1. No category

MIKROTEORIA, HARJOITUS 3
KYSYNTÄ YLI AJAN JA EPÄVARMUUDEN VALLITESSA, OSTAJANA JA MYYJÄNÄ,
SEKÄ TYÖN TARJONTA
1. Vuoristojen eristämässä kylässä kasvatetaan ainoana elinkeinona vehnää. Sadot vaihtelevat
vuosittain, siten, että hyvä ja huono satovuosi seuraavat aina toisiaan. Vuoden 1 sato on 1 000 kiloa ja
vuoden 2 sato on 150 kiloa. Kun satoa varastoidaan, syövät rotat siitä aina 25%. Ratkaise, mikä viljan
kulutus maksimoi kyläläisten hyödyn. Piirrä myös kuva. Paljonko viljaa rotat syövät? Entä kun kylä
avautuu maailmanmarkkinoille?
Hyötyfunktio:
U (C1 , C 2 ) = C1C 2
Budjettirajoite, jossa r = -0,25, ω1 = 1000 ja ω2 = 150:
C
ω
C1 + 2 = ω1 + 2 = Ω
1+ r
1+ r
Itse asiassa tässä on toinenkin rajoite – lainaaminen ei ole mahdollista – joten C1 ≤ 1000 (polveikas
raj.).
Emme ota sitä mukaan Lagrangen funktioon, mutta varmistamme, että kulutus ei ylitä 1 000 kiloa.
Lagrangen funktio:
C ⎞
⎛
L = C1C 2 + λ ⎜ Ω − C1 − 2 ⎟
1+ r ⎠
⎝
Ehdot:
∂L
= C2 − λ = 0 ⇔ C2 = λ
∂C1
λ
λ
∂L
= C1 −
= 0 ⇔ C1 =
∂C 2
1+ r
1+ r
C
∂L
= Ω − C1 − 2 = 0
∂λ
1+ r
Jakamalla 1. ja 2. ehdon puolittain saamme
C2
= 1+ r ,
C1
jolloin
C 2 = 0,75C1 .
3. ehdosta
0,75C1
150
*
C1 +
= 1000 +
= 1200 ⇔ C1 = 600
0,75
0,75
*
ja C 2 = 0,75 * 600 = 450 .
U* = 600*450 = 270000
Rotat syövät: 0,25*(1000 – 600) = 100
Yhteydet paranevat:
Uusi budjettirajoite:
C
150
C1 + 2 = 1000 +
≈ 1136,36
1,1
1,1
Nyt optimiehto:
C2
= 1 + r = 1,1 ⇔ C 2 = 1,1C1
C1
jolloin budjettirajoitteesta:
*
2C1 = 1136,36 ⇔ C1 ≈ 568,18
ja
*
C 2 = 1,1 * 568,18 = 625
U* = 568,18*625 ≈ 355114
C2
Ω
C1
2. Elät vain kaksi periodia. Ensimmäisellä periodilla ansaitset 50000 euroa. Toisella periodilla olet
eläkkeellä ja elät säästöillä. Hyötyfunktiosi on muotoa U(C1, C2) = C1 C2. Kohtaamasi korko, jolla voit
ottaa tai antaa lainaa, on 10 %.
Jos korkotaso kohoaa, kuinka käy 1. periodin kulutukselle (kasvaako, pieneneekö vai säilyykö samana)?
Kuinka käy 2. periodin kulutuksen koron noustessa?
Entä jos 50000 euron tulosi tulisivatkin 2. periodilla (1. peridiodin tulo 0), kuinka koron nousu
vaikuttaisi 1. periodin kulutukseesi?
Hyötyfunktio:
U (C1 , C 2 ) = C1C 2
Budjettirajoite, jossa r = 1,1, ω1 = 50000 ja ω2 = 0:
C
ω
C1 + 2 = ω1 + 2 = ω1
1+ r
1+ r
Lagrangen funktio:
C ⎞
⎛
L = C1C 2 + λ ⎜ ω1 − C1 − 2 ⎟
1+ r ⎠
⎝
Ehdot:
∂L
= C2 − λ = 0 ⇔ C2 = λ
∂C1
∂L
λ
λ
= C1 −
= 0 ⇔ C1 =
∂C 2
1+ r
1+ r
C
∂L
= ω1 − C1 − 2 = 0
∂λ
1+ r
Jakamalla 1. ja 2. ehdon puolittain saamme
C2
= 1+ r ,
C1
jolloin
C 2 = (1 + r )C1 .
3. ehdosta
(1 + r )C1
ω
*
C1 +
= 2C1 = ω1 ⇔ C1 = 1 = 25000
1+ r
2
ja C 2 = (1 + r )C1 = (1 + r )
*
*
ω1
= 27500 .
2
U* = 25000*27500 = 687,5 milj.
Komparatiivinen statiikka:
*
∂C1
= 0 eli korolla ei vaikutusta eli 1. periodin kulutus säilyy samana
∂r
*
ω
∂C 2
= 1 > 0 eli koron noustessa 2. periodin kulutus kasvaa
∂r
2
Kun kaikki tulot toisella periodilla, budjettirajoite
C
ω
ω
C1 + 2 = ω1 + 2 = 2
1+ r
1+ r 1− r
ja 3. ehdosta
(1 + r )C1
ω
ω2
*
= 2C1 = 2 ⇔ C1 =
≈ 22727,27
C1 +
1+ r
1+ r
2(1 + r )
ja C 2 = (1 + r )C1 = (1 + r )
*
*
ω2
= 25000
2 * (1 + r )
U* = 22727,27*25000 ≈ 568,18 milj.
Komparatiivinen statiikka:
*
− 2ω 2
∂C1
=
< 0 eli koron nousu johtaa 1. periodin kulutuksen laskuun
2
∂r
4(1 + r )
*
∂C 2
= 0 eli koron noustessa 2. periodin kulutus säilyy samana
∂r
3. Kuluttajan täytyy ensin valita jompikumpi seuraavista arpajaisista:
Arpajaiset A tuottavat 4000 todennäköisyydellä 0,2 ja 0 todennäköisyydellä 0,8.
Arpajaiset B tuottavat 3000 todennäköisyydellä 0,25 ja 0 todennäköisyydellä 0,75.
Sen jälkeen kuluttajan täytyy valita jompikumpi seuraavista arpajaisista:
Arpajaiset C tuottavat 4000 todennäköisyydellä 0,8 ja 0 todennäköisyydellä 0,2.
Arpajaiset D tuottavat 3000 todennäköisyydellä 1.
Oletetaan, että kuluttajan odotettu hyöty on VNM-muotoa.
a. Oletetaan, että hyötyfunktio on muotoa u(x) = x1/2. Onko kuluttaja riskin kaihtaja vai riskin
rakastaja? Mitkä valinnat hän tekee yo. tilanteissa?
1. valinta:
Arpajainen A:
Hyöty varallisuuden odotusarvosta:
1
2
u ( E ( X A )) = u ( p1 x1 + p 2 x 2 ) = u (0,2 * 4000 + 0,8 * 0) = u (800) = 800 ≈ 28,28
1
1
1
1
Odotettu hyöty: E [U ( X A )] = p1 x1 2 + p 2 x 2 2 = 0,2 * 4000 2 + 0,8 * 0 2 ≈ 12,65
1
Arpajainen B: u ( E ( X B )) = u (750 ) = 750 2 ≈ 27,38
1
2
1
2
1
2
1
2
Odotettu hyöty: E [U ( X B )] = p1 x1 + p 2 x 2 = 0,25 * 3000 + 0,75 * 0 ≈ 13,69
Koska E [U ( X B )] > E [U ( X A )] , kuluttaja valitsee arpajaisen B.
2. valinta:
1
2
Arpajainen C: u ( E ( X C )) = u (3200) = 3200 ≈ 56,57
1
2
1
2
1
2
1
2
Odotettu hyöty: E [U ( X C )] = p1 x1 + p 2 x 2 = 0,8 * 4000 + 0,2 * 0 ≈ 50,6
1
2
Arpajainen D: u ( E ( X D )) = u (3000 ) = 3000 ≈ 54,77
1
2
1
2
Odotettu hyöty: E [U ( X D )] = p1 x1 = 1 * 3000 ≈ 54,77
Koska E [U ( X D )] > E [U ( X C )] , kuluttaja valitsee arpajaisen D.
Kuluttaja on riskin kaihtaja, koska u (E ( X ) ) ≥ E [U ( X )] tai u’’ ≤ 0 (konkaavi).
b. Oletetaan, että hyötyfunktio on muotoa u(x) = x2. Onko kuluttaja riskin kaihtaja vai riskin rakastaja?
Mitkä valinnat hän tekee yo. tilanteissa?
1. valinta:
Arpajainen A:
Hyöty varallisuuden odotusarvosta: u ( E ( X A )) = u ( p1 x1 + p 2 x 2 ) = u (800) = 800 2 = 0,64milj.
Odotettu hyöty: E [U ( X A )] = p1 x1 + p 2 x 2 = 0,2 * 4000 2 + 0,8 * 0 2 = 3,2milj.
Arpajainen B: u ( E ( X B )) = u (750 ) = 750 2 = 0,5625milj.
2
2
Odotettu hyöty: E [U ( X B )] = p1 x1 + p 2 x 2 = 0,25 * 3000 2 + 0,75 * 0 2 = 2,25milj
Koska E [U ( X B )] < E [U ( X A )] , kuluttaja valitsee arpajaisen A.
2
2
2. valinta:
Arpajainen C: u ( E ( X C )) = u (3200) = 3200 2 ≈ 10,24milj.
Odotettu hyöty: E [U ( X C )] = p1 x1 + p 2 x 2 = 0,8 * 4000 2 + 0,2 * 0 2 = 12,8milj.
2
2
Arpajainen D: u ( E ( X D )) = u (3000 ) = 3000
2
= 9 milj .
Odotettu hyöty: E [U ( X D )] = p1 x1 = 1 * 3000 2 = 9milj.
2
Koska E [U ( X D )] < E [U ( X C )] , kuluttaja valitsee arpajaisen C.
Kuluttaja on riskin rakastaja: u ( E ( X )) ≤ E [U ( X )] tai u’’ ≥ 0 (konveksi).
4. Kuluttajan käytettävissä oleva aika on 24 tuntia ja hänen osaketulonsa ovat 120 euroa/päivä. C on
kulutus ja R vapaa-aika. Kulutushyödykkeen hinta on yksi ja kuluttajan tuntipalkka on 10 euroa.
Suureksiko muodostuvat päivittäinen optimaalinen työaika ja kulutus?
Hyötyfunktio:
U (C , R ) = C R
Olkoon osaketulot M=120 ja suurin mahdollinen käytettävissä oleva vapaa-aika R =24.
Kulutus voidaan nyt kirjoittaa:
C = M + w( R − R), missä ( R − R) on työntekoon käytetty aika.
Tästä saadaan budjettirajoite:
C + wR = M + wR ⇔ C + 10 R = 120 + 10 * 24 = 360
Lagrangen funktio:
L = CR + λ (360 − C − 10 R )
Ehdot:
∂L
= R−λ = 0 ⇔ R = λ
∂C
∂L
= C − 10λ = 0 ⇔ C = 10λ
∂R
∂L
= 360 − C − 10 R = 0
∂λ
Sijoittamalla R ja C 3. ehtoon saamme
360 − 10λ − 10λ = 0 ⇔ λ* = 18 ,
jolloin
R * = 18 ja C * = 180 ja työaika = 24 – 18 = 6.
U* = 180*18 = 3240.
5. Kuluttajan alkuvarallisuus on ω1 = 60 ja ω2 = 120. Kuluttajan hyötyfunktio on kvasilineaarinen.
Olkoon hyödykkeen 2 hinta yksi ja hyödykkeen 1 hinta p1 = 2. Laske kuluttajan optimi. Hyödykkeen 1
hinta nousee siten, että p1 = 3. Laske kuluttajan uusi optimi. Minkä suuruiset ovat substituutio-,
tavallinen tulo- ja varallisuus-tulovaikutukset? Käytä hyväksesi kuvaa ja tietoa hyötyfunktion
kvasilineaarisuudesta.
Hyötyfunktio:
1
u ( x1 , x 2 ) = x1 + 10 x 2 2
Budjettirajoite, jossa p1 = 2, ω1 = 60 ja ω2 = 120:
p1 x1 + x 2 = p1ω1 + ω 2
Lagrangen funktio:
1
L = x1 + 10 x2 2 + λ ( p1ω1 + ω 2 − p1 x1 − x2 )
Ehdot:
1
∂L
= 1 − λp1 = 0 ⇔ λ* =
p1
∂x1
1
∂L
⎛λ⎞
*
−
= 5x2 2 − λ = 0 ⇔ x2 = ⎜ ⎟
∂x 2
⎝5⎠
−2
= 25 p1
2
p ω + ω 2 − x 2 p1ω1 + ω 2 − 25 p1
∂L
*
= p1ω1 + ω 2 − p1 x1 − x 2 = 0 ⇔ x1 = 1 1
=
p1
p1
∂λ
Tällöin parametrien annetuilla arvoilla alkutilanteessa:
*
*
x1 = 70 ja x 2 = 100 .
2
u* = 70 + 10*10 = 170.
Hinnan 1 noustua (p’1 = 3):
**
**
x1 = 25 ja x 2 = 225 .
u* = 25 + 10*15 = 175.
Substituutiovaikutus:
Alkuperäisen optimin kautta kulkeva uuden budjettisuoran suuntainen suora:
p '1 x1 + x 2 = 3 x1 + x 2 = 3 * 70 + 1 * 100 = 310
Sijoittamalla uusi hinta toiseen Lagrange-yhtälöön saadaan x 2 = 225
85
ja budjettisuorasta tämän avulla 3x1 + 225 = 310 ⇔ x s 1 =
≈ 28,3 .
3
85
125
s
**
Siten substituutiovaikutukseksi tulee ∆x1 = x s 1 − x1 =
− 70 = −
≈ −41,67 .
3
3
Tavallinen tulovaikutus:
Varallisuuden alkuperäisen arvon mukainen uuden budjettisuoran suuntainen suora:
p '1 x1 + x 2 = p1ω1 + ω 2 ⇔ 3 x1 + x 2 = 2 * 70 + 100 = 240
Taas toisesta Lagrange-yhtälöstä saadaan (tässä näkyy kvasilineaarisuus, hyödykkeen 2 kysyntä ei riipu
15
tulosta) x 2 = 225 , ja 3x1 + 225 = 240 ⇔ x n 1 =
= 5.
3
85
70
n
Siten tavalliseksi tulovaikutukseksi saadaan ∆x1 = x n 1 − x s 1 = 5 −
=−
≈ −23,3 .
3
3
Varallisuustulovaikutus:
Varallisuuden uuden arvon mukainen uuden budj.suoran suuntainen suora:
p1 ' x1 + x 2 = p1 ' ω1 + ω 2 ⇔ 3 x1 + x 2 = 300
**
Optimi: x1 = 25 ja x 2
**
= 225 .
**
Siten ∆x1 = x1 − x n 1 = 25 − 5 = 20 .
m
Kokonaisvaikutus:
∆x1 = ∆x1 + ∆x1 + ∆x1 = −
s
n
m
125 70
−
+ 20 = −45 .
3
3
6. Merkitään pelien tuottoja kuvaavia satunnaismuuttujia pelien kirjaimilla A, B, C ja D. Olkoon w
henkilön mielivaltainen alkuvarallisuus. Määritellään myös seuraavat satunnaismuuttujat:
W A = A + w, WB = B + w, WC = C + w ja WD = D + w .
a) Henkilön hyödyn absoluuttisilla arvoilla ei ole väliä. Voidaan siis valita hyötyfunktio, jolla u(w)=0.1
Nyt henkilö valitsee uhkapelin A, jos ja vain jos
U (W A ) ≥ U (WB )
⇔ E (u (W A )) ≥ E (u (WB ))
⇔ u (10 6 + w) ≥ 0,89 * u (10 6 + w) + 0,1 * u (5 * 10 6 + w) + 0,01 * u ( w)
⇔ 0,11 * u (10 6 + w) ≥ 0,1 * u (5 * 10 6 + w)
Tämä on pyydetty ehto.
b) Oletetaan, että henkilö valitsi vaihtoehdon A. Pätee siis, että
0 ,11 * u (10 6 + w ) ≥ 0 ,1 * u ( 5 * 10 6 + w ) . Toisaalta
E (u (WC )) = 0,11 * u (10 6 + w) + 0,89 * u ( w) = 0,11 * u (10 6 + w) ja
E (u (WD )) = 0,1 * u (5 *10 6 + w) + 0,9 * u ( w) = 0,1 * u (5 *10 6 + w) . “Sattumalta” nämä ovat samat kuin
kohdan a) epäyhtälöehdossa olevat luvut. Tästä seuraa siis, että tulee päteä E (u (WC )) ≥ E (u (WD )).
Henkilö siis valitsee uhkapelin A, jos ja vain jos hän valitsee myös uhkapelin C. Mitkä uhkapelit itse
valitsisit?
1
Katso kirjan s. 222. Jos kuluttajan preferenssejä kuvaa mielivaltainen hyötyfunktio v(x), jolla v(w)=k, niin samoja
preferenssejä kuvaa myös hyötyfunktio u(x)=v(x)-k. Tällöin u(w)=v(w)-k=k-k=0.