Luento1
Kvanttimekaniikka: Luento 1 Martikainen Jani-Petri Keitä me olemme? • Käväistään osoitteessa presemo.aalto.fi/kvantti Käytännön asioita • • • • [email protected] (N201 luennon jälkeen tai sovi) 5op, 2+2 h luentoja ja 2 h laskareita viikossa Tentti Ti 15.12 kello 9-12 Arvostelu (OK?): • • • • • tentissä 5 tehtävää max 30 pistettä Läpipääsyraja 16 pistettä Laskarihyvitys max 6 pistettä ja niillä… …korvataan huonoin tehtävä tentissä Viikottainen ennakkotehtävä MyCoursesissa 2p • Yhteensä max 32 pistettä • Kirja: Liboff “Introductory QM”… voit lukea Muutakin (moni pitää esim. Griffiths:n kirjasta “Introduction to quantum mechanics”) presemo.aalto.fi/kvantti Käytännön asioita • Ennakkotehtävät MyCourses sivulla. Huomiseksi ensimmäinen! • Tehkää laskareita! Lessons learned • Jotkut pitivät luennoista…toiset eivät… ota siitä nyt selvää • Materiaalia hiotaan • Lisään varmaan tänä vuonna enemmän (käsin kirjoitettuja, anteeksi) muistiinpanoja laskuista • Siisti ja lyhyt “cheat sheet” yhteenveto • En kuitenkaan ala kirjoittamaan kurssikirjaa korvaavaa “kirjaa”…Hankkikaa kirja tai löytäkää sitä vastaava sisältö toisaalta! • Aktivointi aina vaikeaa. Apua!!!! • Ehkä ennakkotehtävät auttavat hiukan siihen, että ainakin tiedätte luennolle tullessanne mistä olette pihalla • Jos löydätte hyvää materiaalia, videoita tms. hauskaa, jakakaa! Laitetaan vaikka MyCoursesiin kaikkien iloksi. • Tiheysmatriisit tarkemmin… Uusia kokeiluja • Osaa selittää, osaa laskea…osaa selittää kenelle? • • • • Selitä kvanttimekaniikkaa maallikolle! Raportoi ja sovi opettajan kanssa Ehkä kerro kaikille miten meni? Max +3 pistettä, mutta tämä ei vaikuta… • …arvosteluasteikkoon muille. • Jos joku laskuharjoitus tehtävä syvältä, keksi parempi! Sovi opettajan kanssa ensin. Tehtävä jaetaan myös muille. Teemoja Oppimistavoitteita 1/2 • Kvanttimekaniikan rakenne ja postulaatit • Schrödingerin yhtälö ja tilafunktio (aaltofunktio) • Aaltofunktion yhteys havaintoihin (odotusarvot mittauksille yms.) • Diracin merkintätapa • Lähinnä yhden hiukkasen fysiikkaa yhdessä ulottuvuudessa • Vapaa avaruus, laatikko potentiaali,harmoninen oskillaattori • 2-tila malli, tiheysmatriisi • Jaksollinen hila • Tunneloituminen • Yksinkertaiset, mutta tärkeät sovellutukset • Pohjaa tulevalle! Oppimistavoitteita 2/2 Laskeudutaan alas tyhmyyden vuorelta! Eräässä suomalaisessa yliopistossa… http://www.nutrimia.fi/46 Kvanttimekaniikan vaikutus maailmankuvallemme Missä kaikkialla sitä tarvitaan? Millä tavalla? Ajatuksia? Pikakierros klassiseen mekaniikkaan • • • • • Mitä siellä tehtiinkään? Klassisesssa mekaniikassa Newtonin lait antavat liikeyhtälöt Nämä ratkaistaan joillain alkuarvoilla ja saadaan… …paikka ja nopeus ajan funktiona Myöhempää varten johdetaan nyt sama Lagrangen mekaniikassa q(t) on ns. yleistetty koordinaatti. Voi olla vaikkapa x(t) tai jotain muutakin… Vaikutus eli “Action” • Lasketaan T:ä ja V:ä käyttäen vaikutus: Haku:”amazing action” • Voimme määritellä integrandin Lagrangen funktioksi • Variaatioperiaate: rata on se, joka minimoi vaikutuksen • Huomaa, että vaikutus riippuu äärettömän monesta muuttujasta q(t). Voit lisätä hiukkasia ja ulottuvuuksia, kun siltä tuntuu • Variaatiolaskennasta ääriarvo, kun • Euler-Lagrange yhtälö (suomeksi liikeyhtälö!): Miksi, voi miksi?! 1. Kaikki nätissä paketissa yhdessä Lagrangen funktiossa: huomaa, että vapausasteita voi periaatteessa olla vaikka kuinka monta 2. Muunnokset koordinaatistosta toiseen helpompia: Muunna Lagrangen funktio jolloin ei tarvetta sählätä liikeyhtälöiden muunnosten kanssa (esimerkki taululla). Tämä on PALJON helpompaa. 3. Samat ideat toimivat myös kentille. Silloin vain ei ole yhtä koordinaattia vaan joku funktio avaruudessa. Konjugoitu/kanoninen liikemäärä • E-L yhtälössä esiintyi • Jos q=x (siis karteesinen koordinaatisto) ja • Kun samaa relaatiota käytetään yleistetylle koordinaatille q, se määrittelee konjugoidun- tai kanonisen liikemäärän q:lle • Tämän avulla Euler-Langrange yhtälö tulee muotoon: Heisenbergin epämääräisyys periaate • Mitä se olikaan? Muistaako kukaan? • Siinä esiintyy x ja p, mutta Lagrangen funtiossa x ja • Jotenkin ehkä haluaisimme luopua x fetissistä? Formulointi x:n ja p:n avulla… Hamiltonin formalismi • Kuinka Lagrangen funktio muuttuu ajassa? Oletetaan ettei siinä ole eksplisiitistä aikariippuvuutta… • Toisaalta tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa • Tämä ei häviä eli ei ole olemassa “Lagrangen” säilymislakia • Voimme kuitenkin määritellä Hamiltonin formalismi • H on vakio, kun L:ssa ei ole eksplisiittistä aikariippuvuutta! • H=Hamiltonin funktio=systeemin energia (…yleensä) • Esim. jolloin kanoninen liikemäärä • Kirjoitetaan tämä (kanonisen) liikemäärän avulla: • Tämä tulee pian tutuksi kvanttimekaanisessa yhteydessä! Hamiltonin formalismi • Entä klassiset liikeyhtälöt? Miten ne nyt saadaan? • Voima oli potentiaalin gradientti kertaa -1 joten • Toisaalta • Eli Newtonin yhtälöiden yksi toisen kertaluvun yhtälö on nyt korvattu parilla ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä • Tässä formalismissa ei oteta kantaa siihen on paikka vai liikemäärä “tärkeämpi”…esiintyvät symmetrisesti yhtälöissä. • Yleisesti: kirjoita energia yleistettyjen koordinaattien ja kanonisten liikemäärien avulla Saat liikeyhtälöt kuten yllä korvaamalla xq p=kanoninen liikemäärä q:lle Poissonin sulut… • Jälkiviisaana tämä vihjaa kvanttimekaniikkaaan • Kommutaattorit! Klassinen Kvantti Poissonin sulku Faasiavaruus • Kutakin tilaa kuvaa piste • 1D systeemissä: Keskitytään siihen selvyyden vuoksi • q ja p virittämä avaruus on faasiavaruus • Dynamiikka faasiavaruudessa? Faasiavaruus: Liouvillen teoreema • Aikakehitys ei muuta faasiavaruuden alueen pinta-alaa (Helppo todeta joissain erikoistapauksissa) • Alue voi kuitenkin vääristyä • Jos kvanttimekaniikassa ehkä voit ajatella ongelmaa tämän kokoisen todennäköisyyspilven aikakehityksenä? • No ei ihan näinkään… Example: from Wikipedia Faasiavaruus • Kaaosteorian dynamiikkaa esitetetään usein faasiavaruudessa • Kummallisia asioita voi tapahtua • Esim. Lorenz systeemihttp://en.wikipedia.org/wiki/Lore nz_system) • Menetät ennustettavuuden vaikka yhtälöt olisivat deterministisiä • Kvanttimekaniikassa rajat ennustettavuudelle ovat kuitenkin periaatteellisempia Kauniita kuvia http://paulbourke.net/fractals/lorenz/ Fysikaalinen realisaatio! https://www.youtube.com/watch?v=FYE4JKAXSfY Yhteenveto • Pikakatsaus klassiseen mekaniikkaan • Painopiste asioilla, jotka pysyvät relevantteina kvanttimekaniikassa • Kvanttimekaniikassa paikan ja liikemäärän tulkinta kuitenkin muuttuu • Emme ratko enää klassisia liikeyhtälöitä, mutta mennään siihen seuraavalla luennolla…. • Kysymyksiä?
© Copyright 2024