Vektoreiden laskutoimitukset (kalvot

Vektoreiden laskutoimitukset
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
Yhteenlasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b summa ~a + ~b
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 8
Yhteenlasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b summa ~a + ~b
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
~a
~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 8
Yhteenlasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b summa ~a + ~b
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
~a
~b
~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 8
Yhteenlasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b summa ~a + ~b
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
~a
~b
~a + ~b
~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 8
Yhteenlaskun ominaisuudet
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
1. ~
a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki)
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 8
Yhteenlaskun ominaisuudet
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
1. ~
a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki)
2. ~
a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (liitäntälaki)
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 8
Yhteenlaskun ominaisuudet
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
1. ~
a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki)
2. ~
a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (liitäntälaki)
3. ~
a + ~0 = ~a (neutraalialkio)
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 8
Yhteenlaskun ominaisuudet
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
1.
2.
3.
4.
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a + ~b = ~b + ~a (vaihdantalaki)
~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (liitäntälaki)
~a + ~0 = ~a (neutraalialkio)
~a + (−~a) = ~0
Lahden Lyseon lukio – 3 / 8
Vähennyslasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b)
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 8
Vähennyslasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b)
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
~a
~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 8
Vähennyslasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b)
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
−~b
~a
~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 8
Vähennyslasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b)
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
−~b
−~b
~a
~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 8
Vähennyslasku
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektoreiden ~
a ja ~b erotus ~a − ~b = ~a + (−~b)
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
~a +
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
~b
~a −
~b
~b) =
(−
−~b
−~b
Lahden Lyseon lukio – 4 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
C
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
C
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
~b
C
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
~b
C
A
~a
B
−→ −−
→ −−→
AC = AB + BC = ~a + ~b
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
C
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
C
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
−−
→
−−→ ~
Nelikulmio ABCD on suunnikas. Olkoon AB = ~
a ja AD = b.
−→ −−→
a ja ~b
Määritä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD vektoreiden ~
avulla.
• Yksikkövektori
D
~b
C
A
~a
B
−−→ −−→ −−→
BD = BA + AD = −~a + ~b = ~b − ~a
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
~a
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
2~a
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
~a
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
2~a
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
~a
ominaisuudet
2~a
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
2
~a
3
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
~a
ominaisuudet
2~a
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
2
~a
3
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
~a
ominaisuudet
2~a
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
2
~a
3
1
− ~a
3
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
~a
ominaisuudet
2~a
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
2
~a
3
1
− ~a
3
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Vektorin kertominen skalaarilla
~a
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
2~a
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
2
~a
3
1
− ~a
3
Olkoon t ∈ R, t 6= 0, ~
a 6= ~0. Silloin t~a on vektori, jolle on voimassa:
t~a:n pituus |t~a| = |t||~a|,
t~a ⇈ ~a, jos t > 0 ja t~a ↑↓ ~a, jos t < 0.
Jos t = 0 tai ~
a = ~0, niin t~a = ~0.
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
C
~b
• Yksikkövektori
b
b
Q
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
P
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
C
~b
• Yksikkövektori
b
b
Q
A
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
P
~a
B
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
C
~b
• Yksikkövektori
b
Q
A
b
P
B
−−→~a −−→
P Q = P C + CQ =
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
C
~b
• Yksikkövektori
b
Q
A
b
P
B
−−→~a −−→
1 −−→ 1 −→
P Q = P C + CQ = BC + CA =
2
2
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
C
~b
• Yksikkövektori
b
Q
A
b
P
B
−−→~a −−→
1 −−→ 1 −→ 1
P Q = P C + CQ = BC + CA = (−~a + ~b) −
2
2
2
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
1~
b
2
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Esimerkki
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
−−
→
−→ ~
Kolmiossa ABC on AB = ~
a ja AC = b. Piste P on sivun BC ja Q
−−→
a ja ~b avulla.
sivun AC keskipiste. Esitä vektori P Q vektoreiden ~
skalaarilla
C
~b
• Yksikkövektori
b
Q
A
b
P
B
−−→~a −−→
1 −−→ 1 −→ 1
P Q = P C + CQ = BC + CA = (−~a + ~b) −
2
2
2
Johtopäätös?
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
1
1~
b = − ~a
2
2
Lahden Lyseon lukio – 7 / 8
Yksikkövektori
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektorin ~
a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
skalaarilla
• Yksikkövektori
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
1
~a =
.
~a =
|~a|
|~a|
0
Lahden Lyseon lukio – 8 / 8
Yksikkövektori
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektorin ~
a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on
~a
1
~a =
.
~a =
|~a|
|~a|
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
0
skalaarilla
• Yksikkövektori
Esimerkki. Mikä on vektorin ~
a
yksikkövektori? Mikä on vektorin
~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu
on yksi yksikkö.
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
~a
Lahden Lyseon lukio – 8 / 8
Yksikkövektori
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektorin ~
a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on
~a
1
~a =
.
~a =
|~a|
|~a|
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
0
skalaarilla
• Yksikkövektori
Esimerkki. Mikä on vektorin ~
a
yksikkövektori? Mikä on vektorin
~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu
on yksi yksikkö.
~a
|~a| =
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 8
Yksikkövektori
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektorin ~
a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on
~a
1
~a =
.
~a =
|~a|
|~a|
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
0
skalaarilla
• Yksikkövektori
Esimerkki. Mikä on vektorin ~
a
yksikkövektori? Mikä on vektorin
~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu
on yksi yksikkö.
~a
√
√
2
2
|~a| = 6 + 4 = 52
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 8
Yksikkövektori
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektorin ~
a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on
~a
1
~a =
.
~a =
|~a|
|~a|
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
0
skalaarilla
• Yksikkövektori
Esimerkki. Mikä on vektorin ~
a
yksikkövektori? Mikä on vektorin
~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu
on yksi yksikkö.
~a
√
√
2
2
|~a| = 6 + 4 = 52
~a0 =
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 8
Yksikkövektori
• Yhteenlasku
• Yhteenlaskun
ominaisuudet
Vektorin ~
a (~a 6= 0) suuntainen yksikkövektori on
~a
1
~a =
.
~a =
|~a|
|~a|
• Vähennyslasku
• Vektorin kertominen
0
skalaarilla
• Yksikkövektori
Esimerkki. Mikä on vektorin ~
a
yksikkövektori? Mikä on vektorin
~a suuntainen vektori, jonka pituus on 3? Koordinaatiston ruutu
on yksi yksikkö.
~a
√
√
2
2
|~a| = 6 + 4 = 52
1
0
~a = √ ~a
52
Hannu Lehto 9. elokuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 8