Vektoreiden laskutoimitukset (kalvot
Vektoreiden laskutoimitukset Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yhteenlasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b summa ~a + ~b • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 8 Yhteenlasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b summa ~a + ~b • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori ~a ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 8 Yhteenlasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b summa ~a + ~b • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori ~a ~b ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 8 Yhteenlasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b summa ~a + ~b • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori ~a ~b ~a + ~b ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 8 Yhteenlaskun ominaisuudet • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet 1. ~ a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki) • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 8 Yhteenlaskun ominaisuudet • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 1. ~ a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki) 2. ~ a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (liitäntälaki) skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 8 Yhteenlaskun ominaisuudet • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla 1. ~ a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki) 2. ~ a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (liitäntälaki) 3. ~ a + ~0 = ~a (neutraalialkio) • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 8 Yhteenlaskun ominaisuudet • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori 1. 2. 3. 4. Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki) ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (liitäntälaki) ~a + ~0 = ~a (neutraalialkio) ~a + (−~a) = ~0 Lahden Lyseon lukio – 3 / 8 Vähennyslasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b) • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 8 Vähennyslasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b) • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori ~a ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 8 Vähennyslasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b) • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori −~b ~a ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 8 Vähennyslasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b) • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori −~b −~b ~a ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 8 Vähennyslasku • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektoreiden ~ a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b) • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori ~a + Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a ~b ~a − ~b ~b) = (− −~b −~b Lahden Lyseon lukio – 4 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b C A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a B Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b C A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a B Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b ~b C A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a B Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b ~b C A ~a B −→ −− → −−→ AC = AB + BC = ~a + ~b Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b C A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a B Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b C A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a B Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla −− → −−→ ~ Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~ a ja AD = b. −→ −−→ a ja ~b Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~ avulla. • Yksikkövektori D ~b C A ~a B −−→ −−→ −−→ BD = BA + AD = −~a + ~b = ~b − ~a Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ~a ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 2~a skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ~a ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 2~a skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ~a ominaisuudet 2~a • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori 2 ~a 3 Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ~a ominaisuudet 2~a • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 2 ~a 3 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ~a ominaisuudet 2~a • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 2 ~a 3 1 − ~a 3 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ~a ominaisuudet 2~a • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 2 ~a 3 1 − ~a 3 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Vektorin kertominen skalaarilla ~a • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet 2~a • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori 2 ~a 3 1 − ~a 3 Olkoon t ∈ R, t 6= 0, ~ a 6= ~0. Silloin t~a on vektori, jolle on voimassa: t~a:n pituus |t~a| = |t||~a|, t~a ⇈ ~a, jos t > 0 ja t~a ↑↓ ~a, jos t < 0. Jos t = 0 tai ~ a = ~0, niin t~a = ~0. Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla C ~b • Yksikkövektori b b Q A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 P ~a B Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla C ~b • Yksikkövektori b b Q A Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 P ~a B Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla C ~b • Yksikkövektori b Q A b P B −−→~a −−→ P Q = P C + CQ = Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla C ~b • Yksikkövektori b Q A b P B −−→~a −−→ 1 −−→ 1 −→ P Q = P C + CQ = BC + CA = 2 2 Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla C ~b • Yksikkövektori b Q A b P B −−→~a −−→ 1 −−→ 1 −→ 1 P Q = P C + CQ = BC + CA = (−~a + ~b) − 2 2 2 Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 1~ b 2 Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Esimerkki • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet • Vähennyslasku • Vektorin kertominen −− → −→ ~ Kolmiossa ABC on AB = ~ a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q −−→ a ja ~b avulla. sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~ skalaarilla C ~b • Yksikkövektori b Q A b P B −−→~a −−→ 1 −−→ 1 −→ 1 P Q = P C + CQ = BC + CA = (−~a + ~b) − 2 2 2 Johtopäätös? Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 1 1~ b = − ~a 2 2 Lahden Lyseon lukio – 7 / 8 Yksikkövektori • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektorin ~ a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on • Vähennyslasku • Vektorin kertominen skalaarilla • Yksikkövektori Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a 1 ~a = . ~a = |~a| |~a| 0 Lahden Lyseon lukio – 8 / 8 Yksikkövektori • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektorin ~ a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on ~a 1 ~a = . ~a = |~a| |~a| • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 0 skalaarilla • Yksikkövektori Esimerkki. Mikä on vektorin ~ a yksikkövektori? Mikä on vektorin ~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu on yksi yksikkö. Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 ~a Lahden Lyseon lukio – 8 / 8 Yksikkövektori • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektorin ~ a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on ~a 1 ~a = . ~a = |~a| |~a| • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 0 skalaarilla • Yksikkövektori Esimerkki. Mikä on vektorin ~ a yksikkövektori? Mikä on vektorin ~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu on yksi yksikkö. ~a |~a| = Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 8 Yksikkövektori • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektorin ~ a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on ~a 1 ~a = . ~a = |~a| |~a| • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 0 skalaarilla • Yksikkövektori Esimerkki. Mikä on vektorin ~ a yksikkövektori? Mikä on vektorin ~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu on yksi yksikkö. ~a √ √ 2 2 |~a| = 6 + 4 = 52 Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 8 Yksikkövektori • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektorin ~ a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on ~a 1 ~a = . ~a = |~a| |~a| • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 0 skalaarilla • Yksikkövektori Esimerkki. Mikä on vektorin ~ a yksikkövektori? Mikä on vektorin ~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu on yksi yksikkö. ~a √ √ 2 2 |~a| = 6 + 4 = 52 ~a0 = Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 8 Yksikkövektori • Yhteenlasku • Yhteenlaskun ominaisuudet Vektorin ~ a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on ~a 1 ~a = . ~a = |~a| |~a| • Vähennyslasku • Vektorin kertominen 0 skalaarilla • Yksikkövektori Esimerkki. Mikä on vektorin ~ a yksikkövektori? Mikä on vektorin ~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu on yksi yksikkö. ~a √ √ 2 2 |~a| = 6 + 4 = 52 1 0 ~a = √ ~a 52 Hannu Lehto 9. elokuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 8
© Copyright 2024