista olisi hyvä kerrata kirjasta kappale ”Onneksi meillä on kymmenen sormea eli hiukan asiaa lukujärjestelmistä”, ja siellä erityisesti sivut 164-166. 7 Koneessa on valmiina syötettynä alla olevassa kuvassa näkyvä esimerkki, jonka vastauksen saat napsauttamalla Laske-painiketta. Voit sitten tehdä omia tutkimuksiasi ja hämmästellä tuloksia. Ota tutkimuksen kohteeksi myös lukuja, jotka sisältävät pilkun. Muunnoskoneella ”leikkiessäsi” täytyy pitää tiukasti mielessä, että esim. 2-järjestelmän luku 0,1 on aivan muuta kuin oma desimaali-lukumme 0,1, joka on yhtä suuri kuin 1/10. Kun muutat 2-järjestelmän luvut 0,1 kymmenjärjestelmään, saat tulokseksi 0,5 eli 1/2. Tämä näkyy alla olevassa kuvassa, joka kuvaa 2järjestelmän luvun 0,1 muuntamista 4-järjestelmään. Voit syöttää tiedot koneeseen ja tarkistaa tuloksen. Muunnoskoneen tuloksesta tiedämme, että 0,12 = 0,24. Murtolukuina viereisestä kuvasta toteamme saman asian 1/2 = 2/4. Kokeile kuitenkin luvulla 0,112, jonka olen asettanut valmiiksi alempaan kuvaan. Koska saat kuvasta yhteenlaskun 1/2 + 1/4, laske tulos päässäsi (tai paperilla) ja päättele, minkä luvun kone antaa 4-järjestelmään. Päättelysi tuloksen voit tarkistaa koneella. Jatka kokeiluasi esim. niin, että lisäät lähdelukuun uusia ykkösiä. Katso millä tavalla kohdejärjestelmän luku käyttäytyy. Pidä koko ajan mielessäsi, että jokainen mihin tahansa paikkajärjestelmään pilkun oikealle puolelle kirjoitettu luku voidaan aina merkitä murtolukujen summana. Esimerkiksi 10-järjestelmän luku 0,12345 sisältää summan 1/10 + 2/100 + 3/1000 + 4/10 000 + 5/100 000. Mietipä viereisen kuvan avulla, minkä summan sisältää 3-järjetelmän luku 0,213. Pystytkö summan avulla päättelemään, mikä tämä luku on 9-järjestelmässä? Kuvan luvusta tulee suhteellisen helppo murtolukujen yhteenlasku. Jos muunnat tätä lukua luvun kolme ”sukulaisjärjestelmiin” (6-, 12-, 15-, 18-, 21-, 24-, 27-, 30-, 33- ja 36-järjestelmä), huomaat, että aina on tuloksena pilkun jälkeen nopeasti päättyvä luku. Kun kokeilet järjestelmiä, joiden kantaluku on suurempi kuin 10, vastaan tulee uusia kirjainnumeroita, joiden sisällön näet muunnoskoneen yläpuolella olevasta taulukosta. Mielenkiintoiset tulokset saat, kun valitset kohdelukujärjestelmäksi 18, 27 tai 36. Merkitse tulos murtolukuna 10-järjestelmään, niin huomaat, että luku supistuu 7/9:ksi. Huomaa, että 27-järjestelmässä pilkun jälkeen ei ole numero 1, vaan kirjainnumero l. Jos kokeilet muilla kuin ”sukulaisjärjestelmillä”, huomaat että aina toistuu pilkun jälkeen lyhyempi tai pitempi numerosarja. Erittäin mielenkiintoiset tulokset saat, kun kohdelukujärjestelmänä on 10, 19 tai 28. Viimeksi mainitussa toistuu kirjainnumero l, eikä numero 1. Varsinkin näistä viimeksi mainituista kokeiluista on hyvin lyhyt hyppäys lähteä tutkimaan myös geometrisia sarjoja, mikä aiheena on hyvin kiehtova. Päättymätöntä geometrista sarjaa olen käsitellyt kirjassa sivuilla 100 ja 170-171. Edellä olevat esimerkit valaisevat aihetta vain hyvin suppeasti. Kokeilemalla löydät koko ajan uusia tutkimusaiheita. Tällainen löytöretkeily kuuluu olennaisesti matematiikan luonteeseen. 8 Ovatko laskutoimitukset oppilaille sisällöllisesti selvät? Kirjan alkusivuilla (s. 18 -) pyrin selvittämään helppotajuisesti laskutoimitusten sisältöä. Yhteen- ja kertolasku lienevät helpoimmin käsitettävät, mutta sekä vähennyslasku että jakolasku sisältävät piirteitä, jotka eivät käsitteellisesti ole edes lähellä laskutoimituksen nimitystä. Vähennyslasku (ja myös sana erotus) tuo aika selvästi mieleen vähenemisen tai sen, että jostakin erotetaan osa erilleen. Jakolasku taas antaa mielikuvan karamellien, kakun tai jonkin muun asian jakamisesta. Ja toki nämä edellä mainitut ominaisuudet liittyvät näihin laskutoimituksiin. Mutta kun on kysymys kahden asian vertaamisesta, vähentäminen tai erilleen erottaminen eivät käsitteellisesti olekaan enää lähellä laskutoimituksen nimitystä. Vähennyslaskun kaksinaisuutta yritän lyhyesti selvittää sivuilla 21–22. Jakolaskua selvittelen sivuilla 22–28. Kirjassa kerron, että opetustyössäni otin käyttöön kaksi erilaista jakomerkkiä, jotta voisin havainnollistaa paremmin jakolaskun kaksinaisuuden. Lisäksi käytin nimitysten ositusjako ja sisältöjako tilalla omatekoisia nimityksiä varsinainen jakaminen ja jatkuva erotus. Näin sain ehkä oppilaille hiukan paremmin selvitettyä jakolaskun ominaisuuksia. Uskallan olettaa, että oppilaat ratkaisevat monet sanalliset tehtävät huomattavasti helpommin, jos heille on pystytty selvittämään riittävästi laskutoimitusten olemus, ja he ovat asian sisäistäneet. Sanallisista tehtävistä Opettajaurani aikana melko usein joko oppilas tai oppilaan vanhemmat kysyivät, voisinko antaa tukiopetusta sanallisten tehtävien ratkaisemisesta. Ehkä olet törmännyt samaan kysymykseen. Yleensä en tähän suostunut. Yritin selvittää vanhemmille, että ajan ja kokemusten karttumisen myötä lapsen matemaattinen ajattelu kypsyy, jolloin hän oppii näkemään asiayhteyksiä selkeämmin ja sitä kautta valmiudet sanallistenkin ongelmien ratkaisemiseen vahvistuvat. Tärkeitä asioita näiden valmiuksien vahvistumisessa olisivat mm, seuraavat: - Kaiken perustana on myönteinen asenne opiskeluun yleensä. - Positiivinen ja utelias suhtautuminen matematiikkaan ja yleensäkin uusien asioiden löytämiseen. Ongelmana vain on, miten tähän päästään, jos lapsi kokee matematiikan vastenmieliseksi pakkopullaksi. Tässä on todellinen haaste vanhemmille ja opettajille. Teokseni ”Löytöretkiä …” voisi olla tässä apuna. - Päättelykyvyn harjoittaminen (ja myös päässälaskujen harjoitteleminen) antaa pikku hiljaa varmuutta ongelmien ratkaisuavainten löytymiseen. Päättelykykyä kannattaa aina harjoitella esim. vastauksen suuruusluokan tarkastelussa. - Matematiikan perusasioiden (ikä huomioiden) hallinta on tärkeä. Tähän liittyy mm. aikaisemmin mainittu laskutoimitusten olemuksen ymmärtäminen ja sisäistäminen. - Matematiikan tarjoamien muiden välineiden (esim. verranto) hyödyntäminen. - Hyvä ja erittäin tärkeä keino on, että oppilas yrittää aina piirtää ongelmasta kuvan, jos se vain on mahdollista. Yleensä on. - Jokapäiväisen arkielämän pikku ongelmia voi tarkastella matemaattisesti. Konkreettisia esimerkkejä löytyy autolla ajamisesta, retkeilystä ym., kaupassa käynnistä puhumattakaan. Näitä mahdollisuuksia vanhempien kannattaisi hyödyntää. Laskutoimitusalgoritmeista Taskulaskin on tullut jäädäkseen, ja se on todella hyvä apuväline jokapäiväisessä elämässä. Hyvin harva suorittaa aikuisena laskutoimituksia kynällä ja paperilla, koska kännykkääkin voi tarvittaessa käyttää laskimena. Mutta laskin ei saa vallata liian tärkeätä osaa lasten matematiikan opiskelussa, ennen kuin algoritmit on kunnolla omaksuttu. Algoritmien merkitys ei ole pelkästään siinä, että lapsi oppii mekaanisesti jonkun laskutoimituksen, jotta sitä voisi sitten tarvittaessa käyttää myöhemminkin. Merkitys on pikemminkin siinä, että algoritmeja harjoitellessaan lapsi käsittelee lukuja ja harjaannuttaa myös koko prosessin ajan matemaattista ajatteluaan. 9 Rohkenen väittää, että edelleen on hyvin tärkeätä – laskimista ja tietokoneista huolimatta – että lapset oppivat hyvin neljän peruslaskutoimituksen algoritmit. Villi ehdotus. Kirjassani esittelen sivulla 30 vähennyslaskualgoritmin, jossa ei tarvita ollenkaan lainaamista, ei edes hankalaa nollan yli lainaamista. Löysin tähän algoritmin vasta eläkkeelle siirryttyäni, joten omille oppilailleni tätä en ehtinyt opettaa. Valitettavasti. Vasemmalla on laskettu vähennyslasku perinteisen algoritmin musesti. Oikealla on sama tehtävä kirjassa esitetyllä algoritmilla. Kun tät oikealla olevasta kuvasta nuo ohjenuolet pois, huomaat miten jon siistimmin ja helpommin siinä tulos saadaan. Vasemmalla puolella virheitä voi syntyä paljon helpommin. kaipeipal- Vaikka nykyinen algoritmi varmasti puoltaa paikkaansa siinäkin mielessä, että se pakottaa lapsen keskittyneeseen ajatteluun, uskallan ehdottaa, että kouluissa otettaisiin käyttöön esittelemäni malli. Uskallan tehdä vielä rohkeamman ehdotuksen sillä perusteella, että tunnen riittävän huonosti ensimmäisen ja toisen luokan matematiikan kirjoja: Tämä esittelemäni algoritmi kannattaisi opettaa jo ekaluokalla sen jälkeen, kun on riittävästi opiskeltu kymppipareja ja tutustuttu perusteellisesti vähennyslaskuihin lukualueella 0–10. Vähennyslaskun perusteellinen opettaminen merkitsisi sitä, että ekaluokalla pyrittäisiin riittävin harjoituksin selvittämään myös vähennyslaskun molemmat puolet (vähentäminen ja vertaaminen). Tästä olisi etua, kun oppilaat myöhemmin ratkovat niihin liittyviä sanallisia tehtäviä. Jos luvut ovat lähellä toisiaan, vastaus etsitään mieluummin vertaamalla. Kun luvut ovat kaukana toisistaan, käytettäisiin vähentämistä. Koska liikutaan lukualueella 0–10, hankalia vähennyslaskuja ei vielä olisikaan. Runsas harjoittelu antaa tulokseksi sen, että oppilas oppii huomaamattaan ”vähennyslaskutaulut” lukualueella 0–10. Yhteenlasku saisi alussa jäädä vähennyslaskun ”jalkoihin”. Toki yhteenlaskuakin voi ja pitää harjoitella helpoilla luvuilla, mutta harjoitteiden avulla pyrittäisiin saamaan ensiksi kymppiparit ja vähennyslasku vahvaan hallintaan. Kun sitten vielä otetaan ohjelmaan tämä erilainen algoritmi, jossa vaikeatkin tehtävät ratkeavat helpoilla yksittäisillä vähennyslaskuilla ja kymppiparien löytämisellä, nämä edellä olevat kaksi perusasiaa on saateltu onnellisesti oppilaan selkäytimeen. Tämän pääoman turvin yhteenlaskutkin omaksutaan vaivatta, ja on helppo siirtyä hiukan hankalampiin päässä suoritettaviin yhteen- ja vähennyslaskuihin. Tämän villin ehdotuksen saatte vapaasti ampua lennosta alas, jos ampuminen tuntuu mukavalta. Koska minulla todella ei ole kokemusta alkuluokilta, älä liian hanakasti lähde minun kehotuksestani esittämääni kokeiluun, mutta tästäkin asiasta pitäisi voida ainakin keskustella. ”Vierailu Intiaan”. Sivulla 70 esittelen vanhan intialaisen kertolaskualgoritmin, jonka opettaja voi ottaa kuriositeettina mukaan omaan opetukseensa. Toki se on malli, johon oppilaat saattavat innostuakin, kun ei tarvitse kertolaskua suorittaessa pähkäillä muistinumeroiden kanssa. Laskualgoritmeihin liittyen suosittelen tutustumista sivulla 65 esiteltyyn hassuun tapaan tarkistaa laskutoimituksia. Edellä olikin jo maininta, että tämä tapa perustuu luvun 9 jaollisuussääntöön. Lapset ovat luonnostaan kiinnostuneet tällaisista erikoisuuksista, ja niiden avulla yleinen mielenkiinto matematiikkaakin kohtaan lisääntyy. Kun opettaja sitten vielä sopivassa yhteydessä kertoo, mihin salaisuus perustuu, kasvaa myös oppilaiden matemaattinen tietämys. Asioita, joita kirjassa ei käsitellä ollenkaan Koska en ole useaan vuoteen lueskellut matematiikan opetussuunnitelmia enkä myöskään selaillut oppikirjoja, en osaa tehdä täydellistä luetteloa niistä asioista, joita oppikirjoissa opetetaan alaluokilla, mutta joita en ole kirjassani käsitellyt. Koska kirjani on nimensäkin mukaan tietynlainen retkikirja, ei siinä ole ollut tarkoituskaan käsitellä kaikkea mahdollista. Olen kuitenkin pyrkinyt siihen, että etenkin kaikki kirjan Perusosassa käsitellyt asiat ovat keskeisiä matematiikan opiskelun kannalta. Lisäksi olen pyrkinyt löytämään asioihin oppikirjoista poikkeavan lähestymistavan. Kirjan käyttäjä lopulta arvioi, miten olen siinä onnistunut. 10 Kaikkien mahdollisten asioitten esille ottaminen ei tietenkään ole kirjassani edes tarpeellista. Totean kirjan alkusanoissa mm. näin: ”Kuitenkin haluan painokkaasti todeta, että matematiikan luja pohja luodaan nimenomaan olemassa olevien oppikirjojen avulla ja opettajien kärsivällisellä työllä sekä vanhempien kannustuksella. Toivon, että kirja toimisi oppikirjojen rinnalla opettajien ja vanhempien työn tukena ja innostajana.” Lähinnä tulee mieleen seuraavat asiat, joita kirjassa ei käsitellä: - aikalaskut - laskutoimitusten suoritusjärjestys - erilaiset ”piirakat” ja muut diagrammit - useat geometriaan liittyvät asiat Geometriassa olisi paljonkin mielenkiintoisia aiheita, joita olisi ollut mukava ottaa kirjaan mukaan, mutta Internetistäkin löytää todella hienoja ja havainnollisia geometriaan liittyviä sivuja. Lähinnä tämän tähden jätinkin geometrian aika vähälle. Haastan kuitenkin oppilaat (tai kenen tahansa kirjan käyttäjän) sivulla 143 kanssani kulmien mittauskilpailuun. Ohi kirjan ja opetussuunnitelmien Kerhoja pitäisi olla kouluissa runsaasti. Kysymys on tietenkin resursseista, joita joudutaan pikemminkin vain puristamaan entistä ahtaammiksi. Jos kerhoihin annetaan mahdollisuuksia, niitä pitäisi ehdottomasti saada myös matematiikkaan. Kirjan sivulla 121 on kerrottuna eräs ”projekti”, jonka toteutin aikanaan pitämässäni matematiikkakerhossa. Uskallan kirjan esipuheessa väittää, että kirja tarjoaa materiaalia noin sataan kerhokertaan. Matemaattisesti lahjakkaat ja matematiikasta innostuneet lapset saavat kyllä omatoimisestikin irti kirjasta jännittäviä asioita, mutta yhdessä kokeminen olisi varmasti hauskempaa. Vaikka kerhoihin ei olisi mahdollisuuksia, ja vaikka matematiikan viikkotuntimäärä ei anna riittäviä resursseja siihen, että oppitunneilla voisi valottaa matematiikan maailmaa oppilaille kaikessa viehättävyydessään ja jännittävyydessään, haluaisin kuitenkin rohkaista alaluokkien opettajia pikku ”kapinaan” ohi oppikirjan ja opetussuunnitelman. Kun opettaja uskaltautuu pienille matemaattisille ”harharetkille”, matematiikan suosio saattaa hetkessä revähtää uusiin lukemiin. Mahdollisuuksia on rajattomasti, ja niihin kirjani pyrkii antamaan vinkkejä. Seuraava esimerkki, jota ei voi pitää harharetkenä, löytyy Pulmanurkasta. Kun neljännellä luokalla on opiskeltu kertolasku allekkain yksinumeroisella kertojalla, opettaja kirjoittaa taululle luvun 142857 ja antaa eri jonoille/ ryhmille tehtävän siten, että yksi ryhmä kertoo luvun 2:lla, toinen 3:lla, aina 7:ään saakka. Sillä aikaa, kun lapset laskevat, opettaja kirjoittaa taululle: 2 ∙ 142857 = 3 ∙ 142857 = 4 ∙ 142857 = 5 ∙ 142857 = 6 ∙ 142857 = 7 ∙ 142857 = Jokaisen ryhmän edustaja kirjoittaa vastauksen taululle. Jos tehtävät on laskettu oikein, lapset havaitsevat nopeasti jotakin kummallista. Tästä ainakin opettaja voi innostua tutkimaan tarkemmin ”taikalukuja” kirjan sivulta 223 alkaen. Lukujen mystinen maailma voi olla todella yllättävä. Pulmanurkassa on useassa kohdassa koottuna ”Lukujen kummajaisia” (s. 217, s. 224 ja s. 227 ). Osassa ”taikuus” selviää aika helposti, mutta joissakin kohdissa on vain ihmeteltävä. 11 Luvun jaollisuus ja taikakertoimet. Palataan vielä hiukan jaollisuussääntöihin. Korostaisin niiden osaamisen merkitystä lähes yhtä paljon kuin kertotaulujenkin täydellistä hallintaa. Jaollisuussääntöjä olen käsitellyt perinpohjaisesti sivuilla 59–64. Monen asian ymmärtäminen helpottuu huomattavasti, kun jaollisuussäännöt ovat niin hyvin mielessä, että pystyy suuremmitta vaivoitta toteamaan, millä luvuilla tutkittava luku on jaollinen. Sopiva testitehtävä on kirjan sivulla 64. Jos oppilas ratkaisee sujuvasti tuon testitehtävän ja pystyy omatoimisesti laatimaan jaollisuussäännön vaikkapa luvuille 15, 18 ja 90, hän on sisäistänyt jaollisuussäännöt todella hyvin. Tähän saakka jaollisuudessa ei ole mitään taikuutta. Termi taikakerroin on minun keksintöni. Se oli pakko ottaa käyttöön, kun luvun 7 jaollisuussääntö (s. 58) avasi aivan uusia näköaloja lukujen maailmaan. Jos mahdollisuuksia löytyy, opettaja voi viedä oppilaat aika jännittäville ”harharetkille” MATIKKAEKSPERTTIEN sivuilla 194–196. Kun siellä kerrotaan, miksi luvuilla 2 ja 5 ei voi olla taikakerrointa, poraudutaan aiheeseen vielä syvällisemmin. Tässä voin todeta, että 10järjestelmän luvuilla, joissa on tekijänä 2 tai 5 (2 • 5 = 10), ei voi olla taikakerrointa. Ja yleisesti voidaan sanoa, että n-järjestelmän sellaisella luvulla, joka sisältää yhdenkin luvun n tekijän, ei voi olla taikakerrointa. Näitä taikakerroinasioita on mukava tutkia sivun 195 alareunan laatikossa annetussa Internet-osoitteessa http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/linear.html. Katso tarkemmat käyttöohjeet tuosta laatikosta. Voit tehdä ihan mielenkiintoisia havaintoja. Vektorit kuuluvat varsinaisesti peruskoulun ylempien luokkien ja lukion oppimäärään, mutta jos opettaja suinkin löytää sopivan ajan, niin jo kolmannella (ja vaikkapa toisellakin) luokalla voi niitä ottaa askartelunomaisesti esiin, kuten olen kertonut kirjassa sivulla 82. Tutustuminen voi jäädä pelkkien ”tulitikkuleikkien” tasolla, mutta aihetta voi halutessaan syventää hienoksi matematiikaksi oppilaiden kiinnostuksen mukaan. Vektoreista saa irti hyvinkin runsaasti haastavia aiheita, jotka ovat alaluokkalaisillekin täysin mahdollisia. Vektoreita olen tarkastellut sivuilla 82–84 ja vielä syvällisemmin sivuilla 203–207. Lukusuora on esillä matematiikan kirjoissa alaluokilla, mutta en ole varma, osataanko sen mahdollisuuksia hyödyntää riittävästi. Tätä aihetta olen käsitellyt kirjassa sivuilla 77–81. Koordinaatisto on sellainen alusta, joka pitäisi opettaa jo alaluokilla kolmannelta alkaen oppilaille niin, että kaikki neljännekset ovat mukana. Koordinaatiston mahdollisuuksia selvittelen sivuilla 85–92. Sivulla 86 oppilaat saavat tehdä matemaattisen löydön, joka osoittautuu tärkeäksi Pascalin kolmioksi. Pascalin kolmiota tarkastellaan sivulla 150. Näille ”harharetkille” löytyy kirjasta tavattoman paljon materiaalia. Sitä löytyy jonkin verran kirjan perusosastakin. MATIKKAEKSPERTEISSÄ aineistoa on kautta linjan. Nostaisin sieltä opetuksen kannalta merkittävänä osiona esiin aiheen ”Tarvitaanko kaavaviidakkoa kappaleiden tilavuuslaskuissa?” (s. 182). Roomalaiset luvut selvitän melko perusteellisesti sivuilla 197–200. Uskallan sanoa, että alaluokkienkin opettajan kannattaa kahlata Matikkaekspertit tarkasti läpi. Monissa Pulmanurkan aiheissa on myös tiettyä jännitystä. Oman mielenkiintoisen maailman siellä muodostavat ns. taikaneliöt (s. 218), joihin olin innostunut jo pikkupoikana. Tässä on turha luetella kaikkea sitä, mitä Pulmanurkka sisältää. Se on hyvin kirjava kokoelma. Kovimmat haasteet kirjassa Olen pyrkinyt kirjoittamaan kirjan niin, että matematiikasta innostunut ja siinä pärjäävä oppilas pystyy omatoimisestikin tekemään hyvin nuorena tosi haasteellisia ja vaikeita retkiä matematiikan mielenkiintoiseen maisemaan. Haasteet ovat joissakin kohdin niin vaativia, että niistä riittäisi aineksia yläluokkienkin matematiikkakerhoille, jolloin niitä voisi pohtia ja selvittää yhdessä kavereiden kanssa. Ystävämme Pythagoras. Tässä emme voi puhua älyllisesti kovin vaikeasta haasteesta, mutta itse Pythagoraan lauseen todistaminen palapelien avulla suorastaan kutkuttaa ”matemaattista makuaistia”. Sivuilla 187– 191 asiaa on ensin avattu askartelulla ja sitten matematiikalla. Kerholaiset varmasti innostuisivat aiheesta. 12 Fibonaccin lukusarja ja kultainen leikkaus. Aihetta käsittelen sivulta 151 alkaen. Voin sanoa, että nämä sivut olen kirjoittanut suorastaan häkeltyneenä siitä, minkälaista kauneutta, harmoniaa ja syvyyttä yksinkertaiset luvut ja lukujen suhteet voivat pitää sisällään. Hämmästellen voi todeta, miten luontokin on tulvillaan Fibonaccin lukusarjaan ja kultaiseen leikkaukseen liittyviä asioita. Kultainen leikkaus matemaattisena suhteena on tämän osan haastavin asia. Fibonaccin lukusarjaa ja Kultaista leikkausta käsittelee mielenkiintoisella tavalla tunnettu taidegraafikko Kimmo Pälikkö omilla sivuillaan: http://www.kp-art.fi/taustaa/taustaa2/44.htm. Tähän aiheeseen liittyvät myös Pulmanurkan alussa (s. 216) olevat mystiset ruudukot. Kurkistus pilkun taakse muissa lukujärjestelmissä tarjoaa aivovoimistelua yllin kyllin. Retki pilkun taakse muissa järjestelmissä (s. 164–167) tarjoaa seikkailun lisäksi yllättäen syventävän sukellusretken myös murtolukujen maailmaan. Tässä yhteydessä en voi olla mainostamatta Matikkaretkien sivuilla olevaa muunnoskonetta, jolla voi tutkia lukuja, joihin sisältyy pilkku, muissa lukujärjestelmissä ja muuntaa niitä toisiin järjestelmin. Tämä muunnoskone, jonka esittelin jo sivulla 7 ja jolle ei helposti löydä vertaista muualta Internetistä, on linkissä http://www.matikkaretket.fi/index.php?id=16. Päättymätön geometrinen sarja (s. 170–171) on alaluokkien oppilaalle raju haaste, mutta jos siihen pääsee sisälle, ei varmasti retkelle lähteminen kaduttanut. Se valottaa nimittäin hyvin jännittävällä tavalla desimaalija murtolukujen maailmaa. Kapprekarin ja Hailstonen luvut sekä Moessnerin löytö (s. 208–210) ovat esimerkkejä siitä, miten matematiikan leikeissä ”isot pojat” löytävät yllättäviä asioita. Hailstonen luvuilla on mahdollista leikkiä vaikkapa tässä linkissä http://www.rickdicks.com/hscalc.php. ************************************** Itse pidin todella paljon matematiikan opettamisesta. Toivon, että sinäkin jaksat säilyttää innon ja tutkivan mielen. Kyllä oppilas vaistoaa herkästi, kiinnostaako matematiikka opettajaa, vai opettaako opettaja sitä vain leipätyönään. Toivotan voimia ja menestystä haasteellisessa ja erittäin arvokkaassa opettajan työssä. Ja mikäli et ole opettaja, toivotan sinulle antoisia retkiä matematiikan mielenkiintoiseen maailmaan. 13