1. No category

JOHTUMINEN II
Numeerinen ratkaisu
LÄMMÖNSIIRTO
BH20A0450
Kevät 2015
•1
Sisällys
JOHTUMINEN II: Numeeriset menetelmät
• Yleistä
• Differenssimenetelmä
• Tase-(kontrolli-)tilavuusmenetelmä
• Stationääritila 1-D, 2-D
• Epästationäärinen tila 1-D
Esim.: Lämpötilaprofiili
höyrystinputkessa
Korkea lämpötila
Matala lämpötila
Adiabaattinen
symmetria
1
(0)
2
3
4
5
(6)
Vesi
Alumiininen
jäähdytyslevy
Adiabaattinen
symmetria
t + Δt
t
Δt
A
1
i-1 i
2 3
i+1
4 5 B
2
Virtaussimulointi - CFD
Muutos
Säilymisyhtälöiden ratkaisu numeerisesti
Lähde
CFD = Computational Fluid Dynamics
•
CFD-tarkasteluissa käytetyt keskeiset yhtälöt
Massa
Liikemäärä
(x-suunta)
Energia
Yhdisteet
•
Advektio
Johtuminen
d
 dV     v  n dA
dt V
A
d
p



u
dV




v
u



u

n
dA

A
V x dV  V Su dV
dt V
d
h dV     v h  kT  n dA   q dV

dt V
A
V
d
Yi dV    v Yi  i Yi  n dA   S y ,i dV
dt V
A
V
p, u, v, w
T
Yi
Esim. lämmön diffuusioyhtälö saadaan energiayhtälöstä (konvektio = 0).
c p
T   T    T    T 
 k
  k
  k
  q tai
t x  x  y  y  z  z 
d
 c pT dV     kT   n dA   q dV

dt V
A
V
Johtuminen
Muutos
Lähde
3
Lämmön diffuusioyhtälö*
•
Lämmön diffuusioyhtälön yleinen muoto
Karteesiset koordinaatit
c p
T   T    T    T 
 k
  k
  k
  q
t x  x  y  y  z  z 
 Vakio lämmönjohtavuus
c p T
 2T  2T  2T q
 2  2  2 
k t x
k
y
z
1 T  2T  2T  2T q
 2  2  2 
 t x
k
y
z
 Yksiulotteinen ilman lämmöntuotantoa
2T 1 T

2
x
 t
 Analyyttiset ratkaisut yksinkertaisille geometrioille
4
Virtaussimulointimenetelmien päävaiheet
Periaatteet
•
Jatkuva kenttä diskretoidaan
−
•
•
Konstruoidaan solujen ”hila” ja diskreetit
pisteet
−
Muuttujien diskreetteihin arvoihin
perustuvat yhtälöt jokaiselle solulle
Differentiaaliyhtälöt -> algebrallisten
yhtälöiden ryhmä
Ratkaistaan algebralliset yhtälöt
−
−
Yhtälöiden lukumäärä = tuntemattomien
diskreettien arvojen lukumäärä
Ratkaistava matriisiyhtälöt
Esikäsittely
−
−
−
Säilymisyhtälöt kirjoitetaan käyttämällä
likimääräisiä yhtälöitä
−
•
Ohjelmat
•
Ratkaisija
−
•
Geometrian kuvaus
Hilan luominen
Reunaehdot, alkuarvot, valitut
yhtälöt
Numeerinen menetelmä
yhtälöiden ratkaisuun - iteroinnit
Jälkikäsittely
−
−
Tulokset graafisessa muodossa
Tarkastelu
 a1,1
 .

 a i ,1

 .
 .

 a1, 2
.
.
.
.
a i ,i
.
.
.
.
.   1   b1 
.   .   . 
   
.  a i , N   i    b i 
   
.
.  .   . 
. a N , N   N  b N 
.
.
5
CFD-menetelmät
•
•
Useita menetelmiä käytetään virtaussimulointilaskuihin
Yleisimmät menetelmät:
– Tasetilavuus- (kontrollitilavuus-) menetelmä (~80%), (Finite Volume M.)
–
Yleisin virtausmekaniikassa
– Elementtimenetelmä (~15%)
–
•
Yleisin rakennesuunnittelussa
Muut menetelmät (5%):
– Differenssimenetelmä
–
–
Incropera & al.: Tasetilavuus- ja differenssimenetelmien sekoitus
Yleinen aikaisemmin
– Spektriset menetelmät (Spectral Methods)
– Reunaelementtimenetelmä (Boundary Element Method)
– Hila–Boltzmann
6
Työkaluja numeeriseen ratkaisuun
• Taulukkolaskentaohjelmat
− Ohjelmointi jossain määrin mahdollista, esim. EXCEL/Visual Basic
• Matemaattiset ohjelmat
− MATLAB, Mathematica, MATHCAD, ..
• Ohjelmointikielet
− FORTRAN, C/C++, Pascal, Basic, (MATLAB),…
• Ohjelmistopaketit (kaupalliset, avoin lähdekoodi)
– CFD-paketit (ANSYS/FLUENT, CFX, OpenFOAM, …)
7
Differenssimenetelmä
Derivaattojen approksimointi
Taylorin sarjasta
Tarkka derivaatta
1. kertaluku
2. kertaluku
d 1 2 d 2 1 3 d 3
( x  x )  ( x )  x
 x
 x
...
dx 2
dx 2 6
dx 3
<=>
d ( x  x )  ( x ) 1
d 2  1 2 d 3

 x 2  x
...
dx
x
2
dx 6
dx 3
Φ
Ensimmäinen kertaluvun approksimaatio
d ( x  x )  ( x )

 O(x )
dx
x
d 

dx x
Ensimmäisen
kertaluvun
katkaisuvirhe
x-Δx
x
x+Δx
Kahden sarjan erotus
d 1 2 d 2 1 3 d 3
( x  x )  ( x )  x
 x
 x
...
dx 2
dx 2 6
dx 3
d 1 2 d 2 1 3 d 3
( x  x )  ( x )  x
 x
 x
...
dx 2
dx 2 6
dx 3
Toisen kertaluvun approksimaatio
d ( x  x )  ( x  x )

 O(x 2 )
dx
2x
8
Differenssimenetelmä
Derivaattojen approksimointi
x-Δx x
Summataan kaksi sarjaa
d 1 2 d  1 3 d 
 x
 x
...
dx 2
dx 2 6
dx 3
d 1 2 d 2 1 3 d 3
( x  x )  ( x )  x
 x
 x
...
dx 2
dx 2 6
dx 3
( x  x )  ( x )  x
Φ
2
x+Δx
3
d 2 ( x  x )  2( x )  ( x  x )

 O(x 3 )
2
2
dx
x
d 2  ( x  x)  2 ( x)   ( x  x)

dx 2
x 2
Differenssimenetelmän päävaiheet:
1. Ilmiö kuvataan asianmukaisella differentiaaliyhtälöllä.
2.
Kaikki derivaatat yhtälössä korvataan niiden differenssiapproksimaatioilla
jokaisessa diskreetissä pisteessä. Viereisiä pisteitä tarvitaan approksimaatioissa.
3.
Yhtälöryhmä ratkaistaan matriisin kääntämisellä tai iteraatiotekniikoilla.
9
Differenssimenetelmä
Φ
 2T
Esimerkki: 1-ulotteinen lämmönjohtuminen  2  q
x
Piste 3
d 2T ( x3 )
T ( x4 )  2T ( x3 )  T ( x2 )
k

k
 q
dx 2
x 2
Mille tahansa pisteelle i
d 2T ( xi )
T ( xi 1 )  2T ( xi )  T ( xi 1 )
k

k
 q
dx 2
x 2
k
k
2
T
(
x
)

T ( xi 1 )  T ( xi 1 )  q
<=>
i
2
2 
x
x
x-Δx x
x+Δx
d 2  ( x  x)  2 ( x)   ( x  x)

dx 2
x 2
T ( x  0)  T0
1
T ( x  L)  T6
2
3
4
5
(6)
(0)
<=> ai 1T ( xi 1 )  aiT ( xi )  ai 1T ( xi 1 )  q
L
Kirjoitetaan yhtälöt kaikille pisteille
a1,1
 .

0

0
0

 a1, 2
0
.
.
.
a3,3
0
.
0
0
0  T1   b1 
0 0   .   . 
   
. 0  T3   q3 
   
.
. . .
. a5,5  T5  b5 
0
<=>
 A   T    B
    
=>
T  A1B
10
Differenssimenetelmä
2-ulotteinen stationääritilan johtuminen
 2 N  2P  S

2
y
y 2
T
T


q
x 2
y 2
2
2
1)

2)
TE  2TP  TW TN  2TP  TS q


x 2
y 2

y
N
y
<=>
W
P
y
S
 2
1
1
2 
1
1
q
T  2 TW   2  2  TP  2 TN  2 TS 
2 E
x
x
y 
y
y

 x
3)
x
Matriisimuodossa
5 nollasta poikkeavaa
elementtiä jokaisessa
rivissä (yhtälössä)
<=>
 a1,1
 .

 a i ,1

 .
 .

AT  B
 a1, 2
.
.
.
.
a i ,i
.
.
.
.
=>
E
x
x
.   T1   b1 
.   .   . 
   
.  a i , N   Ti    b i 
   
.
.  .   . 
. a N , N  TN  b N 
.
.
T  A1B
11
Tasetilavuusmenetelmä
Pääperiaate
•
Koko tila jaetaan pieniin tasesoluihin = tase-(kontrolli-)tilavuudet.
•
Jokaiselle kontrollitilavuudelle säilymisyhtälö kirjoitetaan integraalimuodossa.
Esim. lämmön johtuminen
d
 c pT dV    kT   n dA   q dV
dt V
A
V
•
Derivaatat ja funktiot yhtälöissä korvataan diskreettien pisteiden likimääräisillä arvoilla.
•
Ratkaistaan yhtälöryhmä (yhtälöiden lukumäärä = tuntemattomien lukumäärä)
12
Tasetilavuusmenetelmä: 1-ulotteinen johtuminen
(Stationääritila)
d
 c pT dV    kT   n dA   q dV
dt V
A
V
w
Integraalimuoto
1)
 q' 'n dA   qdV
A
V
Nettovuo
= Lämmön
pintojen läpi
lähde
''
q
 i  ni Ai  qPVP n e  i
n w  i
i 1
3)
1
2
3
W
P
E
x
2
2)
e
q''e Ae  q''w Aw  qPVP
 dT 
 dT 
A

k

 A  qPV
w
 d x e
 d x w
4)  ke 
(A, V oletetaan vakioiksi)
x
 dT 
q ''w   kw 

 d x w
Derivaattojen approksimaatiot
 d T  TE  TP

 
x
 d x e
 dT 
TP  TW



d
x
x

w
saadaan muoto
5)  ke
T T
TE  TP
A  kw P W A  qPV
x
x
13
Tasetilavuusmenetelmä
1-ulotteinen lämmön diffuusio
6)
w
ke A
kA
k A
k A
TP  e TE  w TP  w TW  qPV
x
x
x
x
1
W
kA
k A
 k A k A
<=>  e  w  TP  e TE  w TW   qPV
x 
x
x
 x
aP
7) =>
aE
ke A k w A

x
x
aE 
2
P
3
E
x
x
aW
aPTP  aETE  aW TW  qPV
aP 
e
1
k A
ke A
aW  w
x
x
8) Yhtälöryhmä luodaan kirjoittamalla
likimääräiset taseyhtälöt kaikille
kontrollitilavuuksille. Tällöin voidaan
ratkaista tuntemattomat lämpötilat.
 a1,1
 a
 2,1
 0

 0
 0

2
x b
x
 a1, 2
a 2, 2
0
 a 2,3
0
0
 a 3, 2
a 3, 3
 a 3, 4
0
 a 4,3
a 4, 4
0
0
 a 5, 4
3
4
5
0   T1   b1 
0  T2  b 2 
   
0  T3    b 3 
   
 a 4,5  T4  b 4 
a 5,5  T5   b 5 
14
Tasetilavuusmenetelmä
Reunaehdot
Vakiolämpötila – (Dirichlet-ehto)
 dT 
TP  TB
qb'' Ab   kb 
A


k
Ab
 b
b
d
x

x

b
b
B
Vuo tunnetaan – (Neumann-ehto)
•
e
b
P
x b
Ei tarvetta approksimaatioille
E
x
qb'' Ab  qb'' Ab
Erikoistapaus: vuo = 0
qb'' Ab  0
Esimerkki: Taseyhtälö tilavuudelle P, jolle
reuna-arvo ja poikkileikkaus ovat vakiot
xb 
x
2
 T T 
 TE  TP 


  ke
 A   k w P B  A  qVP
x
x 

2 

15
1-ulotteinen johtuminen
Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa
A
 25
m
TB = 100 ºC
Esimerkki: Pyöreä tanko, joka on eristetty oikeasta ja vasen
reuna on lämpötilassa 100 °C. Lasketaan lämpötilaprofiili.
Konvektiolämmönsiirtoa tangosta ympäristöön, joka on
1
lämpötilassa 20 °C. L = 1 m ja hP
T∞ = 20 ºC
Eristetty
reuna
qV  hA(T  T )
Ratkaisu: Tanko jaetaan viiteen osaan, Δx = 0,2 m.
Taseyhtälö solulle P on
q''e Ae  q''w Aw  qPVP
w
W
Lämpövuot Fourierin laista
Lineaarisesta differenssiapproksimaatiosta lämpövuolle saadaan
T T
T T
  E P A   P W A  h(TP  T ) Px
x
x
P
x
 dT 
 dT 
 e 
A



 A  qPV
w
d
x
d
x

e

w
1
x b
e
2
E
x
3
4
5
x
Eristetty
reuna
16
1-ulotteinen johtuminen
Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa
•
Muotoillaan uudelleen ja jaetaan λA:lla
w
1
2TP  TW  TE    hP (TP  T )x
x
A
•
P
x
E
x
Lähdetermin lämpötila on tuntematon
=> siirretään vasemmalle
1
1
hP
 2 hP


x TP 
TW 
TE 
T x

x
x
A
 x A 
•
W
e
1
TB
x b
2
3
4
5
x
Taseyhtälöt tilavuuksille 2, 3 ja 4:
Tilavuus 2
1
1
hP
 2 hP


x T2 
T1 
T3 
T x

x
x
A
 x A 
Tilavuus 3
1
1
hP
 2 hP


x T3 
T2 
T4 
T x

x
x
A
 x A 
Tilavuus 4
1
1
hP
 2 hP


x T4 
T3 
T5 
T x

x
x
A
 x A 
17
1-ulotteinen johtuminen
Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa
Tilavuus 1: Vakiolämpötila reunalla

T2  T1
T T
A   1 B A  h (T1  T )Px
x
x
2
Diskretoitu taseyhtälö (jaetaan λA:lla)
Tilavuus 1
TB
2
1
x
x
2
1
hP
2
 3 hP


x T1 
T2 
T x 
TB


x

A

x

A

x


Tilavuus 5: Reuna on eristetty, vuo reunakohdassa on nolla
0
T5  T4
A  h (T5  T )Px
x
Diskretoitu taseyhtälö
Tilavuus 5  1
hP
1
hP


x T5 
T4 
T x

x
A
 x A 
Eristetty
reuna
5
4
x
x
2
18
1-ulotteinen johtuminen
Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa
Kaikki viisi taseyhtälöä kerätään yhteen.
Tilavuus 1
1
hP
2
 3 hP


x T1 
T2 
T x 
TB

x
A
x
 x A 
Tilavuus 2
1
1
hP
 2 hP


x T2 
T1 
T3 
T x


x

A

x

x

A


Tilavuus 3
1
1
hP
 2 hP


x T3 
T2 
T4 
T x


x

A

x

x

A


Tilavuus 4
1
1
hP
 2 hP


x T4 
T3 
T5 
T x

x
x
A
 x A 
Tilavuus 5
hP
1
hP
 1


x T5 
T4 
T x

x
A
 x A 
TB
1
x b
2
3
4
5
 Sijoittamalla parametriarvot
saadaan seuraava matriisiyhtälö.
hP
1
 25
A
m
Δx = 0,2 m
[A]
0
0
 20  5 0
 5 15  5 0
0 

 0  5 15  5 0 


0  5 15  5
0
 0
0
0  5 10 
[T]
[B]
 T1 
T 
 2
 T3 
 
T4 
 T5 
1100
 100 


 100 


 100 
 100 
=
 Yhtälö voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla.
T  A1B
x
19
1-ulotteinen johtuminen
Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa
T∞ = 20 ºC
Ratkaisu EXCEL–laskentataulukkoa käyttämällä
Matriisi
Matrix BB
20
-5
0
0
0
-5
15
-5
0
0
0
-5
15
-5
0
0
0
-5
15
-5
0
0
0
-5
10
Käänteismatriisi
Inverted matrix
0,055285
0,021138
0,008130
0,003252
0,001626
0,021138
0,084553
0,032520
0,013008
0,006504
0,008130
0,032520
0,089431
0,035772
0,017886
0,003252
0,013008
0,035772
0,094309
0,047154
0,001626
0,006504
0,017886
0,047154
0,123577
TB = 100 ºC
Matriisi
Matrix A X
1100
100
100
100
100
-1 -1
Result=A
xBxB
Tulos=A
64,2
36,9
26,5
22,6
21,3
S  h(T  T )
Lämpötilaprofiili
Temperature
profile
120
100
C]
Temperature
[°C]
Lämpötila[deg
Eristetty
reuna
80
FV (5 elementtiä)
60
Tarkka
40
x
0
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
FV/5
100
64,23
36,91
26,50
22,60
21,30
Tarkka
100
68,53
37,87
26,61
22,54
21,22
20
0
0
0,2
Distance, [m]
[m]
Etäisyys
0,4
0,6
0,8
1
20
Tasetilavuusmenetelmä
2-ulotteinen johtuminen
Valitaan ja ilmaistaan solmukohtien sijainti
Kontrollitilavuudet
Vaihtoehto 1
4
8
Kontrollitilavuudet
Vaihtoehto 2
(Incropera & al.)
12
3
3
2
1

7
6
5

6
2-ulotteista indeksointia
käytetään yleisesti 2ulotteisissa tapauksissa,
kun menetelmää
ohjelmoidaan
tietokoneelle.
i,j+1
j+1
j
11
i-1,j
5
1
4
i+1,j
i,j-1
j-1
2
i,j
i-1
i
i+1
10
9
Solmukohdan sijainnin valinta vaikuttaa
ainoastaan yhtälöihin tilan reunakohdassa

Kompassisuuntia
käytetään indeksoinnissa
yleisesti menetelmän
periaatteiden
esittämisessä.
N
W
P
E
S
y
x
21
Tasetilavuusmenetelmä
Stationäärinen 2-ulotteinen johtuminen
Taseyhtälö alueen sisäpuoliselle solulle
Nettojohtuminen = Lähde
1)
 q' 'n dA   qdV
A
2)
V
4
 q  n A  q V
''
i
i 1
i
i
Vuon positiivinen suunta ulospäin
n e  i
nn   j
n w  i
ns   j
•W
5)
•E
•S
y
dT
dT
dT
dT
Ae  k w
Aw  kn
An  k s
As  qV p
dx
dx
dy
dy
 ke
•P
P P
3) q''e Ae  q''w Aw  q''n An  qs'' As  qPVP
4)  ke
•N
 dT 
q ''w   kw 

 d x w
x
T T
T  TP
T T
TE  TP
Ae  k w P W Aw  k n N
An  k s P S As  qV p
x
x
x
x
 qV p
6)
aE
aP
aW
aN
aS
22
Tasetilavuusmenetelmä
Stationäärinen 2-ulotteinen johtuminen
Taseyhtälö alueen sisäpuoliselle solulle
 qV p
 qV p
•N
kA
k A
k A
kA
a P   e e  w w  n n  s s 
x
y
y 
 x
aE 
k e Ae
x
aW 
k w Aw
x
aN 
•W
k n An
y
aS 
•E
k s As
y
•S
y
Jos k on vakio ja Δx = Δy
x

qV p
ke Ae
•P
N
 kn
TN  TP
An
x
T T
 k w P W Aw
x
 ks
W
x
P
E
 ke
TP  TS
As
x
 qV p
S
TE  TP
Ae
x
23
Tasetilavuusmenetelmä
Reunaehdot, esimerkki
•
•
Tarkastellaan ulkopuolen kulmaa, jossa tapahtuu
konvektiolämmönsiirtoa.
Kontrollitilavuudet kuvan mukaan (Incropera & al.)
q m 1, n   m, n   q m, n 1  m, n   q   m, n   0
 y  Tm 1, n  Tm, n
 x  Tm, n 1  Tm, n
k
 
k  
x
y
 2 
 2 
 x 
 y 
h 
  T  Tm, n   h 
  T  Tm, n   0
2
2




tai kun x  y ,
Tm 1, n  Tm, n 1  2
hx
 hx 
T  2 
 1 Tm, n  0
k
k


24
Taseyhtälöiden differenssimuodot
Yhteenveto differenssiyhtälöistä tavallisille solmupisteille esitetään taulukossa 4.2.
25
Taseyhtälöiden differenssimuodot
26
Ratkaisumenetelmiä
•
Matriisin kääntäminen: N tuntematonta solmukohdan lämpötilaa ilmaistaan N:n yhtälön ryhmällä
muodossa:
 AT   C 
Kerroinmatriisi
(NxN)
Ratkaisuvektori
(T1,T2, …TN)
Ratkaisu
Oikean puolen vakiovektori
(C1,C2…CN)
T    A1 C 
 a1,1
 .

 a i,1
 .

 .
Kerroinmatriisin
käänteismatriisi
a1,2
.
.
.
.
.
a i,i
.
.
.
.   T1   c1 
.  .   . 
   
. a i, N   Ti    ci 
 
.
.  .   . 

 
. a N, N   TN   c N 
 
.
.
•
Gauss-Seidelin -iterointi: Jokainen yhtälö kirjoitetaan eksplisiittisessä muodossa, siten että
jokaisen yhtälön tuntematon solmukohdan lämpötila esiintyy yksinään vasemmalla puolella:
Esim. 1-ulotteinen johtuminen, piste P
w
e
a T
a T
C
 TP  W W  E E  P
 aW TW  aPTP  aETE  CP
W
P
E
aP
aP
aP
x
x
• Iteraatio etenee kuvan tapauksessa vasemmalta oikealle. Tarkasteltavan pisteen arvo lasketaan
käyttäen vieruspisteiden viimeisimpiä iterointiarvoja:
aW TW( k ) aETE( k 1) C P missä k vastaa iterointikierroksen
(k )
 TP 


aP
aP
aP vaihetta, k-1 kuvaa edellisen
iterointikierroksen arvoa.
•
Iteraatio etenee pisteestä toiseen, iteraatiokierros
kerrallaan, kunnes tyydyttävä konvergenssi saavutetaan
kaikille solmukohdille, esim.: T  k   T  k 1  
i
i
1
x b
2
3
4
5
x
27
Ratkaisumenetelmiä
Gauss-Seidelin yleinen muoto kahdessa dimensiossa.
Ti
k 
N aij
Ci i 1 aij  k 
   Tj  
Tj( k 1)
aii j 1 aii
j  i 1 aii
 a1,1
 .

 a i,1
 .

 .
a1,2
.
.
.
.
.
a i,i
.
.
.
.   T1   c1 
.  .   . 
   
. a i, N   Ti    ci 
 
.
.  .   . 

 
. a N, N   TN   c N 
 
.
.
Iteraatiokierros k
kierros k-1
Esim. yhtälö (kaksiulotteinen johtuminen)
 aW TW  aS TS  aPTP  aETE  a N TN  C P
kierros k
laskettava piste
josta iteraatiomuoto lämpötilalle TP
TP( k 1) 
N
aW ( k 1) aS ( k 1) aE ( k ) a N ( k ) C P
TW  TS
 TE 
TN 
aP
aP
aP
aP
aP
W



Gauss-Seidel -menetelmä käyttää aina viimeisimpiä saatavissa olevia arvoja jokaiselle
viereiselle pisteelle.
Eri iteraatiokierrosten arvojen ei tarvitse olla omilla riveillään muistissa.
Tarvitaan ainoastaan yksi rivi => säästetään muistia.
P
E
S
28
Esimerkki: Mikrosirun jäähdytin
Tarkastelu jäähdytyslevylle, jolla jäähdytetään mikrosirua
Jäähdytyslevy
Vesi
Ominaisuudet:
•
•
Mikrosirusta leviävä lämpö siirretään johtumisella
jousikuormitteisten alumiinimäntien avulla
alumiiniseen jäähdytyslevyyn.
Jousi
Moduulin
kotelo
Mäntä
Helium
Siru
Vesijäähdyttäinen
jäähdytyslevy
Nimellisten toimintaolosuhteiden voidaan olettaa
saavan aikaan tasaisesti jakautuneen lämpövuon
Monikerroksinen
keraaminen
substraatti
qo  105 W/m2 jäähdytyslevyn pohjassa.
•
Lämpö siirretään jäähdytyslevyltä levyssä olevien
kanavien läpi virtaavan veden avulla.
Lämmönjohtumismoduuli
Keraaminen
substraatti
Siru
Adiabaattinen
symmetria
SELVITETTÄVÄ:
1. Jäähdytyslevyn lämpötilajakauma määrätyille olosuhteille.
2. Suurin sallittu lämpötehotaso, kun jäähdytyslevyn
maksimilämpötila saa olla 40C .
Vesi
Alumiininen
jäähdytyslevy
Adiabaattinen
symmetria
29
Esimerkki: Prosessorijäähdytin
ASSUMPTIONS:
(1) Steady-state
conditions, (2)
Two-dimensional
(3) Constant properties.
OLETUKSET:
(1) Stationääritila,
(2) Kaksiulotteinen
johtuminen,
(3) Vakiotconduction,
aineominaisuudet.
Energiatasemenetelmää sovelletaan
jokaiseen alueeseen => taseyhtälöt
kaikkien lämpötilojen ratkaisemiseksi
n
q''e Ae  q''w Aw  q''n An  qs'' As  0
w
Esim. sisäpuolen pisteet
Ae  Aw  y l
q ''e  k
q ''n  k
k
Tm1,n  Tm,n
  y
x
 T T
yl   k m,n m1,n
x

Tm1,n  Tm,n
x
Tm,n 1  Tm,n
y
s
e
An  As  xl
q ''w  k
qs''  k
Tm,n  Tm1,n
x
Tm,n  Tm,n 1
y
Tm,n 1  Tm,n
 Tm,n  Tm,n 1 


yl

k

xl

 k
 xl  0


y

y



x  Tm 1, n   y x  Tm 1, n   x y  Tm, n 1   x y  Tm, n 1  2  x y    y x Tm, n  0
30
Esimerkki: Prosessorijäähdytin
n
w e
s
Esim. piste 1
q''e Ae  q''w Aw  q''n An  qs'' As  0
Ae  Aw 
qe"  k
y
l
2
T2  T1
x
An  As 
qs"  k
x
l
2
T1  T6
y
qw"  qn"  0
Sijoittamalla pinta-alat ja lämpövuot saadaan
k
T  T  x
T2  T1 y 
l    k 1 6  l  0
x 2
y  2

ja tästä sieventämällä
 T2
y
y
x
x
 T1
 T1
 T6
0
2x
2x
2y
2y
 T2
 y x 
y
x
  T6
 T1 

0
x

x

y

y


31
Esimerkki: Prosessorijäähdytin
TARKASTELU:
Differenssiyhtälöt
täytyy equations
määrittää jokaiselle
28:sta solmukohdasta.
ANALYSIS:
Finite-difference
must be obtained
for each of theKun
28 sovelletaan
nodes. Applying the
energiatasemenetelmää
alueisiin
1 ja 5, jotka
keskenään
samanlaisia,
seuraa,
että
energy balance method
to regions
1 andovat
5, which
are similar,
it follows
that
x  T2   x y  T6   y x    x y  T1  0
Node 5:
Solmukohta
5:  y x  T4   x y  T10   y x    x y  T5  0
Solmukohta
1:
Node 1:
 y
Nodal regions 2, 3 2,
and
4 are
similar,
and thesamanlaisia,
energy balance
method yields a finite-difference
Solmukohta-alueet
3 ja
4 ovat
keskenään
ja energiatasemenetelmällä
saadaan equation of
the form
differenssiyhtälö,
joka on muotoa
Nodes 2,3,4: 2, 3, 4:
Solmukohdat
 y


x  Tm 1, n  Tm 1, n  2  x y  Tm, n 1  2  y x    x y  Tm, n  0
Energiataseita
sovelletaan
oleviin
yhdistelmiin,
millä saadaan
seuraavat
Energy balances
applied tosamanlaisten
the remainingsolmukohtien
combinations jäljellä
of similar
nodes
yield the following
finite-difference
differenssiyhtälöt.
equations.
Nodes 6,6,
14:
Solmukohdat
14:
 x
 x
y  T1   y x  T7   x y    y x    hx k T6    hx k  T
y  T19   y x  T15   x y    y x    hx k T14    hx k  T
Solmukohdat
15:  y x  T6  T8   2  x y  T2  2  y x    x y    hx k T7    2hx k  T
Nodes 7,7,15:
 y
x   T14  T16   2  x y  T20  2  y x    x y    hx k T15    2hx k  T
32
Esimerkki: Prosessorijäähdytin
Nodes 8,
16:
Solmukohdat
8, 16:
Solmukohta
Node 11:
11:
 y
x  T7  2  y x  T9   x y  T11  2  x y  T3  3  y x   3  x y 
 y
x  T15  2  y x  T17   x y  T11  2  x y  T21  3  y x   3  x y 
  h k  x  y T8    h k  x  y  T
  h k  x  y T16    h k  x  y  T
y  T8   x y  T16  2  y x  T12  2  x y    y x    hy k  T11    2hy k  T
 x
Nodes 9,9,12,
Solmukohdat
12,17,
17,20,
20, 21,
21, 22:
22:
 y
x  Tm 1, n   y x  Tm 1, n   x y  Tm, n 1   x y  Tm, n 1  2  x y    y x Tm, n  0
Nodes 10,
Solmukohdat
10,13,
13,18,
18, 23:
23:
 x
y  Tn 1, m   x y  Tn 1, m  2  y x  Tm 1, n  2  x y    y x Tm, n  0
Solmukohta
19:  x y  T14   x y  T24  2  y x  T20  2  x y    y x T19  0
Node 19:
Nodes 24,
Solmukohdat
24, 28:
 x
 x
y  T19   y x  T25   x y    y x T24    qo x k 
y  T23   y x  T27   x y    y x T28    qo x k 
Nodes 25,
Solmukohdat
25,26,
26,27:
27:
 y
x  Tm 1, n   y x  Tm 1, n  2  x y  Tm, n 1  2  x y    y x Tm, n    2qo x k 
33
Esimerkki: Prosessorijäähdytin
T  A1B
Kun
kertoimet
ja yhtälöt
ratkaistaan
samanaikaisesti,
stationäärinen
lämpötilajakauma
Evaluating
thelasketaan
coefficients
and solving
the equations
simultaneously,
the steady-state
temperature (°C)
solmupisteiden
sijaintien
mukaan
taulukoituna
onlocations, is:
distribution (C),
tabulated
according
to the node
q ''0 
Tmax  T
R*
23.77
23.41
23.91
23.62
28.90
30.72
32.77
28.76
30.67
32.74
24.27
24.31
25.70
28.26
30.57
32.69
24.61
24.89
26.18
28.32
30.53
32.66
24.74
25.07
26.33
28.35
30.52
32.65
Lämpötilaeron ja lämpövuon välillä on
lineaarinen riippuvuus, joten R* on vakio
b)
Sallittu
maksimilämpötila
(T24the
=40°C)?
(b) For
the prescribed
conditions,
maximum allowable temperature (T 24 = 40C) is reached when
R* 
Tmax  T
q ''0

Case1
Tmax  T
q ''0
<=>
Case 2
32.77  15
40  15
K

K
5
2
''
1 x 10 W / m
q0
qo = 1.407 105 W/m2
34
Johdanto epästationääritilan laskentaan
Tasalämpötilamalli
Analyyttinen ratkaisu
 T  T

e
i Ti  T
dT
Vc p
 hAs (T  T )
dt

hAs
t
Vc p
Alkuehdolla T(t=0) =Ti
Numeerinen ratkaisu aikaderivaatalle perustuu derivaatan approksimointiin
(yläindeksi viittaa lämpötilan tiettyyn ajanhetkeen)
dT
T
T t  t  T t
Vc p
 Vc p
 Vc p
 hAs (T t  Tt )
dt
t
t
T
t  t
Oheista kehitelmää käyttäen voidaan lähteä liikkeelle
hAs
t
t
T 
t (T  T ) alkutilanteesta t=0 ja laskea seuraavan hetken lämpötila.
Vc p
Näin edetään Δt:n suuruisin askelin ja lasketaan lämpötilat
t
halutun pituiselle aikajaksolle.
Vastaavalla tavalla voidaan laskea numeerisesti yleisemmän tapauksen tasalämpötilatehtävä, esim.:
Vc


dT
4
 qs'' As ,h  hAs ,c T  T    As ,r T 4  Tsur
 Eg
dt
35
Epästationääritilan johtuminen
Aikaderivaatta
d
F 
dt

new  old    old 
d
t  old  F  t
dt

Kuinka lasketaan derivaatta F?
 
F old
 
   
1
F new  F old 

2
F new
 
new  old  F old t
Eksplisiittinen menetelmä – Eulerin menetelmä
 
1
  F     F     t

2
new  old  F new t
new  old
new
old
Täysin implisiittinen menetelmä
Crank-Nicolson -menetelmä
36
Epästationääritilan johtuminen
Yhtälöiden johtaminen epästationäärisen 1-ulotteisen johtumisen numeerista ratkaisua
varten
• Energian säilymisyhtälö
w
d
 c pT dV    kT   n dA   q dV

dt V
A
V
Muutos
aikayksikössä
•
=
Johtuminen
+
W
e
P
x
Lähde
E
x
 d 

J w   w 
 d x w
1-ulotteinen johtuminen ilman konvektiota

VP
  c pT 
t
 T   T  
*
dV   A
   A
    qdV  f t
x  e 
x  w  VP

 
Diskretoidaan
  cT    cT 

t

t  t
t
t*
 T   T  

*
V

   A
   qVP  f t
 P  A
x  e 
x  w 


 
VP = A x
37
Epästationäärisen tilan johtuminen
•
•
Kuinka valitaan ajanhetki johtumis- ja lähdetermien määrittämiseksi
Yhden aika-askeleen kuluessa aika muuttuu arvosta t arvoon t +∆t
 cT   cT 

t

t  t
t
t*
 T   T  

*
   A
   qVP  f t
VP   A
x  e 
x  w 


f
f ( t*)   f t  t  (1  )f t 
  0 : f ( t*)  f
t
  1 : f ( t*)  f t  t
 
Eksplisiittinen menetelmä
ft
f t + t
Implisiittinen menetelmä
t
  12 :
•
f ( t*)   12 f t  t  12 f t 
t+Δt
Crank-Nicolson -menetelmä
Yhtälömuoto sisältää kaikki kolme vaihtoehtoa
 T   T  
 cT t  t  cT t 
V


   A
 
 A

 P

t

x

x



 w 

e


t  t
t
 T   T  
t  t
t
 1    A
   A
    q VP  1   q VP
x  e 
x  w 

38
1-ulotteinen epästationääritilan johtuminen
Periaate:
• Kontrollitilavuus varastoi energiaa johtumisen
nettolämpövuon ja energianlähteen mukaan
t + Δt
•
Johtumista ja energialähdettä voidaan
approksimoida aikaisemman (t) ja uuden (t +∆t)
ajanhetken arvoilla
•
Jos käytetään ainoastaan edellisen ajanhetken
arvoja, jokainen uusi arvo voidaan saada
itsenäisesti.
t
Δt
i-1
A
i
W w P e
3
2
1
i+1
E
4
x =L
5
B
 cT t  t  cT t 

VP 
t


 f t  t  1    f t t


x
39
Epästationääritilan johtuminen
Eksplisiittinen menetelmä – Eulerin menetelmä
•
Aikaintegrointi: arvo edellisellä aika-askeleella  Θ = 0.
t
t
 cT t  t  cT t 
 T   T 
   A
  qVP

VP   A

t

x

x

e 
w


•
VP = A x
it + t
Vakiolle lämmönjohtavuudelle, ominaislämpökapasiteetille, t + Δt
poikkileikkauspinta-alalle ja hilavälille Δx.
c
t  t
P
T
c
T T
T
T T
x  

 qx
t
x
x
t
P
t
E
t
P
t
P
t
W
t
x t  t
x




TP   c TPt  TEt  TPt  TPt  TWt  qx
t
t
x
x
x
x
c
Δt
it - 1
it
it +1
W
P
E
x t  t 
x
 


TP    c
 2 TPt  TEt  TWt  qx
t
t
x 
x
x

• Aikaderivaatta: ensimmäisen asteen differenssiapproksimaatio.
• Oikean puolen termi: arvot ainoastaan edellisellä aika-askeleella
 Vasemman puolen termi tuntematon: suoraviivainen laskenta tunnetuista arvoista
40
Epästationäärinen johtuminen
Eksplisiittinen menetelmä
•
Stabiilisuuskriteeri: Stabiilisuus saavutetaan, jos kerroin tarkasteltavalle solmupisteelle
aikaisemmalla ajanhetkellä on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
c
•
x t  t 
x
 


TP    c
 2 TPt  TEt  TWt  qx
t
t
x 
x
x

 c
x

2
t
x
Ehto stabiilille aika-askeleen pituudelle eksplisiittiselle menetelmälle
t < c
( x )2
•
2
•
Fo 
Fo 

t
 x 
2

cp
1
2
Ensisijainen rajoite
• Aika-askeleen pituus verrattuna laskentaan:
• Joskus laskenta-ajat ovat epäkäytännöllisiä vaadituilla lyhyillä aika-askeleilla.
Menetelmä on suoraviivainen toteuttaa ja ohjelmoida
• Lämmönjohtumissovellukset ovat usein “tarpeeksi yksinkertaisia”
eksplisiittisellä menetelmällä ja lyhyellä aika-askeleella toteutettaviksi
• Lyhyt aika-askel  ratkaisun suurempi tarkkuus
Fourierin luvun differenssimuoto
finite-difference
form of Fourier number
41
Epästationäärinen johtuminen
Implisiittinen menetelmä
•
Aikaintegrointi: arvot uudella aika-askeleella (t +∆t)  parametri Θ = 1.
•
1-ulotteinen lämmönjohtuminen
• Vakio lämmönjohtavuus, ominaislämpökapasiteetti, poikkileikkauspinta-ala ja hilaväli Δx
TPt  t  TWt  t
TPt  t  TPt
TEt  t  TPt  t
c
x  

 q t  t x
t
x
x
it -+1t it + t it ++1t
t + Δt
t
i it
x
 
x



 2 TPt  t   c TPt  TEt  t  TWt  t  q t  t x
 c
t
x 
t
x
x

•
•
Oikean puolen termi: approksimaatio naapurisolun arvoilla uudella aika-askeleella.
 muodostettava ratkaisu lineaariselle yhtälöryhmälle jokaisella aika-askeleella (vertaa
stationääritilan ratkaisuun)
Ei rajoituksia aika-askeleen koolle stabiilisuuden vuoksi. (Tarkkuus vähenee, kun aika kasvaa.)
42
Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen,
eksplisiittinen menetelmä
Tapaus: Epästationääri lämmön johtuminen levyssä
• Alkulämpötila 200 °C
a
• Vasen seinämä on eristetty
1
• Oikean seinämän reunaehto: T = 0 °C, kun t > 0
• Paksuus = 2 cm
• Lämmönjohtavuus= 10 W/m/K
Eristetty
• ρc = 10 x 106 J/m3/K
e
2
3
c

(
)
Sisäpuolen elementeille (2, 3, 4)
diskretoidut yhtälöt
Elementti 2 c
B
T=0 °C
t>0
W
x t + t
x

 t
 t
TP
= c
- 2
TPt +
TE +
T
t
t
x
x
x W
5
x
w
Ratkaisu: Eksplisiittinen ratkaisumenetelmä
4
b
e
P
x
E
x
x t + t
x

 t
 t
T2
= c
- 2
T2t +
T3 +
T
t
t
x
x
x 1
x t + t
T
t 3
x t + t

c
T
Elementti 4
t 4
Elementti 3 c
(
)
x



= ( c
- 2
T
+
T
+
T
t
x )
x
x
x



= ( c
- 2
T
+
T
+
T
t
x )
x
x
t
3
t
4
t
2
t
4
t
5
t
3
43
Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen,
eksplisiittinen menetelmä
•
Vasen puoli: eristetty  diskretoitu yhtälö
e
T t + t - T t
TEt - TPt
c
x = 
t
x

c
x t + t
x

 t
TP
= c
TPt +
T
t
t x
x E
(
 Elementti 1: c
•
A
Muotoillaan uudelleen
1
P
x
)
x t + t
x

 t
T1
= c
T1t +
T
t
t x
x 2
(
)
x A 
Oikea puoli: lämpötila = 0  diskretoitu yhtälö
Muotoillaan uudelleen  elementti 5
c
x
2
x
t
T t + t - T t
0 - TPt
TPt - TW
c
x = 
- 
x
t
x
2

2
E
W
P
x t + t
x

 t
T5
= c
- 3
T5t +
T
t
t
x
x 4
(
)
44
Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen,
eksplisiittinen menetelmä

Diskretoitujen yhtälöiden ryhmä
Elementti 1
Elementti 2
Elementti 3
Elementti 4
Elementti 5
•
c
x t + t
x

 t
T1
= c
T1t +
T
t
t x
x 2
x t + t
T
t 2
x t + t
c
T
t 3
c
x t + t
c
T
t 4
x t + t
c
T
t 5
Numeerisilla arvoilla
(
)
x



= ( c
- 2
T
+
T
+
T
t
x )
x
x
x



= ( c
- 2
T
+
T
+
T
t
x )
x
x
x



= ( c
- 2
T
+
T
+
T
t
x )
x
x
x


= ( c
- 3
T
+
T
t
x )
x
t
2
t
3
t
1
t
3
t
4
t
2
t
4
t
5
t
5
t
4
t
3
•
Kriteeri aika-askeleen pituudelle
(eksplisiittinen menetelmä)
t < c
•
( x )2
2
= 8s
Valinta: aika-askeleen pituus 2 s

c
x
= 20000
t

= 2500
x
200 T1t + t = 175 T1t + 25 T2t
200 T2t + t = 25 T1t + 25 T3t + 150 T2t
200 T3t + t = 25 T2t + 25 T4t + 150 T3t
200 T4t + t = 25 T3t + 25 T5t + 150 T4t
200 T5t + t = 25 T4t + 125 T5t
45
Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen,
eksplisiittinen menetelmä
Aika-askeleen pituus 2s
0
200
200
200
200
200
2
200,00
200,00
200,00
200,00
150,00
4
200,00
200,00
200,00
193,75
118,75
•
Iterointia ei tarvita
•
Excel-ratkaisu aika-askeleen
pituudella 2s
•
•
•
Ajanhetkellä 2 s soluilla on
diskretoidut yhtälöt, joiden
arvot saadaan, kun t = 0 s.
Seuraavat aika-askeleet
kopioimalla edellisen aikaaskeleen kaava.
Levyn lämpötila lähestyy
reunaehtoa T = 0 C.
6
200,00
200,00
199,22
185,16
98,44
8
200,00
199,90
197,56
176,07
84,67
Aika [s]
10
199,99
199,62
195,17
167,33
74,93
12
199,94
199,11
192,24
159,26
67,75
14
199,84
198,36
188,98
151,95
62,25
16
199,65
197,37
185,52
145,36
57,90
18
199,37
196,17
181,98
139,45
54,36
20
198,97
194,80
178,44
134,13
51,40
Lämpötilajakauma
250
Lämpötila [grad C]
Etäisyys
[mm]
2
6
10
14
18
t=0s
200
150
t=6s
t = 20 s
100
t = 14 s
50
t = 120 s
0
0
5
10 [mm]
Etäisyys [cm]
15
20
46
Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen
Eksplisiittinen verrattuna implisiittiseen menetelmään
Eksplisiittinen, Δt = 2 s
Implisiittinen, Δt = 2 s
Lämpötilajakauma
Lämpötilajakauma
250
t=0s
200
150
t=6s
t = 20 s
100
t = 14 s
50
Lämpötila [grad C]
Lämpötila [grad C]
250
t=0s
200
150
t=6s
t = 20 s
100
t = 14 s
50
t = 120 s
0
0
0
5
10
15
20
0
5
10
[mm]
Etäisyys [cm]
20
Etäisyys [mm]
[cm]
Eksplisiittinen, Δt = 8 s
Implisiittinen, Δt = 8 s
Lämpötilajakauma
Lämpötilajakauma
250
250
Lämpötila [grad C]
Lämpötila [grad C]
15
t=0s
200
150
t = 24 s
100
t = 80 s
t = 48 s
50
t = 480 s
0
t= 0s
200
150
t = 24 s
t = 80 s
100
t = 120 s
50
t = 48 s
0
0
5
10
[mm]
Etäisyys [cm]
15
20
0
5
10
15
20
Etäisyys [mm]
[cm]
47
Yhteenveto
d
 c pT dV    kT   n dA   q dV
dt V
A
V
Lämmön johtumisen numeerinen ratkaisu
Diffuusioyhtälö
•
•
Dimensiot: 1-ulotteinen, 2-ulotteinen
Menetelmät: Tase-(kontrolli-)tilavuus, differenssi
 a1,1
 .

 ai ,1

 .
 .

d 

dx x
new  old  F   * t
c
a1,2
.
.
.
.
.
.
ai ,i
.
.
.
.
.
.
.
.   T1   b1 
.   .   . 
   
ai , N   Ti    bi 
   
.  .   . 
aN , N  TN  bN 
Matriisin kääntäminen tai Gauss-Seidel
ratkaisua varten
Yhtälöt:
sisäpuoli/reunat
Epästationäärinen tila
T
 2T
 2T
c p
 k 2  k 2  q
t
x
y
x t  t 
x
 


TP    c
 2 TPt  TEt  TWt  qx
t
t
x 
x
x

Eksplisiittinen
• etenee vaivattomasti
• konvergenssikriteerit
Implisiittinen
• vaatii yhtälöryhmän ratkaisuja
• stabiili
1-ulotteiset
yhtälöt
1
Fo 
2
it + t
t + Δt
t
Δt
it - 1
it
i
it +1
48